Liczby zespolone | Zacznijmy od zera #3
Вставка
- Опубліковано 29 вер 2024
- Liczby zespolone były niechcianym dzieckiem matematyki. Choć pierwiastki z liczb ujemnych rozważano już prawie 500 lat temu, przez wieki uważano je za nonsens, za "urojenie" bez związku z rzeczywistością. Tymczasem dziś trudno wyobrazić sobie bez nich nie tylko matematykę, ale także fizykę (zwłaszcza kwantową) i wiele dziedzin techniki. Skąd wzięły się liczby zespolone? Jak się mają do liczb rzeczywistych i do rzeczywistości jako takiej? Co ma na myśli fizyk matematyczny i noblista Roger Penrose, gdy pisze o ich "magii"? To wszystko i więcej w kolejnym mini-wykładzie z serii "Zacznijmy od zera".
Polecana książka: R. Penrose, Droga do rzeczywistości. Wyczerpujący przewodnik po prawach rządzących Wszechświatem, tłum. J. Przystawa, Prószyński i s-ka, Warszawa 2006.
Dofinansowano z programu „Społeczna odpowiedzialność nauki” Ministra Nauki i Szkolnictwa Wyższego w ramach projektu „Otwarta Nauka w Centrum Kopernika".
Ta seria zasługuje na większe zasięgi.
Średnio się zgadzam, nie każdy operuje takim słownikiem i ma dostateczną wiedzę, bądź co bądź abstrakcyjna, z zakresu matematyki.
To nawet nie jest ciekawe, jeśli nie jest się studentem. Natomiast oddaje prowadzącemu, że swoją pracę prowadzi bardzo sympatycznie :)
@@Potimus_Ripme chyba najbardziej zaawansowane rzeczy jakie widziałem, to operacje na zbiorach i funkcje trygonometryczne. To nie jest duży próg wejścia, większość osób interesujących się matematyką raczej to zna.
@@Potimus_Ripme To nie jest ciekawe? Nosz bosz.. to jest fascynujące, a w formie demonstrowanej przez dr. Millera, to niemal historia kryminalna.
Co do poziomu abstrakcji - w dawnych czasach (ale już po wojnie rosyjsko-japońskiej) liczby zespolone były wykładane dzieciaczkom w liceum czteroletnim i nie był to najtrudniejszy zakres matematyki, raczej taki... śmiechowy łamane przez trywialny, bo nie widzieliśmy praktycznego zastosowania. Bo rachunku tensorowego i pól fizycznych naonczas w liceum nie nauczano.
@@swinki33 Każdy sądzi wg siebie. Jestem matematykiem, inżynierem elektrykiem, nauczycielem matematyki. Zaręczam ci, ze jest to ciekawe tylko dla malej grupki pasjonatów.
To prawda że liczby zespolone są do opanowania rachunków na nich łatwe. Lecz ich praktyczna użyteczność wychodzi dopiero przy rozwiązywaniu równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach, które opisuje przebieg procesów fizycznych...(gonie stany nieustalone)
Wyjątkiem jest obliczanie obwodów prądu przemiennego a to interesuje wyłącznie elektryków.
Przeciętnemu uczniowi obojętne jest czy umie rozłożyć wielomian na czynniki... Nie odczuwa takiej potrzeby.
Jestem licealistą, i to jest cholernie ciekawe.
Swietna robota!
ja pierdole serio , w zyciu bym nie przypuszczal ze matematyka jest tak ciekawa.... nic nie zrozumiealem serio ale ogladalem z wypiekami na mordzie
Hahaha "transformacja fouriera.... I ja to zrobię wszystko :-|"
;)
Domyślam się, że istnieją kolejne liczby mające swoje odzwierciedlenie w kolejnych wymiarach w trzecim, czwartym itd. W trzecim zamiast kąta fi będzie kąt (lub coś innego) między przekątną takiego prostopadłościanu a + ib + jc (jc jest trzecim wymiarem). Lepiej to potrafię sobie wyobrazić niż opisać i domyślam się, że już zostało to zbadane dla n-tego wymiaru. Choć przy kolejnych wymiarach moja wyobraźnia zawodzi. Czy bierze się kąt czy jakieś inne wielowymiarowe twory, których nie znam bo nie jestem matematykiem?
