dziękuje panie Tomaszu. Zawsze zastanawiałem się jak matematycy doszli do definicji iloczynu wektorowego i zawsze myślałem, że to fizycy musieli wymyśleć, żeby opisać siłę elektromotoryczną. A tu proszę, to kwaterniony, które są tak rzeczywiste w elektrodynamice jak liczby zespolone w mechanice kwantowej! I muszę powiedzieć, że idea Hamiltona jest piękniejsza od tych 'kwaternionów bez kwaternionów', bo zawiera w sobie i skalar, i wektor, i definicję iloczynu skalarnego, i iloczynu wektorowego, i skalowanie wektorów przez skalar i tem sanity check na iloczyn liczb rzeczywistych. Po prostu strasznie żałuję, że w szkole a nawet na uczelniach nie wprowadza się kwaternionów, tylko dzieli się je na zbiory liczb rzeczywistych i wektorów i nie wyjaśnia się tego pięknego związku.
Idealne tłumaczenie... i nawet uczyli tego w szkole (pamiętam choć dawno to było) ale nie tłumaczyli skąd się to bierze. Dzięki mistrzu czekam na kolejne odcinki.
Rewelacja! Nie mogę się doczekać kolejnego filmu. W końcu świeży powiew matematyki na najwyższym poziomie i to w takim ciekawym wydaniu na tak ciekawe tematy ;)
10:20 I dopiero w tym momencie, po wielu latach (nie jestem matematykiem, ale lubię ścisłe myślenie), zaskoczyłem w czym rzecz - jeśli chodzi o kwaterniony. Nie wiem czy dobrze myślę, ale chodzi o to, że żaden z trzech wymiarów przestrzeni nie jest jakoś wyróżniony. Na płaszczyźnie wyróżniało się oś liczb "rzeczywistych" i oś liczb "urojonych". W przestrzeni wszystkie osie są sobie równoważne. Tylko oznaczone różnymi literkami. Dla porządku.
Ale ten film jest dobry! Tak nawiasem, wspomniałeś o odporności na błędy numeryczne - można by dodać też, że zapis obrotu kwaternionami jest odporny na blokadę przegubu (ang. gimbal lock) w przeciwieństwie np. do kątów Eulera.
Programuję symulatory lotnicze i czasami używam kwaternionów zamiast macierzy obrotów. Więc nie jest tak źle z tymi kwaternionami. To teraz moze jakis odcinek z zasady najmniejszego działania?
Ahhh magiczna zmienna studencka K która pomnożona przez otrzymany wynik daje poprawny wynik przydała się też Hamiltonowi. I klasyk nie dyskutuje się z uczelnią której studenci twierdzą że 3 unkty są współliniowe jeżeli ma się wystarczająco gruby ołówek
Kwaterniony mają pewną liczbę nieniszowych zastosowań wewnątrz matematyki, jedno z nich wspólne zresztą z liczbami rzeczywistymi, zespolonymi, jak i oktonionami (co do których znam tylko to zastosowanie): dają odpowiedź twierdzącą co do tego, które sfery są "zrównoleglalne" (mają trywialną wiązkę styczną)
Dość naturalnie da się zdefiniować exp(q) dla dowolnego kwaternionu q (zachodzi odpowiednik wzoru Eulera znanego z liczb zespolonych), a także ln(q). Wzory można znaleźć na angielskiej wikipedii. Jeśli więc zdefiniujemy "kwaternion do potęgi kwaternionowej" jako q^p := exp(p*ln(q)), to coś tam mamy. Pojawia się jednak problem związany z nieprzemiennością: alternatywnie moglibyśmy przecież zdefiniować q^p := exp(ln(q)*p), a to już nie to samo. Mamy więc już przynajmniej dwa różne "potęgowania o wykładniku kwaternionowym". Tyle potrafię powiedzieć z marszu ;)
To Centrum Kopernika otworzyli w mieście z którym Kopernik nie miał nic wspólnego Urodził się w Toruniu ale tutaj łysol Rydzykowi daje i takiego centrum nie można było otworzyć Studiował w Krakowie - do niedawna mieli tam najlepszą polską uczelnię (Alma Mater Poloniae ) Przez jakiś czas bronił Olsztyna przed Krzyżakami Ostatni okres swojego życia spędził we Fromborku
Mam pytanie bo po kilku obliczeniach wyszły mi pewne zależności między jednostkami urojonymi i jestem ciekaw czy te zależności są prawidłowe?: e^i=k^(2/(π•j)) e^j=i^(2/(π•k)) e^k=j^(2/(π•i)) i=k^(1/j) j=i^(1/k) k=j^(1/i) i=j•k j=i/k k=i/j i•j•k=(j•k)•(i/k)•(i/j)= i²= -1
Jaka jest różnica między algebrą kwaternionów a algebrą przestrzeni liniowych? Obie dotyczą przecież algebry wektorów?Czy jedna narodziła się pod wpływem drugie?
