Merci pour le contenu c'est une très belle présentation . Pour résoudre l'exercice on peut procéder par descente infinie : Supposons par absurde que l'équation (*) admette un triplet de polynomes tous non nuls . On ajoute la supposition qu'ils sont tous deux à deux premiers entre eux ( on peut le faire suffit de voir la première partie de la vidéo et que max( deg P , deg Q , deg R ) soit minimale. On a donc P^n+Q^n+R^n=0 on peut factoriser la somme P^n+Q^n en produit des P-z_iQ ou z_i sont les racines n-ièmes de -1. montrons maintenant que pour tout i different de j : P-z_iQ est premier avec P-z_jQ , supposons qu'ils admette un diviseur commun non inversible , alors il admet lui même un diviseur irréductible D , et on a par combinaison linéaire que D divise P et Q donc D divise un élément inversible ce qui contredit l'irréducibilité de D . on a donc le produit des P-z_iQ = -(R^n) donc tous les P-z_iQ sont des puissances n_iemes d'un polynome ( car l'anneau C[X] est principal ) . On a donc P-z_1Q=R_1^n et P-z_2Q=R_2^n et P-z_3Q=R_3^n ( n >=3) or comme P et Q premiers entre eux alors (P,Q) forme une famille libre et donc Vect'P,Q) est de dimension 2 . or chacun des P-z_iQ pour i dans [|1,3|] ( est dans Vect(P,Q) donc ils sont linéairement dépendants et on a un relation : aR_1^n+bR_2^n=cR_3^n on peut trouver des racines n_ièmes complexe pour chaque cst pour avoir de nouveaux polynomes T_1 T_2 et T_3 tous non cst ( donc non nuls ) et deux à deux premiers entre eux . : T_1^n+T_2^n+T_3^n=0 or il est clair que max( deg T_1,deg T_2 , deg T_3) < max (deg P , deg Q , deg R ) et la descente peut commencer . On trouve donc une absurdité et par la suite on conclut qu'une des paires est colinéaire mais cela implique forcément que le troisième polynome restant l'est aussi
Oui je savais qu'on pouvait jouer avec la factorisation que j'ai proposé de P^n + Q^n. Merci pour ces détails, cela pourra être utile pour les petits curieux.
43:07 Si P et Q sont deux polynômes de C[x] et n un nombre entier on peut calculer deg(P^n+Q^n) P^n+Q^n=prod(P-c_kQ) avec c_k racine n ieme de -1 et k allant de 1 à n - si deg(P)>deg(Q) deg(P^n+Q^n)=ndeg(P) - si deg(P)=deg(Q)=m soit p_m-c_kq_m le coefficient dominant de P-c_kQ Alors les n coefficients p_m-c_kq_m s'annulent au plus une fois En effet on suppose que parmis ces n coefficients il existe deux coefficients p_m-c_iq_m =0 et p_m-c_jq_m i j et n>=3 les c_i deux à deux distincts Donc p_m=q_m=0 contradicrion Conclusion : si deg(P)=deg(Q)=m alors deg(P^n+Q^n)=mn si tous les coefficients p_m-c_kq_m sont non nuls Si un coefficient p_m-c_iq_m est nul alors deg(P-c_iQ)>=1 dans le cas ou P et Q ne sont pas proportionnels Donc deg(P^n+Q^n)>=n(m-1)
Merci pour ce commentaire. Tu n’as pas vraiment calculer le degré ; tu as donner une borne minimale. Et je ne suis pas d’accord avec cette borne (autrement dit, regarder uniquement le coefficient dominant ne suffit pas). Dans le cas où P et Q sont proportionnels à une racine n-ieme de -1, on a P^n + Q^n = 0. Il faut donc éviter ce cas pour conclure correctement ce qu’il en est. Sinon, cela peut en effet aider à conclure à la place de la manipulation calculatoire à la fin de l’exercice. Sinon ton idée semble basée sur la factorisation que j’ai donné plus tôt dans la vidéo. Un autre commentaire a exploité cela pour donner une preuve par descente (en se ramenant à un triplet de polynômes dont le max degré est plus petit que le triplet de départ). Tu pourrais y jeter un oeil ;)
Ce n'était finalement pas la bonne idée, et tu as du voir comment j'ai finalement traité la chose. Et c'etait en effet comme cela qu'il fallait faire. J'ai laissé ce temps de réflexion pour insister sur le fait que ce n'était pas simple de penser à cela.
Merci pour le contenu c'est une très belle présentation .
Pour résoudre l'exercice on peut procéder par descente infinie :
Supposons par absurde que l'équation (*) admette un triplet de polynomes tous non nuls .
On ajoute la supposition qu'ils sont tous deux à deux premiers entre eux ( on peut le faire suffit de voir la première partie de la vidéo et que max( deg P , deg Q , deg R ) soit minimale.
