✓ Задача про теннисный турнир. Комбинаторика решает вероятность | Ботай со мной
Вставка
- Опубліковано 30 січ 2022
- Экспресс-курсы и мини-группы по подготовке к ЕГЭ по всем предметам: trushinbv.ru/ege
Старт занятий - 7 февраля.
Купившим по ссылке, доступ к курсу по теории вероятностей будет предоставлен до 10 февраля.
Задача по теории вероятностей из открытого банка задач ЕГЭ: Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе: игроки случайным образом разбиваются на игровые пары; проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур, где встречается со следующим противником, который определён жребием. Всего в турнире участвует 16 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга -- Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придётся сыграть друг с другом?
Как поддержать канал:
Bitcoin: bc1qwzx9t9mz5h5q8sgtz74mdgedxd5wu0g9kq6q5m
Ethereum: 0xAE872DcA8B135cf62Df4B36bE576a2EE64c6066a
Регулярная помощь (Boosty): boosty.to/trushinbv
Регулярная помощь (UA-cam): ua-cam.com/users/trushinbvjoin
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Регулярная помощь (Sponsr): sponsr.ru/trushinbv
Разовая помощь (Ю-money, бывшие Яндекс.Деньги): yoomoney.ru/to/410011017613074
Разовая помощь (PayPal): paypal.me/boristrushin
Разовая помощь (Donation Alerts): www.donationalerts.com/r/bori...
Разовая помощь (Сбер): 2202 2001 0398 5451
В этом учебном году я веду три курса:
✔ «Подготовка к ЕГЭ по профильной математике с 0 до 70 баллов (10-11 класс)»: trushinbv.ru/ege70
Подойдёт и десятиклассникам, которые хотят уже за год до ЕГЭ стабильно решать на 70+, и одиннадцатиклассникам, которые почти ничего не знают, но хотят за год выйти на приличные баллы. На курсе освоим как всю тестовую часть, так и многие задачи из сложной части ЕГЭ.
✔ «Подготовка к ЕГЭ по профильной математике с 60 до 100 баллов (11 класс)»: trushinbv.ru/ege100
Для тех, кто уже знает математику на базовом уровне, и хочет за год освоить её на 90+. Там, в основном, будем учиться решать задания из сложной части ЕГЭ, но залезем немного и в некоторые содержательные задания из тестовой части.
(Если у одиннадцатиклассника есть достаточная мотивация, можно параллельно учиться сразу на двух этих курсах - trushinbv.ru/egepack - их программы согласованы между собой)
✔ «Подготовка к перечневым олимпиадам по математике (10-11 класс)»: trushinbv.ru/olymp
В первую очередь этот курс для одиннадцатиклассников, которые освоили стандартную школьную программу хотя бы на «четыре», и хотят за полгода подготовиться к олимпиадам типа Физтех, Ломоносов, ОММО и ПВГ, чтобы попробовать зацепиться за диплом хотя бы в одной из них.
Кроме того, доступны мои прошлогодние курсы в записи:
✔ «Подготовка к ОГЭ»: trushinbv.ru/oge9
Это запись большого годового курса, который я провел пару лет назад. В этом году у меня не будет новых курсов для 9 класса.
✔ Мини-курсы по отдельным заданиям ЕГЭ:
- Теория вероятности с нуля и до ЕГЭ (Задания 4 и 5): trushinbv.ru/egeTV
- Уравнения и неравенства (Задания 13 и 15): trushinbv.ru/egeAL
- Стереометрия (Задание 14): trushinbv.ru/egeST
- Экономические задачи (Задание 16): trushinbv.ru/egeEC
- Планиметрия (Задание 17): trushinbv.ru/egePL
- Задачи с параметром (Задание 18): trushinbv.ru/egePR
- Теория чисел (Задание 19): trushinbv.ru/egeTC
✔ Мини-курсы по перечневым олимпиадам:
- Олимпиада Физтех: trushinbv.ru/fizteh
- Олимпиада ОММО: trushinbv.ru/ommo
- Олимпиада Ломоносов и ПВГ: trushinbv.ru/lomonosov
Другие курсы Фоксфорда: trushinbv.ru/courses
Репетиторы Фоксфорда: trushinbv.ru/coach
Магазин мерча: trushinbv.ru/shop
Книжка от Трушина: trushinbv.ru/book
вКонтакте: ege_trushin
TikTok: / trushinbv
Twitter: / trushinbv
Instagram: / trushinbv
Telegram: t.me/trushinbv
Facebook: / trushinbv
UA-cam: / trushinbv
Личный сайт: TrushinBV.ru
Классная задачка, давайте еще больше теории вероятностей и комбинаторики
Второй ответ работает только для 50% так что он слабее. И еще дроби гораздо легче комбинаторики.
1/15+0,25*1/7+0,25²*1/3+0,25³=311/2240
В тексте задачи турнир по настольному теннису, а заставка про большой. Чувствую себя обманутым и требую пересчитать как про большой.
Ой (
Я сам не очень внимательно читаю условие ))
Да хоть по настольному футболу🤪
Кончно, там шарик большой, а в настольном маленьки1. Наверное, надо поделить 0бъёмы шариков и это числ учесть при решении
Какой всё-таки Борис обаятельный! Прямо светится внутренней добротой! Спасибо!
