Berechne OHNE Taschenrechner - Wurzeln
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- Опубліковано 1 лип 2024
- Wurzeln berechnen
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man den Term berechnen kann. Wir wenden die Binomischen Formeln an und überprüfen Scheinlösungen. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Wurzeln
0:37 Lösung
2:17 1. Binomische Formel
4:52 3. Binomische Formel
6:34 Scheinlösungen
8:15 Bis zum nächsten Video :)
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sollte für die Elon Musk Neuralink Probanden und andere RFID genies absolut kein problem sein🤣
Schon ziemlich aufwendig das Ganze. Gut das es die binomischen Formeln gibt. Auch der Beweis am Ende gut dargestellt.
Das war Mal wieder ein etwas interessantes Beispiel. Danke für die Auffrischung ☺
Deine Videos sind echt toll!
Ich hatte heute Potenzialfeststellung und habe mit Hilfe deiner Videos den Mathe Anteil absolut gerockt, vielen Dank dafür! :)
Pythagoras von Samos und Alessandro Binomi wussten halt schon damals, was UA-cam gut tun könnte.
Ich habe die 19 in 4^2 und (V3)^2 aufgeteilt und aus V192 2x4xV3 gemacht.
Dadurch bekam ich V(4 + V3)^2 + V(4 - V3)^2 heraus.
Exponent und Wurzel heben sich auf.
Es bleiben 4 + V3 und 4 - V3, also 8
Genial!
Sieht einfach aus, blick ich aber irgendwie so nicht. Moment, ich versuch mal, zu dir zu kommen...
sqrt(19 + sqrt(192)) + sqrt(19 - sqrt(192))
= sqrt(16 + 3 + sqrt(64 * 3)) + sqrt(16 + 3 + sqrt(64 * 3))
= sqrt(16 + 3 + 8 * sqrt(3)) + sqrt(16 + 3 + 8 * sqrt(3))
= sqrt(4² + sqrt(3)² + 2 * 4 * sqrt(3)) + sqrt(4² - sqrt(3)² + 2 * 4 * sqrt(3))
Ach, jetzt check ich's. Binomische Formeln a² + b² + 2ab = (a + b)² und a² - b² + 2ab = (a - b)²
Die stehen immer noch unter der äußeren Wurzel, die hebt die Exponenten in der Klammerschreibweise auf und die restlichen Wurzeln b = sqrt(3) subtrahieren sich gegenseitig weg, wodurch mit a = 4 dann 4 + 4 übrig bleibt, also 8.
Wie kommen Sie von Ihrer ersten Zeile zu V(4 + V3)^2 + V(4 - V3)^2?
@@ubartho4237 Würde meine Antwort hier noch stehen, dann könnten Sie es auch nachvollziehen, denn ich hatte denselben Gedanken. Warum auch immer die gelöscht wurde und ich trotzdem Benachrichtigungen bekomme. Durch die Aufteilung der 19 in 16 und 3 mit der Umwandlung zur Potenz konnte er die erste und zweite binomische Formel konstruieren. Aus dem Term unter der ersten Wurzel wurde dank a² + b² + 2ab dann (a + b)² und das Gleiche mit dem Minuspart. Von a² - b² + 2ab zu (a - b)².
@@spikeb.3627 Oh, danke. Jetzt hab' auch ich's verstanden. 🙂 Wirklich genial! 👍
Mal wieder eine schöne Aufgabe, um Kopfrechnen zu üben. Dass ein schönes glattes Ergebnis dabei rausspringt, hilft natürlich dabei.
Merci❤
Ich finde teilweise Wurzelziehen und in ein Quadrat umschreiben hier eleganter: 19= 4^2+ 3, 192=64*3, also sqrt(19+ sqrt192) = sqrt(16+3 +2*4*sqrt3) = sqrt((4+sqrt3)^2) = 4 + Wurzel(3) und der 2. Term gibt entsprechend 4 - Wurzel(3), es bleibt 4+4=8. 3 Zeilen, aber man muss ein paar ähnliche Aufgaben gesehen haben, um den Blick dafür zu kriegen.
Super
Wow, da wäre ich nicht darauf gekommen
Eine kompliziert konstruierte, aber für Liebhaber der binomischen Formel ästhetische Art, die Zahl 8 hinzuschreiben 😉!
🙂👻
Guten Morgen
Mal an Stelle der 192 eine 400 einsetzen. √400 = 20. 19 - 20 = -1. √-1 = i . i² = -1. Imaginäre Einheit. Keine Wurzel aus negativen Zahlen definiert.
