Średnia na studiach byłaby większa, gdyby tłuste rektorskie koty z uczelni technicznych współpracowały z ministerstwem nauki. Tymczasem od ponad 30 lat wszystkie nasze uczelnie techniczne są poza pierwszą 500setką, zaś na studiach przedmioty np. z elektrotechniki rozpoczynają się od całkowania pól magnetycznych, którego to działania (całkowania) nie ma w programie szkół średnich. Matematyka szkół wyższych rozpoczyna całkowanie gdzieś tam w pierwszym semnestrze. Pozabierałbym tłustym kotom emerytury za siedzenie i gdakanie o niezależności uczelni wyższych, a ministrom podobnie, za niedopracowanie spójności nauczania matematyki.
Cofam to co powiedziałem poprzednio o zostaniu matematykiem-amatorem. Jak to Pan Tomasz kiedyś powiedział: Jestem zdezorientowany, ale teraz na wyższym poziomie zrozumienia...
ten moment gdy widzisz miniaturkę a w głowie pojawia się myśl "wreszcie kolejny odcinek" a potem uświadamiasz sobie, że to premiera i odcinek będzie dopiero wieczorem :(.... no nic czekam ;)
Tylko schowajcie to pliiiiz też gdzieś na wypadek gdyby YT znikło. Aż żal mi tego czasu na studiach kiedy całymi dniami mogłem się takim pięknem matematyki nasycać. Jutro w pracy powrót do rzeczywistości. Dziękuję za coś co da się oglądać i delektować z nieskończoność :)
Dzisiaj uczymy się o Pitagorasie jako o naukowcu (we współczesnym tego słowa rozumieniu), mało kto jednak wie, że pitagorejczyków, jako ruch myślicielski, można zakwalifikować jako rodzaj sekty religijnej (z korzeniami sięgającymi egipskich kapłanów) i dowiedzenie/ujawnienie niewymierności pierwiastka z 2 było co najmniej tabu, jeśli już nie "herezją". ;)
Fantastyczny cykl wykładów. Gdybym miała takich nauczycieli na studiach to pewnie nie uciekłabym z inżynierii biomedycznej na medycynę bo bałam się matematyki ;)
w nawiązaniu do kolejnego odcinka - liczby zespolone rozszerzają zbiór liczb rzeczywistych dodając nowy wymiar, czy jest coś co rozszerza zbiór liczb zespolonych do jeszcze nowego wymiaru? Jedyne co przychodzi mi do głowy to macierze ale to nie ta droga. Btw: niezły odcinek! :)
Małe przejęzyczenie przy czytaniu kolejnych cyfr liczby PI w momencie 1215 sekundy. Ale sam cykl wykładów jest super. jakiś czas temu ;-) też miałem przekroje Dedekinda. Proszę o kolejne części. Są bardzo motywujące dla zainteresowanych.
W sumie kiedy mówiłeś o liczbach niewymiernych to brakowało mi tylko dopowiedzenia, że jest ich "więcej" niż liczb wymiernych, bo moc zbioru liczb R jest większa niż zbioru liczb wymiernych (alef zero). Aż dziw bierze, że pomiędzy 0 a 1 jest nieskończenie wiele liczb wymiernych i dalej jest tam jeszcze sporo miejsca na liczby niewymierne których to jest notabene nawet nieskończenie wiele więcej niż tych pierwszych :D Osiwieć można!
Pewnie dlatego, że aby "przekonać", że tak jest, trzeba by formalnego wprowadzenia pojęcia mocy zbioru dla zbiorów nieskończonych, w szczególności zbiorów przeliczalnych i nieprzeliczalnych, a to temat na osobny odcinek.
Super. Niedawno odkryłem i się delektuję. A odnośnie tej definicji Dedekinda, czy z niej wynika, że pomiędzy dwoma dowolnymi liczbami rzeczywistymi różnymi od siebie musi występować co najmniej jedna liczba wymierna, bo inaczej zbiory są takie same, więc liczby musiałyby być równe?
Metodą Dedekinda wypełnimy „wszystkie” dziury zrozumiałem dzięki, choć mam wątpliwość czy można użyć sformułowania „w każdą dziurę” skoro nie znamy ich porządku… ale teraz ciekawi mnie co innego. Przy użyciu metody przekątnieniowej na rozwinięciu dziesiętnym "wszystkich" liczb wymiernych, które były utworzone np,"z podlogi",skąd pewność , że utworzone z przekątnej nowe rozwinięcie dzisiętne(niby nowa liczba) tak naprawdę nie istnieje już jako "sufitowe" rozwinięcie ktore nie było brane pod uwagę. Była mowa ,że notacja dziesiętna jest nadmiarowa,a jakie nie są nadmiarowe i jak to ma się do rozwinięć dwójkowych,trójkowych,czwórkowych itd. Jeżeli rozwnięcia liczbowe są takie uniwersalne w opisie systemów liczbowych to jak się to ma do tych systemów liczbowych "wykraczających" poza liczby rzeczywiste. Czy tam rozwinięcie dziesiętne 0.(9) może być różne od 1.0?
A ja nadal mam pewne wątpliwości odnośnie równości 1 i 0,(9). Uważam, że definicja równości nie jest całkowicie dobra. W świecie niematematycznym coś jest równe / tożsame czemuś gdy poddane wszelakim eksperymentom da taki sam wynik. To prawdopodobnie dotyczy matematyki. Eksperymentalnie pomnóżmy 1*1 wynik to 1. Eksperymentalnie pomnóżmy 0,(9)*0,(9). Wynik to 0,9999999... Ale gdzieś tam het daleko pojawi się 8 a potem kupa 0 i 1. No dobra to tak daleko, że nie ma znaczenia. Ale zaraz pomnóżmy 0,(9) więcej razy (potęguje). Ósemka się przybliży ... A zróbmy to tyle razy by zobaczyć 8 ;)
"Eksperymentalnie" nie bardzo da się pomnożyć 0,(9)*0,(9), bo tam jest nieskończenie wiele dziewiątek. Jak w ogóle rozumieć "eksperymentalne" mnożenie liczb o nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym? Możesz chyba co najwyżej utworzyć ciąg iloczynów 0,999...9 * 0,999...9, gdzie w każdym czynniku jest n dziewiątek, i przyjrzeć się, do czego ten ciąg zbiega przy n dążącym do nieskończoności. Nietrudno wykazać, że tą granicą będzie 0,(9). A zatem właśnie wykazaliśmy, że 0,(9) w tym eksperymencie zachowuje się tak jak 1.
Zabrakło mi w tym odcinku wyprowadzenia wzorów na rozwinięcie dziesiętne - gdybym nie wiedział, że 0,(9)=1 i zobaczył jedynie te suche wzory to intuicyjnie uznałbym, że po prostu jeden z nich ("sufitowy") jest błędny. Dodatkowo zastanawia mnie - czemu podłoga nie jest definiowana jako max(Z ^ A)? Intuicyjnie wydaje się to jaśniejsze niż odwoływanie się do zbioru przeciwnego? Albo definicja jako największa liczba całkowita mniejsza od A?
1. Nie ma czegoś takeigo jak wzór na rozwinięcie. 2. Bo znalazłby się ktoś inny, kto by miał dokładnie taki sam "problem" tylko na odwrót. Jak zdefiniujesz sufit przez podłogę też będzie ok. To kwestia przyjętej konwencji.
