Борис, Вы поддерживаете во мне всё то лучшее, что может быль у учителя! Смотрю с удовольствием, вспоминаю, как в детстве продиралась через олимпиадные задачки без всякого маткласса, какое удовольствие от этого получала... Точно становлюсь добрее и терпеливее к своим ученикам. И это уже много лет. Спасибо!
можно попробовать объяснить так: каждый тур в два раза меньше людей, следовательно легче встретиться (тоже в два раза), но и перейти в каждый последующий тур сложнее (вероятность пройти обоим 1/2*1/2) т.о. первый тур: 1/15 второй тур: 1/15 * 2 * 1/2 * 1/2 = 1/30 третий тур: 1/30 * 2 * 1/2 * 1/2 = 1/60 четвёртый тур: 1/60 * 2 * 1/2 * 1/2 = 1/120
Можно бесконечно спорить о методах решение задач, о подходе к замыслу задач. О вкусах не спорят. У тебя есть самое главное: светлая душа, любовь к математике и умение излагать приятно, доходчиво. Ты - Учитель!
Мое объяснение уменьшения вероятности в 2 раза. Точно так же как во втором способе вы считаете вероятность пары попасть в 15 из 120 пар. Прошел весь турнир. Определились наши 15 пар. Среди них определились 8 пар первого тура, 4 пары второго тура, 2 пары третьего и одна пара последнего. Вероятность того, что конкретная пара встретится среди пар первого тура 8 / 120 (подходит 8 пар из 120). Так как количество пар с каждым туром уменьшается в 2 раза (т.е. кол-во подходящих пар), то и вероятность нашей конкретной пары среди них оказаться уменьшается в 2 раза.
Я сначала даже не подумал о том, что нужно чтобы они не встречались в предыдущих матчах. Когда вы про это заговорили, пару минут сидел и тупил. Хорошая задачка, интересное решение
Давно не было чего-то такого хардового , типа разбора одной задачи на полчаса. Можно что-то из недавних олимпиад , например, из закла ВП- одну из задач. А видео класс!
@@trushinbv Конкретно про эту задачу не соглашусь, так как именно её я решил самой первой. Это с 4-ркой по алгебре и 3-кой по геометрии в аттестате. Правда ЕГЭ я сдавал трижды, но количество не всегда равно - качество. Лучший балл: 72 по математике и 81 по информатике. В общем - далеко не олимпиадный уровень. Олимпиадник эту задачу точно осилит. Догадаться посчитать отдельно каждый тур - не сложно. А дальше нужно просто ничего не потерять при подсчётах. Да и до комбинаторного пути решения дойти можно. Задача с викториной на порядок сложнее. Если турнир я решил минут за 15 (как и кубик), то с викториной промучался почти час. А потом еще неделю искал общую формулу для решения такого типа задач.
Я считал немного по другому, примерно как в задачах про вероятности мальчиков сесть на определённые стульчики. Ставим Алексея на край сетки (позиция 1) а затем, начиная с него, нумеруем по порядку позиции в турнирной сетке (стульчики). В принципе можно сразу пронумеровать стулья, а потом посадить Алексея на случайный, суть решения не изменится. 1) Вероятность встретиться в первом туре равна вероятности Ивана попасть на стул 2: 1/15. 2) Вероятность встретиться во втором туре равна вероятности Ивана попасть на 3 или 4 стулья (2/15) умножить на вероятности их побед в первом туре: 0,5^2. /События Иван садится на стул 2 и Иван садится на стулья 3 или 4 очевидно несовместные/ Получаем 1/30 3) Вероятность встретиться в полуфинале: 4/15 (стулья 5 6 7 и 8) умноженное на вероятности 4-х побед (по две для каждого) в предыдущих турах. 4/15×0,5^4=1/60 4) Вероятность встречи в финале: вероятность Ивана попасть на стулья с 9 по 16, т.е. 8/15 умноженное на вероятности 6-ти побед: 8/15*0,5^6=1/120. Дальше всё перемножается аналогично решению в видео. Решение в принципе то же самое, но мы сразу же избавляемся от неудобных дробей 1/7 и 1/3. И теперь мы видим причину падения ровно в 2 раза. Ведь вероятность встречи условных всепобеждающих Ивана и Алексея в каждой конкретной стадии растёт ровно в 2 раза. А вероятность их же, побеждающих 50 на 50 дружно пробиться в следующую стадию падает в 4 раза.
В точности так же решил её ещё когда она была первый раз озвучена, с таким подходом и факт снижения вероятности в 2 раза очевиден, да и решение устным становится.
здравствуйте хочу попросит вас сделать выпуск про гиперболы, все то что нужно знать школьникам и чуть больше, а то появились в егэ задания а в школе маловато про это говорят Поддержите лайком чтобы бвло в топах
Борис, спасибо вам за отличный контент! Мне кажется можно рассуждать горазадо проще в рамках решения "в лоб". Если набросать перед глазами сетку то легко видно что в первом туре шанс встречи 1/15. Во втором туре мы можем встретиться если наш друг играет на двух конкретных местах (в соседней паре сетки). Но естественно нужно победить обоим, поэтому 2/15*(1/2)^2. Для встречи в очередном туре подходит уже 4 стартовых места, добавляем 4/15*(1/2)^4. Ну и в финале нас устроит если друг начинал в любом месте другой половины сетки относительно нас. 8/16*(1/2)^6. Собственно слагаемые такие же как у вас после всех сокращений, но по моему быстрее и сильно меньше шансов ошибиться.
Можно решить через составление турнирной сетки. Мы выбираем, в каких начальных позициях сетки находятся наши игроки (жребием в таком сценарии можно принебречь). Далее считаем, сколько пробел должно было произойти. Тогда легко заметить по структуре сетки, что вероятность встретиться в n-ом туре из 2^k участников - (2^(n-1)/(2^k-1)) * (1/4)^(n-1). Из формулы как раз очевидно, и по структуре интуитивно понятно, почему вероятность уменьшалась в 2 раза на каждом этапе)
Аккуратно объяснить: Вероятность встречи в каждом следующем этапе, без учета, что до этого этапа нужно дойти - в два паза больше, чем в предыдущем А вероятность, что оба парня дойдут до следующего этапа, с каждым этапом становится в 4 раза меньше, поскольку шансы пройти конкретный этап вдвоем - 1/4 По итогу выходит, что с каждым этапом вероятность встречи умножает результат на 2, а вероятность прохода в этот этап - на 1/4. 2*(1/4) = 1/2 - это шаг геометрической прогрессии, где члены - вероятность встречи парней в каждом этапе
Второе решение, но строго: рассмотрим 120 событий вида {игроки i и j встретились в рамках турнира}. В силу симметрии они все имеют равные вероятности. Но каждая из этих вероятностей есть матожидание индикатора соответствующего события. Сумма этих ста двадцати индикаторов равна 15 с вероятностью 1, то есть матожидание каждого из них равно 15/120=1/8.
8:10 мое объяснение: на каком то этапе турнира (любом) количество участников равно: 2^k тогда вероятность что два определенных участника не встретятся: 1-1/(2^k-1) Или: (2^k-2)/(2^k-1) ИЛи, рассмотрев только числитель: a=2*(2^(k-1)-1) На следующем этапе людей будет уже: 2^(k-1) Вероятность, что два конкретных игрока встретятся: 1/(2^(k-1)-1) Или, рассмотрев только знаменатель: b=2^(k-1)-1 Видно, что a=2b вне зависимости от k (этапа турнира)
Скорее всего вероятность уменьшается в 2 раза с каждым туром потому что вероятность пройти и первому, и второму 1/4, но в то же время количество прошедших игроков в следующий тур уменьшается на 2. Т.е. 1/4 : 1/2 = 1/2
Про то как понять, что вероятность падает в два раза, не считая все вероятности: 1) я нарисовал начало турнирной таблицы, и сказал, что в первой ячейке находится один из двух друзей 2.1) чтобы он сыграл с другом в первом раунде друг должен находиться в одной определенной ячейке около него 2.2) чтобы друг сыграл с ним во втором раунде, то он должен быть в одной из двух ячеек + они оба должны пройти в следующий раунд 2.3) чтобы друг сыграл с ним в третьем раунде, то он должен находиться в одной из четырех ячеек и они оба должны пройти в следующй раунд дважды 3) тогда вероятность того, что они встретятся в каком-либо раунде: p(a) = 2^(a - 1) / (n - 1) * v1^(a - 1) * v2^(a - 1) где a - номер раунда от 1 (если считать от 0, то формула будет выглядеть более опрятно) n - кол-во игроков в турнире v1 - вероятность выиграть раунд первого друга v2 - вероятность выиграть раунд второго друга 4) если подставить в полученную формулу их вероятности победить, то получим вот это: p(a) = 2^(a - 1) / (n - 1) * (1/2)^(a - 1) * (1/2)^(a - 1) сокращаем 2^(a - 1) с (1/2)^(a - 1) и получаем p(a) = 1 / (n - 1) * (1/2)^(a - 1) => можем заметить, что при увеличении номера раунда на 1 вероятность просто уменьшается в два раза для данных значений
вообще в целом можно сделать вывод, что если там два друга, и у одного вероятность выиграть это 1/2, то с каждым раундом вероятность встретиться будет домножаться на вероятность выиграть второго друга (потому что она и остется как второй множитель в формуле)
Я тупанул сначала, посчитал число перестановок в первом раунде, то есть С по 2 из 16, получилось 120 вариантов, и решил, что вероятность попасть сразу вместе 1/120. Не учел, что нам не только одна из 120 подходит...
