Para el problema de a^b entre 1 y e podeis graficar la funcion como una funcion multivariable, pueden ir a desmos por ejemplo y graficar "x^y = y^x". La recta con pendiente 1 intersecta a la curva precisamente en "e", mientras que la curva tiende a +infinito en x = 1, es decir, todo valor por encima de la curva entre 1 y e dará como resultado que "a^b > b^a" y todo valor por debajo de la curva nos dara "a^b < b^a" pues la curva nos está dando exactamente los valores entre 1 y e para los cuales "a^b = b^a" cuando a toma valores entre 1 y e. Pueden agarrar la calculadora y probar valores para a entre 1 y e para los cuales se cumple que a^b = b^a y veran que cumplen. Esto sirve como herramienta para saber a priori si un valor de a y otro de b (cuando a está entre 1 y e) dará como resultado si a^b sera mayor o no a b^a. Espero que les sirva. PD: Si quieren ver de forma visual el campo pueden hacerlo en la web de geogebra, pueden graficar funciones en tres ejes como este es el caso y ver de forma visual toda la superficie donde se igualan o desigualan la expresión de f(x,y) = x^y - y^x (lo que seria a^b = b^a)
Hola. Se puede dar un estudio detallado de cómo realizar la comparación cuando se tiene x en ]1,e[ e y en ]e,+oo[, para comparar x^y con y^x, pero desafortunadamente no es simple de llevar a cabo sin algún apoyo computacional, o al menos usando métodos numéricos. Es el caso más difícil, pero paso a detallar el análisis que realicé. Etapa 1: Reducir el problema al estudio de una función más cómoda. Como la función ln es estrictamente creciente (en particular, inyectiva), es fácil darse cuenta que x^y > y^x ln(x^y) > ln(y^x) y*ln(x) > x*ln(y) ln(x)/x > ln(y)/y, y, por lo tanto, todo se reduce a estudiar la función f(t) = ln(t)/t para t>0, pues se ha probado que x^y > y^x f(x) > f(y). Etapa 2: Estudiar propiedades de f. Derivando f y analizando su signo, se obtienen las siguiente conclusiones (me limitaré al intervalo ]1,+oo[ ). 1) f es estrictamente creciente en ]1,e[, y además f( ]1,e[ ) = ]0, 1/e[ 2) f es estrictamente decreciente en ]e,+oo[, y además f( ]e,+oo[ ) = ]0,1/e[. 3) f alcanza su máximo en x=e. Etapa 3: Estudiar la ecuación f(t) = L, para un L en ]0,1/e[. Por la etapa 2, dado 0 y^x f(x) > f(y) = f(t) x>t, es decir, basta comparar x en ]1,e[ con t en ]1,e[, que es inducido por y. En resumen, el algoritmo es el siguiente: Paso 1: Defina L = f(y) = ln(y)/y, y observe que 0 < L < 1/e. Paso 2: Calcule t = exp(-W(-L)) y compare con x, aprovechando el hecho que f(y) = L = f(t). Paso 3: Decidir si x^y es mayor, menor o igual que y^x, según sea x>t, xt, se concluye que 2.2^5 > 5^2.2. Saludos.
Durante un tiempo también tuve esa interrogante e intenté averiguar por mí mismo cuál era la respuesta pues ninguna de las que buscaba me satisfacía. Sin embargo, no tenía el conocimiento suficiente para dar con la solución. Ahora tú traes este análisis que entendí perfectamente y me sorprendió cómo el número e aparece con tanta naturalidad aquí. Brillante, me encantó. Sigue con estos videos.
Muchas gracias, me encanto el video, la claridad de la explicación y la riqueza de los conceptos aplicados. Me motivas mucho a seguir explorando el conocimiento matemático. Saludos desde Colombia!