Może jednak 1 =/= 0,(9) ua-cam.com/video/aRUABAUcTiI/v-deo.html. Czy na pewno 10 * 0,(9) = 9,(9) ? Dla przykładu 10 * 9,9 = 99,0 a nie 99,9. Pytanie brzmi czy rozwinięcie nieskończone jeśli przemnożymy przez 10 da na ostatnim miejscu w nieskończoności 9 czy 0. Być może łamię tu jakieś zasady nieskończoności, ale może w tym tkwi problem nieskończonych rozwinięć. Wtedy x = 0,(9)"9", gdzie "9" jest ostatnią cyfrą w nieskończoności to 10x = 9,(9)"0" wtedy 10x - x = 8,(9)"1" wtedy x = 0,(9)"9"
W rozwinięciu dziesiętnym nie ma czegoś takiego jak "ostatnie miejsce w nieskończoności". Jeśli sobie takie miejsce wprowadzasz, to rozważasz już coś innego niż rozwinięcie dziesiętne. Coś, co zresztą ma swoje, dużo poważniejsze problemy. Bo ile to byłoby np. 0,(0)1 podzielone przez 10? Nie może to być 0,(0)01 bo musielibyśmy wprowadzić kolejne, "pozaostatnie" miejsce w nieskończoności. Nie może to być też 0,(0)1, bo wtedy otrzymalibyśmy, że 10*0,(0)1 = 0,(0)1, czyli po obustronnym odjęciu 9*0,(0)1 = 0, czyli po podzieleniu przez 9: 0,(0)1 = 0.
W 12 minucie filmu trochę się pogubiłem. Bo według definicji działań na zbiorach to wynikiem A-B są elementy należące do zbioru A i jednocześnie nie należące do zbioru B. Więc jak interpretować ten zbiór przeciwny. Z ciekawości spróbowałem poszukać po internecie, i zastanawiam się, czy utworzenie zbioru -B nie pochodzi od definicji elementu przeciwnego "przekroju Dedekinda".
Pochodzi, tak je właśnie wprowadzam w 11:34. Odejmowanie liczb rzeczywistych konstruowanych jako "zbiory Dedekindowskie" nie ma związku z różnicą mnogościową zbiorów. Reasumując - ma Pan słuszność :)
Czy zgodnie z definicją Dedekinda "luka" między wymiernymi i następująca po "luce" liczba wymierna nie byłaby tą samą liczbą rzeczywistą? W końcu zarówno przed "luką" i tą liczbą wymierną jest taki sam zbiór liczb wymiernych. Tak dla zobrazowania: mamy zbiór całkowitych: ...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... Gdybyśmy zastosowali sztuczkę Dedekinda do liczb całkowitych zamiast wymiernych otrzymalibyśmy, że wartości większe od 0, a mniejsze lub równe 1 są liczbą rzeczywistą 1, bo zarówno dla 0.5, 0.25, jak i 1, zbiór liczb całkowitych poprzedzających te wartości jest równy {...,-3, -2, -1, 0}. Dlaczego dla liczb wymiernych to działa? Ma to związek z tym że kolejne liczby wymierne w liczniku i mianowniku miałaby liczby całkowite dążące do nieskończoności? Np. π ≈ 3 141592 653589 793238.../1 000000 000000 000000...?
Jeśli dobrze rozumiem pytanie, przez "następującą po luce liczbę wymierną" ma Pan na myśli NAJMNIEJSZĄ następującą po luce liczbę wymierną. Jeśli tak, to taka liczba nie istnieje. Gdyby bowiem taka liczba wymierna q istniała, zawsze dałoby się wskazać liczbę wymierną q' leżącą między q a luką. A skoro q' < q, to mamy sprzeczność z założeniem, że q była najmniejsza. Chyba właśnie ten efekt zauważa Pan w ostatnim akapicie.
@@tomaszmiller8030 Operowanie na nieskończonościach jest nieintuicyjne. Przykładowo weźmy szereg Grandiego czyli 1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1... Gdy dostawimy nawiasy tak: (1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)... to uzyskamy 0. Gdy dostawimy nawiasy tak: 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+-(1... to uzyskamy wynik 1. Wg Wikipedii można jeszcze uzyskać 1/2. Czy wynik może/powinien zależeć od wybranej metody? Czy któraś z metod jest lepsza od innych? W 8:02 mamy definicję zbioru A. Czy możemy mówić o max(A), oraz min(Q-A)? (maksymalna i minimalna wartość ze zbioru) Moglibyśmy stworzyć liczbę (max(A)+min(Q-A))/2 która nie należy do zbioru Q (?). Byłaby to sprzeczność albo liczba z innego zbioru np. R. Czy to dlatego to działa?
@@ZizuZiomek "Nieskończone dodawanie" można definiować na różne sposoby, ale trzeba pamiętać o tym, że nie wszystkie własności zwykłego dodawania "przeżywają" takie uogólnienie - na przykład przemienność nie przeżywa (por. twierdzenie Riemanna o szeregach zbieżnych warunkowo), a także takie dostawianie nieskończenie wielu nawiasów. Najprostsza definicja "nieskończonej sumy" a1 + a2 + ... jest taka, że jest to granica ciągu sum skończonych (a1 + a2 + ... + an) przy n dążącym do nieskończoności. Dla szeregu Grandiego ta granica nie istnieje. Dla niektórych innych definicji "nieskończonej sumy" (por. artykuł "Divergent series" na Wikipedii) szeregowi Grandiego można jednak przypisać określoną liczbę. O ile się nie mylę, zawsze okazuje się to 1/2. Co do 8:02, to z trzeciego warunku na zbiór A wynika, że max(A) nie istnieje. Z kolei min(Q-A) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy A ma postać {q∈Q | q < p} dla pewnej liczby wymiernej p, i wówczas min(Q-A) = p. Tak czy inaczej, zauważona przez Pana potencjalna sprzeczność nam nie grozi.
Tak, tylko cały wic polega na tym, że my dopiero usiłujemy zdefiniować, czym jest 2^(1/2), więc nie możemy w tym momencie się nim posługiwać, bo to błędne koło.
Bardzo fajne. Już wiem czemu wkurzają mnie loski od matmy mają problem z rzeczywistością a dokładniej przyrównywanie rzeczywistości. Jak z tymi klockami wsadź w odpowiednie miejsce.
liczba to jest liczba, punkt, odnoszenie go do zbioru, lub dwóch zbieżnych ciągów jest jakimś nieporozumieniem. Z całym szacunkiem. Oglądam dalej, zobaczymy.
Nie pojmuję tego, jak chce pan określić prawdziwość twierdzenia 1=0.(9...) na podstawie zaokrąglenia górnego i zaokrąglenia Dolnego? Przecież równość (=) =/= zaokrąglenie (≈). W zaokrągleniu to i 0.5(0...)1 ≈ 1 ale jaki to ma matematyczny sens to nie pojmuje. Nie zaczniemy przecież używać zaokrągleń jeżeli jakakaś liczba w działaniu nie będzie nam pasowała.
@@trefl1918 nie jestem pewien czy rozumiem. Czyli to jak ja przedstawiłem zaokrąglenie i to jak zaokrąglenie przedstawił występujący w powyższym materiale Pan jest z jakiegoś powodu dwoma różnymi zjawiskami w matematyce?