В первом решении можна рассуждать немного по-другому и тогда видно, что вероятность встретиться в следующем туре уменьшается вдвое. Если нарисовать турнирную сетку и в какой-то ячейке поместить Ивана, то вероятность встретиться в первом туре - 1/15. Смотря на турнирную сетку, видно, что если они встретятся во втором туре, то у Алексея две возможные ячейки. Также, они оба должны выиграть, значит вероятность встретится во втором туре - 2/15*1/2*1/2=1/15*1/2 Теперь видно, что чтобы всретится в следующем туре, количество возможных вариантов для размещения увеличивается вдвое, вероятность дойти до этого тура у каждого участника уменьшывается вдвое. Поэтому, если вероятность встретится в каком-то туре =k, то в следующем =k*2*1/2*1/2=k/2
Сидит стройбан ( мужик 40 лет работающий....... руками) и кайфует от такого контента. П. С. как-то это связано с биномом ньютона из вашего канала, когда вы переберали буквы в слове математика, да или нет, желаю вам добра!
Первый вариант, судя по всему, более универсальный - он будет работать и в случае какой-то неравной вероятностью победы каждого игрока в паре. Просто для каждой пары меняем 1/2 на нужную вероятность. А вот второй вариант с комбинаторным решением работает только если вероятность победы для каждого игрока одинакова.
Вероятность пройти в следующий тур у одного участника 1/2. У второго так же 1/2. Но участников в следующем туре в два раза меньше чем в предыдущем, поэтому шансы встретиться вырастут в 2 раза. В итоге вероятность встретиться в следующем туре это Х*0.5*0.5*2., где Х - вероятность рассчитанная для предыдущего тура.
1. Если вы следите за турнирами абсолютно любого спорта,то вы знаете как выглядит турнирная сетка. Если игрок Х занимает 1 место из 16, то игрок У может занять 15 различных мест. Чтобы встретится в финале с Х, игроку У надо быть в 1 из 8 возможных мест(в 7 оставшихся он встретится с Х раньше). Чтобы встретится с Х в полуфинале будет уже 4 места(тогда мы рассматриваем в 2 раза меньше пар, потому и мест в 2р меньше)и т.д. .Чтобы оба игрока прошли в след раунд(исключая возможность их встречи) надо чтобы вероятность 0.5 сработала дважды. Получается что с каждым следущим раундом мы делим вероятность на 4 и умножаем на 2. Потому с каждым раундом вероятность в 2р меньше. 2. Задача была бы интересней, если использовать систему двухуровневой сетки турнира(когда игрок проигрывает матч он падает с основной сетки в нижнюю, и вылетает с турнира проиграв дважды). Если бы я небыл ленивой жопой, то тут был бы ответ для такого варианта условия
По лобовому способу и наглядному объяснению почему же на каждом шаге шансы падают в 2 раза: Просто нарисуйте стандартную сетку плэй-офф турнира на 16 участников. Заодно сразу поставьте одного из участников на самую первую позицию. Аргументация - т.к. шансы на победу в любом поединке у всех равны, то не суть важно где он в итоге окажется. Ситуация всегда будет симметричной. Теперь шансы на нужную пару в 1-м туре(1/8 финала) 1/15. Только если второй участник попадёт в пару к первому. Для встречи нужной пары во втором туре(1/4 финала) второй участник должен попасть во 2-ю пару, то есть на 3 или 4 строчку "посева". Значит количество подходящих мест при начальной жеребьёвке возросло в 2 раза, но шанс, что оба интересующих нас игрока победят в своих матчах, по условию 1/4(50% в каждом из 2 матчей). Вот мы и получили сокращение шанса на стык во втором раунде в 2 раза. Аналогично будет для каждого следующего шага. В 2 раза больше подходящих позиций старта, но в 4 раза меньше шанс на проход. И да. Самое главное - не забыть в конце сложить все шансы с первого по последний этап. P.S. Комбинаторикой решить эту задачку действительно проще, благодаря условию про равные шансы. Так что полностью соглашусь. Главное - понимание где можно легко применить тот или иной способ решения
По поводу того, почему вероятность уменьшается в два раза с каждым туром. В любой конкретной игре любая пара игроков встретится с одной и той же вероятностью. А это значит, что вероятность того, что в данном туре встретится наша пара игроков пропорциональна количеству игр в туре. Поскольку количество игр каждый раз уменьшается в два раза, то и вероятность должна тоже уменьшаться в два раза.
Борис, я вам вдячний за вашу роботу, за вашу позицію і за ваш канал. Дивлюся ваші відео і згадую свого викладача - Ясінського В.А. Олімпіадник був сильний. Та ви його точно знаєте...
Мое простое объяснение уменьшения вероятности вдвое: Так как все участники имеют одинаковые равновероятные шансы в любом матче, то вероятность НАШЕМУ игроку в каком-то (любом) туре получить в соперники одного КОНКРЕТНОГО игрока одинаковая и равна 1/15. А вот вероятность его собственного прохода в каждый следующий тур равна 1/2 (вероятность его победы) Вот и все.
Ну нам во время комбинаторики в школе просто дали формулу n!/(n-k)!k! где n это полный набор чисел, а k это число перестановок, и такие задачи мы решали за полминуты. Кому надо себе на заметку возьмите или прогуглите nCk formula. Последнее решение Бориса, это как раз эта формула, уже сокращенная. Если что, ! это факториал числа, то бишь перемножение всех целых чисел от нуля до числа. Пример: 5!=1*2*3*4*5. Насчет перестановок и набора, хз, у нас это set и permutation, перевел через гугл транслейт
Короче если сетку нарисовать и посчитать для каждой позиции вероятность, то становится очевидно почему вероятность в два раза отличается, не смотря на то что шанс прохода уменьшается в четыре раза количество подходящих позиций удваивается .
8:11 если Ваня дошел до n-ого этапа турнира то какова вероятность на этом этапе встретить определенного игрока? Такая же, как и встретить любого другого определенного игрока, потому что от игрока ничего в условии задачи не зависит, то есть 1/15. (У каждого игрока одинаковые шансы не попасть против Вани в 1 раунде, пройти во второй, не попасть опять, пройти дальше и т.д. пройти в n раунд и именно в нем попасть в пару к Ване) Поэтому зайдя в турнир Ваня встретит Лешу на n-ом этапе с шансом 2^(-n+1)* 1/15. И эти шансы можно смело складывать, так как события "Ваня встретил Лешу на n этапе" не совместимо с событием "Ваня встретил Лешу на k|k!=n этапе" кажется, я не первый с таким объяснением, но на всякий случай
Вот тебе Борис задача для рубрики я думаю тебе понравится : завод выпускает детали его станок с вероятностью s выпускает годную деталь. На заводе есть система проверки которая с вероятностью q может признать годную деталь негодной и с вероятостью p негодную годной. Вопрос: какова вероятность того что система проверки выевит среди n деталей ровно m годных?
Мне очень понравилось, потому что я час назад прочитала эту задачку и мне не с кем ее было обсудить. Удваивается знаменатель из-за вероятности 1/2. Есть у меня подозрение, что эта задачка старше Вас, Борис.
Встретиться в каждом следующем туре: С одной стороны увеличивается в 2 раза (т.к. людей стало в 2 раза меньше) С другой стороны - уменьшается в 4 раза, т.к. каждый должен выиграть свой предыдущий раунд (1/2 * 1/2 = 1/4) Итого вероятность встретиться в каждом раунде по отдельности уменьшается в 2 раза по сравнению с предыдущим
Каждая следующая вероятность в два раза меньше потому что Иван в каждом следующем туре встречается с одним из случайных для него игроков и вероятность, что это Алексей 1/15. Но вероятность, что он участвует в первом туре 100 процентов, во втором 1/2, в третьем 1/4, в четвертом 1/8. Вот и получаем 1*1/15+1/2*1/15+1/4*1/15+1/8*1/15 =8/120+4/120+2/120+1/120=15/120. Иначе говоря, нам не важно, как играют в других играх соперники, нам важен, что каждый из соперников Ивана может с одинаковой вероятностью оказаться Алексеем 1/15. А вот вероятность выхода Ивана в каждый новый тур всегда уменьшается ровно в два раза.
Была задача, где 50 человек и при нечетном количестве участников один случайный автоматически проходит в следующий тур, а остальные играют с той же вероятностью 0.5 на победу. Там конечно вычисления объёмнее выходят
Первым способом - да, сложновато. Особенно когда техпобеды не выдаются сразу же в первом раунде, чтобы во втором осталось ровно 32 игрока (тогда достаточно отдельно взять случаи, когда Иван и Алексей начнут турнир оба с 1/16, оба с 1/32, и один с 1/32, другой с 1/16). А когда выдаются начиная со второго тура, когда там останется 25 игроков из 50-ти. Причём сведутся оба этих случая к одному ответу. А вот решение вторым способом не усложнится. Делим число пар на число матчей в сетке и получаем ответ.