Ich kann das Wurzelzeichen nicht schreiben, habe es also als "sqrt()" ausgedrückt:
Bei dem hier die Wurzel teilweise gezogen:
sqrt(192) = sqrt(64*3) = 8*sqrt(3)
also geht es um:
sqrt(19 + 8*sqrt(3))
+ sqrt(19 - 8*sqrt(3))
Mit der Idee:
19
= 16 + 3
= 4² + (sqrt(3))²
... wird unser Ausdruck zu:
sqrt(4² + (sqrt(3))² +8*sqrt(3))
+ sqrt(4² + (sqrt(3))² - 8*sqrt(3))
umsortiert:
sqrt(4² +8*sqrt(3) + (sqrt(3))²)
+ sqrt(4² - 8*sqrt(3) + (sqrt(3))²)
also
sqrt(4² +2*4*sqrt(3) + (sqrt(3))²)
+ sqrt(4² - 2*4*sqrt(3) + (sqrt(3))²)
Das sind die 1. u. 2. binomische Formeln mit a=4 und b=sqrt(3),
also:
sqrt( ( 4 + sqrt(3) )² )
+ sqrt( ( 4 - sqrt(3) )² )
Die äusseren "sqrt" und "²" heben sich auf, und wir haben:
( 4 + sqrt(3) )
+ ( 4 - sqrt(3) )
=
4 + sqrt(3) + 4 - sqrt(3)
=
4 + 4
=
8
Das mal eine Aufgabe, wo man wirklich das hinschreiben muss auf ein Zettel. Sind halt schön designte Zahlen.
Spannend wäre mal für welche Zahlen(kombonationen) kommt als Ergebnis eine natürliche Zahl raus. Dafür bin ich aber zu Faul 😉.
Ich hab den taschenrechner genommen 😂😂😂😂
Hätte mal eine Frage, warum ist die Wurzel aus 169 nicht +13 und -13?
Somit
x^2= 38+2*13= 64
Und
x^2= 38+2*(-13)= 12
Danke!
Definition der Wurzel ist die positive Zahl.
@@John-ql7ngund warum dann am Ende + und - 8?
1:30 x^2 = 2*19?
??? Wie kommst du darauf?
@@bjornfeuerbacher5514 Durch Fehldenken zur Ersten Binomischen Formel.
Wütend auf mich selbst (nicht wirklich ...).
Auf die Frage, warum bei der Gesamtlösung nur die positive Wurzel berücksichtigt werden muss, antworten viele in den Kommentaren mit dem, was sie bei 7:52 sagt: "Wenn man eine Wurzel nur berechnet, dann ist es immer größer-gleich Null." Bei 7:11 aber macht sie das Gleiche mit der 64, nämlich "eine Wurzel nur berechnen". In beiden Fällen haben wir aber links nur ein x stehen und rechts eine Wurzel, warum also bei der Wurzel aus 64 zwei Lösungen für x, bei der Endrechnung aber nur die positive?
Wenn man mitten in der Nacht auf dieses Video.....
Laut Taschenrechner x=13
Lösung:
√192 = √(64 * 3) = √8² * √3 = 8√3
√(19 + 8√3) + √(19 - 8√3) = x |²
(√(19 + 8√3) + √(19 - 8√3))² = x² |(a+b)² = a² + 2ab + b²
19 + 8√3 + 2(√(19 + 8√3) * √(19 - 8√3)) + 19 - 8√3 = x²
38 + 2√((19 + 8√3)(19 - 8√3)) = x² |(a+b)(a-b) = a² - b²
38 + 2√(19² - (8√3)²) = x²
38 + 2√(361 - 192) = x²
38 + 2√(169) = x²
38 + 2 * 13 = x²
38 + 26 = x²
64 = x² |√ → negative Lösung ergibt hier keinen Sinn, weil wir in der originalen Gleichung zwei positive Werte addieren
x = 8
Das geht?
Ja, zeigt sie ja im Video. :D
Mein Lösungsvorschlag ist ▶
√19+√192 + √19-√192 = x
beide Seiten quadrieren:
[(√19+√192) + (√19-√192)]²= x²
(√19+√192)²+ 2*(√19+√192)*(√19-√192) + (√19-√192)²= x²
19+√192 + 2*(√19+√192)*(√19-√192) + 19-√192 = x²
38 + 2*(√19+√192)*(√19-√192) = x²
38+ 2*√19²-(√192)² = x²
38+ 2*√361-192 = x²
38 + 2*√169 = x²
38+2*√13²= x²
38+2*13= x²
x²= 38+26
x²= 64
x= √8²
x= 8
Hm, aber kann es nicht sein, dass die Gleichung falsch ist. Das also am Ende (beim Beweis) die hinterste Wurzel NEGATIV ist und somit die ganze Wurzel auch... und somit alles falsch.
Warum ist das Ergebnis einer Wurzel immer positiv?
Es gibt doch eine plus und minus Lösung?
Weil nichts mit sich selbst multipliziert eine negative Zahl ergibt. (-8)² ist 64, aber √64 ist 8. Und √-64 hat keine Lösung außer bei komplexen Zahlen aber das ist ein gaaanz anderes Thema.
