ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ НА КЛЕТЧАТОЙ БУМАГЕ - ГРИГОРИЙ МЕРЗОН
Вставка
- Опубліковано 25 сер 2024
- Григорий Мерзон,
МЦНМО, «Квантик», НИУ ВШЭ
dev.mccme.ru/~m...
Статья «Площади многоугольников и тающий лёд» вышла в журнале
«Квантик» (kvantik.com/) №9 за 2018 год.
Такое доказательство формулы Пика придумал Christian Blatter («Another
proof of Pick’s area theorem», Math. Magazine, 1997, Vol. 70, № 3, P.
200).
Про многомерный вариант формулы Пика есть (более сложная) статья
«Целые точки в многоугольниках и многогранниках» (Матем. просв., сер.
3, вып. 25, с. 110-122; mi.mathnet.ru/m....
🎯 Поддержать популяризацию математики на Патреоне: / savvateev
Наши ресурсы: alexei_... / aleksey_savvateev / savvatan savvateev.live... savvateev.xyz t.me/savvateev...
"щас, подожди… не понимаю…" - как же приятно слышать это от маэстро!)
Очень крутое рассуждение. Просто обожаю когда тонну формул и выводов можно убить одним, хорошо продуманным предложением. Спасибо!
!!!!
Теорема пика тооп
Для пущей иллюзии рукопожатие нужно было делать левой рукой.
Зеркальный "Квантик" всё равно всё испортил :-)
Мы так и сделали с Горчинским в последнем ролике :-)))
реально левой
крутое видео!спасибо Алексей Владимирович за прекрасных гостей!!!!)
Ага, я выбирать друзей умею :-)))!!!
Блистательно, как и всегда!
Обожаю ролики с этой доской
Формула пика поможет всегда
Рамануджан кстати свои формулы выводил ИМЕННО формулой пика!!
@@lukandrate9866 Это вообще очень интересный кадр! Надо про него больше поизучать
Вопросы: есть ли формула для треугольной сетки? И ещё, расскажите о формуле шнурования Гаусса для площади многоугольника.
Если Гриша заглянет, он ответит!!
Формула на треугольной сетке есть - такая же как для квадратной. Любое доказательство формулы Пика, которое вам нравится - переносится более-менее дословно (потому что треугольная решетка аффинно эквивалентна квадратной, если угодно).
В связи с формулой шнурования Гаусса (и не только) - давно собираюсь рассказать про то как работает *планиметр* (такое замечательное _чисто механическое_ устройство, при помощи которого можно найти площадь любой криволинейной фигуры!)… может когда-то дойдут руки.
Единица измерения какая при вычислении?
Чесно, смотрел внимательно э, не дурак, но понял только что вода разливается равномерно и симетрично и с этого они офигели.
Посмотрим!
Маткульт, привет! Метод палетки :)
Прикольный тип ))
Гриша рулит!!!!!
Огораживание имеет значение. С ним получается дребедень в случае когда многоугольник имеет вершины (0, 0), (1, 0), (10, 1), (9,1) из-за забора не заполнятся внутренности.
Мышь (кл. бумага) родила гору! Спасибо!
Здесь есть ограничение по правилам построения фигуры. Линии прямые, а точки только в узлах. Вроде закономерно, что раз есть система построения фигуры, то есть и правило подсчёта площади. Наверняка и периметра. Произвольную фигуру так не посчитать
Я не очень понял про воду. Но если помимо стандартной сетки, представить еще одну с ячейками такого же размера, у которых центры это узлы изначальной сетки, то становится все понятно, какую часть от ячеек такой новой сетки нам брать.
Имхо. Надо было доказать, что формула имеет отношение к площади как таковой (обычно то площадь считают внутри фигуры, а не по вершинам фигуры). И речь была о том, что фиксированное кол-во льда при таянье покроет фиксированное кол-во площади, а как вода растечётся не принципиально, т.е. вид многоугольника для нахождения площади таким образом не принципиален.
Я сам тупил некоторое время :-)))!
Когда Григорий Александрович - твой учитель, особо интересно смотреть)
А когда ты по этой теме делала доклад - интересно еще больше
Update: черт, а чего я это видео-то тогда не смогла найти?...
Хочу спросить а в Бурятии в Улан-Удэ вы были?