Даже попробую решить. Пусть участниками будут те же Алексей и Иван. Для Алексея имеем: 1) 1 - вероятность сыграть матч в 1/32. 2) 24/50 - вероятность сыграть матч в 1/16. Пройти во второй тур и сыграть там матч смогут 24 игрока из 50. В следующий выходят 13 игроков. 3) 12/50 - вероятность сыграть игру в 1/8. 6 играющих пар + 1 побеждающий автоматом. Итого останется 7 игроков. 4) 6/50 - вероятность сыграть в четвертьфинале. Останется 4 игрока. 5) Игра в полуфинале: 4/50 6) Игра в финале: 2/50. В среднем за турнир у Алексея: 1+24/50+12/50+6/50+4/50+2/50=98/50 = 1,96 игр. В этих 1,96 играх 49 потанцевальных противников, значит вероятность пересечься с одним конкретным из их числа (Иваном) 1,96/49=0,04. Проверяем ответ через решение вторым способом: Всего у нас (50×49)/2=25×49=1225 пар. И 49 игр в турнире. 49/1225=0,04. Вроде не налажал. Если по условию все техпобеды будут распределены на стадии 1/32 турнира: 18 пар играют в первом туре, 14 игроков проходят автоматом. Значит Алексей в среднем сыграет: 36/50+32/50+16/50+8/50+4/50+2/50 = те же 98/50 игр в среднем за турнир. Дальше задача сводится к первому решению.
Все задачи такого типа решаются просто деление двух(игроки которые должны встретиться) на 16( кол-во команд). Проверял на разных задачах везде ответ сходится, так сказать лайфхак.
Добавляем в условие задачи матч за 3 место и всё, лайфхак накрылся медным тазом. Пользуясь лайфхаками, надо понимать, почему они так работают. В задачах #10 про викторины из сборника ответы тоже равны (n+1)/(n+2), где n число игр, выигранных по условию командой А. Подставляешь одну циферку и ответ готов. Но стоит чуть чуть подкрутить условие (например спросить про вероятность победы команды А в двух сдедующих играх) и лайфхакер останется с носом.
Відносно коефіцієнта 2. Фінал - один, півфіналів - два, чвертьфіналів - чотири, тому ймовірність попасти у півфінал у два рази більша ніж у фінал бо їх є два і так далі. Це добре видно коли намалювати дерево ігор, або в спорті - сітку зустрічей.
Не могу найти про показательное уравнение с параметром, где надо найти все а, при которых все корни лежат на данном промежутке. Например, 3а^2х - 16^х + 2*(4а)^х = 0, надо найти все положительные а, если все корни на [-2;-1] Дошел до (4/а)^х = -1 в совокупности с (4/а)^х = 3, что дальше делать не знаю Сейчас решил каким то подбором, но не думаю что на егэ это прокатит
Ну во втором решении мы просто считали матожидание. Например, взяли готовую таблицу результатов турнира и заполняли случайными именами, в каждом матче матожидание искомой пары равно 1/120, всего 15 матчей в таблице.
Площади поверхностей это площади плоских фигур, сторонами которых будут длины объемной Конус при разложении даёт две окружности и прямоугольник, одна сторона которого это высота конуса, а другая это длина окружности . Таким образом стараешься разложить любую объёмную фигуру и найти площади ее граней а потом посокращать чё можно Не лучший из меня учитель, но надеюсь помог
Просто из понимания равной вероятности результатов поединков, в каждом новом туре вероятность выхода двух означенных противников 1/2, а количество пар участников уменьшается в два раза. Значит, вероятность встретиться в следующем туре 1/2*1/2*2= в 2 раза меньше чем в предыдущем, нет?
Потрібно зрозуміти, що якщо Ваня і Саша гратимуть у фіналі то це означає, що вони ще не зустрічалися раніше . Якщо скласти список на початку турніру то буде 120 пар, в кінці турніру буде 15 пар, одна з них - Ваня і Саша, інакше вони би зустрілися раніше і один з них точно б вилетів
Кстати если немного подумать, то есть совсем лентяйский способ ответа на задачу такого типа(с олимпийской системой турнира, честным жребием и равной силой участников). При условии "слепого" жребия, когда у всех состязающихся равные шансы попасть друг на друга, и при равных силах, обеспечивающих шансы победы 50 на 50, шанс увидеть конкретную пару всегда равен начальной стадии(1/8 или 1/64...). То есть единице делённой на половину от количества участников. Доказательство утверждения тоже будет лентяйское на конкретном примере комбинаторики, небрежно переведённому в общий вид. В нашем случае было 16 участников и итоговый ответ 1/8 что совпадает с утверждением. А теперь переведём использованный расчёт в общий вид: Для начала немного позаменяем. Количество участников турнира(16) назовём P Количество пар участвовавших в турнире(15) назовём C Так как система олимпийская, то количество пар в турнире(C) всегда равно количеству участников(P)-1. Это суть такого турнира. Разбить участников на пары и каждый раз сокращать количество пар в 2 раза пока не останется одна пара. Получили равенство C=P-1 И вернёмся к решению Количество пар, участвовавших в турнире мы делили на общее количество возможных пар. А общее количество возможных пар это количество участников турнира умножить на количество участников турнира-1 и разделить на 2 То есть в буквенном виде: С*2/(Р*(Р-1)) Или выразив C через P: (Р-1)*2/(Р*(Р-1)) Сокращаем 2/P ЧТД
А если так. Вероятность того, что оба пройдут в следующий тур 1/4. Количество участников уменьшается в 2 раза, значит увеличивается в 2 раза вероятность встречи. В итоге 2*1/4=1/2 - вероятность встречи уменьшается в 2 раза в каждом следующем туре.
Мне привычнее на примере жеребьёвки плей-офф Лиги Чемпионов УЕФА такие задачки рассматривать. Какова вероятность того, что встретятся Арсенал с Ливерпулем или Реал с Барселоной
Здравствуйте у меня есть интересная задача. У футбольном турнире учавствует 16 команд по регламенту каждая команда должна сыграть с каждой по 2 раза; за победу начисляется 3 очка, за ничью 1, за поражение о вопрос : возможно ли, что три команды по окончанию турнира наберут одинаковое количество очков при этом у них будет одинаковое количество побед, ничьих и поражений?
Открою страшную тайну: все 16 команд могут набрать одинаковое количество очков и иметь по 10 побед, ничьих и поряжений. Присваиваем командам 4 цвета: красный, белый чёрный и жёлтый. По 4 команды каждого. Красные в личных встречах побеждают белых, белые чёрных, чёрные жёлтых, жёлтые красных. Красные против чёрных и белые против жёлтых играют вничью. Внутри каждой четвёрки одного цвета нумеруем команды с 1 по 4. 1 побеждает против 2, 2 побеждает против 3, 3 побеждает против 4, 4 побеждает против 1. 1 против 3 и 2 против 4 играют вничью. Нетрудно посчитать, что какой бы цвет и номер мы не взяли, у него будет 10 побед (8 по цветам, 2 по номеру), столько же ничьих и поражений. И по 40 очков за турнир.
Равное число побед, ничьих и поражений возможно для любого ткрнира с 1+3n команд, где n - натуральное число. Разумеется, если все команды сыграют одинаковое число личных встреч. Доказательство: Нумеруем команды и расставляем их по кругу. Как цифры на циферблате часов. Если любая команда будет выигрывать у n команд впереди неё по часовой стрелке, проигрывать n командам позади себя, а с остальными n команд играть в ничью, она получит а*n побед, ничьих и поражений в турнире. Где а - число личных встреч двух команд. Для турниров с числом команд не равным 1+3n равное количество побед, ничьих и поражений у всех команд невозможно, так как число матчей одной команды не делится нацело на 3. Исключение - турниры с а=3k личных встреч двух команд, где k - любое натуральное число. В этом случае нам достаточно k побед, k ничьих и k поражений в личных встречах во всех парах команд.
Подытожим. В турнире, с А участников где все участники проводят K личных встреч друг с другом, ситуация, когда у всех команд будет Х побед ничьих и поражений (при натуральных А и К) возможна: 1) При А равном 1+n участников, где n - натуральное число. Другими словами при А равном 4, 7, 10, 13, 16 и т.д. участников. При этом К может принимать любое значение. 2) При К равном 3m личных встреч, где m - любое натуральное число. Другими словами, при 3, 6 9, 12 и т.д. личных встреч. При этом А может принимать любое значение. В остальных случаях равенства побед ничьих и поражений добиться невозможно, так как любая команда не сможет сыграть число матчей, кратное 3-м. Быквы чуть поменял, чтобы не было разночтений.
Очевидно же что хоть сколько команд может иметь одинаковый результат, если будут играть между собой вничью и одинакого с остальными. Хоть все 16 из 16 ти.
12:10 Не помял, можно пожалуйста разжевать. Как мы поняли, что посчитали в два раза больше чем нужно? Как я должен мыслить,что бы понять,что нужно делить на два?
Или Мы делим на два потому, что перемножили человек, а пар в два раза меньше . Тогда зачем говорить, что мы "каждую пару" посчитали дважды, это вводит в заблуждение.
Мне кажется, во втором способе равноправность этих пар нужно доказывать более аккуратно. Потому что если наши друзья - днища и выигрывают с вероятностью 1/4, все эти рассуждения не верны и "хитрый способ выбора пар" имеет значение. Соответственно, надо доказывать, что при 1/2 таки не имеет.
Наши "днища" выигрывают с вероятностью 0,5 по условию. Без всяких "если 1/4". Из этого 0,5 следует, что участие любого игрока в любой игре на любой стадии турнира равновероятно относительно остальных игроков.