¡Gracias por tu comentario! La verdad, cualquiera que compatibilice bien con la grabación de la pantalla (he ocupado Leonardo, Whiteboard de Zoom, Blackboard de MS Teams. Todas funcionan perfecto y no hay mayor diferencia... ¡y en todas la letra me sale fea! 😂). Nicolás
¡Hola Luis Enrique! Es una buena pregunta. Lo que pasa es que la función f(x)=x^c tiene como derivada f'(x)=cx^(c-1), entonces, si x es positivo, tendremos que la derivada es positiva (por ende la función es estrictamente creciente), mientras que si c es negativo la derivada es negativa y la función es estrictamente decreciente. Si c=0 no tiene sentido aplicarlo porque ambos lados se convertirán en 1 (siempre y cuando la base no sea 0). Espero haberte ayudado y gracias por la pregunta. Nicolás
¡Hola! Cuando no se especifica, es usual tomar el dominio natural (en este caso x>0. Pudimos extenderla continuamente a x=0 pero no tendría sentido dada la comparación de potencias que queremos hacer). Pensé que había quedado claro al considerar inicialmente a,b>0, pero ahora que lo dices quizá habría sido mejor mencionarlo explícitamente antes del gráfico 🙂. ¡Gracias por comentar! Nicolás
¡Hola Alex! Como ambos números son mayores que "e", entonces puedes ocupar lo que deducimos en el video, en 14:11. Si quieres una técnica que no ocupe todo el desarrollo de este video, ve este video: ua-cam.com/video/ecS8lXA-X0Y/v-deo.html Divide ambos números y escribe lo que queda como 1/4(5/4)^4, que es lo mismo que 1/4(1+1/4)^4, para concluir que eso es menor que 3/4 (usando la técnica del video de arriba). ¡Espero que te sirva! 🙂 Nicolás
¡Hola! Tal como está definida, no, pero como el límite de f(x) cuando x tiende a 0 por la derecha es 0, entonces podemos extenderla continuamente a x=0. Nicolás
10:36 no me parece un razonamiento válido en la teoría de límites más bien creo que esta es una forma indeterminada y deberíamos de aplicar el método de L’Hopital !!….o estoy equivocado?
¡Hola! En el caso cuando x tiende a cero por la derecha no queda una forma indeterminada, pues ln(x) tiende a infinito negativo mientras que el denominador, x, tiende a cero por la derecha (más informalmente, podemos decir que queda -infinito/0, pero donde el denominador se acerca a cero por la derecha). Como el numerador se vuelve muy grande y negativo, mientras que el denominador se vuelve muy pequeño pero positivo, entonces la expresión tiende a un valor muy grande pero negativo. No es aplicable la regla de L'Hôpital porque no es un límite de la forma 0/0 o bien infinito/infinito, cosa que sí pasa en el siguiente límite, cuando resolvemos el caso cuando x tiende a infinito positivo. Nicolás
¿Se te ocurre una manera para resolver el caso en 17:28?
La solución no sería que el que tenga la base más cercana a e es el mayor?
@@sergiobasiliol.2371 el problema esta en cuantificar ese ''mas cercano''.
Para el problema de a^b entre 1 y e podeis graficar la funcion como una funcion multivariable, pueden ir a desmos por ejemplo y graficar "x^y = y^x".
La recta con pendiente 1 intersecta a la curva precisamente en "e", mientras que la curva tiende a +infinito en x = 1, es decir, todo valor por encima de la curva entre 1 y e dará como resultado que "a^b > b^a" y todo valor por debajo de la curva nos dara "a^b < b^a" pues la curva nos está dando exactamente los valores entre 1 y e para los cuales "a^b = b^a" cuando a toma valores entre 1 y e.
Pueden agarrar la calculadora y probar valores para a entre 1 y e para los cuales se cumple que a^b = b^a y veran que cumplen.
Esto sirve como herramienta para saber a priori si un valor de a y otro de b (cuando a está entre 1 y e) dará como resultado si a^b sera mayor o no a b^a.
Espero que les sirva.
PD: Si quieren ver de forma visual el campo pueden hacerlo en la web de geogebra, pueden graficar funciones en tres ejes como este es el caso y ver de forma visual toda la superficie donde se igualan o desigualan la expresión de f(x,y) = x^y - y^x (lo que seria a^b = b^a)
Hola. Se puede dar un estudio detallado de cómo realizar la comparación cuando se tiene x en ]1,e[ e y en ]e,+oo[, para comparar x^y con y^x, pero desafortunadamente no es simple de llevar a cabo sin algún apoyo computacional, o al menos usando métodos numéricos. Es el caso más difícil, pero paso a detallar el análisis que realicé.