Борис, Вы поддерживаете во мне всё то лучшее, что может быль у учителя! Смотрю с удовольствием, вспоминаю, как в детстве продиралась через олимпиадные задачки без всякого маткласса, какое удовольствие от этого получала... Точно становлюсь добрее и терпеливее к своим ученикам. И это уже много лет. Спасибо!
Какой хороший тайминг: ролик про теннисную задачу аккурат после завершения Australian Open
Australian Open по настольному теннису? 🤔
@@23psa23 Логично
Можно бесконечно спорить о методах решение задач, о подходе к замыслу задач. О вкусах не спорят. У тебя есть самое главное: светлая душа, любовь к математике и умение излагать приятно, доходчиво.
Ты - Учитель!
можно попробовать объяснить так:
каждый тур в два раза меньше людей, следовательно легче встретиться (тоже в два раза), но и перейти в каждый последующий тур сложнее (вероятность пройти обоим 1/2*1/2) т.о.
первый тур: 1/15
второй тур: 1/15 * 2 * 1/2 * 1/2 = 1/30
третий тур: 1/30 * 2 * 1/2 * 1/2 = 1/60
четвёртый тур: 1/60 * 2 * 1/2 * 1/2 = 1/120
Переход в след. Тур имеет постоянную вероятность 1/4. А так все ОК. Вероятность выбора соперника с каждым туром растет ровно в два раза.
Я сначала даже не подумал о том, что нужно чтобы они не встречались в предыдущих матчах. Когда вы про это заговорили, пару минут сидел и тупил. Хорошая задачка, интересное решение
Мое объяснение уменьшения вероятности в 2 раза.
Точно так же как во втором способе вы считаете вероятность пары попасть в 15 из 120 пар.
Прошел весь турнир. Определились наши 15 пар. Среди них определились 8 пар первого тура, 4 пары второго тура, 2 пары третьего и одна пара последнего. Вероятность того, что конкретная пара встретится среди пар первого тура 8 / 120 (подходит 8 пар из 120).
Так как количество пар с каждым туром уменьшается в 2 раза (т.е. кол-во подходящих пар), то и вероятность нашей конкретной пары среди них оказаться уменьшается в 2 раза.
Даже можно не по количеству пар считать, а при вылете количество людей в каждом туре уменьшается в 2 раза
здравствуйте хочу попросит вас сделать выпуск про гиперболы, все то что нужно знать школьникам и чуть больше, а то появились в егэ задания а в школе маловато про это говорят
Поддержите лайком чтобы бвло в топах
Благодарю и низкий поклон за ваш труд, Борис!
ооо буквально недавно разбирал эту задачку руками, тяжело расписывая все исходы, а теперь увижу серьезный разбор. Кайф
Делишь 2 на количество игроков и получается ответ, работает всегда. Можешь проверить
Оба метода понравились, всё понятно. Первому методу отдаю предпочтение.
Здорово, что Вы показали два способа. Спасибо.
Спасибо за доступное объяснение
Борис, отличное видео для подготовки к собеседованиям)
Б.Трушин огромное спасибо за ваши подробные разборы задач.
Отличное объяснение, спасибо
Спасибо, очень понятно объяснили
В школе, сегодня решали, не смогли решить, а сейчас, я посмотрел и всё понял, спасибо!
Давно не было чего-то такого хардового , типа разбора одной задачи на полчаса. Можно что-то из недавних олимпиад , например, из закла ВП- одну из задач. А видео класс!
Очень хотелось бы увидеть что-то из олимпиад
Эта задача по уровню скорее и есть "что-то из олимпиад" )
@@trushinbv Конкретно про эту задачу не соглашусь, так как именно её я решил самой первой. Это с 4-ркой по алгебре и 3-кой по геометрии в аттестате. Правда ЕГЭ я сдавал трижды, но количество не всегда равно - качество. Лучший балл: 72 по математике и 81 по информатике. В общем - далеко не олимпиадный уровень.
Олимпиадник эту задачу точно осилит. Догадаться посчитать отдельно каждый тур - не сложно. А дальше нужно просто ничего не потерять при подсчётах. Да и до комбинаторного пути решения дойти можно.
Задача с викториной на порядок сложнее. Если турнир я решил минут за 15 (как и кубик), то с викториной промучался почти час.
А потом еще неделю искал общую формулу для решения такого типа задач.
Классное обьяснение второе 👍
Однажды, благодаря преподавателю с такой же четкой грамотной речью я заинтересовался наукой и меня не выперли с универа.
Понравилось,офигел со второго способа)
Самое замечательное,что я всё понял.
Спасибо!
Борис спасибо! Расскажите ещё пожалуйста про целую и дробную часть числа
Второе очень крутое рассуждение! Первым способом влоб где-то час думал и получилось...
Я считал немного по другому, примерно как в задачах про вероятности мальчиков сесть на определённые стульчики.
Ставим Алексея на край сетки (позиция 1) а затем, начиная с него, нумеруем по порядку позиции в турнирной сетке (стульчики). В принципе можно сразу пронумеровать стулья, а потом посадить Алексея на случайный, суть решения не изменится.
1) Вероятность встретиться в первом туре равна вероятности Ивана попасть на стул 2: 1/15.
2) Вероятность встретиться во втором туре равна вероятности Ивана попасть на 3 или 4 стулья (2/15) умножить на вероятности их побед в первом туре: 0,5^2.