У меня вот только один вопрос. Это точно егэ? Когда я учился в школе, что такое комбинаторика я не знал. Когда я учился в институте, я не знал что это. К своему стыду, само понятие комбинаторики я узнал на этом канале. Я 22 года назад закончил школу и задачи на комбинаторику не встречал нигде, даже на школьных олимпиадах. Это реально нужно в школе знать? Мы даже в институте теорию вероятности проходили вскользь. Учился в техническом вузе на специальности «электропривод», закончил в 2004 году
По моему вполне нормально, когда школа даёт те знания, которые могут пригодиться в дальнейшем обучении. Хотя бы на самом базовом уровне. Сейчас в вузах очень много IT-специальностей, на которых без знания тервера учиться сложновато. Если же условный школьник - гуманитарий и не горит желанием поступать на физмат или информационные технологии, всегда можно сдать базовый вариант ЕГЭ. Который на порядок легче.
А если у нас для каждой пары есть свое соотношение вероятностей победы, типа таблицы, в которой будет указана вероятность победы у одного из соперников пары? Тогда пары уже не равноправные будут?
1)вероятность события: встретиться в туре с 2*n человек 1/(2*n-1) 2) вероятность события: не встретиться в туре с 2*n человек (2*n-2)/(2*n-1) 3) вероятность встретиться в туре с n человек 1/(n-1) 4) вероятность выполнения условий 2 и 3 : 2/(2*n-1) (знаменатель из 3 сокращается с числителем из 2). В два раза больше чем вероятность условия 1 5) В задаче в следующем туре в 2 раза меньше человек, но чтобы пройти в следующий тур этим мужикам надо победить с вероятностью 1/4. 6) Получается вероятность встретиться в следующем туре: (условие 2) * (условие 3) * 1/4 = 2 * (условие 1) * (1/4) = 1/2 * (условие 1) Вероятность встретиться в этом туре : (условие 1), в два раза больше
Первый способ решения универсальней. Вот подергали мы вероятности индивидуальных встречь туда-сюда, сделали их неодинаковыми - и всё, второй способ накрылся. А первый будет работать.
как раз второй способ более устойчивый к изменениям условия, достаточно лишь знать вероятность попадания игроков в следующий тур, тогда матожидание вычисляется легче, чем чудовищная формула полной вероятности, которая, я подозреваю, выйдет за пределы посильных ручных вычислений
@@wertyozok5347 Несовместны - значит не могут произойти одновременно. Например в данной задаче Иван и Алексей не могут встретиться одновременно в 1/8 и финале. Как и на любых других двух стадиях. Совместные события: это, например, встреча пары Иван и Алексей и пары Иван и Дима. Одно событие другое не исключает. Но как только нас спросят о вероятности встречи Алексея с Иваном или Димой в финале (или в первой игре) - события сразу же станут несовместными, т.к. Алексей не может сыграть на одной стадии одновременно с двоими инроками. Если это, конечно, не парный турнир.
почему мы в случае, например, третьего матча, учитываем вероятность, что они не встретились в первом раунде 2 раза? то есть для него самого первого раунда, но и для второго раунда это тоже учитывается?
Жалко, что вероятность пары, например, "Манчестер Сити" - "Бавария" в Лиге чемпионов УЕФА считается только в лоб и только в конкретном розыгрыше, потому что в первом туре (1/8 финала) есть ограничения (не могут играть между собой команды из одной группы - всего 8 - и команды из одной страны - меняется из раза в раз). Даже если считать вероятность выиграть равной 1/2, то всë равно расчëты получаются сложные..
1) Вероятнее всего перестанет работать второй способ решения. 2) Сложность решения первым способом будет зависеть от того, как именно будут заданы "скилы". Например если вероятности побед Ивана и Алексея над любым игроком (кроме них двоих) будут заданы конкретными значениями, мы просто напросто поменяем 0,5 в расчётах на эти значения. Если игроков расставят по силе от 1 до 16 места, где более сильный всегда побеждает более слабого а Иван и Алексей будут 3-м и 4-м по силе, - придётся считать не только вероятности встречи по стадиям, но и вероятности "увернуться" от двух более сильных игроков. А начиная со второй стадии еще и учитывать, что самый сильный мог выбить второго по силе. В общем - усложнить жизнь решающему можно. Было бы желание.
@@ДмитрийСеливерстов-п5з Ну давай зададим эти вероятности. Допустим у нас есть: 4 фаворита, 8 середняков (в т.ч. Иван и Алексей) и 4 аутсайдера. Фаворит выигрывает у середняка, а середняк у аутсайдера с вероятностью 0.6. Фаворит выигрывает у аутсайдера с вероятностью 0.9. Если встречается пара фаворитов, середняков и аутсайдеров, вероятность победы: 0.5. Остальные условия задачи остаются в силе. Разные вероятности заданы. Решение первым способом изменится прямо таки немного? Понятно, что если поменять вероятности побед лично для Ивана и Алексея (допустим вероятность победы над остальными игроками по 0.65), то в расчётах первым способом достаточно будет заменить все 0,5 на 0.65. Но если вероятности побед станут разными не только у них двоих, а разом у всех участников турнирной сетки?
@@ДмитрийСеливерстов-п5з И хотелось бы узнать, каким образом не примут решение вторым способом? Учитывая, что в задании #10 от экзаменуемого требуется только голый ответ?
@@ДмитрийСеливерстов-п5з А первый работает? Возможно Вы при расчете вероятности как-то учитываете рейтинги игроков, но я и без этого с трудом разобрался в этой задаче.
Мне на пробнике встретилась эта задача, но с количеством участников 20. Я в замешательстве, что мне делать с "переходящими игроками" и как их считать, чтоб ответ нормальный получился? Неужели в любом случае вероятность будет в 2 раза меньше?
Ничьих нет, есть проблема с игроком, который остается 5-м и не участвует в очередном турнире. Описать корректно такую ситуацию становится очень трудоемко и условие про 20 участников предполагает применение комбинаторного метода.
@@ИгорьГанков-л3жизвиняюсь, я уставший написал ничьих, а не "переходящих игроков". В условие было "если в конце раунда остаётся неровное число участников случайный игрок оставшийся без пары переходит в следующих раундах". Не смотря этот обзор дорешал до этих ничьих и сдался. Сейчас решил разобраться и так и не понял что мне с этими ничьими делать)))
я бы так объяснил. Вероятность что они встретятся = k, с каждым туром эта вероятность увеличивается вдвое (в два раза меньше игроков), но вероятность что они в следующий тур попадут 1/4... итого 2/4 = 0.5 но это как будто я сову на глобус натянул =)
Ну, это же не так. Если 4 участника, то вероятность встречи -- 1/3, а когда два участника, то вероятность встречи равна 1. Нельзя сказать "с каждым туром эта вероятность увеличивается вдвое (в два раза меньше игроков)".
Классная задачка, давайте еще больше теории вероятностей и комбинаторики
Второй ответ работает только для 50% так что он слабее. И еще дроби гораздо легче комбинаторики.
1/15+0,25*1/7+0,25²*1/3+0,25³=311/2240
Какой всё-таки Борис обаятельный! Прямо светится внутренней добротой! Спасибо!
Борис, Вы поддерживаете во мне всё то лучшее, что может быль у учителя! Смотрю с удовольствием, вспоминаю, как в детстве продиралась через олимпиадные задачки без всякого маткласса, какое удовольствие от этого получала... Точно становлюсь добрее и терпеливее к своим ученикам. И это уже много лет. Спасибо!
В тексте задачи турнир по настольному теннису, а заставка про большой. Чувствую себя обманутым и требую пересчитать как про большой.
Ой (
Я сам не очень внимательно читаю условие ))
Да хоть по настольному футболу🤪
Кончно, там шарик большой, а в настольном маленьки1. Наверное, надо поделить 0бъёмы шариков и это числ учесть при решении
Какой хороший тайминг: ролик про теннисную задачу аккурат после завершения Australian Open
Australian Open по настольному теннису? 🤔
@@23psa23 Логично
можно попробовать объяснить так:
каждый тур в два раза меньше людей, следовательно легче встретиться (тоже в два раза), но и перейти в каждый последующий тур сложнее (вероятность пройти обоим 1/2*1/2) т.о.
первый тур: 1/15
второй тур: 1/15 * 2 * 1/2 * 1/2 = 1/30
третий тур: 1/30 * 2 * 1/2 * 1/2 = 1/60
четвёртый тур: 1/60 * 2 * 1/2 * 1/2 = 1/120
Переход в след. Тур имеет постоянную вероятность 1/4. А так все ОК. Вероятность выбора соперника с каждым туром растет ровно в два раза.
Можно бесконечно спорить о методах решение задач, о подходе к замыслу задач. О вкусах не спорят. У тебя есть самое главное: светлая душа, любовь к математике и умение излагать приятно, доходчиво.
Ты - Учитель!
Мое объяснение уменьшения вероятности в 2 раза.
Точно так же как во втором способе вы считаете вероятность пары попасть в 15 из 120 пар.
Прошел весь турнир. Определились наши 15 пар. Среди них определились 8 пар первого тура, 4 пары второго тура, 2 пары третьего и одна пара последнего. Вероятность того, что конкретная пара встретится среди пар первого тура 8 / 120 (подходит 8 пар из 120).
Так как количество пар с каждым туром уменьшается в 2 раза (т.е. кол-во подходящих пар), то и вероятность нашей конкретной пары среди них оказаться уменьшается в 2 раза.