Etapa 1: Reducir el problema al estudio de una función más cómoda.
Como la función ln es estrictamente creciente (en particular, inyectiva), es fácil darse cuenta que
x^y > y^x ln(x^y) > ln(y^x) y*ln(x) > x*ln(y) ln(x)/x > ln(y)/y,
y, por lo tanto, todo se reduce a estudiar la función f(t) = ln(t)/t para t>0, pues se ha probado que
x^y > y^x f(x) > f(y).
Etapa 2: Estudiar propiedades de f.
Derivando f y analizando su signo, se obtienen las siguiente conclusiones (me limitaré al intervalo ]1,+oo[ ).
1) f es estrictamente creciente en ]1,e[, y además f( ]1,e[ ) = ]0, 1/e[
2) f es estrictamente decreciente en ]e,+oo[, y además f( ]e,+oo[ ) = ]0,1/e[.
3) f alcanza su máximo en x=e.
Etapa 3: Estudiar la ecuación f(t) = L, para un L en ]0,1/e[.
Por la etapa 2, dado 0 y^x f(x) > f(y) = f(t) x>t,
es decir, basta comparar x en ]1,e[ con t en ]1,e[, que es inducido por y.
En resumen, el algoritmo es el siguiente:
Paso 1: Defina L = f(y) = ln(y)/y, y observe que 0 < L < 1/e.
Paso 2: Calcule t = exp(-W(-L)) y compare con x, aprovechando el hecho que f(y) = L = f(t).
Paso 3: Decidir si x^y es mayor, menor o igual que y^x, según sea x>t, xt, se concluye que 2.2^5 > 5^2.2.
Saludos.
Durante un tiempo también tuve esa interrogante e intenté averiguar por mí mismo cuál era la respuesta pues ninguna de las que buscaba me satisfacía. Sin embargo, no tenía el conocimiento suficiente para dar con la solución.
Ahora tú traes este análisis que entendí perfectamente y me sorprendió cómo el número e aparece con tanta naturalidad aquí.
Brillante, me encantó. Sigue con estos videos.
¡Muchas gracias por tus palabras! Espero que disfrutes el video del domingo que viene 😊.
Nicolás
Que video tan didáctico !! Felicitaciones 👏👏
Excelente demostración amigo y saludos a mis hermanos chilenos!!!!!!!!!!!!
Muchas gracias, me encanto el video, la claridad de la explicación y la riqueza de los conceptos aplicados.
Me motivas mucho a seguir explorando el conocimiento matemático.
Saludos desde Colombia!
¡Gracias por tus halagos, José! Espero que sigas disfrutando mis videos.
¡Muchos saludos a Colombia!
Nicolás
Un problema aparentemente capcioso y anodino con un magnífico enfoque abarcando muchos conceptos. Felicitaciones y adelante . Gracias
¡Muchas gracias por tus palabras! Más adelante haré un video ahondando más en el asunto. Espero lo disfrutes.
Nicolás
Excelente nuevamente, con todo respeto, podría hacer un vídeo de límites dobles utilizando el épsilon-delta, muchas gracias.
¡Gracias, Federico! Es la primera vez que me piden epsilon-delta para varias variables, buena idea Más adelante voy a hacerlo en el canal secundario 😊
Lindo video, gracias por la explicación y las demostraciones se aprecia muchísimo.
Saludos desde argentina
Excelente! Gracias por tu análisis
Hermoso, gracias, mas explicado no podria estar. Por cierto, q programa de pizarra virtual usas?
¡Gracias por tu comentario! La verdad, cualquiera que compatibilice bien con la grabación de la pantalla (he ocupado Leonardo, Whiteboard de Zoom, Blackboard de MS Teams. Todas funcionan perfecto y no hay mayor diferencia... ¡y en todas la letra me sale fea! 😂).
Nicolás
Excelente. Muchas gracias.
Increíble como explicas, muy concreto.
Es muy bueno este canal
¡Muchas gracias Pablo! Espero que sigas disfrutando de mi contenido 😊.