Бывает теорема о вычетах, а бывает теорема о том, что не вытечет)
Алексей, расскажите, а как работа ет эта доска? Кажется, что вы стоите в Зазеркалье
Доска прозрачная и видео отзеркалено
@@user-bf4pu5zk9p ага, как говорится, минус на минус)
в каментах объяснили :-))!
Поможет для решения задачи коммивояжёра
Окей, "Через каждую сторону втекло столько же воды, сколько и вытекло", но как этот факт доказывает, что данная сумма является точной площадью фигуры с этими сторонами?
мне тоже данное доказательство показалось не до конца математически строгим
А дальше предыдущие рассуждения, про доли кругов
Это доказывает, что мы можем учитывать лёд только внутри фигуры, а он в точности равен площади этой фигуры
@@romichdinamit3674 почему лёд равен площади? Вот этого доказательства как раз и не хватает.
Да и каким образом факт, что сколько утекло столько и притекло доказывает, что мы можем учитывать лёд только внутри фигуры тоже не до конца понятно. Хотелось бы увидеть строгое математическое доказательство
@@user-di2rg7wx4x объём льда равен площади с точностью до пропорциональности толщины слоя воды, который из него получится. Мы можем считать эту толщину равной 1. Поэтому можно считать площадь "равной" объёму.
Теперь представьте, что вы растапливаете все столбики льда. При этом вода начинает заполнять всю плоскость, перетекая из точки в точку. Но поскольку, как показано в видео, сколько из ограниченной области вытекло, столько в неё же и втекло, то мы можем вообще не учитывать это перетикание, и просто считать, что всю эту область заполнил только тот лёд, который был в ней изначально.
3:20 стоп, это формула пика?!
Ниже будет сформулировано точно!
Математики на своей волне, как всегда
И эта волна - самая высокая !!!
@@user-rb8ux1no6j потому что льда много растаяло))
Очень интересно, спасибо. Правда интереснее сначала построить такую квадратную сетку ( например вот так www.geogebra.org/geometry/hvuvmhgy). Ну и доказать, что полученная сетка состоит из квадратов. Ещё раз спасибо за интересное видео.
*5:03** Это ведь формула Пика. Нужно ещё -1 написать*
а, всё
А если плоскость не симметрична относительно стороны типо если координаты вектора, лежащего на стороне {1,2} ????
Там поворотная симметрия относительно центра. Сколько утекло с одной половины, столько втекло в другую сторону.
@@SergeyPolozkov а, окей
Плоскость (на самом деле, решётка, конечно, а не плоскость) не может быть несимметрична относительно прямой, проходящей через узлы. А это значит, что реально, что мы все ледяные кружки сразу растопим, что поделим прямой через узлы, а потом растопим, никакой разницы.
Кто на даче ничему не удивляется - после дождя уровень воды во всех емкостях одинаковый )
Из Майкопа?
Гриша? Нет, из МЦНМО, это Москва !!!!
А, нет, записи не в Майкопе, а ещё на стеклянной доске в Москве, давно :-))
Ответ 3,5?
Ага!
Я просто по клеткам посчитал и предположил. Но формула очень полезная, огромное спасибо!
Господа, помогите решить такой парадокс. Мы знаем, что в солнечных сутках 24 часа, а в звездных 23 часа 56 минут и 4 секунды - то есть время за которое Земля делает оборот вокруг своей оси. Но Земле еще нужно около 4 минут, чтобы повернуться так, чтобы точка на перпендикуляре от центра Солнца до центра Земли встала на место, так как Земля вращается против часовой стрелки, а вокруг Солнца по часовой, если стоять на северном полюсе. То есть, в сутки 4 минуты без 4 секунд воруются у орбиты Земли вокруг Солна. Но тогда , если мы зазделим сутки на 3 минуты 56 секунд, мы должны получить 365 с неьольшим суток. Но расчеты показывают, что более 360 мы никак не получим. Вопрос, куда делись еще 5 с небольшим суток?
О чём речь?
((23•60)+56)•60=86160
3•60+56=236
86160÷236≈365,08
@@sav7775 извините, с арифметикой плохо, округлил с точностью до минуты, потерял 4 секунды и потерял 5 суток. СПАСИБО!
Всё вы врёти, нет таких решений, не верю!