@@kapitanzajebistosc5730 Naprawdę 1 = 0,9(9) Dlaczego? Weźmy x = 0,9(9) ; 10x = 9,9(9) ; 10x - x = 9 ; 9x = 9 ; x = 1 zatem wykazaliśmy, że 0,9(9) = 1 i nie ma tu żadnych zaokrągleń ani sztuczek, własność ta wynika z rozwinięcia nieskończonego cyfry niewymiernej 0,9(9)
@@Mamoru021 ua-cam.com/video/n0yGb0a3yaM/v-deo.html Jestem właśnie w trakcie dyskusji na ten temat w komentarzach pod powyższym filmem. Jeżeli cię to interesuje, to zapraszam ale musisz wyszukać tam komentarz z 55 odpowiedziami.
Twierdzenie że liczny rzeczywiste są dobrze zdefiniowane jest mocno naciągane. Obliczeniowo liczby rzeczywiste to tragedia - w ogólnym przypadku nie jesteśmy nawet w stanie określić czy suma dwóch liczb niewymiernych jest wymierna czy nie. Co to za system liczbowy który nie daje podstawowych informacji o liczbach ? Niejednoznaczność reprezentacji liczb rzeczywistych to również ogromna słabość - oznacza to bowiem że jeśli mielibyśmy dwie różne reprezentacje tej samej liczby niewymiernej to nie mamy prostej możliwości aby stwierdzić, że jest to ta sama liczba - czyli mamy ogromna trudność nawet w stwierdzeniu czy dwie liczby niewymierne są sobie równe (bo musimy za każdym razem zbadać czy nie są to dwie różne reprezemtacje tej samej liczby).
Dla liczb niewymiernych rozwinięcia podłogowe i sufitowe są takie same, więc drugiego z wymienionych przez Pana problemów nie ma. Co do pierwszego, to wchodzimy już w filozofię matematyki. Jak rozumiem, Pan jest konstruktywistą? ;) en.wikipedia.org/wiki/Constructivism_(philosophy_of_mathematics)
@@tomaszmiller8030 hmmm... zagiął mnie Pan z tą jednoznacznością rozwinięć podłogowych i sufitowych. Intuicja mi jednak podpowiada, że jeśli liczba jeden ma dwie różne reprezentacje, to dowolną liczbę niewymierną, która w rozwinięciu dziesiętnym będzie miała jedynkę również będzie można zapisać na dwa różne sposoby. Sformułowałem proste zadanie żeby to precyzyjnie wyrazić - liczę, że je Pan rozwiąże aby mnie przekonać do liczb rzeczywistych ;) - zadanie można pobrać tutaj: drive.google.com/file/d/1skht-60oGQ_b4lHbqR1tcObbFOCIeQeQ/view . Co do konstruktywizmu to nie mam sprecyzowanych matematycznych poglądów, aczkolwiek trafia do mnie to co mówi ten Pan: ua-cam.com/video/H84VyZCOCew/v-deo.html (ciekawe zaczyna się od 15 minuty). Słszał Pan o nim?
@@pawelmostek Zacznę od drugiej kwestii, czyli filmiku prof. Wildbergera (za który to filmik dziękuję, bo nie słyszałem wcześniej o tym człowieku). Moim zdaniem osią sporu jest tu przyjmowana filozofia matematyki. Mam wrażenie, że prof. Wildberger jest właśnie konstruktywistą, a konkretniej (ultra)finitystą pl.wikipedia.org/wiki/Finityzm. Według finitystów, jeśli obiektu (w tym wypadku liczby) nie da się skonstruować w skończonej liczbie kroków z czegoś "danego bezpośrednio", to obiekt taki jest źle zdefiniowany ('fake', by posłużyć się słowem używanym przez Wildbergera). W związku z tym finityści odrzucają zbiory R i C. Wśród matematyków jest to bardzo niszowe stanowisko, ale wbrew temu, co mówi Wildberger, powodem nie są tylko czynniki socjologiczne - matematyka (ultra)finitystyczna jest po prostu boleśnie uboga! Przyznaje to zresztą pośrednio sam prelegent: właściwe posługiwanie się nieskończonością jest nie tylko wygodne (ostatni slajd), ale też stanowi kamień węgielny większości współczesnej matematyki (pierwszy slajd). Bez zbiorów R i C wymieniane przez niego działy w ogóle by nie istniały, a jednak świetnie działają - choćby w fizyce - co moim zdaniem jest wystarczającym powodem, by nie zbywać ich z powodu przyjętej filozofii. Ale to już właśnie spór filozoficzny ;) Co do pierwszej kwestii, to obawiam się, że Pana zadania nie da się rozwiązać pozostając na poziomie rozwinięć dziesiętnych - właśnie z powodu problemów z wykonywaniem na nich operacji arytmetycznych, o których wspomniał Wildberger (slajd 5), a przynajmniej ja nie wiem jak. Da się natomiast nietrudno wykazać jednoznaczność rozwinięcia dziesiętnego dla liczb niewymiernych, gdy wróci się na poziom przekrojów Dedekinda - wtedy nie są nawet potrzebne operacje arytmetyczne. Odsyłam do wstępu do I tomu podręcznika Fichtenholza ("Rachunek różniczkowy i całkowy"), zwłaszcza do podrozdziału 2, par. 9. Tam jest ładnie wyjaśnione, dlaczego jedyna niejednoznaczność rozwinięcia dziesiętnego może polegać tylko na pojawianiu się ciągu zer i ciągu dziewiątek (a więc tylko dla liczb wymiernych). PS. Na slajdzie 5 prof. Wildberger nie do końca ma rację, gdy mówi o nieistnieniu algorytmu, który zwracałby kolejne cyfry rozwinięcia SUMY dwóch liczb zadanych przez algorytmy. Wydaje mi się, że popełnia tu subtelny błąd w tym, co rozumie przez tzw. liczby obliczalne, por. jdh.hamkins.org/alan-turing-on-computable-numbers/
@@tomaszmiller8030 Chyba zbyt szybko zaszufladkował Pan prof. Wildbergera. Jeśli dobrze rozumię jego intencje to próbuje on oprzeć matematykę na innch fundamentach niż 'nieprecyzyjna' teoria mnogości. Tutaj np. jest pokazane jak prof. konstruuje liczby zepolone: ua-cam.com/video/XoTeTHSQSMU/v-deo.html , a tutaj cały cykl wykładów poświęconych trygonometrii opartej o liczby wymierne: ua-cam.com/video/GGj399xIssQ/v-deo.html. Jeśli chodzi o liczby rzeczywiste to mam wrażenie, że przeczy Pan sobie. Jeśli nie da się rozwiązać mojego zadania to znaczy, że wykonując proste operacje arytmetyczne na liczbach niewymiernych w ich wyniku otrzymujemy liczby (w tym przypadku gamma1 i gamma2) co do których nie potafimy bezpośrednio stwierdzić czy są sobie równe czy nie. Czy w związku z tym jest Pan gotów przyznać, że artymetyka liczb rzeczywistych nie jest dobrze zdefiniowana ? ;) Co do 'ubogości' matematyki nie opartej o teorię mnogości to moim zdaniem każdy musi odpowiedzieć sobie na pytanie: czy matematykę traktujemy jako narzędzie do prowadzenia precyzyjnych i niepodważalnych rozwarzań czy godzimy się na wieloznaczność i możliwość interpretowania wyników matematycznych na różne sposoby (co de facto przeczy istocie matematyki czyniąc z niej jakąś formę dialektyki).