Nicolás
Me encantó
Hola brother sos un capo❤
Muchas gracias! Un abrazo 🤗
Disculpa, como sabes que sí 0
¡Hola Luis Enrique! Es una buena pregunta. Lo que pasa es que la función f(x)=x^c tiene como derivada f'(x)=cx^(c-1), entonces, si x es positivo, tendremos que la derivada es positiva (por ende la función es estrictamente creciente), mientras que si c es negativo la derivada es negativa y la función es estrictamente decreciente. Si c=0 no tiene sentido aplicarlo porque ambos lados se convertirán en 1 (siempre y cuando la base no sea 0).
Espero haberte ayudado y gracias por la pregunta.
Nicolás
Gran trabajo!
Me encanto el video muy bueno
Brutal
¡Me alegro que lo hayas disfrutado!
Nicolás
videazoooo
¡Gracias! Cómo pasa el tiempo 😪
Creo que me quede como el coyote cuando persigue al correcaminos. Que ve que Qué se le aleja hacia el horizonte antes de que apliques logaritmos.
Nos podrías explicar el caso de f(x)=x^(1/x) para a=2 y b=4?
Supongo que es porque 2
¡Hola! Lamentablemente el método no funciona si a está en ]1,e], b mayor que e. En 17:28 lo explico con más detalle.
Nicolás
@@StandenMath vale, eso pensé.
Buena bro
videazo
4:53 cual sería el dominio de esta función entonces??…creo que hubiera sido Bueno comenzar por definir su dominio, no?
¡Hola! Cuando no se especifica, es usual tomar el dominio natural (en este caso x>0. Pudimos extenderla continuamente a x=0 pero no tendría sentido dada la comparación de potencias que queremos hacer). Pensé que había quedado claro al considerar inicialmente a,b>0, pero ahora que lo dices quizá habría sido mejor mencionarlo explícitamente antes del gráfico 🙂.
¡Gracias por comentar!
Nicolás
@Standen Math 👍
Tengo un ejercicio que le estoy dando muchas vueltas, alguno me podría dar una mano? Es probar utilizando propiedades (sin calculadora) que: 4^5 > 5^4
¡Hola Alex! Como ambos números son mayores que "e", entonces puedes ocupar lo que deducimos en el video, en 14:11. Si quieres una técnica que no ocupe todo el desarrollo de este video, ve este video:
ua-cam.com/video/ecS8lXA-X0Y/v-deo.html
Divide ambos números y escribe lo que queda como 1/4(5/4)^4, que es lo mismo que 1/4(1+1/4)^4, para concluir que eso es menor que 3/4 (usando la técnica del video de arriba).
¡Espero que te sirva! 🙂
Nicolás
La función toca el punto 0;0 ?
¡Hola! Tal como está definida, no, pero como el límite de f(x) cuando x tiende a 0 por la derecha es 0, entonces podemos extenderla continuamente a x=0.
Nicolás
no entiendo el problema... no que a y b son intercambiables?
¡Hola! ¿A qué te refieres con a,b intercambiables? Escríbeme para poder ayudarte.
Nicolás
10:36 no me parece un razonamiento válido en la teoría de límites más bien creo que esta es una forma indeterminada y deberíamos de aplicar el método de L’Hopital !!….o estoy equivocado?
¡Hola! En el caso cuando x tiende a cero por la derecha no queda una forma indeterminada, pues ln(x) tiende a infinito negativo mientras que el denominador, x, tiende a cero por la derecha (más informalmente, podemos decir que queda -infinito/0, pero donde el denominador se acerca a cero por la derecha). Como el numerador se vuelve muy grande y negativo, mientras que el denominador se vuelve muy pequeño pero positivo, entonces la expresión tiende a un valor muy grande pero negativo. No es aplicable la regla de L'Hôpital porque no es un límite de la forma 0/0 o bien infinito/infinito, cosa que sí pasa en el siguiente límite, cuando resolvemos el caso cuando x tiende a infinito positivo.
Nicolás
@Standen Math Gracias por tu pronta respuesta Nicolas y ahora ya veo el punto!!….