Mówiąc w dużym skrócie: nie, jeżeli chce się by mnożenie było przemienne (a*b=b*a dla wyboru dwóch różnych elementów). Jest to konsekwencja wspomnianego Zasadniczego Twierdzenia Algebry. W wymiarze 4 i 8 istnieją w miarę sensowne algebry z mnożeniem które nie jest przemienne: są to kwaterniony i oktoniony; te pierwsze mają zastosowanie na przykład grafice komputerowej, te drugie są dużo bardziej niszowe.
Jeżeli chodzi o skończone wymiary inne niż 2 i przemienne mnożenie: one się poupraszczają do rzeczy, które są ciągami liczb rzeczywistych i zespolonych (na przykład w wymiarze 3 mógłbyś patrzeć na trójki liczb rzeczywistych i je mnożyć/dodawać po współrzędnych; w skrócie nic ciekawego).
Uzupełniając wypowiedź poprzednika... To zależy od tego co godzimy się nazwać "liczbami", bo liczby to nie tylko zbiór ale i działania.
@@MmM-rq8xr Dzięki.
A co gdyby uogólnić liczby zespolone o kolejny wymiar? Na pewno ktoś już to zbadał...
Widzisz "liczby" to nie tylko zbiory, to są również działania na nich. Tak jak na płaszczyźnie wektor OP z początku układu do punktu P reprezentuje liczbę zespoloną, tak można to zrobić w dowolnych wymiarach. Tylko ze wtedy już nie bardzo chcemy nazywać to "liczbami". Taki zbiór z intuicyjnym dodawaniem nazywamy grupą wektorów ciała Rn (n w wykładniku - liczba wymiarów) gorzej jest z mnożeniem.
Chcemy by działania na liczbach miały znane nam własności i tu już się nie da. Liczby zespolone "najszerszy" zbiór liczb, w którym można zdefiniować mnożenie przemienne. Jeśli zrezygnujemy z przemienności mnożenia mamy jeszcze jedne "liczby". Kwaterniony pl.wikipedia.org/wiki/Kwaterniony
@@boguslawszostak1784 No właśnie, kwaterniony, tak popularne obecnie w grafice komputerowej. A poza nimi, to już nic?
Bardzo ciekawy temat, którego w ogóle nie rozumiem ale lubię czasami obejrzeć z przynajmniej dwóch powodów:
1. kiedy zaczynam gwiazdorzyć, żeby przypomnieć sobie, że tak naprawdę jestem debilem
2. idealnie wyprasowana koszula Pana Tomasza
Cóż, liczby zespolone "dopadły" mnie chyba w szkole średniej (klasa matematyczno-fizyczna), albo na studiach. Już nie pamiętam. Natomiast ich zastosowanie dotknęło mnie trochę później. Kiedyś przy barze spotkałem się ze studentką matematyki. Ona była częścią rzeczywistą (23 lata), a ja już tą częścią urojoną (60 lat). 😎
rozsypałem się w drobne bloczki :D
To teraz kwaterniony, a potem liczby Cayleya? :)
Trzeba wcześniej wstawać i później kłaść się spać a wygospodarowany czas przeznaczyć na nakręcenie filmu o transformacie Fouriera :)
A tak serio to wstawać i kłaść się spać kiedy organizm chce i zwiększyć efektywność pomiędzy spaniem.
@@mr.cauliflower3536 👍
@@pawetrzcinski6392 @Mr. Cauliflower A tak jeszcze bardziej na serio: przekonać autorów do założenia np. Patronite'a, później samemu sięgnąć do portfela i odpowiednio zmotywować do nakręcenia kolejnych części.
Zapowiedzi odcinka o transformacji Fouriera nie zapomnimy, chętnie nawet podbiłbym stawkę do transformacji Laplace'a. Odcinek znów świetny!
Przekształcenie Laplace'a to jest coś bardzo specjalistycznego i obliczeniowego, o dużo węższym zastosowaniu. Robienie o tym wykładów popularnych, zwł. po polsku, moim zdaniem mija się z celem - to się przydaje głównie ludziom, którzy są w stanie zrozumieć wykład i przeważnie chyba znają angielski.
Ależ to jest piękna opowieść, dziękuję i czekam niecierpliwie na dalej!