Das eine ist die Lösung der Wurzel, die kann negative sein. Das andere ist woraus die Wurzel gezogen wird. Es gibt erstmal keine Zahl die mit sich selber multipliziert eine negative Zahl ist. Minus mal minus wird positive und plus mal plus ist auch positiv. -8 ist eine andere Zahl als +8. Zumindest verstehe ich das so, aber wenn Falsch ist dann korrigiere mich bitte jemand.
Es ist in der Mathematik einfach so definiert, dass die Wurzel für Zahlen >0 immer positiv ist. Wenn du eine Gleichung löst, die lautet x² = 64, dann erhältst du 2 Lösungen, nämlich -8 und 8. Aber eben nur bei Gleichungen. Die Wurzel aus 64 ist einfach 8!
Und Wurzeln aus negativen Zahlen sind nur mit komplexen Zahlen zu ermitteln.
@@Lorvay Ich denke die Frage war auf das ziehen der Wurzel aus 169 am Ende der Berechnung bezogen. Hätte man dort nicht auch minus 13 berücksichtigen müssen? Dann wäre die Wurzel aus 12 das Ergebnis 😂.
Kacke, jetzt bin ich verwirrt 🫣
@@h.g.buddne Du meinst die 192 vermutlich ? Naja der Term is eigentlich 38+ 2*√(+361)-(+192). Die Zahl 192 an sich ist positiv. Sonst müsstest du Schreiben 38+ 2*√(+361)-(-192). Die Zahl selbst ist nicht negativ, das kann verwirrend sein. Du ziehst eine positive zahl von einer positive zahl ab.
Warum 2 Lösungen?
Weil (-8)² und (8)² beides 64 sind. Und im Umkehrschluss muss man dann auch von beiden Optionen ausgehen.
Endlich mal geschafft, Erster!
Und wozu soll das gut sein?
Zum Üben. Mathematische Aufgaben haben oft keinen praktischen Nutzen, außer dass man mit ihnen Grundlagen üben kann. Diese hier war mehr wie kleines Puzzel, das am Ende "passte".
Dasselbe = nein, Das gleiche = ja.
Am Ende zieht man ja die Wurzel aus 169. Es gibt bestimmt einen Grund warum man dort nicht minus 13 berücksichtigt aber er kommt mir nicht mehr in den Sinn 🫣. Dann wäre die Lösung Wurzel aus 12😂.
Der Grund ist, dass eine Wurzel an sich immer ein positives (bzw. nicht-negatives) Ergebnis liefert. Wenn man ein negatives Ergebnis haben will, dann muss _vor_ der Wurzel ein Minuszeichen stehen. Das steht hier aber eben nicht.
@@bjornfeuerbacher5514 Ach ja? 😮
Das wusste ich nicht. Dachte es wäre immer wie am Ende der Aufgabe als man die Wurzel aus 64 mit - 8 beantworten kann 🤔.
Ist wahrscheinlich etwas schwierig das hier zu erklären aber jetzt weiss ich wenigstens nach welcher Regel ich Googlen muss. Danke
@@h.g.buddne Leider schreibt Susanne bei 7:00 hinter den Strich nur die Wurzel (und leider macht sie das anscheinend immer so...), das trägt natürlich zu weiterer Verwirrung bei... In guten Mathebüchern steht hinter dem Strich _immer_ "plus minus Wurzel", um klar zu machen, dass man hier wirklich beide Ergebnisse haben will.
@@bjornfeuerbacher5514 Naja, habs mir mal so erklärt. Da ich ja selber quadriert habe am Anfang komme ich zum selben Punkt, ob das Ergebnis nun positiv oder negativ ist. Eigentlich muss ich also nur bei quadratischen Gleichungen zwei Ergebnisse berücksichtigen, ansonsten ist eine Wurzel immer positiv. Hmm, hab über Dekaden wohl einige Regeln vergessen.
Danke für die Auffrischung 👍
Die Idee , zuerst das Quadrat zu berechnen ist schon nicht naheliegend . Wenn man aber diese Idee hat ist der Rest Routine .
Müsste Wurzel aus 169 nicht auch -13 sein? Das wurde hier gar nicht in Betracht gezogen!
Bin jetzt durch alle Fragen durchgescrollt, meine war nicht dabei:
Ist a tatsächlich 19, oder doch "19 + Wurzel 192" und b wäre dann nicht "+/- Wurzel 192",
sondern "19 - Wurzel 192"?
Da hatte ich auch kurz gezögert. Aber (19 + Wurzel 192) (19 - Wurzel 192) steht ja zur Debatte. Wenn a = 19 und b = Wurzel 192, dann (a + b) (a - b), was dann wiederum die ditte binomische Formel ist und somit gleich a² - b² oder 19² - 192.
@@heinosackmann5599 Danke!
Boah, war diese Aufgabe nervig. Reine Fleißübung….
7:50
Ich stimme nicht zu 😔.
Die beide Wurzeln in die Frage können doch negative sien. Deshalb kann die Lösung negativ schon sein. Ich akzeptiere -8