Все больше ловлю себя на том, что все больше мне нравится именно восполнение забытых фундаментальных знаний. То есть, задачу я решил за секунду, а почему это именно так, очень хорошее разъяснение. Так, глядишь, скоро ДЗ станут самой интересной частью... Спасибо, Валерий Владимирович!!!
Соединим середины сторон в квадрат MNPK. Цветные треугольники вокруг его равны. Внутри его, сумма площадей зелёного и розового треугольников, как и желтого с синим, это 1/2×S(MNPK), так как у них одинаковое основание и сумма двух высот, равные стороне квадрата MNPK. Сложив цветные треугольники получим x+2=3+4, Ответ: x=5
Ваше доказательство как раз для общего случая - любого выпуклого четырехугольника. Я же рассмотрел квадрат MNPK, для него суммы площадей накрест лежащих треугольников равны по понятным причинам - потому что равны суммы высот этих треугольников, и основания. А значит в таком же отношении находятся и заданные четырёхугольники, т.к. к ним приплюсована постоянная величина в виде равных "уголков" большого квадрата. Отсюда легко найти 5.
Насчет "накрест лежащих треугольников" и "постоянная величина в виде равных "уголков" большого квадрата" верно только в случае когда точка О внутри квадрата MNPK, а это не при любых заданных площадях и для конкретного случая еще нужно доказать.
1. Интуитивно. Слева направо -1, сверху вниз +2. Ответ :5 2. Соединим т О с вершинами и опустим перпендикуляры на стороны. Основания у треугольников равны, а площади цветных зависят от (прямопрорционально) суммы двух перпендикуляров. Обозначим их близстоящими буквами. Составим равенства. M+N=3@ P+N=2@ P+K=4@. Откуда М+К=М+N+2@=5@ Ответ:5
Есть и алгебраическое решение "в лоб": если обозначить координаты точки O относительно центра квадрата Q как (x, y), половину стороны квадрата как a, то получается система из 3 уравнений (через площади прямоугольников BCPM, CDKN, треугольников MOP, NOK, квадрата ABCD, маленького квадрата AMQK и треугольников MOQ, QOK): (1) 2a^2 - ax = 6, (2) 2a^2 - ay = 5, (3) a^2 + a(x + y)/2 + 2 + 3 + 4 = (2a)^2 Складывая (1) и (2), выражаем a(x+y) через a^2; подставляя в уравнение (3) находим a^2 = 7/2. После чего и находится искомая площадь a^2 + a(x+y)/2
Разбил каждый четырехугольник на два треугольника по диагонали, проходящей через точку.Легко доказывается, что сумма площадей накрест лежащих четырехугольников одинакова.
Да, хорошая задача. Давала её год назад ОГЭ-шникам. Надо снова дать. А малыши 4 кл. пока не знают медианы и площади треугольников через высоту. Поэтому им даю немножко другие. Можете здесь выложить для развлечения взрослых дяденек, у вас красиво получается: Прямоугольник разделите на 4 прямоугольника двумя прямыми, параллельными сторонам как угодно. 1. Найти площадь одной части, если известны площади трёх других. 2. Найти периметр одной части, если известны периметры трёх других.
Без доказательства , как аксиома , сумма площадей четырех угольников по диагонали равна. А теперь мой вариант. Примем половину стороны квадратa = x , MN =x* на корень из 2 . В тр.МNO проведем высоту ОL ( перпендикуляр на MN , S тр.MNO=OL*MN :2 . S тр.MBN= X^ :2 . S (MBNO)= сумме треугольников , откуда OL=6-x^/x*корень из 2 . В тр . КОР проведем высоту на КР в т. F . OF= LF(MN)-OL=3x^-6 деленное на2 . S тр. КОР=3x^-6 деленное на 2 . S ( KOPD) = сумме тр. и равно 4 , откуда x = корень из14:2 , сторона квадрата = 2x= корень из 14 , площадь квадрата =14 , искомая площадь = 14-9=5 .