/События Иван садится на стул 2 и Иван садится на стулья 3 или 4 очевидно несовместные/
Получаем 1/30
3) Вероятность встретиться в полуфинале: 4/15 (стулья 5 6 7 и 8) умноженное на вероятности 4-х побед (по две для каждого) в предыдущих турах. 4/15×0,5^4=1/60
4) Вероятность встречи в финале: вероятность Ивана попасть на стулья с 9 по 16, т.е. 8/15 умноженное на вероятности 6-ти побед: 8/15*0,5^6=1/120.
Дальше всё перемножается аналогично решению в видео. Решение в принципе то же самое, но мы сразу же избавляемся от неудобных дробей 1/7 и 1/3. И теперь мы видим причину падения ровно в 2 раза. Ведь вероятность встречи условных всепобеждающих Ивана и Алексея в каждой конкретной стадии растёт ровно в 2 раза. А вероятность их же, побеждающих 50 на 50 дружно пробиться в следующую стадию падает в 4 раза.
В точности так же решил её ещё когда она была первый раз озвучена, с таким подходом и факт снижения вероятности в 2 раза очевиден, да и решение устным становится.
отличный канал
Борис, спасибо вам за отличный контент! Мне кажется можно рассуждать горазадо проще в рамках решения "в лоб". Если набросать перед глазами сетку то легко видно что в первом туре шанс встречи 1/15. Во втором туре мы можем встретиться если наш друг играет на двух конкретных местах (в соседней паре сетки). Но естественно нужно победить обоим, поэтому 2/15*(1/2)^2. Для встречи в очередном туре подходит уже 4 стартовых места, добавляем 4/15*(1/2)^4. Ну и в финале нас устроит если друг начинал в любом месте другой половины сетки относительно нас. 8/16*(1/2)^6. Собственно слагаемые такие же как у вас после всех сокращений, но по моему быстрее и сильно меньше шансов ошибиться.
Отличное видео. Давайте добивать задачи из списка Ященко. Спасибо!
Последнее решение замечательное, использует данные максимально экономно.
Вот прям уже сама хочу посмотреть курс про вероятность. Может, ещё что-нибудь сюда попадает? Интересно.
8:10 мое объяснение:
на каком то этапе турнира (любом) количество участников равно:
2^k
тогда вероятность что два определенных участника не встретятся:
1-1/(2^k-1)
Или:
(2^k-2)/(2^k-1)
ИЛи, рассмотрев только числитель:
a=2*(2^(k-1)-1)
На следующем этапе людей будет уже:
2^(k-1)
Вероятность, что два конкретных игрока встретятся:
1/(2^(k-1)-1)
Или, рассмотрев только знаменатель:
b=2^(k-1)-1
Видно, что a=2b вне зависимости от k (этапа турнира)
Да-да, вот это я и имел в виду под "формально расписать в общем виде" )
Классно
Аккуратно объяснить:
Вероятность встречи в каждом следующем этапе, без учета, что до этого этапа нужно дойти - в два паза больше, чем в предыдущем
А вероятность, что оба парня дойдут до следующего этапа, с каждым этапом становится в 4 раза меньше, поскольку шансы пройти конкретный этап вдвоем - 1/4
По итогу выходит, что с каждым этапом вероятность встречи умножает результат на 2, а вероятность прохода в этот этап - на 1/4. 2*(1/4) = 1/2 - это шаг геометрической прогрессии, где члены - вероятность встречи парней в каждом этапе
Второе решение, но строго: рассмотрим 120 событий вида {игроки i и j встретились в рамках турнира}. В силу симметрии они все имеют равные вероятности. Но каждая из этих вероятностей есть матожидание индикатора соответствующего события. Сумма этих ста двадцати индикаторов равна 15 с вероятностью 1, то есть матожидание каждого из них равно 15/120=1/8.
Спасибо, мне больше второе решение понятно
Можно решить через составление турнирной сетки. Мы выбираем, в каких начальных позициях сетки находятся наши игроки (жребием в таком сценарии можно принебречь). Далее считаем, сколько пробел должно было произойти. Тогда легко заметить по структуре сетки, что вероятность встретиться в n-ом туре из 2^k участников - (2^(n-1)/(2^k-1)) * (1/4)^(n-1). Из формулы как раз очевидно, и по структуре интуитивно понятно, почему вероятность уменьшалась в 2 раза на каждом этапе)
Борис, я вам вдячний за вашу роботу, за вашу позицію і за ваш канал. Дивлюся ваші відео і згадую свого викладача - Ясінського В.А. Олімпіадник був сильний. Та ви його точно знаєте...
Сидит стройбан ( мужик 40 лет работающий....... руками) и кайфует от такого контента.
П. С. как-то это связано с биномом ньютона из вашего канала, когда вы переберали буквы в слове математика, да или нет, желаю вам добра!
Здравствуйте, БВ! Когда решал стереометрию в ЕГЭ, столкнулся с формулами площади поверхности. Можно их как-то выводить, чтобы проще запоминать?
Площади поверхностей это площади плоских фигур, сторонами которых будут длины объемной
Конус при разложении даёт две окружности и прямоугольник, одна сторона которого это высота конуса, а другая это длина окружности . Таким образом стараешься разложить любую объёмную фигуру и найти площади ее граней а потом посокращать чё можно
Не лучший из меня учитель, но надеюсь помог
Как же много вероятности
Скорее всего вероятность уменьшается в 2 раза с каждым туром потому что вероятность пройти и первому, и второму 1/4, но в то же время количество прошедших игроков в следующий тур уменьшается на 2. Т.е. 1/4 : 1/2 = 1/2
Я тупанул сначала, посчитал число перестановок в первом раунде, то есть С по 2 из 16, получилось 120 вариантов, и решил, что вероятность попасть сразу вместе 1/120. Не учел, что нам не только одна из 120 подходит...