Bardzo fajny film. Podoba mi się. Rozumiem, że jednostki urojone interpretujemy jako poszczególne osie, a jak rozumieć jednostkę rzeczywistą? Jeżeli było o tym na filmie to mi uciekło.
@@bartolomeodiaz7847 Hamilton chciał ją interpretować jako czas, ale chyba niewiele z tego wychodziło. W opisie obrotów w 3D ma ona natomiast interpretację cosinusa połowy kąta obrotu.
Jeśli i^2 = j^2=k^2 = -1, to mało logiczne i mało konsekwentne jest założenie, że: i * j * k = -1. Wypadałoby to nieintuicyjne założenie bardziej wyjaśnić.
A obrót w (hipotetycznej) przestrzeni 4 wymiarowej? Zawsze myślałem o obrocie jako o mnożeniu przez macierz A'A = I. Przynajmniej tak to się dzieje w ekonometrii, a tutaj nawet przypadek 3 wymiarowy wymaga kwaternionów (których własności nie znałem).
Nie, jeśli chcesz mieć dzielenie. Mówi o tym tzw. twierdzenie Frobeniusa (o algebrach z dzieleniem nad ciałem liczb rzeczywistych), udowodnione w 1878 roku
Zależy co rozumieć przez "system liczbowy". Jeśli nie zależy nam na dzieleniu, to wymiar n może być dowolny - będą to tzw. R-algebry. Jeśli natomiast chcemy mieć dobrze zdefiniowane dzielenie (poza oczywiście dzieleniem przez 0), to zostaje nam tylko n=1, 2 oraz 4. Por. artykuł na wiki pt. "Frobenius theorem (real division algebras)".
Wspomniałem niewprost, napomykając o konstrukcji Cayleya-Dicksona;) No i są jakieś granice "liczbowej przyzwoitości", a w sedenionach nie dość, że mnożenie jest jeszcze brzydsze niż w oktonionach, to na domiar złego dzielić już się nie da...
Nie jest wystarczający. Te zmieścisz tych trzech stopni swobody w wektorze - potrzebny jest jednostkowy kwaternion. Zwróć uwagę, że nawet topologia jest tu inna. Przestrzeń wektorów ma topologię R^3, a przestrzeń obrotów w 3D (i jednostkowych kwaternionów) jest zwarta.
@@rigelheron9997 nie rozumiem, jak nie zmieszczę 3 stopni swobody w wektorze, skoro wektor jest trójwymiarowy. It's in the name. Przestrzeń może być lub nie być zwarta zależnie od modelu. Pamiętaj, że roboty posiadają kable, więc położenie 4pi, to nie musi być to samo co 2pi, więc kąt może być w dziedzinie R1. Nawet jeśli chcesz policzyć położenie w sensie geometrycznym, to zbiór wektorów ograniczony kulą można przełożyć bijekcyjnie na zbiór kwaternionów normalizowanych do stałej.
@@rigelheron9997 poza tym, jeśli już dosłownie rozbijamy g na ułamki atomów, to zbiór położeń jest zbiorem jednostronnie domkniętym, jednostronnie niedomkniętym, bo 2pi === 0.