@@pawelmostek "Próbuje on oprzeć matematykę na innych fundamentach niż 'nieprecyzyjna' teoria mnogości." Ależ właśnie taki cel przyświeca finitystom od czasów Kroneckera :) Zaszufladkowałem go może i szybko, ale chyba jednak poprawnie. Podkreślam, że nie uważam finityzmu samego w sobie za coś złego. To jest po prostu inna gra, o znacznie bardziej restrykcyjnych regułach niż matematyka standardowa, i ta gra w moim odczuciu nie jest warta świeczki (ale to tylko odczucie). Nie do końca wiem, co ma Pan na myśli, zarzucając matematyce standardowej "wieloznaczność" oraz imputując jej brak precyzji. Owszem, uchodzi w niej więcej niż dopuszczają finityści. Owszem, w czasach Kroneckera eksperymenty matematyków z nieskończonością co i rusz eksplodowały paradoksami i antynomiami, ale od tego czasu nauczyliśmy się z nią (a właściwie z nimi) obchodzić. Nie wiadomo mi o żadnej wieloznaczności i braku precyzji - jest co najwyżej brak skończonej konstruowalności. Wieloznaczna i/lub nieprecyzyjna bywa NOTACJA, ale trudno oczekiwać, żeby tak bogatą strukturę jak R dało się w pełni uchwycić za pomocą skończonego języka. Nawiasem mówiąc, wieloznaczność notacji pojawia się już w liczbach wymiernych (-3/4 = 3/(-4) = -6/8 = -9/12 = ...), a z tym jak rozumiem nie ma Pan problemu. A co do arytmetyki liczb rzeczywistych, to mogę tylko powtórzyć, że działań nie da się zdefiniować POZOSTAJĄC NA POZIOMIE ROZWINIĘĆ DZIESIĘTNYCH, jak słusznie zauważa prof. Wildberger i jak sam zauważę w odcinku o liczbach p-adycznych. To m.in. właśnie dlatego nie definiuje się obecnie liczb rzeczywistych przez ich rozwinięcia dziesiętne, tylko np. za pomocą przekrojów Dedekinda, jak starałem się wyjaśnić w filmiku. Na przekrojach Dedekinda działania arytmetyczne dają się już zdefiniować precyzyjnie i jednoznacznie (w filmiku podałem definicję dodawania), i da się wykazać, że Pańskie rozwinięcia gamma1 i gamma2 muszą odpowiadać temu samemu przekrojowi, czyli tej samej liczbie rzeczywistej. Tyle że oczywiście wykraczamy tu poza to, co dopuszcza finityzm. Za filmiki dziękuję, obejrzę w wolnej chwili, bo to faktycznie może być ciekawe (no sarcasm intended).
@@Hubertoom Ty to możesz mieć w dupie nawet czarną dziurę. Na osi liczbowej pomiędzy każdymi liczbami wymiernymi jest jakaś inna liczba wymierna, wiec żadnych luk nie ma, żadnego odcinka ta nie wstawisz. I nie chodzi o naukowy termin, bo liczby wymierne po prostu nie są ciągłe.
Będę to oglądał 10 razy. Mam 3. Infenityzmale są potrzebne. Nie podoba mi się wciąż. Że 1 to 0.(9) Każdy ułamek powinien być mniejszy od całości bo inaczej nie byłby ułamkiem. Przydało by się wrócić do złotego systemu liczbowego. Tam powinienem znaleźć dobre argumenty, że systemem dziesiętnym się nie powinno niczego uzasadniać.
@Ireneusz Jakóbik Jesli 0.(9) nie jest ułamkiem musimy wprowadzić wyjątek że liczba o rząd większa zawsze jest większa, to niewygodne i głupie im więcej wyjątków tym gorzej. Dlaczego wykorzystywać zapis służący do zapisu ułamków do zapisu liczb całkowitych, to powinno być zakazane. To nie jest piękne i mi się nie podoba.
Tego się zwyczajnie dobrze słucha, może i średnia na studiach byłaby większa gdyby częściej wykładano w taki sposób :D
Mam 49 lat. I postanowiłem odświeżyć. Dzięki
Średnia na studiach byłaby większa, gdyby tłuste rektorskie koty z uczelni technicznych współpracowały z ministerstwem nauki. Tymczasem od ponad 30 lat wszystkie nasze uczelnie techniczne są poza pierwszą 500setką, zaś na studiach przedmioty np. z elektrotechniki rozpoczynają się od całkowania pól magnetycznych, którego to działania (całkowania) nie ma w programie szkół średnich. Matematyka szkół wyższych rozpoczyna całkowanie gdzieś tam w pierwszym semnestrze. Pozabierałbym tłustym kotom emerytury za siedzenie i gdakanie o niezależności uczelni wyższych, a ministrom podobnie, za niedopracowanie spójności nauczania matematyki.
Cofam to co powiedziałem poprzednio o zostaniu matematykiem-amatorem. Jak to Pan Tomasz kiedyś powiedział: Jestem zdezorientowany, ale teraz na wyższym poziomie zrozumienia...
o dokładnie
ten moment gdy widzisz miniaturkę a w głowie pojawia się myśl "wreszcie kolejny odcinek" a potem uświadamiasz sobie, że to premiera i odcinek będzie dopiero wieczorem :(.... no nic czekam ;)
Jak zwykle bardzo wciągające i świetnie przedstawione, czekam z niecierpliwością na kolejne odcinki!
Dziękuję za kolejną dawkę matematycznej fascynacji! :D
Tylko schowajcie to pliiiiz też gdzieś na wypadek gdyby YT znikło. Aż żal mi tego czasu na studiach kiedy całymi dniami mogłem się takim pięknem matematyki nasycać. Jutro w pracy powrót do rzeczywistości. Dziękuję za coś co da się oglądać i delektować z nieskończoność :)
Więcej takich opracowań, wielkie dzięki Panie Tomaszu
Dzisiaj uczymy się o Pitagorasie jako o naukowcu (we współczesnym tego słowa rozumieniu), mało kto jednak wie, że pitagorejczyków, jako ruch myślicielski, można zakwalifikować jako rodzaj sekty religijnej (z korzeniami sięgającymi egipskich kapłanów) i dowiedzenie/ujawnienie niewymierności pierwiastka z 2 było co najmniej tabu, jeśli już nie "herezją". ;)
Tomasz Miller i wykład o liczbach - okejka w ciemno i mogę oglądać :>
Rewelacja!!! Czekam z niecierpliwością na następne wykłady!!!🙂🙂 Dzięki!!!
Ale wykład oczywiście super! Gratuluje.
Dziękuję za ciekawy wykład. Pozdrawiam.