Будет ли стрим типа "Порешаем регион"?
Побольше теорвера 👍
Жду видоса :)
Не могу найти про показательное уравнение с параметром, где надо найти все а, при которых все корни лежат на данном промежутке.
Например, 3а^2х - 16^х + 2*(4а)^х = 0, надо найти все положительные а, если все корни на [-2;-1]
Дошел до (4/а)^х = -1 в совокупности с (4/а)^х = 3, что дальше делать не знаю
Сейчас решил каким то подбором, но не думаю что на егэ это прокатит
Была у меня эта задача. На экзамене по ТерВеру. В ВУЗе. 25 лет назад.
По поводу того, почему вероятность уменьшается в два раза с каждым туром.
В любой конкретной игре любая пара игроков встретится с одной и той же вероятностью. А это значит, что вероятность того, что в данном туре встретится наша пара игроков пропорциональна количеству игр в туре. Поскольку количество игр каждый раз уменьшается в два раза, то и вероятность должна тоже уменьшаться в два раза.
Ну во втором решении мы просто считали матожидание.
Например, взяли готовую таблицу результатов турнира и заполняли случайными именами, в каждом матче матожидание искомой пары равно 1/120, всего 15 матчей в таблице.
Про то как понять, что вероятность падает в два раза, не считая все вероятности:
1) я нарисовал начало турнирной таблицы, и сказал, что в первой ячейке находится один из двух друзей
2.1) чтобы он сыграл с другом в первом раунде друг должен находиться в одной определенной ячейке около него
2.2) чтобы друг сыграл с ним во втором раунде, то он должен быть в одной из двух ячеек + они оба должны пройти в следующий раунд
2.3) чтобы друг сыграл с ним в третьем раунде, то он должен находиться в одной из четырех ячеек и они оба должны пройти в следующй раунд дважды
3) тогда вероятность того, что они встретятся в каком-либо раунде:
p(a) = 2^(a - 1) / (n - 1) * v1^(a - 1) * v2^(a - 1)
где
a - номер раунда от 1 (если считать от 0, то формула будет выглядеть более опрятно)
n - кол-во игроков в турнире
v1 - вероятность выиграть раунд первого друга
v2 - вероятность выиграть раунд второго друга
4) если подставить в полученную формулу их вероятности победить, то получим вот это:
p(a) = 2^(a - 1) / (n - 1) * (1/2)^(a - 1) * (1/2)^(a - 1)
сокращаем 2^(a - 1) с (1/2)^(a - 1) и получаем
p(a) = 1 / (n - 1) * (1/2)^(a - 1)
=> можем заметить, что при увеличении номера раунда на 1 вероятность просто уменьшается в два раза для данных значений
вообще в целом можно сделать вывод, что если там два друга, и у одного вероятность выиграть это 1/2, то с каждым раундом вероятность встретиться будет домножаться на вероятность выиграть второго друга (потому что она и остется как второй множитель в формуле)
В первом решении можна рассуждать немного по-другому и тогда видно, что вероятность встретиться в следующем туре уменьшается вдвое. Если нарисовать турнирную сетку и в какой-то ячейке поместить Ивана, то вероятность встретиться в первом туре - 1/15. Смотря на турнирную сетку, видно, что если они встретятся во втором туре, то у Алексея две возможные ячейки. Также, они оба должны выиграть, значит вероятность встретится во втором туре - 2/15*1/2*1/2=1/15*1/2
Теперь видно, что чтобы всретится в следующем туре, количество возможных вариантов для размещения увеличивается вдвое, вероятность дойти до этого тура у каждого участника уменьшывается вдвое. Поэтому, если вероятность встретится в каком-то туре =k, то в следующем =k*2*1/2*1/2=k/2
Нужно число встреч поделить на число пар.
Кстати, ровно этим можно объяснить, почему в каждом следующем туре вероятность встречи в 2 раза меньше.
Первый вариант, судя по всему, более универсальный - он будет работать и в случае какой-то неравной вероятностью победы каждого игрока в паре. Просто для каждой пары меняем 1/2 на нужную вероятность. А вот второй вариант с комбинаторным решением работает только если вероятность победы для каждого игрока одинакова.
Спасибо за видео! Вопрос: насколько усложнится задача, если скиллы игроков будут чуть-чуть различаться.
1) Вероятнее всего перестанет работать второй способ решения.
2) Сложность решения первым способом будет зависеть от того, как именно будут заданы "скилы".
Например если вероятности побед Ивана и Алексея над любым игроком (кроме них двоих) будут заданы конкретными значениями, мы просто напросто поменяем 0,5 в расчётах на эти значения.
Если игроков расставят по силе от 1 до 16 места, где более сильный всегда побеждает более слабого а Иван и Алексей будут 3-м и 4-м по силе, - придётся считать не только вероятности встречи по стадиям, но и вероятности "увернуться" от двух более сильных игроков. А начиная со второй стадии еще и учитывать, что самый сильный мог выбить второго по силе.
В общем - усложнить жизнь решающему можно. Было бы желание.