@@Saheryk Chyba inaczej rozumiemy słowo "wektor". W matematyce wektory trójwymiarowe to coś więcej niż trójki liczb. To elementy przestrzeni liniowej, które dodaje się po współrzędnych i mnoży przez skalary (też po współrzędnych). Te operacje nijak nie dają się bezpośrednio powiązać z tym, co dzieje się podczas obrotów w 3D. Takie np. trzy kąty Eulera nie tworzą wektora w sensie matematycznym. Skoro topologia Cię tu nie przekonuje, to zwróć uwagę na nieprzemienność składania obrotów vs przemienność dodawania wektorów. Nie opiszesz położenia robota w przestrzeni 3D podając tylko 3 długości rozwiniętych kabli, albowiem zależy ono także od tego, w jakiej kolejności następowało ich rozwijanie.
@@rigelheron9997 Katy Eulera jak najbardziej tworzą przestrzeń wektorową, po prostu z operacji na tych wektorach nic nie wynika. Co do kabli chodzi o to, że o ile w tokarce możesz wykonać losowo obrót -90 albo 270, czyli kat można zamodelować w dziedzinie [0;pi), to w robocie nie możesz bezkarnie obrócić stawem 10x, z bardzo prozaicznych przyczyn, więc kąt musi być w dziedzinie R1.
Bardzo ładnie; utwierdzam się w przekonaniu, że nazwa „oktonion” jest lepsza niż „oktawa Cayleya”. Martwi mnie tylko, jak się zestarzeje ten humor, no i zabrakło mi trochę nazewnictwa: 1) można było powiedzieć, że ta nazwa „oktawy Cayleya” to przykład tzw. prawa Stiglera eponimii, podobnie jak przy twierdzeniu „Pitagorasa” i trójkącie „Pascala”; 2) mam słabość do dawnej polskiej nazwy kwaternionów: czwarki; ♥ choć to w sumie pasuje też do innych algebr czterowymiarowych jak te tessariny i kokwaterniony; 3) można było wspomnieć, że te dwa niezerowe elementy dające iloczyn zero to tzw. dzielniki zera (i że to wyklucza skracalność mnożenia); 4) wzór na obrót wektora kwaternionem można nazwać wprost: automorfizm wewnętrzny, przynajmniej w jakimś dymku albo opisie filmiku. Takie wyrażenia są wszędobylskie i dobrze znać słowo-klucz, które zresztą znam od autora filmiku. (-: Oprócz słownictwa zabrakło mi słowa o twierdzeniu Frobeniusa, mówiącym w jaki sposób kwaterniony są wyjątkowe, właśnie przez jednoczesną łączność i dzielenie; dla mnie to ważniejsze niż dokładny opis tych alternatywnych algebr. No i jeśli obrazki są wzięte z Wikimedia Commons, to licencja chyba wymaga cytowania go - i nawet gdyby była inna, to moim zdaniem wypada zareklamować źródło w opisie filmiku.
Dla mnie np. kwestia skracalności mnożenia jest bardziej intuicyjna niż dzielniki zera. To pierwsze to jest dość naturalne pytanie, jak można żonglować wzorami, a jak nie - a to drugie czerpie istotność chyba głównie z tego pierwszego. Dobrze wiedzieć, że ta skracalność jest słabsza od dzielenia, łączności i przemienności, bo ma ją np. iloczyn kartezjański. Z tej perspektywy widać, że te trójwymiarowe algebry hiper:zespolone są bardzo ułomne, skoro nie mają nawet tej skracalności.
* FILOZOFIA matematyczna * wszystko jest zerem i zero jest wszystkim albowiem wszystko od zera ma początek i zero jest wszystkiego końcem . Niema powiem rzeczy najmniejszej tak jak niema rzeczy największej .
@@rigelheron9997 standardowa rada trolla - wygoogluj sobie. wygooglowac to mozna dowolna bzdure. jesli ktos daje rady na tym poziomie intelektualnym to ekspertem z pewnoscia nie jest.
uzupelniam, ze to jest bezuzyteczne w stosunku np. do teorii grup skonczonych czy algebry liniowej, zeby nie wchodzic w trudniejsze dzialy. jakies tam zastosowanie te kwaterniony maja, zreszta sam prowadzacy wspomina, ze sa inne metody realizujące te same cele. spotkalem sie z tym incydentalnie jako matematyk, nigdy jako programista, nigdy nie widzialem, zeby ktos tego na powaznie uzywal do czegokolwiek.
Miałem przyjemność chodzić jeden semestr do tego pana na ćwiczenia z analizy matematycznej. Złoty nauczyciel.
