Ah ! Donc ça ne devait pas être très fameux alors. C’est un exercice très simple pour un niveau agreg externe, je trouve. Et donc ça reflèterait un développement, et une compréhension du cours, pas vraiment maitrisés.
Comme début de la discussion devant la jury c'est pas mal pour l'échauffement qui précède le Marathon et surtout si le candidat montre un peu d'appréhension@@mathema-
@lahcenelhaissouf8347 Dans ce cas, vraiment tout début et on y passe une minute ou deux maximum. Parce que ce n’est pas sensé être le type d’exercice à poser à l’oral de l’agreg externe. Ce genre de résultat est une partie intégrante d’une leçon d’agrégation. Si une personne du jury pose cette question, je pense vraiment que c’est que le jury estime que tu ne maitrises pas très bien la leçon que tu as présenté, ou alors, autre possibilité, le niveau de la leçon que tu as proposée est trop faible. En tout cas, je ne pense pas que ce soit bon signe.
Il y a exactement pgcd(n, m). Pour le voir, il suffit de comprendre le passage au quotient lorsqu'on dispose d'un morphisme f de Z dans G. Soit a dans G tel qu'il existe un entier n tel que a^n=1 alors il existe un unique morphisme g de Z/nZ dans G défini par g(cl(k))= a^k. .
Reponse samedi ;) Juste attention aux notations : ici j’utiliserai la notation additive des groupes et pas multiplicative . En tout cas c’est tout l’intérêt de l’exercice (bien qu’il soit simple) : comprendre la structure des morphismes et comprendre ma structure du quotient. Petit plus : et la réponse pour les morphismes d’anneaux ?
@@mathema-Je l'ai tenté sans voir votre correction et je l'ai fait de manière différente en utilisant les noyaux et images de f. Comme ker f est un sous-groupe de Z/nz, son ordre divise n. De même Im f est un sous-groupe de Z/mZ, son ordre divise m. D'après le premier théorème d'isomorphisme, |Ker f| × |Im f| = n. |Im f| doit diviser à la fois n et m et donc diviser leur PGCD. Si celui-ci vaut 1, alors |Im f| = 1, Im f est l'élément neutre de Z/mZ, le morphisme est le morphisme nul.
C’est pas mal comme approche, mais je pense, comme le souligne ton exemple sur le commentaire à part, qu’il manque des choses si on souhaite dénombrer les morphismes, et je pense qu’il faut vraiment mettre les mains dans le cambouis pour comprendre comment ça marche et conclure le résultat voulu.
@@mathema- merci, mon approche avec le théorème d'isomorphisme a ses limite. Je pensais qu'il pouvait suffire à lister tous les morphismes entre 2 groupes. C'est très beau, lol.
Salut , j'aimerais savoir si on pourrait approcher le problème d'une autre manière à savoir , tout sous groupe de Z/nZ est généré par une classe pi(d) tel que d divise n , or l'image de ce sous groupe est lui même un sous groupe de Z/mZ donc générée par la classe phi(pi(d)) dans Z/mZ , ca a pais l'air de trop marcher mais je laisse ne commentiare au cas ou. Merci
C’est pas mal, mais a priori rien ne dit que phi(pi(d)) est d’ordre d dans Z/mZ. Ce n’est pas impossible que l’image d’un élément d’ordre d soit nul et que l’image de 1 ne le soit pas. Par exemple, un morphisme de groupe de Z/12Z vers Z/8Z se doit d’envoyer 1 vers un élément d’ordre au plus 4 (donc 0,2,4,6). Si on decide que l’image de 1 soit 2, alors 3 qui est d’ordre 4 dans Z/12Z est envoyé sur 4 qui est d’ordre 2 dans Z/8Z. Je pense que ton image de classe n’est pas faux, mais cela ne permet pas d’avancer à beaucoup de choses dans le cadre de cet exercice (en tout cas, j’en ai l’impression).
Merci du retour ! Et oui effectivement il est clair que dans le cadre de cet exercice le morphisme est entièrement détérminé par l'image de 1 donc étudier phi(1) et et énumerer les valeurs qu'il peut admettre clôture le tt @@mathema-
Je ne comprends pas totalement ta question, mais je vais tenter d’y répondre. Je vais te poser la question suivante : d’où vient cette équation ? Il faut expliquer pourquoi la recherche d’un morphisme phi passe par la détermination des x dans Z/mZ tel que nx = 0 dans Z/mZ. Il est bon de d’abord attaquer le cas où n et m sont premier entre eux, puis le cas générale (car on utilise le cas où les entiers sont premiers entre eux - avec n’ et m’ - pour conclure le dénombrement total). En espérant que cela aide. N’hésite pas à me relancer.
J'ai tenté de déterminer le nombre de morphismes entre Z/12Z et Z/4Z. Pgcd(12,4) = 4. Pourtant je ne trouve que 3 morphismes. L'ordre de Im f doit diviser 4 donc soit 1, 2 ou 4. L'ordre de ker f divise 12, donc soit 1, 2, 3, 4, 6 ou 12. Le premier théorème d'isomorphisme énonce que |Ker f|×|Im f| = 12 Il n'y a que trois possibilités : 3×4 ; 6×2 et 12×1. Ai-je fait une erreur quelque part ?