Для первого решения не сильно. Второе вообще не сработает. И как решение его кстати на егэ не примут.
@@user-gx3rx8wn4n
Ну давай зададим эти вероятности.
Допустим у нас есть: 4 фаворита, 8 середняков (в т.ч. Иван и Алексей) и 4 аутсайдера. Фаворит выигрывает у середняка, а середняк у аутсайдера с вероятностью 0.6. Фаворит выигрывает у аутсайдера с вероятностью 0.9. Если встречается пара фаворитов, середняков и аутсайдеров, вероятность победы: 0.5.
Остальные условия задачи остаются в силе.
Разные вероятности заданы. Решение первым способом изменится прямо таки немного?
Понятно, что если поменять вероятности побед лично для Ивана и Алексея (допустим вероятность победы над остальными игроками по 0.65), то в расчётах первым способом достаточно будет заменить все 0,5 на 0.65. Но если вероятности побед станут разными не только у них двоих, а разом у всех участников турнирной сетки?
@@user-gx3rx8wn4n И хотелось бы узнать, каким образом не примут решение вторым способом? Учитывая, что в задании #10 от экзаменуемого требуется только голый ответ?
почему мы в случае, например, третьего матча, учитываем вероятность, что они не встретились в первом раунде 2 раза? то есть для него самого первого раунда, но и для второго раунда это тоже учитывается?
Прикольно
Відносно коефіцієнта 2. Фінал - один, півфіналів - два, чвертьфіналів - чотири, тому ймовірність попасти у півфінал у два рази більша ніж у фінал бо їх є два і так далі. Це добре видно коли намалювати дерево ігор, або в спорті - сітку зустрічей.
Короче если сетку нарисовать и посчитать для каждой позиции вероятность, то становится очевидно почему вероятность в два раза отличается, не смотря на то что шанс прохода уменьшается в четыре раза количество подходящих позиций удваивается .
ты очень крутой
Мне очень понравилось, потому что я час назад прочитала эту задачку и мне не с кем ее было обсудить. Удваивается знаменатель из-за вероятности 1/2. Есть у меня подозрение, что эта задачка старше Вас, Борис.
да, отлищная задачка!
Попробовал до просмотра видео решить. Получилось примерно 12.22%. Ща посмотрим правильный ответ
Вероятность пройти в следующий тур у одного участника 1/2. У второго так же 1/2. Но участников в следующем туре в два раза меньше чем в предыдущем, поэтому шансы встретиться вырастут в 2 раза. В итоге вероятность встретиться в следующем туре это Х*0.5*0.5*2., где Х - вероятность рассчитанная для предыдущего тура.
8:11 если Ваня дошел до n-ого этапа турнира то какова вероятность на этом этапе встретить определенного игрока?
Такая же, как и встретить любого другого определенного игрока, потому что от игрока ничего в условии задачи не зависит, то есть 1/15. (У каждого игрока одинаковые шансы не попасть против Вани в 1 раунде, пройти во второй, не попасть опять, пройти дальше и т.д. пройти в n раунд и именно в нем попасть в пару к Ване)
Поэтому зайдя в турнир Ваня встретит Лешу на n-ом этапе с шансом 2^(-n+1)* 1/15.
И эти шансы можно смело складывать, так как события "Ваня встретил Лешу на n этапе" не совместимо с событием "Ваня встретил Лешу на k|k!=n этапе"
кажется, я не первый с таким объяснением, но на всякий случай
Вот тебе Борис задача для рубрики я думаю тебе понравится : завод выпускает детали его станок с вероятностью s выпускает годную деталь. На заводе есть система проверки которая с вероятностью q может признать годную деталь негодной и с вероятостью p негодную годной. Вопрос: какова вероятность того что система проверки выевит среди n деталей ровно m годных?
Скажите, желательно ли наизусть знать умножение двузначных чисел?
@@wers200 А таблицу квадратов после 10?
11*11, 12*12...
Просто из понимания равной вероятности результатов поединков, в каждом новом туре вероятность выхода двух означенных противников 1/2, а количество пар участников уменьшается в два раза. Значит, вероятность встретиться в следующем туре 1/2*1/2*2= в 2 раза меньше чем в предыдущем, нет?
12:10
Не помял, можно пожалуйста разжевать. Как мы поняли, что посчитали в два раза больше чем нужно?
Как я должен мыслить,что бы понять,что нужно делить на два?
Или Мы делим на два потому, что перемножили человек, а пар в два раза меньше .
Тогда зачем говорить, что мы "каждую пару" посчитали дважды, это вводит в заблуждение.
Мне привычнее на примере жеребьёвки плей-офф Лиги Чемпионов УЕФА такие задачки рассматривать. Какова вероятность того, что встретятся Арсенал с Ливерпулем или Реал с Барселоной
В институте решал. Провинциальном. Для инста задача была простая. Для школы... ну не знаю, видимо кому как.
Ну нам во время комбинаторики в школе просто дали формулу n!/(n-k)!k! где n это полный набор чисел, а k это число перестановок, и такие задачи мы решали за полминуты. Кому надо себе на заметку возьмите или прогуглите nCk formula. Последнее решение Бориса, это как раз эта формула, уже сокращенная.
Если что, ! это факториал числа, то бишь перемножение всех целых чисел от нуля до числа. Пример: 5!=1*2*3*4*5.