Az Ci zazdroszczę . Można słuchać go godzinami i się nie znudzi .
Na jakiej uczelni?
@@infinitezymalny Na PW. Mnie uczył na wydziale elektroniki ale generalnie uczy chyba na wydziale matematyki.
Na PW jeszcze uczyla Pani Grabarska i Pani Dorau. Pozdro z MEiL.
Pozdro z Elektroniki na AGH chyba zostane na tym kanale na dłużej
ta seria jak i cały kanał to perełka na YT
Dokładnie tak
Jestem nieustannie pod wrażeniem.
Tak powinny wyglądać lekcje/wykłady z matematyki i to na mocy ustawy!
Gość jest niesamowity!
Kurczę jakie to jest dobre. I nawet jeśli matematycznie się gubię w pewnych miejscach to sama wiedza historyczna jest fascynująca!!!
Super seria! Pomimo tego, że nie zawsze pojmuję o co chodzi to i tak oglądam! Mega ciekawe... Mam nadzieję, że ta seria nigdy się nie skończy!
wow super film, to jest taki film na jaki czekałem jakby całą wieczność i jeszcze świetnie wytłumaczone !
dziękuje panie Tomaszu. Zawsze zastanawiałem się jak matematycy doszli do definicji iloczynu wektorowego i zawsze myślałem, że to fizycy musieli wymyśleć, żeby opisać siłę elektromotoryczną. A tu proszę, to kwaterniony, które są tak rzeczywiste w elektrodynamice jak liczby zespolone w mechanice kwantowej! I muszę powiedzieć, że idea Hamiltona jest piękniejsza od tych 'kwaternionów bez kwaternionów', bo zawiera w sobie i skalar, i wektor, i definicję iloczynu skalarnego, i iloczynu wektorowego, i skalowanie wektorów przez skalar i tem sanity check na iloczyn liczb rzeczywistych. Po prostu strasznie żałuję, że w szkole a nawet na uczelniach nie wprowadza się kwaternionów, tylko dzieli się je na zbiory liczb rzeczywistych i wektorów i nie wyjaśnia się tego pięknego związku.
Wspaniała seria! Mam wielki szacunek dla Pana pracy. Oby się Panu nigdy nie odechciało opowiadać o królowej nauk!
Super film! Ale szkoda że tak długo trzeba było czekać na kontynuację. Teraz oczekuje na film o oktonionach i sedenionach
Idealne tłumaczenie... i nawet uczyli tego w szkole (pamiętam choć dawno to było) ale nie tłumaczyli skąd się to bierze. Dzięki mistrzu czekam na kolejne odcinki.
Bardzo fajny filmik.
Przystępnie wyjaśniony, wycieczki do historii, czytelny język.
Świetny odcinek! Poza ogromną wiedzą matematyczną, pragnę zwrócić uwagę na Pana piękną polszczyznę.
I memeczki
Szczerze jak dla mnie to ci z PWr mają lepsze filmiki ,
a tutaj przykładowo dla liczb p-addycznych używa działań których wcześniej nie zdefiniował
On jest świetny
@@bartolomeodiaz7847 To dobrze że ci się podoba bo mnie niespecjalnie Widziałem lepszych
@@holyshit922 to możesz polecić. O liczbach p-adycznych nic nie ma na polskim YT oprócz tego typa
Rewelacja, niecierpliwie czekam na kolejne odcinki :)
W 13 minucie odleciałem ale powróciłem na koniec. Jak zawsze elegancko wytłumaczone :). Pozdrawiam
Pedagog który potrafi przekazać swoją ogromną wiedzę , jestem zachwycony.
Świetna robota! Widać spore napracowanie nad filmem, który bardzo szanuję za naukowe wytłumaczenie kwaternionów wchodząc przy tym w szczegóły.
Rewelacja! Nie mogę się doczekać kolejnego filmu. W końcu świeży powiew matematyki na najwyższym poziomie i to w takim ciekawym wydaniu na tak ciekawe tematy ;)
10:20
I dopiero w tym momencie, po wielu latach (nie jestem matematykiem, ale lubię ścisłe myślenie), zaskoczyłem w czym rzecz - jeśli chodzi o kwaterniony.