Długo wyczekiwany odcinek nastąpił... :)
Liczby zespolone zakrzywiły mi czasoprzestrzeń na pierwszym roku studiów :P
Jestem pod wrażeniem, fantastyczny film! Czekam na poważniejsze zagadnienia :)
Świetne wprowadzenie dla młodych, oglądałem z córką. Muszę przy okazji zadać nurtujące mnie pytanie :-) Panie Tomaszu czy doszedł Pan do końca Drogi do rzeczywistości ?
Czy pan Tomasz nie był czasem kiedyś (dawno temu) w 1 z 10? Jeśli tak, to wygrał odcinek.
Panie Tomaszu swietna robota. Uwazam ze staje sie pan jednym z niewielu najlepszych popularyzatorow nauki w Polsce.
Szczerze mówiąc nie podoba mi się agenda krytyki nazywania jednostki urojonej "pierwiastkiem kwadratowym z -1": to, że "i" nie jest jedynym pierwiastkiem bądź że iloczyn pierwiastków to nie jest w ogólności pierwiastek iloczynu dla (dowolnego wyboru) gałęzi pierwiastka to są oczywiście problemy, których w liczbach rzeczywistych nie widać bo istnieje porządek; z algebraicznej strony za to w liczbach zespolonych się wszystko klei: iloczyn pierwiastków jest pierwiastkiem iloczynu jeżeli się patrzy na pierwiastek jako funkcję wielowartościową (wtedy oczywiście nie zachodzi na przykład, że pierwiastek z 1 = 1). Jak rozumiem niechęć do tego określenia może się brać z tego, że -1 nie jest w dziedzinie gałęzi głównej pierwiastka.
Tym niemniej Panu Millerowi należy się bardzo duże uznanie za wysiłek włożony w tą serię wykładów popularnych: mówienie o matematyce w ciekawy sposób zdarza się rzadko, a jeszcze rzadziej zdarza się mówienie o matematyce w sposób reprezentatywny i nierozwodniony.
P.S. najbardziej mi się podoba konstrukcja liczb rzeczywistych jako metrycznego uzupełnienia Q, ale całkowicie rozumiem wybór konstrukcji Dedekinda.
Miałem napisać cos w stylu "dlaczego to ma tak mało wyświetleń", ale widzę ze jest tu kilka takich komentarzy, wiec po prostu powiem ze super odcinek
Poznanie liczb zespolonych - "koniec świata" i początek czegoś nowego. Od tamtej chwili - wszystko właściwie możliwe :-)
Kiedy kolejny film?!
Pamiętam ze na studiach gdzie dopiero odkryłem liczby zespolone byłem w niemałym szoku bo całe technikum elektryczne przeszedłem bez nich. Próba wyjaśnienia działania prądu zmiennego bez liczb zespolonych to conajmniej robienie sobie pod górkę :D
Matematyka rzeczywistosci - Oswieceni i nie oswieceni razem wzieci w koncowym efekcie rownaja sie niebycie . Brak na wykresie osi lini czasu oraz skadowej zludzenie , ze cos wiedza . Pozdrowienia
Nic z tego nie rozumiem, dobrze że są tacy jak Wy. 😉❣️🎸
Zatrzymuj materiał i cofaj w razie czego googluj gdy czegoś nie pamiętasz ze szkoły... Pozdrawiam.
@@Pawel.J_9101 jeśli ktoś miał podstawową matematykę, to nie miał liczb zespolonych, a z trygonometrii miał trochę najprostszych równań.
@@mscisawzgniko5232 Wiem ja miałem podstawę ale coś mi się zdaje że to jest niepotrzebne utrudnianie skoro jedno z drugiego wynika to nauki ścisłe nie powinny być dzielone na podstawę i rozszerzenie
@@Pawel.J_9101 Nauki techniczne nie są dziś w cenie. Fizykę można zrozumieć dopiero znając pochodne i równania różniczkowe. A bez tego liczby zespole są tylko (aż) gimnastyką umysłu)
Świetny kurs. Każdy odcinek jest wspaniały! Kocham matmę, ale totalnie zakochałem się w liczbach zespolonych na studiach chemicznych przy omawianiu mechaniki kwantowej. Dziękuję za Pana czas i pracę!