Super seria, aż troszku żałuję, że odkryłem ją jak ma zaledwie trzy odcinki 😅
Fantastyczny cykl wykładów. Gdybym miała takich nauczycieli na studiach to pewnie nie uciekłabym z inżynierii biomedycznej na medycynę bo bałam się matematyki ;)
fantstyczne , rewelacja , super , brawo
Podoba mi się zastosowana wizualizacja😀
Jak zawsze super!
wspaniałe są te wykłady
Dziękuję Jutubie, że pokazałeś mi tę serię! Bardzo dobrze się ogląda :)
Chciałem podziękować, że chętnie dzielisz się swoją wiedzą.
Fantastyczne! Zawsze chciałem zrozumieć o co chodziło z tym Dedekindem :D
Tylko człowiek mógł wymyślić coś tak skomplikowanego jak matematyka :-)
Na pewno nie była to gadająca _maupa_ :)))
Pan Tomasz musial byc pieknym i genialnym dzieckiem. Pozdrawiam
Hej! Minęły już trzy tygodnie... Czekamy na następny odcinek!
Świetnie się to ogląda :) Moje gratulacje i czekam na każdy kolejny odcinek.
Czekam na najlepsze zespolone i to niefortunne nazwanie urojonymi przez niestety unika się na czym to polega .
Nie wiem o czym Pan mówi ale daje lajka.,bo dobrze się słucha.
Nie możemy się doczekać
w nawiązaniu do kolejnego odcinka - liczby zespolone rozszerzają zbiór liczb rzeczywistych dodając nowy wymiar, czy jest coś co rozszerza zbiór liczb zespolonych do jeszcze nowego wymiaru? Jedyne co przychodzi mi do głowy to macierze ale to nie ta droga. Btw: niezły odcinek! :)
kwaterniony
pl.wikipedia.org/wiki/Kwaterniony
super ! po prostu super!
Super. Ja do tej pory słuchałem Australijczyka Edi Woo, ale jak jest w języku ojczystym taki przekaz to super.
Fenomenalny wykład.
Małe przejęzyczenie przy czytaniu kolejnych cyfr liczby PI w momencie 1215 sekundy. Ale sam cykl wykładów jest super. jakiś czas temu ;-) też miałem przekroje Dedekinda. Proszę o kolejne części. Są bardzo motywujące dla zainteresowanych.
7:00 - te wszystkie dziury miłością da się załatać. Tururururu.
dzięki za ciekawy odcinek
A ja już sobie kawkę i ciasteczka zrobiłem :(
Super!
kolejny bardzo dobry odcinek
Jak dla mnie ekstra
Czyli można powiedzieć, że jedynka ma (nie)równo pod sufitem.
Hehe dobrze ujęte!
Jak biedronkowe ceny
@@adreq3.05 i w kolejnych odcinkach zapewne sie okaże, że biedajedynka jednak nie do końca jest normalna ;)
@@zdeneo jedynka to nie liczba,ale osobliwość, zjawisko, jakieś coś 😐
Jest Pan Super
Ładnie proszę, aby na planszach co jakiś czas, z boczku pojawiało się wyjaśnienie / przypomnienie co znaczą tajemnicze znaczki, literki, funkcje
W sumie kiedy mówiłeś o liczbach niewymiernych to brakowało mi tylko dopowiedzenia, że jest ich "więcej" niż liczb wymiernych, bo moc zbioru liczb R jest większa niż zbioru liczb wymiernych (alef zero). Aż dziw bierze, że pomiędzy 0 a 1 jest nieskończenie wiele liczb wymiernych i dalej jest tam jeszcze sporo miejsca na liczby niewymierne których to jest notabene nawet nieskończenie wiele więcej niż tych pierwszych :D Osiwieć można!
Pewnie dlatego, że aby "przekonać", że tak jest, trzeba by formalnego wprowadzenia pojęcia mocy zbioru dla zbiorów nieskończonych, w szczególności zbiorów przeliczalnych i nieprzeliczalnych, a to temat na osobny odcinek.
19:05 przy rozwinięciu dziesiętnym podłogowym jest pomyłka przy wzorze X3
Powinno być 10^3 a jest 10^2
Świetny odcinek, tylko czy znajomość liczb dziesiętnych nie wymaga znajomości liczb dziesiętnych? Bo w tym wzorze sufitowym jest x..
Mnie zawsze interesowały działania typu 3 do potęgi pi, albo pi do potęgi i.
Super. Niedawno odkryłem i się delektuję. A odnośnie tej definicji Dedekinda, czy z niej wynika, że pomiędzy dwoma dowolnymi liczbami rzeczywistymi różnymi od siebie musi występować co najmniej jedna liczba wymierna, bo inaczej zbiory są takie same, więc liczby musiałyby być równe?
Tego nie uczyli w szkole! :)
Metodą Dedekinda wypełnimy „wszystkie” dziury zrozumiałem dzięki,
choć mam wątpliwość czy można użyć sformułowania „w każdą dziurę” skoro nie znamy ich porządku…
ale teraz ciekawi mnie co innego.
Przy użyciu metody przekątnieniowej na rozwinięciu dziesiętnym "wszystkich" liczb wymiernych,
które były utworzone np,"z podlogi",skąd pewność ,
że utworzone z przekątnej nowe rozwinięcie dzisiętne(niby nowa liczba)
tak naprawdę nie istnieje już jako "sufitowe" rozwinięcie ktore nie było brane pod uwagę.
Była mowa ,że notacja dziesiętna jest nadmiarowa,a jakie nie są nadmiarowe i jak to ma się do rozwinięć dwójkowych,trójkowych,czwórkowych itd.
Jeżeli rozwnięcia liczbowe są takie uniwersalne w opisie systemów liczbowych
to jak się to ma do tych systemów liczbowych "wykraczających" poza liczby rzeczywiste.
Czy tam rozwinięcie dziesiętne 0.(9) może być różne od 1.0?
Tysiace lat temu byl inny system obliczeniow 15 - 60 prawdopodobnie PITAGORAS popelnil Plagia. Krotko mowiac wspanialy WYKLAD
A ja nadal mam pewne wątpliwości odnośnie równości 1 i 0,(9). Uważam, że definicja równości nie jest całkowicie dobra. W świecie niematematycznym coś jest równe / tożsame czemuś gdy poddane wszelakim eksperymentom da taki sam wynik. To prawdopodobnie dotyczy matematyki. Eksperymentalnie pomnóżmy 1*1 wynik to 1. Eksperymentalnie pomnóżmy 0,(9)*0,(9). Wynik to 0,9999999... Ale gdzieś tam het daleko pojawi się 8 a potem kupa 0 i 1. No dobra to tak daleko, że nie ma znaczenia. Ale zaraz pomnóżmy 0,(9) więcej razy (potęguje). Ósemka się przybliży ... A zróbmy to tyle razy by zobaczyć 8 ;)
"Eksperymentalnie" nie bardzo da się pomnożyć 0,(9)*0,(9), bo tam jest nieskończenie wiele dziewiątek. Jak w ogóle rozumieć "eksperymentalne" mnożenie liczb o nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym? Możesz chyba co najwyżej utworzyć ciąg iloczynów 0,999...9 * 0,999...9, gdzie w każdym czynniku jest n dziewiątek, i przyjrzeć się, do czego ten ciąg zbiega przy n dążącym do nieskończoności. Nietrudno wykazać, że tą granicą będzie 0,(9). A zatem właśnie wykazaliśmy, że 0,(9) w tym eksperymencie zachowuje się tak jak 1.