Et le morphisme nul ? Je crois que tu l’as oublié. Je me trompe ? Si ce n’est pas cela le problème, voilà une explication plus précise sur ton exemple. Si on suit la preuve : dans le sens Z/12Z -> Z/4Z, on peut totalement choisir l’image de 1 (car l’ordre de tout élément de Z/4Z divise 12); dans l’autre sens Z/4Z -> Z/12Z, il faut que l’image de 1 soit d’un ordre qui divise 4. Or nous en avons 4 : 0,3,6,9. Cela donnera bien 4 morphismes distincts dans les deux cas. Tu as pensé au théorème d’isomorphisme, mais ce n’est pas du tout cela qui paramètre les fonctions (car ici 1->3 ou 1->9 donnera le même résultat en suivant ce théorème). Je pense que tu as cru que cela suffisait, mais il y a des redondances.
@@mathema- pour Z/12Z -> Z/4Z Im f est un sous-groupe de Z/4Z. Or celui-ci n'a que 3 sous-groupes, celui engendré par 0 d'ordre 1, il correspond au morphisme nul. Celui d'ordre 4 engendré par 1 ou 3 . Celui d'ordre 2 engendré par 2. Il n'existe bien que 3 morphismes de groupe. Où serait le dernier ?
@alainrogez8485 Non non ! Tu mélanges sous-groupes, et morphismes. Les morphismes ne se décrivent pas que par leur image et leur noyau. Les applications 1 -> 3 et 1 -> 9 (Z/4Z -> Z/12Z) ont la même image et le même noyau, mais sont bien deux morphismes distincts !
Cet exercice m'a été donné le jour de l'oral d'agrég
D’accord. Pour l’interne ?
Si c’est pour l’externe, je m’inquiéterai x)
Non pour l'externe, c'est ma chance hhhh@@mathema-
Ah ! Donc ça ne devait pas être très fameux alors. C’est un exercice très simple pour un niveau agreg externe, je trouve. Et donc ça reflèterait un développement, et une compréhension du cours, pas vraiment maitrisés.
Comme début de la discussion devant la jury c'est pas mal pour l'échauffement qui précède le Marathon et surtout si le candidat montre un peu d'appréhension@@mathema-
@lahcenelhaissouf8347 Dans ce cas, vraiment tout début et on y passe une minute ou deux maximum. Parce que ce n’est pas sensé être le type d’exercice à poser à l’oral de l’agreg externe. Ce genre de résultat est une partie intégrante d’une leçon d’agrégation. Si une personne du jury pose cette question, je pense vraiment que c’est que le jury estime que tu ne maitrises pas très bien la leçon que tu as présenté, ou alors, autre possibilité, le niveau de la leçon que tu as proposée est trop faible. En tout cas, je ne pense pas que ce soit bon signe.
Il y a exactement pgcd(n, m).
Pour le voir, il suffit de comprendre le passage au quotient lorsqu'on dispose d'un morphisme f de Z dans G.
Soit a dans G tel qu'il existe un entier n tel que a^n=1 alors il existe un unique morphisme g de Z/nZ dans G défini par g(cl(k))= a^k.
.
Reponse samedi ;)
Juste attention aux notations : ici j’utiliserai la notation additive des groupes et pas multiplicative .
En tout cas c’est tout l’intérêt de l’exercice (bien qu’il soit simple) : comprendre la structure des morphismes et comprendre ma structure du quotient.
Petit plus : et la réponse pour les morphismes d’anneaux ?
J'ai essayé par moi-même. Je n'ai réussi à montrer que si n et m sont premiers entre eux, le seul morphisme qui convient est le morphisme nul. 😅
C’est déjà pas mal ! ;)
@@mathema-Je l'ai tenté sans voir votre correction et je l'ai fait de manière différente en utilisant les noyaux et images de f.
Comme ker f est un sous-groupe de Z/nz, son ordre divise n. De même Im f est un sous-groupe de Z/mZ, son ordre divise m.
D'après le premier théorème d'isomorphisme, |Ker f| × |Im f| = n.
|Im f| doit diviser à la fois n et m et donc diviser leur PGCD. Si celui-ci vaut 1, alors |Im f| = 1, Im f est l'élément neutre de Z/mZ, le morphisme est le morphisme nul.
C’est pas mal comme approche, mais je pense, comme le souligne ton exemple sur le commentaire à part, qu’il manque des choses si on souhaite dénombrer les morphismes, et je pense qu’il faut vraiment mettre les mains dans le cambouis pour comprendre comment ça marche et conclure le résultat voulu.
@@mathema- merci, mon approche avec le théorème d'isomorphisme a ses limite. Je pensais qu'il pouvait suffire à lister tous les morphismes entre 2 groupes. C'est très beau, lol.