Znałam liczby zespolone ale to nie znaczy m że je rozumiałam. Teraz posuwałam się za panem powolutku i wydaje mi się , że uchwyciłam nitkę zrozumienia. To wspaniałe uczucie zacząć coś rozumieć i umiejscawiać w swoim pojmowaniu świata. Dziękuję.
Film powinien trwać 3 sekundy dłużej.
Komentarz dla zasięgu 😀
Taak zwiększone zasięgi xD
Ja już się gubię, a to dopiero początek serii xD
Szkoda, że seria nie została kontynuowana.
jest już kilka nowych odcinków :)
@@Mateusz-zp2lo już prawie wszystkie obejrzane :)
W tym schemacie elektrycznym jest źródło napięcia stałego, a nie przemiennego. Czyli obliczenia raczej z zakresu stanów nieustalonych :-) A odcinek bardzo dobry!
Masz racje, rysunek ten pokazuje właśnie "pomieszanie z poplątaniem".
Przy stanach nieustalonych nie ma "Impedancji Zespolonej", bo impedancja taka zależy od pulsacji omega... Tu już raczej przechodzimy do transformacji Laplace'a i zespolonej transmitancji.
A Poza tym Elektrycy są bardzo przywiązani do tego by literką i oznaczać chwilową wartość natężenia prądu... gwarowo "literka i oznacza prąd". Duża litera I wartość skuteczną prądu. Dlatego elektrycy "jednostkę urojoną" oznaczają literka j.
I nie wiem jak jest teraz bo poziom edukacji leci"na pysk", ale za moich czasów każdy elektryk w pierwszej klasie technikum zapoznawał się z liczbami zespolonymi.
@@boguslawszostak1784 jak są liczby zespolone w technikum normalnie
Matematycy używają i a elektrycy j
Świetny film, bałem się, że to koniec serii, ale na szczęście będzie więcej. Przydatne są też te małe dodatki, gdzie są liczby używane, bo niestety wielu ludzi tego nie rozumie.
Czy kiedyś jeszcze będzie odcinek z tej serii?
Obawiam się, że nie :/
Dla zasięgu
Witam Dziękuję za odcinek i czekam na następne z utęsknieniem. Autor chyba chce byśmy odświeżali wiedzę z poprzednich odcinków przed najnowszym :)
Ja mialem ten zakres matematyki a szkole sredniej , dawno 1974-78 , pozniej na studiach technicznych bez liczb zespolonych nie potrafilbym opisac zadnego zagadnienia z elektrotechniki. Czy dzisiaj program szkoly sredniej posiada liczby zespolone?
Pozdrawiam milosnikow matematyki.
Chyba niestety nie, ale nadrabiam to sobie na własną rękę
Genialne są te wykłądy! Gdybym na takie "chodził" zrobiłbym doktorat!
Poprawił mi się nastruj. Super materiał. Dziękuję! W tym całym szaleństwie świata zapomniałem jak piękna jest matematyka:)
@Jerry Smith tak tak. nastrój-nastroje. Dzięki:)
Czy liczby zesp to nie to samo co zdefiniowanie działań na uporządkowanej parze liczb (a, b) ?
Kiedy odc 4? =(
Świetny materiał. Pan Tomasz świetnie wszystko przystępnie tłumaczy.
Skoro liczby zespolone tworzą z osi liczbowej płaszczyznę liczbową to oczywistą wydaje się kontynuacja tego rozumowania w całą przestrzeń liczb zespolonych o postaci a +ib +jc. Czy takie liczby były badane? Zapewne tak. Czy mają jakieś ciekawe właściwości? Ale! Dla matematyków (a i ostatnio fizyków) przestrzeń nie jest tylko trójwymiarowa ale n-wymiarowa. Możemy więc wyobrazić sobie liczby n-zespolone. Czy takie liczby nadal mają sens? Czy może kolejne wymiary redukują się jakoś? Odcinek o tym byłby ciekawy...
Sam sobie odpowiem, bo trochy to przemyślałem. W dwuwymiarowej przestrzeni osi rzeczywista i urojona są zdefiniowane. Wiemy co to jest i. Ale czy miałoby być j? A kolejne wymiary?