Достаточно просто. ΔАМК=ΔBMN=ΔCNP=ΔDKP. Их суммарная площадь - половина общей площади квадрата ABCD. Каждого в отдельности, соответственно - 1/8. Остаётся другая половина - вписанный ромб MNPK со стороной АВ/√2, состоящий из четырёх треугольников, сходящихся в т. О. Площадь каждого выражаем по трём сторонам, за неизвестную берём сторону ромба. Уверен, как-то это всё сводится в систему, решается.
m, n, p, k - высоты, опущенные из общей точки O к сторонам квадрата. Цветные четырёхугольники делим на 2 треугольника с одинаковым основанием в половину стороны квадрата. Площадь треугольника S=ah/2 . S(зел.)=am/2+an/2=(m+n)*(a/2), с остальными аналогично. Константу a/2 в дальнейших рассуждениях можно игнорировать: n+m=3 n+p=2 k+p=4 m+k=(k+p)+(m+n)-(n+p)=4+3-2=5
Ещё способ, которого пока не увидел в комментах. Двигая O || MN || KP не изменится S(∆MNO) и S(∆KPO). А значит не меняется и S(∆PNO) + S(∆MKO), если O не выходит за пределы MNPK. Аналогично для движения O || NP || MK получим S(∆MNO) + S(∆KPO) = константа. MN⊥NP, значит, двигая точку в любом направлении в пределах MNPK сумма противоположных ∆-в не меняется. Дальше уже просто.
Все больше ловлю себя на том, что все больше мне нравится именно восполнение забытых фундаментальных знаний. То есть, задачу я решил за секунду, а почему это именно так, очень хорошее разъяснение. Так, глядишь, скоро ДЗ станут самой интересной частью... Спасибо, Валерий Владимирович!!!
Спасибо ребята. Очень вдохновляете!
Спасибо!❤
Соединим середины сторон в квадрат MNPK. Цветные треугольники вокруг его равны. Внутри его, сумма площадей зелёного и розового треугольников, как и желтого с синим, это 1/2×S(MNPK), так как у них одинаковое основание и сумма двух высот, равные стороне квадрата MNPK. Сложив цветные треугольники получим x+2=3+4, Ответ: x=5
Супер!
А если точка О не внутри квадрата MNPK, то внутри не будет ни желтого ни синего треугольника.
Так же
Красивый пиар - ход: "Мало кто решит"!
В ДЗ - никакой разницы: половинки - они и в Африке половинки.
Да, мы такие.
Ваше доказательство как раз для общего случая - любого выпуклого четырехугольника. Я же рассмотрел квадрат MNPK, для него суммы площадей накрест лежащих треугольников равны по понятным причинам - потому что равны суммы высот этих треугольников, и основания. А значит в таком же отношении находятся и заданные четырёхугольники, т.к. к ним приплюсована постоянная величина в виде равных "уголков" большого квадрата. Отсюда легко найти 5.
Спаасибо. Отлично.
Насчет "накрест лежащих треугольников" и "постоянная величина в виде равных "уголков" большого квадрата" верно только в случае когда точка О внутри квадрата MNPK, а это не при любых заданных площадях и для конкретного случая еще нужно доказать.
ппц.. потрясающе... пойду пить водку... с математикой завязываю... нет способностей
Отрезаем уголки и остаётся квадрат с двумя парами тпротиволежащих реугольников с одинаковыми основаниями и суммами ввсот. Ответ 5
Верно.
1. Интуитивно. Слева направо -1, сверху вниз +2. Ответ :5
2. Соединим т О с вершинами и опустим перпендикуляры на
стороны. Основания у треугольников равны, а площади цветных зависят от (прямопрорционально) суммы двух перпендикуляров. Обозначим их близстоящими буквами. Составим равенства.
M+N=3@ P+N=2@ P+K=4@.