Zabrakło mi w tym odcinku wyprowadzenia wzorów na rozwinięcie dziesiętne - gdybym nie wiedział, że 0,(9)=1 i zobaczył jedynie te suche wzory to intuicyjnie uznałbym, że po prostu jeden z nich ("sufitowy") jest błędny.
Dodatkowo zastanawia mnie - czemu podłoga nie jest definiowana jako max(Z ^ A)? Intuicyjnie wydaje się to jaśniejsze niż odwoływanie się do zbioru przeciwnego? Albo definicja jako największa liczba całkowita mniejsza od A?
1. Nie ma czegoś takeigo jak wzór na rozwinięcie.
2. Bo znalazłby się ktoś inny, kto by miał dokładnie taki sam "problem" tylko na odwrót. Jak zdefiniujesz sufit przez podłogę też będzie ok. To kwestia przyjętej konwencji.
Bardzo dobre to jest
Kiedy nowy odcinek?
Najpewniej w przyszłym tygodniu, Jeśli się to nie uda, to już na pewno w w następnym.
@@CopernicusCenter kończy się drugi tydzień...
👍
Może jednak 1 =/= 0,(9) ua-cam.com/video/aRUABAUcTiI/v-deo.html.
Czy na pewno 10 * 0,(9) = 9,(9) ? Dla przykładu 10 * 9,9 = 99,0 a nie 99,9. Pytanie brzmi czy rozwinięcie nieskończone jeśli przemnożymy przez 10 da na ostatnim miejscu w nieskończoności 9 czy 0. Być może łamię tu jakieś zasady nieskończoności, ale może w tym tkwi problem nieskończonych rozwinięć. Wtedy x = 0,(9)"9", gdzie "9" jest ostatnią cyfrą w nieskończoności to 10x = 9,(9)"0" wtedy 10x - x = 8,(9)"1" wtedy x = 0,(9)"9"
W rozwinięciu dziesiętnym nie ma czegoś takiego jak "ostatnie miejsce w nieskończoności". Jeśli sobie takie miejsce wprowadzasz, to rozważasz już coś innego niż rozwinięcie dziesiętne. Coś, co zresztą ma swoje, dużo poważniejsze problemy. Bo ile to byłoby np. 0,(0)1 podzielone przez 10? Nie może to być 0,(0)01 bo musielibyśmy wprowadzić kolejne, "pozaostatnie" miejsce w nieskończoności. Nie może to być też 0,(0)1, bo wtedy otrzymalibyśmy, że 10*0,(0)1 = 0,(0)1, czyli po obustronnym odjęciu 9*0,(0)1 = 0, czyli po podzieleniu przez 9: 0,(0)1 = 0.
❤
W 12 minucie filmu trochę się pogubiłem. Bo według definicji działań na zbiorach to wynikiem A-B są elementy należące do zbioru A i jednocześnie nie należące do zbioru B. Więc jak interpretować ten zbiór przeciwny. Z ciekawości spróbowałem poszukać po internecie, i zastanawiam się, czy utworzenie zbioru -B nie pochodzi od definicji elementu przeciwnego "przekroju Dedekinda".
Pochodzi, tak je właśnie wprowadzam w 11:34. Odejmowanie liczb rzeczywistych konstruowanych jako "zbiory Dedekindowskie" nie ma związku z różnicą mnogościową zbiorów. Reasumując - ma Pan słuszność :)
kiedy pojawi się 3, to pojawi się wszystko (haos)
sztos
Czy zgodnie z definicją Dedekinda "luka" między wymiernymi i następująca po "luce" liczba wymierna nie byłaby tą samą liczbą rzeczywistą? W końcu zarówno przed "luką" i tą liczbą wymierną jest taki sam zbiór liczb wymiernych.
Tak dla zobrazowania: mamy zbiór całkowitych: ...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...
Gdybyśmy zastosowali sztuczkę Dedekinda do liczb całkowitych zamiast wymiernych otrzymalibyśmy, że wartości większe od 0, a mniejsze lub równe 1 są liczbą rzeczywistą 1, bo zarówno dla 0.5, 0.25, jak i 1, zbiór liczb całkowitych poprzedzających te wartości jest równy {...,-3, -2, -1, 0}.
Dlaczego dla liczb wymiernych to działa? Ma to związek z tym że kolejne liczby wymierne w liczniku i mianowniku miałaby liczby całkowite dążące do nieskończoności? Np. π ≈ 3 141592 653589 793238.../1 000000 000000 000000...?
Jeśli dobrze rozumiem pytanie, przez "następującą po luce liczbę wymierną" ma Pan na myśli NAJMNIEJSZĄ następującą po luce liczbę wymierną. Jeśli tak, to taka liczba nie istnieje. Gdyby bowiem taka liczba wymierna q istniała, zawsze dałoby się wskazać liczbę wymierną q' leżącą między q a luką. A skoro q' < q, to mamy sprzeczność z założeniem, że q była najmniejsza. Chyba właśnie ten efekt zauważa Pan w ostatnim akapicie.
@@tomaszmiller8030 Operowanie na nieskończonościach jest nieintuicyjne.
Przykładowo weźmy szereg Grandiego czyli 1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1...
Gdy dostawimy nawiasy tak: (1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)... to uzyskamy 0.
Gdy dostawimy nawiasy tak: 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+-(1... to uzyskamy wynik 1.
Wg Wikipedii można jeszcze uzyskać 1/2.
Czy wynik może/powinien zależeć od wybranej metody? Czy któraś z metod jest lepsza od innych?
W 8:02 mamy definicję zbioru A. Czy możemy mówić o max(A), oraz min(Q-A)? (maksymalna i minimalna wartość ze zbioru)
Moglibyśmy stworzyć liczbę (max(A)+min(Q-A))/2 która nie należy do zbioru Q (?). Byłaby to sprzeczność albo liczba z innego zbioru np. R. Czy to dlatego to działa?
@@ZizuZiomek "Nieskończone dodawanie" można definiować na różne sposoby, ale trzeba pamiętać o tym, że nie wszystkie własności zwykłego dodawania "przeżywają" takie uogólnienie - na przykład przemienność nie przeżywa (por. twierdzenie Riemanna o szeregach zbieżnych warunkowo), a także takie dostawianie nieskończenie wielu nawiasów. Najprostsza definicja "nieskończonej sumy" a1 + a2 + ... jest taka, że jest to granica ciągu sum skończonych (a1 + a2 + ... + an) przy n dążącym do nieskończoności. Dla szeregu Grandiego ta granica nie istnieje. Dla niektórych innych definicji "nieskończonej sumy" (por. artykuł "Divergent series" na Wikipedii) szeregowi Grandiego można jednak przypisać określoną liczbę. O ile się nie mylę, zawsze okazuje się to 1/2.
Co do 8:02, to z trzeciego warunku na zbiór A wynika, że max(A) nie istnieje. Z kolei min(Q-A) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy A ma postać {q∈Q | q < p} dla pewnej liczby wymiernej p, i wówczas min(Q-A) = p. Tak czy inaczej, zauważona przez Pana potencjalna sprzeczność nam nie grozi.
Polski Mathologer - > świetnie! :) Przydałoby się może nieco mniej symboli matematycznych a więcej ilustracji.
9:17 Czy pisemnie ten zbiór B wyglądałby tak?:
B= { q należy do Q | q < 2^(1/2)} ?