Nie wiem czy dobrze myślę, ale chodzi o to, że żaden z trzech wymiarów przestrzeni nie jest jakoś wyróżniony. Na płaszczyźnie wyróżniało się oś liczb "rzeczywistych" i oś liczb "urojonych". W przestrzeni wszystkie osie są sobie równoważne. Tylko oznaczone różnymi literkami. Dla porządku.
Świetny materiał. Podziwiam takich nauczycieli
Ale ten film jest dobry! Tak nawiasem, wspomniałeś o odporności na błędy numeryczne - można by dodać też, że zapis obrotu kwaternionami jest odporny na blokadę przegubu (ang. gimbal lock) w przeciwieństwie np. do kątów Eulera.
Świetny film. Czekam na kolejne!
Dziekuję za kolejny świetny odcinek. Pozdrawiam
Yo yo yo więcej niż mega wykład 👍😎
Ależ to się ogląda!
historyczne nauczanie matematyki - jak ja to lubię
Wybitny wykładowca że świecą takich szukać , pasja umiejętność zainteresowania i ta dykcja !. Naprawdę wzór nauczyciela
Świetny film. Uwielbiam całą serię!
Super Podziwiam i dziękuję
Co za erudycja elokwencja wiedzą klasa i inteligencja.. 😮
Mistrzowska miniaturka.
Dużo lepiej niż z tymi długimi włosami.
Genialne wykłady - NIECH ŻYJE MATEMATYKA!!!!!
Potwierdzam, jakiś czas kodowałem silniki 3D i kwaterniony to sensowny sposób trzymania danych o orientacji i przeprowadzania operacji typu rotacja.
gdzie to robiles?
@@jszania pewnie unity
Świetny film! Właśnie tego szukałem
Programuję symulatory lotnicze i czasami używam kwaternionów zamiast macierzy obrotów. Więc nie jest tak źle z tymi kwaternionami. To teraz moze jakis odcinek z zasady najmniejszego działania?
To samo w robotyce i kinematyce. Kwaterniony są używane na przykład w robotach przemysłowych do określania położenia i rotacji robota w przestrzeni.
Można wiedzieć jakie konkretnie? Z ciekawości pytam 😅
Ahhh magiczna zmienna studencka K która pomnożona przez otrzymany wynik daje poprawny wynik przydała się też Hamiltonowi.
I klasyk nie dyskutuje się z uczelnią której studenci twierdzą że 3 unkty są współliniowe jeżeli ma się wystarczająco gruby ołówek
U mnie to była stała J, tzw stała Jana
Współczynnik Studenta-Fishera :-). Dopasuje każdy wynik do tabelki z podręcznika
Kwaterniony mają pewną liczbę nieniszowych zastosowań wewnątrz matematyki, jedno z nich wspólne zresztą z liczbami rzeczywistymi, zespolonymi, jak i oktonionami (co do których znam tylko to zastosowanie): dają odpowiedź twierdzącą co do tego, które sfery są "zrównoleglalne" (mają trywialną wiązkę styczną)
Magia
Odcinek jak zwykle wyśmienity 👍
ps.
No to musiała mu żonka nieźle ględzić na tym spacerze, że zajął głowę takimi abstrakcjami 😁
Raczej świetne, bo wyśmienite są rurki z kremem :)
TOP~☆; gdzie T=czas; O=olśnienie; P=piękno.
świetne wykłady
i bardzo dobrze!
To teraz niema co sobie żałować.
Jedźmy do heksalionów!
Na końcu filmu do zalet kwaternionów dodałbym że są odporne na tzw. blokadę przegubu (ang. gimbal lock), oraz łatwość interpolacji sferycznej.
Super wykład thx
W następnym odcinku Pan planuje zaskoczyć nawet fizyków)))
Super
👍👍👍
Dla mnie wisienka na torcie w 22:00!
W stosunku do rachunku wektorowego, nowatorstwo kwaternionów wygląda tylko na przezwyciężenie trudności spowodowanych użyciem jednostek urojonych :)
21:37 To nie sposoby opisu obrotów w 3D są skomplikowane, to sama natura tych obrotów jest skomplikowana.