Даже можно не по количеству пар считать, а при вылете количество людей в каждом туре уменьшается в 2 раза
ооо буквально недавно разбирал эту задачку руками, тяжело расписывая все исходы, а теперь увижу серьезный разбор. Кайф
Делишь 2 на количество игроков и получается ответ, работает всегда. Можешь проверить
Я сначала даже не подумал о том, что нужно чтобы они не встречались в предыдущих матчах. Когда вы про это заговорили, пару минут сидел и тупил. Хорошая задачка, интересное решение
Оба метода понравились, всё понятно. Первому методу отдаю предпочтение.
В школе, сегодня решали, не смогли решить, а сейчас, я посмотрел и всё понял, спасибо!
Давно не было чего-то такого хардового , типа разбора одной задачи на полчаса. Можно что-то из недавних олимпиад , например, из закла ВП- одну из задач. А видео класс!
Очень хотелось бы увидеть что-то из олимпиад
Эта задача по уровню скорее и есть "что-то из олимпиад" )
@@trushinbv Конкретно про эту задачу не соглашусь, так как именно её я решил самой первой. Это с 4-ркой по алгебре и 3-кой по геометрии в аттестате. Правда ЕГЭ я сдавал трижды, но количество не всегда равно - качество. Лучший балл: 72 по математике и 81 по информатике. В общем - далеко не олимпиадный уровень.
Олимпиадник эту задачу точно осилит. Догадаться посчитать отдельно каждый тур - не сложно. А дальше нужно просто ничего не потерять при подсчётах. Да и до комбинаторного пути решения дойти можно.
Задача с викториной на порядок сложнее. Если турнир я решил минут за 15 (как и кубик), то с викториной промучался почти час.
А потом еще неделю искал общую формулу для решения такого типа задач.
Благодарю и низкий поклон за ваш труд, Борис!
Я считал немного по другому, примерно как в задачах про вероятности мальчиков сесть на определённые стульчики.
Ставим Алексея на край сетки (позиция 1) а затем, начиная с него, нумеруем по порядку позиции в турнирной сетке (стульчики). В принципе можно сразу пронумеровать стулья, а потом посадить Алексея на случайный, суть решения не изменится.
1) Вероятность встретиться в первом туре равна вероятности Ивана попасть на стул 2: 1/15.
2) Вероятность встретиться во втором туре равна вероятности Ивана попасть на 3 или 4 стулья (2/15) умножить на вероятности их побед в первом туре: 0,5^2.
/События Иван садится на стул 2 и Иван садится на стулья 3 или 4 очевидно несовместные/
Получаем 1/30
3) Вероятность встретиться в полуфинале: 4/15 (стулья 5 6 7 и 8) умноженное на вероятности 4-х побед (по две для каждого) в предыдущих турах. 4/15×0,5^4=1/60
4) Вероятность встречи в финале: вероятность Ивана попасть на стулья с 9 по 16, т.е. 8/15 умноженное на вероятности 6-ти побед: 8/15*0,5^6=1/120.
Дальше всё перемножается аналогично решению в видео. Решение в принципе то же самое, но мы сразу же избавляемся от неудобных дробей 1/7 и 1/3. И теперь мы видим причину падения ровно в 2 раза. Ведь вероятность встречи условных всепобеждающих Ивана и Алексея в каждой конкретной стадии растёт ровно в 2 раза. А вероятность их же, побеждающих 50 на 50 дружно пробиться в следующую стадию падает в 4 раза.
В точности так же решил её ещё когда она была первый раз озвучена, с таким подходом и факт снижения вероятности в 2 раза очевиден, да и решение устным становится.
здравствуйте хочу попросит вас сделать выпуск про гиперболы, все то что нужно знать школьникам и чуть больше, а то появились в егэ задания а в школе маловато про это говорят
Поддержите лайком чтобы бвло в топах
Однажды, благодаря преподавателю с такой же четкой грамотной речью я заинтересовался наукой и меня не выперли с универа.
Б.Трушин огромное спасибо за ваши подробные разборы задач.
Борис, спасибо вам за отличный контент! Мне кажется можно рассуждать горазадо проще в рамках решения "в лоб". Если набросать перед глазами сетку то легко видно что в первом туре шанс встречи 1/15. Во втором туре мы можем встретиться если наш друг играет на двух конкретных местах (в соседней паре сетки). Но естественно нужно победить обоим, поэтому 2/15*(1/2)^2. Для встречи в очередном туре подходит уже 4 стартовых места, добавляем 4/15*(1/2)^4. Ну и в финале нас устроит если друг начинал в любом месте другой половины сетки относительно нас. 8/16*(1/2)^6. Собственно слагаемые такие же как у вас после всех сокращений, но по моему быстрее и сильно меньше шансов ошибиться.
Можно решить через составление турнирной сетки. Мы выбираем, в каких начальных позициях сетки находятся наши игроки (жребием в таком сценарии можно принебречь). Далее считаем, сколько пробел должно было произойти. Тогда легко заметить по структуре сетки, что вероятность встретиться в n-ом туре из 2^k участников - (2^(n-1)/(2^k-1)) * (1/4)^(n-1). Из формулы как раз очевидно, и по структуре интуитивно понятно, почему вероятность уменьшалась в 2 раза на каждом этапе)
Здорово, что Вы показали два способа. Спасибо.
Аккуратно объяснить:
Вероятность встречи в каждом следующем этапе, без учета, что до этого этапа нужно дойти - в два паза больше, чем в предыдущем
А вероятность, что оба парня дойдут до следующего этапа, с каждым этапом становится в 4 раза меньше, поскольку шансы пройти конкретный этап вдвоем - 1/4
По итогу выходит, что с каждым этапом вероятность встречи умножает результат на 2, а вероятность прохода в этот этап - на 1/4. 2*(1/4) = 1/2 - это шаг геометрической прогрессии, где члены - вероятность встречи парней в каждом этапе
Отличное объяснение, спасибо
Второе решение, но строго: рассмотрим 120 событий вида {игроки i и j встретились в рамках турнира}. В силу симметрии они все имеют равные вероятности. Но каждая из этих вероятностей есть матожидание индикатора соответствующего события. Сумма этих ста двадцати индикаторов равна 15 с вероятностью 1, то есть матожидание каждого из них равно 15/120=1/8.
Спасибо, очень понятно объяснили
8:10 мое объяснение:
на каком то этапе турнира (любом) количество участников равно:
2^k
тогда вероятность что два определенных участника не встретятся:
1-1/(2^k-1)
Или:
(2^k-2)/(2^k-1)
ИЛи, рассмотрев только числитель:
a=2*(2^(k-1)-1)
На следующем этапе людей будет уже:
2^(k-1)
Вероятность, что два конкретных игрока встретятся:
1/(2^(k-1)-1)
Или, рассмотрев только знаменатель:
b=2^(k-1)-1
Видно, что a=2b вне зависимости от k (этапа турнира)
Да-да, вот это я и имел в виду под "формально расписать в общем виде" )
Борис, отличное видео для подготовки к собеседованиям)
Спасибо за доступное объяснение
Второе очень крутое рассуждение! Первым способом влоб где-то час думал и получилось...
Скорее всего вероятность уменьшается в 2 раза с каждым туром потому что вероятность пройти и первому, и второму 1/4, но в то же время количество прошедших игроков в следующий тур уменьшается на 2. Т.е. 1/4 : 1/2 = 1/2
Понравилось,офигел со второго способа)
Про то как понять, что вероятность падает в два раза, не считая все вероятности:
1) я нарисовал начало турнирной таблицы, и сказал, что в первой ячейке находится один из двух друзей
2.1) чтобы он сыграл с другом в первом раунде друг должен находиться в одной определенной ячейке около него
2.2) чтобы друг сыграл с ним во втором раунде, то он должен быть в одной из двух ячеек + они оба должны пройти в следующий раунд
2.3) чтобы друг сыграл с ним в третьем раунде, то он должен находиться в одной из четырех ячеек и они оба должны пройти в следующй раунд дважды
3) тогда вероятность того, что они встретятся в каком-либо раунде:
p(a) = 2^(a - 1) / (n - 1) * v1^(a - 1) * v2^(a - 1)
где
a - номер раунда от 1 (если считать от 0, то формула будет выглядеть более опрятно)
n - кол-во игроков в турнире
v1 - вероятность выиграть раунд первого друга
v2 - вероятность выиграть раунд второго друга
4) если подставить в полученную формулу их вероятности победить, то получим вот это:
p(a) = 2^(a - 1) / (n - 1) * (1/2)^(a - 1) * (1/2)^(a - 1)
сокращаем 2^(a - 1) с (1/2)^(a - 1) и получаем
p(a) = 1 / (n - 1) * (1/2)^(a - 1)
=> можем заметить, что при увеличении номера раунда на 1 вероятность просто уменьшается в два раза для данных значений
вообще в целом можно сделать вывод, что если там два друга, и у одного вероятность выиграть это 1/2, то с каждым раундом вероятность встретиться будет домножаться на вероятность выиграть второго друга (потому что она и остется как второй множитель в формуле)
Последнее решение замечательное, использует данные максимально экономно.
Я тупанул сначала, посчитал число перестановок в первом раунде, то есть С по 2 из 16, получилось 120 вариантов, и решил, что вероятность попасть сразу вместе 1/120. Не учел, что нам не только одна из 120 подходит...