Насчет перестановок и набора, хз, у нас это set и permutation, перевел через гугл транслейт
Ошибся на самом первом туре... Пойду повторю теорвер)
По лобовому способу и наглядному объяснению почему же на каждом шаге шансы падают в 2 раза:
Просто нарисуйте стандартную сетку плэй-офф турнира на 16 участников. Заодно сразу поставьте одного из участников на самую первую позицию. Аргументация - т.к. шансы на победу в любом поединке у всех равны, то не суть важно где он в итоге окажется. Ситуация всегда будет симметричной. Теперь шансы на нужную пару в 1-м туре(1/8 финала) 1/15. Только если второй участник попадёт в пару к первому. Для встречи нужной пары во втором туре(1/4 финала) второй участник должен попасть во 2-ю пару, то есть на 3 или 4 строчку "посева". Значит количество подходящих мест при начальной жеребьёвке возросло в 2 раза, но шанс, что оба интересующих нас игрока победят в своих матчах, по условию 1/4(50% в каждом из 2 матчей). Вот мы и получили сокращение шанса на стык во втором раунде в 2 раза. Аналогично будет для каждого следующего шага. В 2 раза больше подходящих позиций старта, но в 4 раза меньше шанс на проход. И да. Самое главное - не забыть в конце сложить все шансы с первого по последний этап.
P.S.
Комбинаторикой решить эту задачку действительно проще, благодаря условию про равные шансы. Так что полностью соглашусь. Главное - понимание где можно легко применить тот или иной способ решения
Я вообще хотела нарисовать турнирную сетку-граф, чтобы не запутаться, и пассуждать примерно как во 2 случае
А можете подсказать почему мы в конце вероятности складываем?
Нам подходит любое из этих четырех событий. Они не совместны, поэтому вероятность того, что какое-то из них произойдет равно сумме вероятностей
Спасибо большое, теперь понял. Только вот еще кое-что спросить хочется, что вы имели ввиду под "совместны"?
@@wertyozok5347 Несовместны - значит не могут произойти одновременно. Например в данной задаче Иван и Алексей не могут встретиться одновременно в 1/8 и финале. Как и на любых других двух стадиях.
Совместные события: это, например, встреча пары Иван и Алексей и пары Иван и Дима. Одно событие другое не исключает. Но как только нас спросят о вероятности встречи Алексея с Иваном или Димой в финале (или в первой игре) - события сразу же станут несовместными, т.к. Алексей не может сыграть на одной стадии одновременно с двоими инроками. Если это, конечно, не парный турнир.
@@wertyozok5347 события называются несовместными, если они не могут произойти одновременно. Посмотрите, у меня пару месяцев про это был ролик
@@trushinbv хорошо, спасибо вам
Была задача, где 50 человек и при нечетном количестве участников один случайный автоматически проходит в следующий тур, а остальные играют с той же вероятностью 0.5 на победу. Там конечно вычисления объёмнее выходят
Первым способом - да, сложновато. Особенно когда техпобеды не выдаются сразу же в первом раунде, чтобы во втором осталось ровно 32 игрока (тогда достаточно отдельно взять случаи, когда Иван и Алексей начнут турнир оба с 1/16, оба с 1/32, и один с 1/32, другой с 1/16). А когда выдаются начиная со второго тура, когда там останется 25 игроков из 50-ти.
Причём сведутся оба этих случая к одному ответу.
А вот решение вторым способом не усложнится. Делим число пар на число матчей в сетке и получаем ответ.
Даже попробую решить.
Пусть участниками будут те же Алексей и Иван.
Для Алексея имеем:
1) 1 - вероятность сыграть матч в 1/32.
2) 24/50 - вероятность сыграть матч в 1/16. Пройти во второй тур и сыграть там матч смогут 24 игрока из 50. В следующий выходят 13 игроков.
3) 12/50 - вероятность сыграть игру в 1/8. 6 играющих пар + 1 побеждающий автоматом. Итого останется 7 игроков.
4) 6/50 - вероятность сыграть в четвертьфинале. Останется 4 игрока.
5) Игра в полуфинале: 4/50
6) Игра в финале: 2/50.
В среднем за турнир у Алексея: 1+24/50+12/50+6/50+4/50+2/50=98/50 = 1,96 игр.
В этих 1,96 играх 49 потанцевальных противников, значит вероятность пересечься с одним конкретным из их числа (Иваном) 1,96/49=0,04.
Проверяем ответ через решение вторым способом:
Всего у нас (50×49)/2=25×49=1225 пар. И 49 игр в турнире.
49/1225=0,04.
Вроде не налажал.
Если по условию все техпобеды будут распределены на стадии 1/32 турнира: 18 пар играют в первом туре, 14 игроков проходят автоматом. Значит Алексей в среднем сыграет: 36/50+32/50+16/50+8/50+4/50+2/50 = те же 98/50 игр в среднем за турнир. Дальше задача сводится к первому решению.
В комнате 5 человек и 3 выхода, каковы шансы что минимум трое воспользуются одним и тем же выходом?
Потрібно зрозуміти, що якщо Ваня і Саша гратимуть у фіналі то це означає, що вони ще не зустрічалися раніше . Якщо скласти список на початку турніру то буде 120 пар, в кінці турніру буде 15 пар, одна з них - Ваня і Саша, інакше вони би зустрілися раніше і один з них точно б вилетів
Мне более логичным, красивым и понятным показался второй способ. Классная задача!