Czemu ten film nie powstał pół roku temu?😡😡😡
Myślę, że dzięki takim krótkim wykładom studenci interesujący się matematyką, są w stanie zmienić swój wzrost wiedzy z liniowej na wykładniczą.
Oby więcej !!
Raczej na logarytmiczną
Mam może głupie pytanie. Liczby zespolone wprowadzają niejako drugi wymiar, ale czy jest jakiś system liczbowy wprowadzający również trzeci wymiar do osi liczbowej i mający praktyczne zastosowanie?
To nie jest wcale głupie pytanie - traktuje o tym odcinek #5 ua-cam.com/video/HMDb9zJ2BdA/v-deo.html Pozdrawiam :)
Łał...piękny poetycko-matematyczny materiał.
Doskonaly cykl, swietny Prowadzacy. Palce lizac :)
Cud, miód, żabie udka!
Zabrakło tylko drobnej uwagi typu, że stwierdzenie, że jedna liczba zespolona jest większa/mniejsza nie ma takiego samego sensu jak w przypadku przednich zbiorów. Ale to szczegół.
Teraz czekam na kwaterniony, oktoniony a nawet na liczby p-adyczne.
:)
To nie dokończa jest prawda bo są liczby zespolone "dłuższe" i "krótsze" . Maja moduł. Fakt że nie da się ich uporządkować liniowo.
Świetnie i bardzo czytelnie przedstawione zagadnienie jednostki urojonej. Od razu cofnąłem się do czasów studiów i teorii obwodów. Czekam na więcej. Dzięki za cytat z Penrose'a zainspirował mnie do poszukania książki "Drogi do rzeczywistości".
Muszę wysłuchać jeszcze raz.
Wspaniały film objaśniający trudne zagadnienia w przystępny sposób 👏👍👌
Świetny wykład a raczej cykl wykładów Pana Tomasza. Liczby zespolone liznalem w ostatniej klasie średniej szkoły a potem trochę kontynuacji na studiach. Teraz dopiero pewne kwestie zrozumiałem a nie tylko się nauczyłem...A to znaczna różnica! Taka matematyka wydaje się zupełnie abstrakcyjna, a okazuje się że to prawdziwa rzeczywistość. Dziękuję i pozdrawiam
Świetny odcinek! Oby tak dalej! (Ale częściej 😂)
Wykłady Pana Millera zawsze słucha się przyjemnie. Ma genialny dar przemawiania i zainteresowania widza omawianą tematyką.
Długo czekałem na ten temat. Mega fajnie że Pan takie coś robi
wincyj
Super odcinek, brawo dla prowadzącego!
Dzięki! Już nie mogę się doczekać następnych odcinków.
Panie Tomaszu, kiedy ciąg dalszy...? Genialnie Pan opowiada i porządkuje. Chciałem kiedyś też to opowiedzieć, ale Pan to robi znakomicie!
Po tym odcinku przesunąłem swoją fazę o "fi"
A nie lepiej byłoby zamiast liczb zespolonych wprowadzić dodatkową operację mnożenia, które nie zmienia znaku np -2 '*' -2 = -4
💝
Na wstępach do tych filmów brakuje mi informacji do czego poruszany temat służy. Po co to jest i jak wykorzystywane jest to co dzień. Jak mogę z tego korzystać ja. Taka informacja dodatkowo motywowałaby do obejrzenia odcinka w całości.
Ktoś kiedyś powiedział, że Wrzechswiatem rządzą prawa matematyki, a z tej dopiero wynikają prawa fizyki i ciężko się z tym nie zgodzić 🙂 Liczby zespolone miałem ostatnio w liceum 20 lat temu, fajnie sobie przypomnieć. Jako ciekawostkę dodam, że w analogiczny sposób można wyprowadzać zbiory liczb w jeszcze wyzszych przestrzeniach (np. kwaterniony), co wykorzystuje się choćby w grafice 3D.
no w końcu...
🕊🎂🌸✋ pozdro max
świetna seria, czekam na kontynuację :)
Widać, że opowiada matematyk, a nie inżynier. Inżynier używa j zamiast i, gdyż i to prąd zespolony.
inżynier literą i oznacz wartość prądu.. chwilowa rzeczywistą, ewentualnie funkcje tej wartości w czasie i(t).