Tak, tylko cały wic polega na tym, że my dopiero usiłujemy zdefiniować, czym jest 2^(1/2), więc nie możemy w tym momencie się nim posługiwać, bo to błędne koło.
wystarczy zastąpić to warunkiem: q^2
Ma dusza ubogaca się w raz z tym kanałem. Elegancko paroweczki na kolację już wstawione bułeczki z glutenem i można słuchać
Bardzo fajne. Już wiem czemu wkurzają mnie loski od matmy mają problem z rzeczywistością a dokładniej przyrównywanie rzeczywistości. Jak z tymi klockami wsadź w odpowiednie miejsce.
Rozumiem, że ze sposobu Dedekinda wynika, że pomiędzy dowolnymi dwoma liczbami rzeczywistymi znajduje się co najmniej jedna liczba wymierna, prawda?
Wszystko to może być bujdą. Wiecie dlaczego? Wystarczy zrozumieć czym "Syntaktyka" Z niecierpliwością czekam na odpowiedzi. Nara.
PS: Syntaktyka
liczba to jest liczba, punkt, odnoszenie go do zbioru, lub dwóch zbieżnych ciągów jest jakimś nieporozumieniem. Z całym szacunkiem. Oglądam dalej, zobaczymy.
taaaaak rybę złowiłem , miała 9,999999999999999999... cm , p.s. uwielbiam żarty matematyczne :D
Zero jest liczbą abstrakcyjną a nie rzeczywistą !
ua-cam.com/video/0yLpUWo-HTc/v-deo.html
Tomasz Miller
Ma gadane skubaniutki !
Nie pojmuję tego, jak chce pan określić prawdziwość twierdzenia 1=0.(9...) na podstawie zaokrąglenia górnego i zaokrąglenia Dolnego? Przecież równość (=) =/= zaokrąglenie (≈).
W zaokrągleniu to i 0.5(0...)1 ≈ 1 ale jaki to ma matematyczny sens to nie pojmuje. Nie zaczniemy przecież używać zaokrągleń jeżeli jakakaś liczba w działaniu nie będzie nam pasowała.
To był dowód do zapisu z tego co ja pojmuje. Logicznie to są takie same liczby...
to "zaokrąglenie" dotyczy kolejnych cyfr rozwinięcia dziesiętnego danej liczby, a nie samej liczby
@@trefl1918 nie jestem pewien czy rozumiem. Czyli to jak ja przedstawiłem zaokrąglenie i to jak zaokrąglenie przedstawił występujący w powyższym materiale Pan jest z jakiegoś powodu dwoma różnymi zjawiskami w matematyce?
@@kapitanzajebistosc5730 Naprawdę 1 = 0,9(9) Dlaczego? Weźmy x = 0,9(9) ; 10x = 9,9(9) ; 10x - x = 9 ; 9x = 9 ; x = 1 zatem wykazaliśmy, że 0,9(9) = 1 i nie ma tu żadnych zaokrągleń ani sztuczek, własność ta wynika z rozwinięcia nieskończonego cyfry niewymiernej 0,9(9)
@@Mamoru021 ua-cam.com/video/n0yGb0a3yaM/v-deo.html
Jestem właśnie w trakcie dyskusji na ten temat w komentarzach pod powyższym filmem. Jeżeli cię to interesuje, to zapraszam ale musisz wyszukać tam komentarz z 55 odpowiedziami.
Dwa
Twierdzenie że liczny rzeczywiste są dobrze zdefiniowane jest mocno naciągane. Obliczeniowo liczby rzeczywiste to tragedia - w ogólnym przypadku nie jesteśmy nawet w stanie określić czy suma dwóch liczb niewymiernych jest wymierna czy nie. Co to za system liczbowy który nie daje podstawowych informacji o liczbach ? Niejednoznaczność reprezentacji liczb rzeczywistych to również ogromna słabość - oznacza to bowiem że jeśli mielibyśmy dwie różne reprezentacje tej samej liczby niewymiernej to nie mamy prostej możliwości aby stwierdzić, że jest to ta sama liczba - czyli mamy ogromna trudność nawet w stwierdzeniu czy dwie liczby niewymierne są sobie równe (bo musimy za każdym razem zbadać czy nie są to dwie różne reprezemtacje tej samej liczby).
Dla liczb niewymiernych rozwinięcia podłogowe i sufitowe są takie same, więc drugiego z wymienionych przez Pana problemów nie ma. Co do pierwszego, to wchodzimy już w filozofię matematyki. Jak rozumiem, Pan jest konstruktywistą? ;) en.wikipedia.org/wiki/Constructivism_(philosophy_of_mathematics)
@@tomaszmiller8030
hmmm... zagiął mnie Pan z tą jednoznacznością rozwinięć podłogowych i sufitowych. Intuicja mi jednak podpowiada, że jeśli liczba jeden ma dwie różne reprezentacje, to dowolną liczbę niewymierną, która w rozwinięciu dziesiętnym będzie miała jedynkę również będzie można zapisać na dwa różne sposoby. Sformułowałem proste zadanie żeby to precyzyjnie wyrazić - liczę, że je Pan rozwiąże aby mnie przekonać do liczb rzeczywistych ;) - zadanie można pobrać tutaj: drive.google.com/file/d/1skht-60oGQ_b4lHbqR1tcObbFOCIeQeQ/view . Co do konstruktywizmu to nie mam sprecyzowanych matematycznych poglądów, aczkolwiek trafia do mnie to co mówi ten Pan: ua-cam.com/video/H84VyZCOCew/v-deo.html (ciekawe zaczyna się od 15 minuty). Słszał Pan o nim?
@@pawelmostek Zacznę od drugiej kwestii, czyli filmiku prof. Wildbergera (za który to filmik dziękuję, bo nie słyszałem wcześniej o tym człowieku). Moim zdaniem osią sporu jest tu przyjmowana filozofia matematyki. Mam wrażenie, że prof. Wildberger jest właśnie konstruktywistą, a konkretniej (ultra)finitystą pl.wikipedia.org/wiki/Finityzm. Według finitystów, jeśli obiektu (w tym wypadku liczby) nie da się skonstruować w skończonej liczbie kroków z czegoś "danego bezpośrednio", to obiekt taki jest źle zdefiniowany ('fake', by posłużyć się słowem używanym przez Wildbergera). W związku z tym finityści odrzucają zbiory R i C. Wśród matematyków jest to bardzo niszowe stanowisko, ale wbrew temu, co mówi Wildberger, powodem nie są tylko czynniki socjologiczne - matematyka (ultra)finitystyczna jest po prostu boleśnie uboga! Przyznaje to zresztą pośrednio sam prelegent: właściwe posługiwanie się nieskończonością jest nie tylko wygodne (ostatni slajd), ale też stanowi kamień węgielny większości współczesnej matematyki (pierwszy slajd). Bez zbiorów R i C wymieniane przez niego działy w ogóle by nie istniały, a jednak świetnie działają - choćby w fizyce - co moim zdaniem jest wystarczającym powodem, by nie zbywać ich z powodu przyjętej filozofii. Ale to już właśnie spór filozoficzny ;) Co do pierwszej kwestii, to obawiam się, że Pana zadania nie da się rozwiązać pozostając na poziomie rozwinięć dziesiętnych - właśnie z powodu problemów z wykonywaniem na nich operacji arytmetycznych, o których wspomniał Wildberger (slajd 5), a przynajmniej ja nie wiem jak. Da się natomiast nietrudno wykazać jednoznaczność rozwinięcia dziesiętnego dla liczb niewymiernych, gdy wróci się na poziom przekrojów Dedekinda - wtedy nie są nawet potrzebne operacje arytmetyczne. Odsyłam do wstępu do I tomu podręcznika Fichtenholza ("Rachunek różniczkowy i całkowy"), zwłaszcza do podrozdziału 2, par. 9. Tam jest ładnie wyjaśnione, dlaczego jedyna niejednoznaczność rozwinięcia dziesiętnego może polegać tylko na pojawianiu się ciągu zer i ciągu dziewiątek (a więc tylko dla liczb wymiernych). PS. Na slajdzie 5 prof. Wildberger nie do końca ma rację, gdy mówi o nieistnieniu algorytmu, który zwracałby kolejne cyfry rozwinięcia SUMY dwóch liczb zadanych przez algorytmy. Wydaje mi się, że popełnia tu subtelny błąd w tym, co rozumie przez tzw. liczby obliczalne, por. jdh.hamkins.org/alan-turing-on-computable-numbers/
@@tomaszmiller8030
Chyba zbyt szybko zaszufladkował Pan prof. Wildbergera. Jeśli dobrze rozumię jego intencje to próbuje on oprzeć matematykę na innch fundamentach niż 'nieprecyzyjna' teoria mnogości.