Только он не работает для игроков разной силы. Первый правильный.
@@user-gx3rx8wn4n А первый работает? Возможно Вы при расчете вероятности как-то учитываете рейтинги игроков, но я и без этого с трудом разобрался в этой задаче.
@@servenserov первый всегда работает второй только при равной вероятности.
За решение вторым способом вам поставят 0 баллов.
@@user-gx3rx8wn4n Да, я ни первым, ни вторым самостоятельно бы не решил. Даже без учёта рейтинга это весьма непростая задача.
@@servenserov вроде бы она элементарная и решается по банальному алгоритму
Ля залип на пол часа) охуенно!
Тут всего 16мин😂отлипай уже
А если у нас для каждой пары есть свое соотношение вероятностей победы, типа таблицы, в которой будет указана вероятность победы у одного из соперников пары? Тогда пары уже не равноправные будут?
Да
Эти дни теннис популярен
Каждая следующая вероятность в два раза меньше потому что Иван в каждом следующем туре встречается с одним из случайных для него игроков и вероятность, что это Алексей 1/15. Но вероятность, что он участвует в первом туре 100 процентов, во втором 1/2, в третьем 1/4, в четвертом 1/8. Вот и получаем 1*1/15+1/2*1/15+1/4*1/15+1/8*1/15 =8/120+4/120+2/120+1/120=15/120. Иначе говоря, нам не важно, как играют в других играх соперники, нам важен, что каждый из соперников Ивана может с одинаковой вероятностью оказаться Алексеем 1/15. А вот вероятность выхода Ивана в каждый новый тур всегда уменьшается ровно в два раза.
Все задачи такого типа решаются просто деление двух(игроки которые должны встретиться) на 16( кол-во команд). Проверял на разных задачах везде ответ сходится, так сказать лайфхак.
Добавляем в условие задачи матч за 3 место и всё, лайфхак накрылся медным тазом.
Пользуясь лайфхаками, надо понимать, почему они так работают.
В задачах #10 про викторины из сборника ответы тоже равны (n+1)/(n+2), где n число игр, выигранных по условию командой А. Подставляешь одну циферку и ответ готов.
Но стоит чуть чуть подкрутить условие (например спросить про вероятность победы команды А в двух сдедующих играх) и лайфхакер останется с носом.
Второе объяснение вообще кажется элементарным...когда тебе его по полочкам разложили.
Только оно не подойдет для игроков с разной силой.
сегодня эта задача попалась на пробнике, который писала вся Москва
вкусняха
Мое простое объяснение уменьшения вероятности вдвое: Так как все участники имеют одинаковые равновероятные шансы в любом матче, то вероятность НАШЕМУ игроку в каком-то (любом) туре получить в соперники одного КОНКРЕТНОГО игрока одинаковая и равна 1/15. А вот вероятность его собственного прохода в каждый следующий тур равна 1/2 (вероятность его победы) Вот и все.
Неправильно
Удивило, что 120 пар получили без формулы для количества сочетаний.
1. Если вы следите за турнирами абсолютно любого спорта,то вы знаете как выглядит турнирная сетка. Если игрок Х занимает 1 место из 16, то игрок У может занять 15 различных мест. Чтобы встретится в финале с Х, игроку У надо быть в 1 из 8 возможных мест(в 7 оставшихся он встретится с Х раньше). Чтобы встретится с Х в полуфинале будет уже 4 места(тогда мы рассматриваем в 2 раза меньше пар, потому и мест в 2р меньше)и т.д. .Чтобы оба игрока прошли в след раунд(исключая возможность их встречи) надо чтобы вероятность 0.5 сработала дважды. Получается что с каждым следущим раундом мы делим вероятность на 4 и умножаем на 2. Потому с каждым раундом вероятность в 2р меньше.
2. Задача была бы интересней, если использовать систему двухуровневой сетки турнира(когда игрок проигрывает матч он падает с основной сетки в нижнюю, и вылетает с турнира проиграв дважды). Если бы я небыл ленивой жопой, то тут был бы ответ для такого варианта условия
Кстати если немного подумать, то есть совсем лентяйский способ ответа на задачу такого типа(с олимпийской системой турнира, честным жребием и равной силой участников).
При условии "слепого" жребия, когда у всех состязающихся равные шансы попасть друг на друга, и при равных силах, обеспечивающих шансы победы 50 на 50, шанс увидеть конкретную пару всегда равен начальной стадии(1/8 или 1/64...). То есть единице делённой на половину от количества участников.
Доказательство утверждения тоже будет лентяйское на конкретном примере комбинаторики, небрежно переведённому в общий вид.
В нашем случае было 16 участников и итоговый ответ 1/8 что совпадает с утверждением.
А теперь переведём использованный расчёт в общий вид:
Для начала немного позаменяем.
Количество участников турнира(16) назовём P
Количество пар участвовавших в турнире(15) назовём C
Так как система олимпийская, то количество пар в турнире(C) всегда равно количеству участников(P)-1. Это суть такого турнира. Разбить участников на пары и каждый раз сокращать количество пар в 2 раза пока не останется одна пара.