Wartśc "zespolona" oznacza się dużą litrą I
ta seria jest doskonała, czekam na kolejne odcinki
Pana materiały są rewelacje. Szkoda, że pojawiają się tak rzadko. Pewnie nie tylko ja byłbym skłonny wspierać pana pracę, aby wykłady pojawiały się częściej.
Ten wykład ma podstawowy brak a mianowicie nie jest jasno zobrazowane Co stało u podstawy poszukiwań praktycznych tych liczb urojonych bo wtedy łatwo to chwycić za rękę. Przykład: x kwadrat plus 1 = 0 jest do bani ponieważ krzywa x kwadrat + 1 końcem swojej dupy siedzi na plus jedynce i zupełnie nie dotyka osi x stąd nie ma prawa mieć rozwiązań, w konsekwencji przykład jest zły
Następne będą liczby P-adyczne?
Czekam na materiał o liczbach p-adycznych!
Już jest, ale nie w tym cyklu
17:34 "Transformatę Fouriera wymyślił Bóg", powiedział pewien matematyk, który byl ateistą.
Spoko; nie wiedziałem tego o De Morganie. Jak zwykle czepnę się nazewnictwa: „postać algebraiczna” to jakieś nieporozumienie, bo te inne wydają się równie algebraiczne. Postać a+bi nazwałbym *kartezjańską*; ale to żal bardziej do uzusu niż do autora.
no kiedy kolejny odcinek, czekamy już tak długo, czekać będziemy jeszcze dłużej...???
Nic nie rozumiem, ale fajnie sie słucha. Obejrzałem do końca
same urojenia ;)
Wszystko pięknie, ale chodziło o prąd PRZEMIENNY, nie zmienny.
Początkowe odcinki były ciekawe, teraz już takie meh dla kogoś kto nie orientuje się w matematyce.
Wspaniałe! Czekam na więcej.
Sprostowanie: materiał wideo jest zapisany serwerach jako format vp9
Mógł Pan jeszcze przeciągnąć filmik o te 3 sekundy...
Świetna seria. Polecam ją swoim uczniom! :)
❤️
Matematyka to królowa nauk. Pozdrawiam.
Czekałem!
Super seria!
Powoli zaczynam czuć się zespolony z tą wiedzą
Pierwiastek z minus 1 razy pierwiastek z minus 1 to bezwzględna wartość z minus 1 równa jest 1 mądralo
A z drugiej strony √(-1) * √(-1) = i*i = -1. I co teraz?
komentarz taktyczny dla zasięgu
Oprócz transformacji Fouriera przydały by się odcinki o transformacji Laplace'a i Laurenta oraz o powiązaniu ich między sobą. Te 3 transformacje są szeroko stosowane w elektrotechnice, elektronice, automatyce oraz algorytmach przetwarzania dźwięku i obrazu. W przypadku padku transformacji Fouriera powstaje taki absurd jak ujemne częstotliwości. O nim też warto powiedzieć. Całe szczęscie, że widmo sygnału dla ujemnych częstotliwości jest odbiciem lustrzamym widma sygnału dla dodatnich częstotliwości.
chyba dalej nie skumałem..
spoiler alert: i do potęgi i jest liczbą rzeczywistą xD
Zobaczyłem miniaturke i pomyślałem że to jakiś stand up, rozczarowanie było spektakularne. Wykład obejrzałem w całości i uważam że powinniście nawiązać kontakt ze smartgasm :D
równania różniczkowe po zamianie transformatą laplasa do przestrzeni liczb zespolonych zamieniają sie w zwykłe równania potem wynik trzeba zamienić odwrotną transformata laplasa do przestrzeni liczb rzeczywistych i mamy wynik :)
Włączyłem ten odcinek żeby przypomnieć sobie trochę o liczbach zespolonych, a zamiast tego dowiedziałem się dużo więcej niż wiedziałem wcześniej 😅
To był świetny odcinek!!!
ok po oglądnięciu odcinka mam jedno "ale" czy była by możliwość odrobinę zwolnić tępo tłumaczenia i czy byłaby możliwość zaznaczenia kolorem (tak wiem pierwsza klasa) o czym w danej chwili się mówi zwłaszcza na wzorach. Dziękuje.