Mam pytanie czy istnieje wzór na potęgę o wykładniku kwaternionowym
Dość naturalnie da się zdefiniować exp(q) dla dowolnego kwaternionu q (zachodzi odpowiednik wzoru Eulera znanego z liczb zespolonych), a także ln(q). Wzory można znaleźć na angielskiej wikipedii. Jeśli więc zdefiniujemy "kwaternion do potęgi kwaternionowej" jako q^p := exp(p*ln(q)), to coś tam mamy. Pojawia się jednak problem związany z nieprzemiennością: alternatywnie moglibyśmy przecież zdefiniować q^p := exp(ln(q)*p), a to już nie to samo. Mamy więc już przynajmniej dwa różne "potęgowania o wykładniku kwaternionowym". Tyle potrafię powiedzieć z marszu ;)
Wow, polski Mathologer! :)
Sub.
Ciekawe czy te wymiary można dokładać tak w nieskończoność czy gdzieś jest granica i czy da się to wykazać.
Bardzo fajne. To teraz spinory proszę !!!
To Centrum Kopernika otworzyli w mieście z którym Kopernik nie miał nic wspólnego
Urodził się w Toruniu ale tutaj łysol Rydzykowi daje i takiego centrum nie można było otworzyć
Studiował w Krakowie - do niedawna mieli tam najlepszą polską uczelnię (Alma Mater Poloniae )
Przez jakiś czas bronił Olsztyna przed Krzyżakami
Ostatni okres swojego życia spędził we Fromborku
Znaczy gdy predkosc obraca czasoprzestrzen to wzdluz tej osi ?
Cześć na studiach mówiono że nie ma nierówności liczb zespolonych , bo to punkty są , Punkt nie może się różnić od Punktu ??????????
Miałem oglądać Kurtzgezagt, ale wygraliście xD
Mam pytanie bo po kilku obliczeniach wyszły mi pewne zależności między jednostkami urojonymi i jestem ciekaw czy te zależności są prawidłowe?:
e^i=k^(2/(π•j))
e^j=i^(2/(π•k))
e^k=j^(2/(π•i))
i=k^(1/j)
j=i^(1/k)
k=j^(1/i)
i=j•k
j=i/k
k=i/j
i•j•k=(j•k)•(i/k)•(i/j)= i²= -1
Jaka jest różnica między algebrą kwaternionów a algebrą przestrzeni liniowych? Obie dotyczą przecież algebry wektorów?Czy jedna narodziła się pod wpływem drugie?
Proszę coś o Rosjanie Gregorij Perelman. Dziękuję.
Pytanie: czy Pan był moze studentem u Pani Dorau lub Pani Grabarskiej?
Bardzo fajny film. Podoba mi się. Rozumiem, że jednostki urojone interpretujemy jako poszczególne osie, a jak rozumieć jednostkę rzeczywistą? Jeżeli było o tym na filmie to mi uciekło.
Jest na osi rzeczywistej
@@kacperraczko5821 Czyli w tych trzech osiach go nie widać. Czyli to nie jest obrót? To co to jest jakieś przesunięcie?
@@bartolomeodiaz7847 nie widać, bo nie ma jak tego przedstawić.
@@kacperraczko5821 No dobra, ale nadal nie wiem co to jest. Jak interpretować jednostkę rzeczywistą
@@bartolomeodiaz7847 Hamilton chciał ją interpretować jako czas, ale chyba niewiele z tego wychodziło. W opisie obrotów w 3D ma ona natomiast interpretację cosinusa połowy kąta obrotu.
Końcówka miażdży ;)
Jest jakiś system liczbowy gdzie można dzielić przez zero?
Jeśli i^2 = j^2=k^2 = -1, to mało logiczne i mało konsekwentne jest założenie, że: i * j * k = -1. Wypadałoby to nieintuicyjne założenie bardziej wyjaśnić.
Panie Profesorze czasami jak Pana ogladam to odwracam kolory i czarne jest biale a biale czarne
A obrót w (hipotetycznej) przestrzeni 4 wymiarowej? Zawsze myślałem o obrocie jako o mnożeniu przez macierz A'A = I. Przynajmniej tak to się dzieje w ekonometrii, a tutaj nawet przypadek 3 wymiarowy wymaga kwaternionów (których własności nie znałem).