Получили равенство C=P-1
И вернёмся к решению
Количество пар, участвовавших в турнире мы делили на общее количество возможных пар. А общее количество возможных пар это количество участников турнира умножить на количество участников турнира-1 и разделить на 2
То есть в буквенном виде:
С*2/(Р*(Р-1))
Или выразив C через P:
(Р-1)*2/(Р*(Р-1))
Сокращаем
2/P
ЧТД
О, такое приятное решение
Мне на пробнике встретилась эта задача, но с количеством участников 20. Я в замешательстве, что мне делать с "переходящими игроками" и как их считать, чтоб ответ нормальный получился? Неужели в любом случае вероятность будет в 2 раза меньше?
Ничьих нет, есть проблема с игроком, который остается 5-м и не участвует в очередном турнире. Описать корректно такую ситуацию становится очень трудоемко и условие про 20 участников предполагает применение комбинаторного метода.
@@user-rh5rj9pf6vизвиняюсь, я уставший написал ничьих, а не "переходящих игроков". В условие было "если в конце раунда остаётся неровное число участников случайный игрок оставшийся без пары переходит в следующих раундах". Не смотря этот обзор дорешал до этих ничьих и сдался. Сейчас решил разобраться и так и не понял что мне с этими ничьими делать)))
Здравствуйте у меня есть интересная задача. У футбольном турнире учавствует 16 команд по регламенту каждая команда должна сыграть с каждой по 2 раза; за победу начисляется 3 очка, за ничью 1, за поражение о вопрос : возможно ли, что три команды по окончанию турнира наберут одинаковое количество очков при этом у них будет одинаковое количество побед, ничьих и поражений?
Открою страшную тайну: все 16 команд могут набрать одинаковое количество очков и иметь по 10 побед, ничьих и поряжений.
Присваиваем командам 4 цвета: красный, белый чёрный и жёлтый. По 4 команды каждого.
Красные в личных встречах побеждают белых, белые чёрных, чёрные жёлтых, жёлтые красных.
Красные против чёрных и белые против жёлтых играют вничью.
Внутри каждой четвёрки одного цвета нумеруем команды с 1 по 4.
1 побеждает против 2, 2 побеждает против 3, 3 побеждает против 4, 4 побеждает против 1.
1 против 3 и 2 против 4 играют вничью.
Нетрудно посчитать, что какой бы цвет и номер мы не взяли, у него будет 10 побед (8 по цветам, 2 по номеру), столько же ничьих и поражений. И по 40 очков за турнир.
Равное число побед, ничьих и поражений возможно для любого ткрнира с 1+3n команд, где n - натуральное число. Разумеется, если все команды сыграют одинаковое число личных встреч.
Доказательство:
Нумеруем команды и расставляем их по кругу. Как цифры на циферблате часов. Если любая команда будет выигрывать у n команд впереди неё по часовой стрелке, проигрывать n командам позади себя, а с остальными n команд играть в ничью, она получит а*n побед, ничьих и поражений в турнире. Где а - число личных встреч двух команд.
Для турниров с числом команд не равным 1+3n равное количество побед, ничьих и поражений у всех команд невозможно, так как число матчей одной команды не делится нацело на 3.
Исключение - турниры с а=3k личных встреч двух команд, где k - любое натуральное число. В этом случае нам достаточно k побед, k ничьих и k поражений в личных встречах во всех парах команд.
Подытожим.
В турнире, с А участников где все участники проводят K личных встреч друг с другом, ситуация, когда у всех команд будет Х побед ничьих и поражений (при натуральных А и К) возможна:
1) При А равном 1+n участников, где n - натуральное число. Другими словами при А равном 4, 7, 10, 13, 16 и т.д. участников. При этом К может принимать любое значение.
2) При К равном 3m личных встреч, где m - любое натуральное число. Другими словами, при 3, 6 9, 12 и т.д. личных встреч. При этом А может принимать любое значение.
В остальных случаях равенства побед ничьих и поражений добиться невозможно, так как любая команда не сможет сыграть число матчей, кратное 3-м.
Быквы чуть поменял, чтобы не было разночтений.
Очевидно же что хоть сколько команд может иметь одинаковый результат, если будут играть между собой вничью и одинакого с остальными. Хоть все 16 из 16 ти.
У меня вот только один вопрос. Это точно егэ? Когда я учился в школе, что такое комбинаторика я не знал. Когда я учился в институте, я не знал что это. К своему стыду, само понятие комбинаторики я узнал на этом канале. Я 22 года назад закончил школу и задачи на комбинаторику не встречал нигде, даже на школьных олимпиадах. Это реально нужно в школе знать? Мы даже в институте теорию вероятности проходили вскользь. Учился в техническом вузе на специальности «электропривод», закончил в 2004 году
По моему вполне нормально, когда школа даёт те знания, которые могут пригодиться в дальнейшем обучении. Хотя бы на самом базовом уровне.
Сейчас в вузах очень много IT-специальностей, на которых без знания тервера учиться сложновато.
Если же условный школьник - гуманитарий и не горит желанием поступать на физмат или информационные технологии, всегда можно сдать базовый вариант ЕГЭ. Который на порядок легче.
Мне кажется, во втором способе равноправность этих пар нужно доказывать более аккуратно. Потому что если наши друзья - днища и выигрывают с вероятностью 1/4, все эти рассуждения не верны и "хитрый способ выбора пар" имеет значение. Соответственно, надо доказывать, что при 1/2 таки не имеет.
Наши "днища" выигрывают с вероятностью 0,5 по условию. Без всяких "если 1/4".
Из этого 0,5 следует, что участие любого игрока в любой игре на любой стадии турнира равновероятно относительно остальных игроков.