Откуда М+К=М+N+2@=5@
Ответ:5
Есть и алгебраическое решение "в лоб": если обозначить координаты точки O относительно центра квадрата Q как (x, y), половину стороны квадрата как a, то получается система из 3 уравнений (через площади прямоугольников BCPM, CDKN, треугольников MOP, NOK, квадрата ABCD, маленького квадрата AMQK и треугольников MOQ, QOK):
(1) 2a^2 - ax = 6,
(2) 2a^2 - ay = 5,
(3) a^2 + a(x + y)/2 + 2 + 3 + 4 = (2a)^2
Складывая (1) и (2), выражаем a(x+y) через a^2; подставляя в уравнение (3) находим a^2 = 7/2. После чего и находится искомая площадь a^2 + a(x+y)/2
Супер!
Разбил каждый четырехугольник на два треугольника по диагонали, проходящей через точку.Легко доказывается, что сумма площадей накрест лежащих четырехугольников одинакова.
Отлично. Да, мы это и сделали.
Да, хорошая задача. Давала её год назад ОГЭ-шникам. Надо снова дать.
А малыши 4 кл. пока не знают медианы и площади треугольников через высоту. Поэтому им даю немножко другие. Можете здесь выложить для развлечения взрослых дяденек, у вас красиво получается:
Прямоугольник разделите на 4 прямоугольника двумя прямыми, параллельными сторонам как угодно.
1. Найти площадь одной части, если известны площади трёх других.
2. Найти периметр одной части, если известны периметры трёх других.
Правильно.
Без доказательства , как аксиома , сумма площадей четырех угольников по диагонали равна. А теперь мой вариант. Примем половину стороны квадратa = x , MN =x* на корень из 2 . В тр.МNO проведем высоту ОL ( перпендикуляр на MN , S тр.MNO=OL*MN :2 . S тр.MBN= X^ :2 . S (MBNO)= сумме треугольников , откуда OL=6-x^/x*корень из 2 . В тр . КОР проведем высоту на КР в т. F . OF= LF(MN)-OL=3x^-6 деленное на2 . S тр. КОР=3x^-6 деленное на 2 . S ( KOPD) = сумме тр. и равно 4 , откуда x = корень из14:2 , сторона квадрата = 2x= корень из 14 , площадь квадрата =14 , искомая площадь = 14-9=5 .
Отлично. Супер.
Достаточно просто. ΔАМК=ΔBMN=ΔCNP=ΔDKP. Их суммарная площадь - половина общей площади квадрата ABCD. Каждого в отдельности, соответственно - 1/8. Остаётся другая половина - вписанный ромб MNPK со стороной АВ/√2, состоящий из четырёх треугольников, сходящихся в т. О. Площадь каждого выражаем по трём сторонам, за неизвестную берём сторону ромба. Уверен, как-то это всё сводится в систему, решается.
Очень интересно!
m, n, p, k - высоты, опущенные из общей точки O к сторонам квадрата.
Цветные четырёхугольники делим на 2 треугольника с одинаковым основанием в половину стороны квадрата.
Площадь треугольника S=ah/2 . S(зел.)=am/2+an/2=(m+n)*(a/2), с остальными аналогично.
Константу a/2 в дальнейших рассуждениях можно игнорировать:
n+m=3
n+p=2
k+p=4
m+k=(k+p)+(m+n)-(n+p)=4+3-2=5
Отлично.
Ещё способ, которого пока не увидел в комментах.
Двигая O || MN || KP не изменится S(∆MNO) и S(∆KPO). А значит не меняется и S(∆PNO) + S(∆MKO), если O не выходит за пределы MNPK. Аналогично для движения O || NP || MK получим S(∆MNO) + S(∆KPO) = константа. MN⊥NP, значит, двигая точку в любом направлении в пределах MNPK сумма противоположных ∆-в не меняется. Дальше уже просто.
Отлично.
Интуитивно😂5
В казино пора с такой интуицией идти!
Бцудет 6 (шесть) !!
Незачет. За смелость хор!
По условию даны площади: 2, 3, 4. Если бы вы хоть раз проверяли свой IQ, вы бы сразу поняли, что ответ 5, безо всяких замудрствований.
По условию 2,3,4 это я спецом дал. А с моим IQ - вы правы, не то что у некоторых моих зрителей.