Salut , j'aimerais savoir si on pourrait approcher le problème d'une autre manière à savoir , tout sous groupe de Z/nZ est généré par une classe pi(d) tel que d divise n , or l'image de ce sous groupe est lui même un sous groupe de Z/mZ donc générée par la classe phi(pi(d)) dans Z/mZ , ca a pais l'air de trop marcher mais je laisse ne commentiare au cas ou. Merci
C’est pas mal, mais a priori rien ne dit que phi(pi(d)) est d’ordre d dans Z/mZ. Ce n’est pas impossible que l’image d’un élément d’ordre d soit nul et que l’image de 1 ne le soit pas. Par exemple, un morphisme de groupe de Z/12Z vers Z/8Z se doit d’envoyer 1 vers un élément d’ordre au plus 4 (donc 0,2,4,6). Si on decide que l’image de 1 soit 2, alors 3 qui est d’ordre 4 dans Z/12Z est envoyé sur 4 qui est d’ordre 2 dans Z/8Z.
Je pense que ton image de classe n’est pas faux, mais cela ne permet pas d’avancer à beaucoup de choses dans le cadre de cet exercice (en tout cas, j’en ai l’impression).
Merci du retour ! Et oui effectivement il est clair que dans le cadre de cet exercice le morphisme est entièrement détérminé par l'image de 1 donc étudier phi(1) et et énumerer les valeurs qu'il peut admettre clôture le tt
@@mathema-
pourquoi on n’a pas pris des le debut un élément x de Z/mZ d’orde n tq : (n_tild)(x_tild)=(elementneutre_tild?
Je ne comprends pas totalement ta question, mais je vais tenter d’y répondre. Je vais te poser la question suivante : d’où vient cette équation ?
Il faut expliquer pourquoi la recherche d’un morphisme phi passe par la détermination des x dans Z/mZ tel que nx = 0 dans Z/mZ. Il est bon de d’abord attaquer le cas où n et m sont premier entre eux, puis le cas générale (car on utilise le cas où les entiers sont premiers entre eux - avec n’ et m’ - pour conclure le dénombrement total).
En espérant que cela aide. N’hésite pas à me relancer.
Je l'ai eu en colle cette année :)
Dans le mille donc ! :)
J'ai tenté de déterminer le nombre de morphismes entre Z/12Z et Z/4Z. Pgcd(12,4) = 4. Pourtant je ne trouve que 3 morphismes.
L'ordre de Im f doit diviser 4 donc soit 1, 2 ou 4. L'ordre de ker f divise 12, donc soit 1, 2, 3, 4, 6 ou 12.
Le premier théorème d'isomorphisme énonce que |Ker f|×|Im f| = 12
Il n'y a que trois possibilités : 3×4 ; 6×2 et 12×1.
Ai-je fait une erreur quelque part ?
Et le morphisme nul ? Je crois que tu l’as oublié. Je me trompe ? Si ce n’est pas cela le problème, voilà une explication plus précise sur ton exemple.
Si on suit la preuve : dans le sens Z/12Z -> Z/4Z, on peut totalement choisir l’image de 1 (car l’ordre de tout élément de Z/4Z divise 12); dans l’autre sens Z/4Z -> Z/12Z, il faut que l’image de 1 soit d’un ordre qui divise 4. Or nous en avons 4 : 0,3,6,9. Cela donnera bien 4 morphismes distincts dans les deux cas.
Tu as pensé au théorème d’isomorphisme, mais ce n’est pas du tout cela qui paramètre les fonctions (car ici 1->3 ou 1->9 donnera le même résultat en suivant ce théorème). Je pense que tu as cru que cela suffisait, mais il y a des redondances.
@@mathema- pour Z/12Z -> Z/4Z Im f est un sous-groupe de Z/4Z. Or celui-ci n'a que 3 sous-groupes, celui engendré par 0 d'ordre 1, il correspond au morphisme nul. Celui d'ordre 4 engendré par 1 ou 3 . Celui d'ordre 2 engendré par 2. Il n'existe bien que 3 morphismes de groupe. Où serait le dernier ?
@alainrogez8485 Non non ! Tu mélanges sous-groupes, et morphismes. Les morphismes ne se décrivent pas que par leur image et leur noyau.
Les applications 1 -> 3 et 1 -> 9 (Z/4Z -> Z/12Z) ont la même image et le même noyau, mais sont bien deux morphismes distincts !
@@mathema- effectivement, j'ai pu constater mon erreur. Je pensais qu'à un noyau et une image, on ne définissait qu'un seul morphisme de groupe.
Trop cool cet exo ! Je l'ai déjà vu mais je m'en rapelle plus ahah
Parfaite occasion pour le revoir alors ! :)
Bel exo et super t shirt :)
Merci Theo ! :)
Si et seulement si n|m exo du prof
Pour les morphismes de groupes ?
Ou pour les morphismes d’anneaux ?
Anneaux oui j'ai mal lu l'exo@@mathema-
@@AlexisDLCRD c’est bien ce que je me disais ;)