В первом решении можна рассуждать немного по-другому и тогда видно, что вероятность встретиться в следующем туре уменьшается вдвое. Если нарисовать турнирную сетку и в какой-то ячейке поместить Ивана, то вероятность встретиться в первом туре - 1/15. Смотря на турнирную сетку, видно, что если они встретятся во втором туре, то у Алексея две возможные ячейки. Также, они оба должны выиграть, значит вероятность встретится во втором туре - 2/15*1/2*1/2=1/15*1/2
Теперь видно, что чтобы всретится в следующем туре, количество возможных вариантов для размещения увеличивается вдвое, вероятность дойти до этого тура у каждого участника уменьшывается вдвое. Поэтому, если вероятность встретится в каком-то туре =k, то в следующем =k*2*1/2*1/2=k/2
Классное обьяснение второе 👍
Сидит стройбан ( мужик 40 лет работающий....... руками) и кайфует от такого контента.
П. С. как-то это связано с биномом ньютона из вашего канала, когда вы переберали буквы в слове математика, да или нет, желаю вам добра!
Первый вариант, судя по всему, более универсальный - он будет работать и в случае какой-то неравной вероятностью победы каждого игрока в паре. Просто для каждой пары меняем 1/2 на нужную вероятность. А вот второй вариант с комбинаторным решением работает только если вероятность победы для каждого игрока одинакова.
Вот прям уже сама хочу посмотреть курс про вероятность. Может, ещё что-нибудь сюда попадает? Интересно.
Вероятность пройти в следующий тур у одного участника 1/2. У второго так же 1/2. Но участников в следующем туре в два раза меньше чем в предыдущем, поэтому шансы встретиться вырастут в 2 раза. В итоге вероятность встретиться в следующем туре это Х*0.5*0.5*2., где Х - вероятность рассчитанная для предыдущего тура.
1. Если вы следите за турнирами абсолютно любого спорта,то вы знаете как выглядит турнирная сетка. Если игрок Х занимает 1 место из 16, то игрок У может занять 15 различных мест. Чтобы встретится в финале с Х, игроку У надо быть в 1 из 8 возможных мест(в 7 оставшихся он встретится с Х раньше). Чтобы встретится с Х в полуфинале будет уже 4 места(тогда мы рассматриваем в 2 раза меньше пар, потому и мест в 2р меньше)и т.д. .Чтобы оба игрока прошли в след раунд(исключая возможность их встречи) надо чтобы вероятность 0.5 сработала дважды. Получается что с каждым следущим раундом мы делим вероятность на 4 и умножаем на 2. Потому с каждым раундом вероятность в 2р меньше.
2. Задача была бы интересней, если использовать систему двухуровневой сетки турнира(когда игрок проигрывает матч он падает с основной сетки в нижнюю, и вылетает с турнира проиграв дважды). Если бы я небыл ленивой жопой, то тут был бы ответ для такого варианта условия
Самое замечательное,что я всё понял.
По лобовому способу и наглядному объяснению почему же на каждом шаге шансы падают в 2 раза:
Просто нарисуйте стандартную сетку плэй-офф турнира на 16 участников. Заодно сразу поставьте одного из участников на самую первую позицию. Аргументация - т.к. шансы на победу в любом поединке у всех равны, то не суть важно где он в итоге окажется. Ситуация всегда будет симметричной. Теперь шансы на нужную пару в 1-м туре(1/8 финала) 1/15. Только если второй участник попадёт в пару к первому. Для встречи нужной пары во втором туре(1/4 финала) второй участник должен попасть во 2-ю пару, то есть на 3 или 4 строчку "посева". Значит количество подходящих мест при начальной жеребьёвке возросло в 2 раза, но шанс, что оба интересующих нас игрока победят в своих матчах, по условию 1/4(50% в каждом из 2 матчей). Вот мы и получили сокращение шанса на стык во втором раунде в 2 раза. Аналогично будет для каждого следующего шага. В 2 раза больше подходящих позиций старта, но в 4 раза меньше шанс на проход. И да. Самое главное - не забыть в конце сложить все шансы с первого по последний этап.
P.S.
Комбинаторикой решить эту задачку действительно проще, благодаря условию про равные шансы. Так что полностью соглашусь. Главное - понимание где можно легко применить тот или иной способ решения
По поводу того, почему вероятность уменьшается в два раза с каждым туром.
В любой конкретной игре любая пара игроков встретится с одной и той же вероятностью. А это значит, что вероятность того, что в данном туре встретится наша пара игроков пропорциональна количеству игр в туре. Поскольку количество игр каждый раз уменьшается в два раза, то и вероятность должна тоже уменьшаться в два раза.
Борис, я вам вдячний за вашу роботу, за вашу позицію і за ваш канал. Дивлюся ваші відео і згадую свого викладача - Ясінського В.А. Олімпіадник був сильний. Та ви його точно знаєте...
Мое простое объяснение уменьшения вероятности вдвое: Так как все участники имеют одинаковые равновероятные шансы в любом матче, то вероятность НАШЕМУ игроку в каком-то (любом) туре получить в соперники одного КОНКРЕТНОГО игрока одинаковая и равна 1/15. А вот вероятность его собственного прохода в каждый следующий тур равна 1/2 (вероятность его победы) Вот и все.
Неправильно
Ну нам во время комбинаторики в школе просто дали формулу n!/(n-k)!k! где n это полный набор чисел, а k это число перестановок, и такие задачи мы решали за полминуты. Кому надо себе на заметку возьмите или прогуглите nCk formula. Последнее решение Бориса, это как раз эта формула, уже сокращенная.
Если что, ! это факториал числа, то бишь перемножение всех целых чисел от нуля до числа. Пример: 5!=1*2*3*4*5.
Насчет перестановок и набора, хз, у нас это set и permutation, перевел через гугл транслейт
Короче если сетку нарисовать и посчитать для каждой позиции вероятность, то становится очевидно почему вероятность в два раза отличается, не смотря на то что шанс прохода уменьшается в четыре раза количество подходящих позиций удваивается .
Спасибо!
8:11 если Ваня дошел до n-ого этапа турнира то какова вероятность на этом этапе встретить определенного игрока?
Такая же, как и встретить любого другого определенного игрока, потому что от игрока ничего в условии задачи не зависит, то есть 1/15. (У каждого игрока одинаковые шансы не попасть против Вани в 1 раунде, пройти во второй, не попасть опять, пройти дальше и т.д. пройти в n раунд и именно в нем попасть в пару к Ване)
Поэтому зайдя в турнир Ваня встретит Лешу на n-ом этапе с шансом 2^(-n+1)* 1/15.
И эти шансы можно смело складывать, так как события "Ваня встретил Лешу на n этапе" не совместимо с событием "Ваня встретил Лешу на k|k!=n этапе"
кажется, я не первый с таким объяснением, но на всякий случай
Борис спасибо! Расскажите ещё пожалуйста про целую и дробную часть числа
Вот тебе Борис задача для рубрики я думаю тебе понравится : завод выпускает детали его станок с вероятностью s выпускает годную деталь. На заводе есть система проверки которая с вероятностью q может признать годную деталь негодной и с вероятостью p негодную годной. Вопрос: какова вероятность того что система проверки выевит среди n деталей ровно m годных?
Мне очень понравилось, потому что я час назад прочитала эту задачку и мне не с кем ее было обсудить. Удваивается знаменатель из-за вероятности 1/2. Есть у меня подозрение, что эта задачка старше Вас, Борис.
Встретиться в каждом следующем туре:
С одной стороны увеличивается в 2 раза (т.к. людей стало в 2 раза меньше)
С другой стороны - уменьшается в 4 раза, т.к. каждый должен выиграть свой предыдущий раунд (1/2 * 1/2 = 1/4)
Итого вероятность встретиться в каждом раунде по отдельности уменьшается в 2 раза по сравнению с предыдущим
Каждая следующая вероятность в два раза меньше потому что Иван в каждом следующем туре встречается с одним из случайных для него игроков и вероятность, что это Алексей 1/15. Но вероятность, что он участвует в первом туре 100 процентов, во втором 1/2, в третьем 1/4, в четвертом 1/8. Вот и получаем 1*1/15+1/2*1/15+1/4*1/15+1/8*1/15 =8/120+4/120+2/120+1/120=15/120. Иначе говоря, нам не важно, как играют в других играх соперники, нам важен, что каждый из соперников Ивана может с одинаковой вероятностью оказаться Алексеем 1/15. А вот вероятность выхода Ивана в каждый новый тур всегда уменьшается ровно в два раза.
Была задача, где 50 человек и при нечетном количестве участников один случайный автоматически проходит в следующий тур, а остальные играют с той же вероятностью 0.5 на победу. Там конечно вычисления объёмнее выходят
Первым способом - да, сложновато. Особенно когда техпобеды не выдаются сразу же в первом раунде, чтобы во втором осталось ровно 32 игрока (тогда достаточно отдельно взять случаи, когда Иван и Алексей начнут турнир оба с 1/16, оба с 1/32, и один с 1/32, другой с 1/16). А когда выдаются начиная со второго тура, когда там останется 25 игроков из 50-ти.
Причём сведутся оба этих случая к одному ответу.
А вот решение вторым способом не усложнится. Делим число пар на число матчей в сетке и получаем ответ.
Даже попробую решить.
Пусть участниками будут те же Алексей и Иван.
Для Алексея имеем:
1) 1 - вероятность сыграть матч в 1/32.
2) 24/50 - вероятность сыграть матч в 1/16. Пройти во второй тур и сыграть там матч смогут 24 игрока из 50. В следующий выходят 13 игроков.
3) 12/50 - вероятность сыграть игру в 1/8. 6 играющих пар + 1 побеждающий автоматом. Итого останется 7 игроков.
4) 6/50 - вероятность сыграть в четвертьфинале. Останется 4 игрока.