A obecnie w matematyce istnieją liczby 3d a+ib+jc czy nie ?
Nie, jeśli chcesz mieć dzielenie. Mówi o tym tzw. twierdzenie Frobeniusa (o algebrach z dzieleniem nad ciałem liczb rzeczywistych), udowodnione w 1878 roku
Pytanie - czy systemy liczbowe mogą być tylko n-wymiarowe, gdzie n to potęga liczby 2?
Zależy co rozumieć przez "system liczbowy". Jeśli nie zależy nam na dzieleniu, to wymiar n może być dowolny - będą to tzw. R-algebry. Jeśli natomiast chcemy mieć dobrze zdefiniowane dzielenie (poza oczywiście dzieleniem przez 0), to zostaje nam tylko n=1, 2 oraz 4. Por. artykuł na wiki pt. "Frobenius theorem (real division algebras)".
@@tomaszmiller8030 Dziękuję!
Szkoda, że nie wspomniał Pan jeszcze o sedenionach
Wspomniałem niewprost, napomykając o konstrukcji Cayleya-Dicksona;) No i są jakieś granice "liczbowej przyzwoitości", a w sedenionach nie dość, że mnożenie jest jeszcze brzydsze niż w oktonionach, to na domiar złego dzielić już się nie da...
Kij ma dwa końce. Ile końców ma 7 i pół kija?
A czy istnieją inne sensowne zapisy liczb niż adytywne, pozycyjne i cykliczne?
Kwaterion to od Kwatermistrza?
"Dobre w chuj!" :)
Ciekawy film, nie wiedziałem o tym. Dzięki! ALE nie powinniście puszczać muzyki zawierającej przekleństwa, nawet po angielsku.
2:26 szybciej i prosciej byloby powiedziec ze to po prostu pierwiastek z -1
Przede wszystkim nie ma tutaj gimbal locka
Co do obrotu, to raczej Heaviside miał trochę racji. Obrót w 3D daje trzy stopnie swobody, więc wektor jest tu absolutnie wystarczający.
Nie jest wystarczający. Te zmieścisz tych trzech stopni swobody w wektorze - potrzebny jest jednostkowy kwaternion. Zwróć uwagę, że nawet topologia jest tu inna. Przestrzeń wektorów ma topologię R^3, a przestrzeń obrotów w 3D (i jednostkowych kwaternionów) jest zwarta.
@@rigelheron9997 nie rozumiem, jak nie zmieszczę 3 stopni swobody w wektorze, skoro wektor jest trójwymiarowy. It's in the name.
Przestrzeń może być lub nie być zwarta zależnie od modelu. Pamiętaj, że roboty posiadają kable, więc położenie 4pi, to nie musi być to samo co 2pi, więc kąt może być w dziedzinie R1.
Nawet jeśli chcesz policzyć położenie w sensie geometrycznym, to zbiór wektorów ograniczony kulą można przełożyć bijekcyjnie na zbiór kwaternionów normalizowanych do stałej.
@@rigelheron9997 poza tym, jeśli już dosłownie rozbijamy g na ułamki atomów, to zbiór położeń jest zbiorem jednostronnie domkniętym, jednostronnie niedomkniętym, bo 2pi === 0.
@@Saheryk Chyba inaczej rozumiemy słowo "wektor". W matematyce wektory trójwymiarowe to coś więcej niż trójki liczb. To elementy przestrzeni liniowej, które dodaje się po współrzędnych i mnoży przez skalary (też po współrzędnych). Te operacje nijak nie dają się bezpośrednio powiązać z tym, co dzieje się podczas obrotów w 3D. Takie np. trzy kąty Eulera nie tworzą wektora w sensie matematycznym. Skoro topologia Cię tu nie przekonuje, to zwróć uwagę na nieprzemienność składania obrotów vs przemienność dodawania wektorów. Nie opiszesz położenia robota w przestrzeni 3D podając tylko 3 długości rozwiniętych kabli, albowiem zależy ono także od tego, w jakiej kolejności następowało ich rozwijanie.
@@rigelheron9997 Katy Eulera jak najbardziej tworzą przestrzeń wektorową, po prostu z operacji na tych wektorach nic nie wynika.