On a donc P^n+Q^n+R^n=0 on peut factoriser la somme P^n+Q^n en produit des P-z_iQ ou z_i sont les racines n-ièmes de -1.
montrons maintenant que pour tout i different de j : P-z_iQ est premier avec P-z_jQ , supposons qu'ils admette un diviseur commun non inversible , alors il admet lui même un diviseur irréductible D , et on a par combinaison linéaire que D divise P et Q donc D divise un élément inversible ce qui contredit l'irréducibilité de D .
on a donc le produit des P-z_iQ = -(R^n) donc tous les P-z_iQ sont des puissances n_iemes d'un polynome ( car l'anneau C[X] est principal ) .
On a donc P-z_1Q=R_1^n et P-z_2Q=R_2^n et P-z_3Q=R_3^n ( n >=3) or comme P et Q premiers entre eux alors (P,Q) forme une famille libre et donc Vect'P,Q) est de dimension 2 .
or chacun des P-z_iQ pour i dans [|1,3|] ( est dans Vect(P,Q) donc ils sont linéairement dépendants et on a un relation :
aR_1^n+bR_2^n=cR_3^n on peut trouver des racines n_ièmes complexe pour chaque cst pour avoir de nouveaux polynomes T_1 T_2 et T_3 tous non cst ( donc non nuls ) et deux à deux premiers entre eux . :
T_1^n+T_2^n+T_3^n=0 or il est clair que max( deg T_1,deg T_2 , deg T_3) < max (deg P , deg Q , deg R ) et la descente peut commencer .
On trouve donc une absurdité et par la suite on conclut qu'une des paires est colinéaire mais cela implique forcément que le troisième polynome restant l'est aussi
Oui je savais qu'on pouvait jouer avec la factorisation que j'ai proposé de P^n + Q^n.
Merci pour ces détails, cela pourra être utile pour les petits curieux.
Trop cool !
Merci pour ce retour :)
43:07 Si P et Q sont deux polynômes de C[x] et n un nombre entier on peut calculer deg(P^n+Q^n)
P^n+Q^n=prod(P-c_kQ) avec c_k racine n ieme de -1 et k allant de 1 à n
- si deg(P)>deg(Q) deg(P^n+Q^n)=ndeg(P)
- si deg(P)=deg(Q)=m soit p_m-c_kq_m le coefficient dominant de P-c_kQ
Alors les n coefficients p_m-c_kq_m s'annulent au plus une fois
En effet on suppose que parmis ces n coefficients il existe deux coefficients p_m-c_iq_m =0 et p_m-c_jq_m i j et n>=3 les c_i deux à deux distincts
Donc p_m=q_m=0 contradicrion
Conclusion : si deg(P)=deg(Q)=m alors deg(P^n+Q^n)=mn si tous les coefficients p_m-c_kq_m sont non nuls
Si un coefficient p_m-c_iq_m est nul alors deg(P-c_iQ)>=1 dans le cas ou P et Q ne sont pas proportionnels
Donc deg(P^n+Q^n)>=n(m-1)
Merci pour ce commentaire.
Tu n’as pas vraiment calculer le degré ; tu as donner une borne minimale.
Et je ne suis pas d’accord avec cette borne (autrement dit, regarder uniquement le coefficient dominant ne suffit pas). Dans le cas où P et Q sont proportionnels à une racine n-ieme de -1, on a P^n + Q^n = 0. Il faut donc éviter ce cas pour conclure correctement ce qu’il en est. Sinon, cela peut en effet aider à conclure à la place de la manipulation calculatoire à la fin de l’exercice.
Sinon ton idée semble basée sur la factorisation que j’ai donné plus tôt dans la vidéo. Un autre commentaire a exploité cela pour donner une preuve par descente (en se ramenant à un triplet de polynômes dont le max degré est plus petit que le triplet de départ). Tu pourrais y jeter un oeil ;)
A la minute 28 le cas R=0 est particulier puisque R est de degré - l'infini dans ce cas aussi P et Q sont proportionnels
Oui c'est un cas que j'ai omis de dire, merci de l'avoir signalé.
Bonjour a la minute 34, je pense qu'il faut multiplier (*) par R' et non (*)'
Ce n'était finalement pas la bonne idée, et tu as du voir comment j'ai finalement traité la chose. Et c'etait en effet comme cela qu'il fallait faire. J'ai laissé ce temps de réflexion pour insister sur le fait que ce n'était pas simple de penser à cela.
A la minute 21 le terme de droite est égal à 1
C'est plutôt P1^n + Q1^n + R1^n = 0, c'est cette erreur que tu mentionnes ?
Oui@@mathema-
Y’a personne
Ca peut arriver au moment de la sortie de la vidéo en première.
Ce n'est pas si grave, en tout cas, pour moi.