5) Игра в полуфинале: 4/50
6) Игра в финале: 2/50.
В среднем за турнир у Алексея: 1+24/50+12/50+6/50+4/50+2/50=98/50 = 1,96 игр.
В этих 1,96 играх 49 потанцевальных противников, значит вероятность пересечься с одним конкретным из их числа (Иваном) 1,96/49=0,04.
Проверяем ответ через решение вторым способом:
Всего у нас (50×49)/2=25×49=1225 пар. И 49 игр в турнире.
49/1225=0,04.
Вроде не налажал.
Если по условию все техпобеды будут распределены на стадии 1/32 турнира: 18 пар играют в первом туре, 14 игроков проходят автоматом. Значит Алексей в среднем сыграет: 36/50+32/50+16/50+8/50+4/50+2/50 = те же 98/50 игр в среднем за турнир. Дальше задача сводится к первому решению.
Попробовал до просмотра видео решить. Получилось примерно 12.22%. Ща посмотрим правильный ответ
Все задачи такого типа решаются просто деление двух(игроки которые должны встретиться) на 16( кол-во команд). Проверял на разных задачах везде ответ сходится, так сказать лайфхак.
Добавляем в условие задачи матч за 3 место и всё, лайфхак накрылся медным тазом.
Пользуясь лайфхаками, надо понимать, почему они так работают.
В задачах #10 про викторины из сборника ответы тоже равны (n+1)/(n+2), где n число игр, выигранных по условию командой А. Подставляешь одну циферку и ответ готов.
Но стоит чуть чуть подкрутить условие (например спросить про вероятность победы команды А в двух сдедующих играх) и лайфхакер останется с носом.
Я вообще хотела нарисовать турнирную сетку-граф, чтобы не запутаться, и пассуждать примерно как во 2 случае
Как же много вероятности
Відносно коефіцієнта 2. Фінал - один, півфіналів - два, чвертьфіналів - чотири, тому ймовірність попасти у півфінал у два рази більша ніж у фінал бо їх є два і так далі. Це добре видно коли намалювати дерево ігор, або в спорті - сітку зустрічей.
Не могу найти про показательное уравнение с параметром, где надо найти все а, при которых все корни лежат на данном промежутке.
Например, 3а^2х - 16^х + 2*(4а)^х = 0, надо найти все положительные а, если все корни на [-2;-1]
Дошел до (4/а)^х = -1 в совокупности с (4/а)^х = 3, что дальше делать не знаю
Сейчас решил каким то подбором, но не думаю что на егэ это прокатит
Ну во втором решении мы просто считали матожидание.
Например, взяли готовую таблицу результатов турнира и заполняли случайными именами, в каждом матче матожидание искомой пары равно 1/120, всего 15 матчей в таблице.
Здравствуйте, БВ! Когда решал стереометрию в ЕГЭ, столкнулся с формулами площади поверхности. Можно их как-то выводить, чтобы проще запоминать?
Площади поверхностей это площади плоских фигур, сторонами которых будут длины объемной
Конус при разложении даёт две окружности и прямоугольник, одна сторона которого это высота конуса, а другая это длина окружности . Таким образом стараешься разложить любую объёмную фигуру и найти площади ее граней а потом посокращать чё можно
Не лучший из меня учитель, но надеюсь помог
Нужно число встреч поделить на число пар.
Кстати, ровно этим можно объяснить, почему в каждом следующем туре вероятность встречи в 2 раза меньше.
Отличное видео. Давайте добивать задачи из списка Ященко. Спасибо!
В институте решал. Провинциальном. Для инста задача была простая. Для школы... ну не знаю, видимо кому как.
Второе объяснение вообще кажется элементарным...когда тебе его по полочкам разложили.
Только оно не подойдет для игроков с разной силой.
отличный канал
Просто из понимания равной вероятности результатов поединков, в каждом новом туре вероятность выхода двух означенных противников 1/2, а количество пар участников уменьшается в два раза. Значит, вероятность встретиться в следующем туре 1/2*1/2*2= в 2 раза меньше чем в предыдущем, нет?
Классно
Потрібно зрозуміти, що якщо Ваня і Саша гратимуть у фіналі то це означає, що вони ще не зустрічалися раніше . Якщо скласти список на початку турніру то буде 120 пар, в кінці турніру буде 15 пар, одна з них - Ваня і Саша, інакше вони би зустрілися раніше і один з них точно б вилетів
Кстати если немного подумать, то есть совсем лентяйский способ ответа на задачу такого типа(с олимпийской системой турнира, честным жребием и равной силой участников).
При условии "слепого" жребия, когда у всех состязающихся равные шансы попасть друг на друга, и при равных силах, обеспечивающих шансы победы 50 на 50, шанс увидеть конкретную пару всегда равен начальной стадии(1/8 или 1/64...). То есть единице делённой на половину от количества участников.
Доказательство утверждения тоже будет лентяйское на конкретном примере комбинаторики, небрежно переведённому в общий вид.
В нашем случае было 16 участников и итоговый ответ 1/8 что совпадает с утверждением.
А теперь переведём использованный расчёт в общий вид:
Для начала немного позаменяем.
Количество участников турнира(16) назовём P
Количество пар участвовавших в турнире(15) назовём C
Так как система олимпийская, то количество пар в турнире(C) всегда равно количеству участников(P)-1. Это суть такого турнира. Разбить участников на пары и каждый раз сокращать количество пар в 2 раза пока не останется одна пара.
Получили равенство C=P-1
И вернёмся к решению
Количество пар, участвовавших в турнире мы делили на общее количество возможных пар. А общее количество возможных пар это количество участников турнира умножить на количество участников турнира-1 и разделить на 2
То есть в буквенном виде:
С*2/(Р*(Р-1))
Или выразив C через P:
(Р-1)*2/(Р*(Р-1))
Сокращаем
2/P
ЧТД
А если так. Вероятность того, что оба пройдут в следующий тур 1/4. Количество участников уменьшается в 2 раза, значит увеличивается в 2 раза вероятность встречи. В итоге 2*1/4=1/2 - вероятность встречи уменьшается в 2 раза в каждом следующем туре.
Не - нифига не так.
Мне привычнее на примере жеребьёвки плей-офф Лиги Чемпионов УЕФА такие задачки рассматривать. Какова вероятность того, что встретятся Арсенал с Ливерпулем или Реал с Барселоной
Была у меня эта задача. На экзамене по ТерВеру. В ВУЗе. 25 лет назад.
Спасибо, мне больше второе решение понятно
Здравствуйте у меня есть интересная задача. У футбольном турнире учавствует 16 команд по регламенту каждая команда должна сыграть с каждой по 2 раза; за победу начисляется 3 очка, за ничью 1, за поражение о вопрос : возможно ли, что три команды по окончанию турнира наберут одинаковое количество очков при этом у них будет одинаковое количество побед, ничьих и поражений?
Открою страшную тайну: все 16 команд могут набрать одинаковое количество очков и иметь по 10 побед, ничьих и поряжений.
Присваиваем командам 4 цвета: красный, белый чёрный и жёлтый. По 4 команды каждого.
Красные в личных встречах побеждают белых, белые чёрных, чёрные жёлтых, жёлтые красных.
Красные против чёрных и белые против жёлтых играют вничью.
Внутри каждой четвёрки одного цвета нумеруем команды с 1 по 4.
1 побеждает против 2, 2 побеждает против 3, 3 побеждает против 4, 4 побеждает против 1.
1 против 3 и 2 против 4 играют вничью.
Нетрудно посчитать, что какой бы цвет и номер мы не взяли, у него будет 10 побед (8 по цветам, 2 по номеру), столько же ничьих и поражений. И по 40 очков за турнир.
Равное число побед, ничьих и поражений возможно для любого ткрнира с 1+3n команд, где n - натуральное число. Разумеется, если все команды сыграют одинаковое число личных встреч.
Доказательство:
Нумеруем команды и расставляем их по кругу. Как цифры на циферблате часов. Если любая команда будет выигрывать у n команд впереди неё по часовой стрелке, проигрывать n командам позади себя, а с остальными n команд играть в ничью, она получит а*n побед, ничьих и поражений в турнире. Где а - число личных встреч двух команд.
Для турниров с числом команд не равным 1+3n равное количество побед, ничьих и поражений у всех команд невозможно, так как число матчей одной команды не делится нацело на 3.
Исключение - турниры с а=3k личных встреч двух команд, где k - любое натуральное число. В этом случае нам достаточно k побед, k ничьих и k поражений в личных встречах во всех парах команд.
Подытожим.
В турнире, с А участников где все участники проводят K личных встреч друг с другом, ситуация, когда у всех команд будет Х побед ничьих и поражений (при натуральных А и К) возможна:
1) При А равном 1+n участников, где n - натуральное число. Другими словами при А равном 4, 7, 10, 13, 16 и т.д. участников. При этом К может принимать любое значение.
2) При К равном 3m личных встреч, где m - любое натуральное число. Другими словами, при 3, 6 9, 12 и т.д. личных встреч. При этом А может принимать любое значение.
В остальных случаях равенства побед ничьих и поражений добиться невозможно, так как любая команда не сможет сыграть число матчей, кратное 3-м.
Быквы чуть поменял, чтобы не было разночтений.
Очевидно же что хоть сколько команд может иметь одинаковый результат, если будут играть между собой вничью и одинакого с остальными. Хоть все 16 из 16 ти.
12:10
Не помял, можно пожалуйста разжевать. Как мы поняли, что посчитали в два раза больше чем нужно?