Co do kabli chodzi o to, że o ile w tokarce możesz wykonać losowo obrót -90 albo 270, czyli kat można zamodelować w dziedzinie [0;pi), to w robocie nie możesz bezkarnie obrócić stawem 10x, z bardzo prozaicznych przyczyn, więc kąt musi być w dziedzinie R1.
Bardzo ładnie; utwierdzam się w przekonaniu, że nazwa „oktonion” jest lepsza niż „oktawa Cayleya”. Martwi mnie tylko, jak się zestarzeje ten humor, no i zabrakło mi trochę nazewnictwa:
1) można było powiedzieć, że ta nazwa „oktawy Cayleya” to przykład tzw. prawa Stiglera eponimii, podobnie jak przy twierdzeniu „Pitagorasa” i trójkącie „Pascala”;
2) mam słabość do dawnej polskiej nazwy kwaternionów: czwarki; ♥ choć to w sumie pasuje też do innych algebr czterowymiarowych jak te tessariny i kokwaterniony;
3) można było wspomnieć, że te dwa niezerowe elementy dające iloczyn zero to tzw. dzielniki zera (i że to wyklucza skracalność mnożenia);
4) wzór na obrót wektora kwaternionem można nazwać wprost: automorfizm wewnętrzny, przynajmniej w jakimś dymku albo opisie filmiku. Takie wyrażenia są wszędobylskie i dobrze znać słowo-klucz, które zresztą znam od autora filmiku. (-:
Oprócz słownictwa zabrakło mi słowa o twierdzeniu Frobeniusa, mówiącym w jaki sposób kwaterniony są wyjątkowe, właśnie przez jednoczesną łączność i dzielenie; dla mnie to ważniejsze niż dokładny opis tych alternatywnych algebr. No i jeśli obrazki są wzięte z Wikimedia Commons, to licencja chyba wymaga cytowania go - i nawet gdyby była inna, to moim zdaniem wypada zareklamować źródło w opisie filmiku.
Dla mnie np. kwestia skracalności mnożenia jest bardziej intuicyjna niż dzielniki zera. To pierwsze to jest dość naturalne pytanie, jak można żonglować wzorami, a jak nie - a to drugie czerpie istotność chyba głównie z tego pierwszego. Dobrze wiedzieć, że ta skracalność jest słabsza od dzielenia, łączności i przemienności, bo ma ją np. iloczyn kartezjański. Z tej perspektywy widać, że te trójwymiarowe algebry hiper:zespolone są bardzo ułomne, skoro nie mają nawet tej skracalności.
Nie ma nudnych dziedzin, są tylko nudno usposobieni prowadzący 🤔
:)
Liczby urojone inaczej😂
Jak miło widzieć, że oprócz antyszczepionkowców istnieją również normalni Polacy.
jeżeli jest antyszepinokowiec i szepionkoiwec , to kim będzie urojony szepionkowiec ?
13/7
]3> )(
* FILOZOFIA matematyczna * wszystko jest zerem i zero jest wszystkim albowiem wszystko od zera ma początek i zero jest wszystkiego końcem .
Niema powiem rzeczy najmniejszej tak jak niema rzeczy największej .
Jak mam oglądać w nocy film na białym tle? :P
Zero
bezużyteczne
Robotycy, graficy komputerowi i inżynierowie lotów kosmicznych chcą z Tobą porozmawiać 21:57
@@rigelheron9997 taka liste zawsze z d.... mozna wyciagnac, w kazdej dziedzinie.
@@jszania Zamiast wyciągać z d.... takie komentarze, wygoogluj sobie, ekspercie.
@@rigelheron9997 standardowa rada trolla - wygoogluj sobie. wygooglowac to mozna dowolna bzdure. jesli ktos daje rady na tym poziomie intelektualnym to ekspertem z pewnoscia nie jest.
uzupelniam, ze to jest bezuzyteczne w stosunku np. do teorii grup skonczonych czy algebry liniowej, zeby nie wchodzic w trudniejsze dzialy. jakies tam zastosowanie te kwaterniony maja, zreszta sam prowadzacy wspomina, ze sa inne metody realizujące te same cele. spotkalem sie z tym incydentalnie jako matematyk, nigdy jako programista, nigdy nie widzialem, zeby ktos tego na powaznie uzywal do czegokolwiek.