Tutaj np. jest pokazane jak prof. konstruuje liczby zepolone: ua-cam.com/video/XoTeTHSQSMU/v-deo.html , a tutaj cały cykl wykładów poświęconych trygonometrii opartej
o liczby wymierne: ua-cam.com/video/GGj399xIssQ/v-deo.html.
Jeśli chodzi o liczby rzeczywiste to mam wrażenie, że przeczy Pan sobie. Jeśli nie da się rozwiązać mojego zadania to znaczy, że wykonując proste operacje arytmetyczne
na liczbach niewymiernych w ich wyniku otrzymujemy liczby (w tym przypadku gamma1 i gamma2) co do których nie potafimy bezpośrednio stwierdzić czy są sobie równe czy nie.
Czy w związku z tym jest Pan gotów przyznać, że artymetyka liczb rzeczywistych nie jest dobrze zdefiniowana ? ;)
Co do 'ubogości' matematyki nie opartej o teorię mnogości to moim zdaniem każdy musi odpowiedzieć sobie na pytanie: czy matematykę traktujemy jako narzędzie do
prowadzenia precyzyjnych i niepodważalnych rozwarzań czy godzimy się na wieloznaczność i możliwość interpretowania wyników matematycznych na różne sposoby (co de facto przeczy istocie matematyki czyniąc z niej jakąś formę dialektyki).
@@pawelmostek "Próbuje on oprzeć matematykę na innych fundamentach niż 'nieprecyzyjna' teoria mnogości." Ależ właśnie taki cel przyświeca finitystom od czasów Kroneckera :) Zaszufladkowałem go może i szybko, ale chyba jednak poprawnie. Podkreślam, że nie uważam finityzmu samego w sobie za coś złego. To jest po prostu inna gra, o znacznie bardziej restrykcyjnych regułach niż matematyka standardowa, i ta gra w moim odczuciu nie jest warta świeczki (ale to tylko odczucie).
Nie do końca wiem, co ma Pan na myśli, zarzucając matematyce standardowej "wieloznaczność" oraz imputując jej brak precyzji. Owszem, uchodzi w niej więcej niż dopuszczają finityści. Owszem, w czasach Kroneckera eksperymenty matematyków z nieskończonością co i rusz eksplodowały paradoksami i antynomiami, ale od tego czasu nauczyliśmy się z nią (a właściwie z nimi) obchodzić. Nie wiadomo mi o żadnej wieloznaczności i braku precyzji - jest co najwyżej brak skończonej konstruowalności. Wieloznaczna i/lub nieprecyzyjna bywa NOTACJA, ale trudno oczekiwać, żeby tak bogatą strukturę jak R dało się w pełni uchwycić za pomocą skończonego języka. Nawiasem mówiąc, wieloznaczność notacji pojawia się już w liczbach wymiernych (-3/4 = 3/(-4) = -6/8 = -9/12 = ...), a z tym jak rozumiem nie ma Pan problemu.
A co do arytmetyki liczb rzeczywistych, to mogę tylko powtórzyć, że działań nie da się zdefiniować POZOSTAJĄC NA POZIOMIE ROZWINIĘĆ DZIESIĘTNYCH, jak słusznie zauważa prof. Wildberger i jak sam zauważę w odcinku o liczbach p-adycznych. To m.in. właśnie dlatego nie definiuje się obecnie liczb rzeczywistych przez ich rozwinięcia dziesiętne, tylko np. za pomocą przekrojów Dedekinda, jak starałem się wyjaśnić w filmiku. Na przekrojach Dedekinda działania arytmetyczne dają się już zdefiniować precyzyjnie i jednoznacznie (w filmiku podałem definicję dodawania), i da się wykazać, że Pańskie rozwinięcia gamma1 i gamma2 muszą odpowiadać temu samemu przekrojowi, czyli tej samej liczbie rzeczywistej. Tyle że oczywiście wykraczamy tu poza to, co dopuszcza finityzm.
Za filmiki dziękuję, obejrzę w wolnej chwili, bo to faktycznie może być ciekawe (no sarcasm intended).
Słowo LUKA nie jest szczęśliwe, bo w każdym odcinku na osi SĄ jakieś liczby wymierne w środku, więc w tym sensie luk nie ma. Natomiast są DZIURY.
Słowo LUKA jest tysiąc razy lepsze niż DZIURA. DZIURĘ to można mieć w dupie...
@@Hubertoom Ty to możesz mieć w dupie nawet czarną dziurę.
Na osi liczbowej pomiędzy każdymi liczbami wymiernymi jest jakaś inna liczba wymierna, wiec żadnych luk nie ma, żadnego odcinka ta nie wstawisz.
I nie chodzi o naukowy termin, bo liczby wymierne po prostu nie są ciągłe.
zły dźwięk
Będę to oglądał 10 razy. Mam 3. Infenityzmale są potrzebne.
Nie podoba mi się wciąż. Że 1 to 0.(9)
Każdy ułamek powinien być mniejszy od całości bo inaczej nie byłby ułamkiem. Przydało by się wrócić do złotego systemu liczbowego. Tam powinienem znaleźć dobre argumenty, że systemem dziesiętnym się nie powinno niczego uzasadniać.
@Ireneusz Jakóbik Oo, bardzo fajna ciekawostka matematyczna :D
@Ireneusz Jakóbik Jesli 0.(9) nie jest ułamkiem musimy wprowadzić wyjątek że liczba o rząd większa zawsze jest większa, to niewygodne i głupie im więcej wyjątków tym gorzej. Dlaczego wykorzystywać zapis służący do zapisu ułamków do zapisu liczb całkowitych, to powinno być zakazane. To nie jest piękne i mi się nie podoba.
Jest wzór na liczbę pi. pi= sin(180/n)*n Im większe n tym dokładniejsze pi