Как я должен мыслить,что бы понять,что нужно делить на два?
Или Мы делим на два потому, что перемножили человек, а пар в два раза меньше .
Тогда зачем говорить, что мы "каждую пару" посчитали дважды, это вводит в заблуждение.
Ошибся на самом первом туре... Пойду повторю теорвер)
Мне кажется, во втором способе равноправность этих пар нужно доказывать более аккуратно. Потому что если наши друзья - днища и выигрывают с вероятностью 1/4, все эти рассуждения не верны и "хитрый способ выбора пар" имеет значение. Соответственно, надо доказывать, что при 1/2 таки не имеет.
Наши "днища" выигрывают с вероятностью 0,5 по условию. Без всяких "если 1/4".
Из этого 0,5 следует, что участие любого игрока в любой игре на любой стадии турнира равновероятно относительно остальных игроков.
ты очень крутой
сегодня эта задача попалась на пробнике, который писала вся Москва
Удивило, что 120 пар получили без формулы для количества сочетаний.
Будет ли стрим типа "Порешаем регион"?
У меня вот только один вопрос. Это точно егэ? Когда я учился в школе, что такое комбинаторика я не знал. Когда я учился в институте, я не знал что это. К своему стыду, само понятие комбинаторики я узнал на этом канале. Я 22 года назад закончил школу и задачи на комбинаторику не встречал нигде, даже на школьных олимпиадах. Это реально нужно в школе знать? Мы даже в институте теорию вероятности проходили вскользь. Учился в техническом вузе на специальности «электропривод», закончил в 2004 году
По моему вполне нормально, когда школа даёт те знания, которые могут пригодиться в дальнейшем обучении. Хотя бы на самом базовом уровне.
Сейчас в вузах очень много IT-специальностей, на которых без знания тервера учиться сложновато.
Если же условный школьник - гуманитарий и не горит желанием поступать на физмат или информационные технологии, всегда можно сдать базовый вариант ЕГЭ. Который на порядок легче.
А если у нас для каждой пары есть свое соотношение вероятностей победы, типа таблицы, в которой будет указана вероятность победы у одного из соперников пары? Тогда пары уже не равноправные будут?
Да
Побольше теорвера 👍
1)вероятность события: встретиться в туре с 2*n человек 1/(2*n-1)
2) вероятность события: не встретиться в туре с 2*n человек (2*n-2)/(2*n-1)
3) вероятность встретиться в туре с n человек 1/(n-1)
4) вероятность выполнения условий 2 и 3 : 2/(2*n-1) (знаменатель из 3 сокращается с числителем из 2).
В два раза больше чем вероятность условия 1
5) В задаче в следующем туре в 2 раза меньше человек, но чтобы пройти в следующий тур этим мужикам надо победить с вероятностью 1/4.
6) Получается вероятность встретиться в следующем туре: (условие 2) * (условие 3) * 1/4 = 2 * (условие 1) * (1/4) = 1/2 * (условие 1)
Вероятность встретиться в этом туре : (условие 1), в два раза больше
Первый способ решения универсальней. Вот подергали мы вероятности индивидуальных встречь туда-сюда, сделали их неодинаковыми - и всё, второй способ накрылся. А первый будет работать.
как раз второй способ более устойчивый к изменениям условия, достаточно лишь знать вероятность попадания игроков в следующий тур, тогда матожидание вычисляется легче, чем чудовищная формула полной вероятности, которая, я подозреваю, выйдет за пределы посильных ручных вычислений
А можете подсказать почему мы в конце вероятности складываем?
Нам подходит любое из этих четырех событий. Они не совместны, поэтому вероятность того, что какое-то из них произойдет равно сумме вероятностей
Спасибо большое, теперь понял. Только вот еще кое-что спросить хочется, что вы имели ввиду под "совместны"?
@@wertyozok5347 Несовместны - значит не могут произойти одновременно. Например в данной задаче Иван и Алексей не могут встретиться одновременно в 1/8 и финале. Как и на любых других двух стадиях.
Совместные события: это, например, встреча пары Иван и Алексей и пары Иван и Дима. Одно событие другое не исключает. Но как только нас спросят о вероятности встречи Алексея с Иваном или Димой в финале (или в первой игре) - события сразу же станут несовместными, т.к. Алексей не может сыграть на одной стадии одновременно с двоими инроками. Если это, конечно, не парный турнир.
@@wertyozok5347 события называются несовместными, если они не могут произойти одновременно. Посмотрите, у меня пару месяцев про это был ролик
@@trushinbv хорошо, спасибо вам
Можно было бы задачку сделать более фееричной, если внести коэффициент силы игроков )))
почему мы в случае, например, третьего матча, учитываем вероятность, что они не встретились в первом раунде 2 раза? то есть для него самого первого раунда, но и для второго раунда это тоже учитывается?
Жалко, что вероятность пары, например, "Манчестер Сити" - "Бавария" в Лиге чемпионов УЕФА считается только в лоб и только в конкретном розыгрыше, потому что в первом туре (1/8 финала) есть ограничения (не могут играть между собой команды из одной группы - всего 8 - и команды из одной страны - меняется из раза в раз).
Даже если считать вероятность выиграть равной 1/2, то всë равно расчëты получаются сложные..
Спасибо за видео! Вопрос: насколько усложнится задача, если скиллы игроков будут чуть-чуть различаться.
1) Вероятнее всего перестанет работать второй способ решения.
2) Сложность решения первым способом будет зависеть от того, как именно будут заданы "скилы".
Например если вероятности побед Ивана и Алексея над любым игроком (кроме них двоих) будут заданы конкретными значениями, мы просто напросто поменяем 0,5 в расчётах на эти значения.
Если игроков расставят по силе от 1 до 16 места, где более сильный всегда побеждает более слабого а Иван и Алексей будут 3-м и 4-м по силе, - придётся считать не только вероятности встречи по стадиям, но и вероятности "увернуться" от двух более сильных игроков. А начиная со второй стадии еще и учитывать, что самый сильный мог выбить второго по силе.
В общем - усложнить жизнь решающему можно. Было бы желание.
Для первого решения не сильно. Второе вообще не сработает. И как решение его кстати на егэ не примут.
@@ДмитрийСеливерстов-п5з
Ну давай зададим эти вероятности.
Допустим у нас есть: 4 фаворита, 8 середняков (в т.ч. Иван и Алексей) и 4 аутсайдера. Фаворит выигрывает у середняка, а середняк у аутсайдера с вероятностью 0.6. Фаворит выигрывает у аутсайдера с вероятностью 0.9. Если встречается пара фаворитов, середняков и аутсайдеров, вероятность победы: 0.5.
Остальные условия задачи остаются в силе.
Разные вероятности заданы. Решение первым способом изменится прямо таки немного?
Понятно, что если поменять вероятности побед лично для Ивана и Алексея (допустим вероятность победы над остальными игроками по 0.65), то в расчётах первым способом достаточно будет заменить все 0,5 на 0.65. Но если вероятности побед станут разными не только у них двоих, а разом у всех участников турнирной сетки?
@@ДмитрийСеливерстов-п5з И хотелось бы узнать, каким образом не примут решение вторым способом? Учитывая, что в задании #10 от экзаменуемого требуется только голый ответ?
Мне более логичным, красивым и понятным показался второй способ. Классная задача!
Только он не работает для игроков разной силы. Первый правильный.
@@ДмитрийСеливерстов-п5з А первый работает? Возможно Вы при расчете вероятности как-то учитываете рейтинги игроков, но я и без этого с трудом разобрался в этой задаче.
@@servenserov первый всегда работает второй только при равной вероятности.
За решение вторым способом вам поставят 0 баллов.
@@ДмитрийСеливерстов-п5з Да, я ни первым, ни вторым самостоятельно бы не решил. Даже без учёта рейтинга это весьма непростая задача.
@@servenserov вроде бы она элементарная и решается по банальному алгоритму
Мне на пробнике встретилась эта задача, но с количеством участников 20. Я в замешательстве, что мне делать с "переходящими игроками" и как их считать, чтоб ответ нормальный получился? Неужели в любом случае вероятность будет в 2 раза меньше?
Ничьих нет, есть проблема с игроком, который остается 5-м и не участвует в очередном турнире. Описать корректно такую ситуацию становится очень трудоемко и условие про 20 участников предполагает применение комбинаторного метода.
@@ИгорьГанков-л3жизвиняюсь, я уставший написал ничьих, а не "переходящих игроков". В условие было "если в конце раунда остаётся неровное число участников случайный игрок оставшийся без пары переходит в следующих раундах". Не смотря этот обзор дорешал до этих ничьих и сдался. Сейчас решил разобраться и так и не понял что мне с этими ничьими делать)))
Скажите, желательно ли наизусть знать умножение двузначных чисел?
@@wers200old А таблицу квадратов после 10?
11*11, 12*12...
я бы так объяснил. Вероятность что они встретятся = k, с каждым туром эта вероятность увеличивается вдвое (в два раза меньше игроков), но вероятность что они в следующий тур попадут 1/4... итого 2/4 = 0.5
но это как будто я сову на глобус натянул =)
Ну, это же не так. Если 4 участника, то вероятность встречи -- 1/3, а когда два участника, то вероятность встречи равна 1. Нельзя сказать "с каждым туром эта вероятность увеличивается вдвое (в два раза меньше игроков)".
В комнате 5 человек и 3 выхода, каковы шансы что минимум трое воспользуются одним и тем же выходом?