Sehr cooles Video, vor allem die schöne Herleitung/Begründung, warum senkrecht aufeinander stehende Vektoren 0 als Skalarprodukt haben. Bis jetzt hab ich das immer mit Vektoren wie (a,-b) und (b,a) versucht den Schülern erklären.. 😊
Deine Erklärung ist wahrscheinlich auch leichter für Schüler zu verstehen. Am besten Schüler schauen sich Erklärungen auf unterschiedliche Weisen und Schwierigkeitsleveln an, um das Thema vollständig zu verstehen :)
bestes video was man zum skalarprodukt finden kann!!! Vielleicht könntest du am Anfang noch kurz erwähnen was genau das Skalarprodukt eigentlich ist, aber top!!
2:31 einzige Frage: wie kommst du auf -2*a*bcos(a) und warum kommt das noch hinter dem a^2 + b^2 ansonsten super klasse video wie immer und gewohnt von dir danke danke danke
Hab gleich noch ne Frage: du verwendest ganz am Anfang des Videos das Wort Skalarprodukt, später aber immer Standardskalarprodukt. Sind die beiden das Gleiche und somit austauschbar oder versprichst du dich?
Die meisten kennen es unter dem Namen "Skalarprodukt". Eigentlich ist es aber nur das "Standardskalarprodukt". Ich kann auch ein Skalarprodukt definieren, dass als 'Vektoren' zwei Funktionen multipliziert und sie integriert. Das ist auch ein Skalarprodukt, aber nicht das, was man in der Schule kennen lernt, sondern eins, dass man erst in der komplexen Analysis braucht.
Sehr gutes Video, vielen Dank für deine Mühe 👍! Ich habe nicht ganz verstanden, wie du 1/Wurzel 2 = Wurzel 2/ 2 mit dem Trick herausgefunden hast. Wie hast du das gemacht?
Danke dir! Du kannst 1/Wurzel(2) im Zähler und Nenner mit Wurzel(2) erweitern. Dann hast du Wurzel(2)/(Wurzel(2)*Wurzel(2)), was ja gleich Wurzel(2)/2 ist, denn Wurzel(2)*Wurzel(2) = Wurzel(2)^2 = 2.
Hallo Lieber Peter, da bin ich wieder ☺. Was passiert zu der Skalarprodukt der beiden Vektoren, wenn sie parallel zu einander sind? Wie wenn zwei Vektoren senkrecht bzw. orthogonal stehen, dass die Skalarprodukt der beiden Vektoren sich null ergibt? Vielen Dank und schönen Abend!
Das Skalarprodukt von einem Vektor mit sich selbst, ergibt seine Länge zum Quadrat. Wenn du also zwei Vektoren a und b=lambda*a hast (lambda ist eine reelle Zahl), dann ist das Skalarprodukt gleich lambda*|a|^2.
Die dritte Gerade, also der Vektor c, schreibst du am Anfang als c = a - b. Danach sagst du bei 2:13 aber, dass zur Berechnung von c .... gebraucht wird, schreibst aber c diesmal nicht als a - b hin, sondern als Betrag von (a - b)^2 hin. Das versteh ich nicht. Müsste es, wenn überhaupt, nicht die Wurzel daraus sein?
Es ist richtig, dass c = a - b. Und bei 2:13 nehme ich die Länge (!!!) des Vektors c zum Quadrat, also die Länge des Vektors a-b zum Quadrat, oder kurz geschrieben |a-b|² einfach nur mit dem Cosinussatz auseinander. Das besagt der Cosinussatz, der lässt sich sogar elementargeometrisch beweisen.
Am besten an einem konkreten Beispiel erklären wie man beweisen/widerlegen kann das einen Metrischer Raum X wegzusammenhängend ist. Also besonders wie man sich den Weg ( die stetige Abbildungen [a,b] -> X ) definieren kann. Zum Beispiel Aufgaben wie: Zeigen Sie das IR^2 \ {0} wgzhd ist.
Ehrlich gesagt würd mich das selbst interessieren, wie man den Nachweis führt. Bisher war für alle Anwendungen (Potential, DGL,...) einfach klar, dass R^2 einfach zusammenhängend ist, aber R^2\{0} nicht. R^3 auch wieder, genau wie R^3\{0}, aber nicht R^3\{beliebige Gerade}. Aber schick mir doch gern mal Aufgaben mit Lösungen und auch gern Altklausuren :)
Bin Mir nicht sicher, was ein Schüler davon schon Kennt. Aber cool, wie es Mit "Schulmathematik" möglich ist. Ist im Unterricht Dann aber schwierig einzubringen, Weil Beweise in der Regel nie gelernt wurden. Daher ist es schwierig, dem Schüler die Relevanz Des Unterrichtsinhalts zu vermitteln. Wenn jemand eine Idee hat, wie man das einbringt, nehme ich an!
Das klärt noch nicht die Frage, wie ein Lehrer dabei vorgehen könnte. Ich kann mich dran erinnern, in der Schule alles mal gehört zu haben. Doch bringen dem Lehrer diese informationen doch keinen Fortschritt Im Unterrichtsstoff und damit auch keinen Fortschritt beim gelernten der Schüler. Warum es Skalarprodukte gibt, und welche, und warum diese Eigenschaften haben, ist abstrakter als das Skalarprodukt anzuwenden. Ein gefährlicher grad, da Menschen schnell abschalten, Wenn es zu kompliziert wird/sie nicht mehr mitkommen.
@@fabianpascalabt6353 Ja genau, das erfordert Recherche und kostet Vorbereitungszeit. Meiner Meinung ist das der Job eines Lehrers. Ein Lehrer sollte seine Schüler motivieren und ihnen was von seiner Leidenschaft abgeben. Muss ja einen Grund geben, warum die Person Lehrer geworden ist.
Und dieser Grund ist in dem Fall Leidenschaft in diesem Fach? Meiner Meinung nach weiß ein Lehrer, auf welchem Stand ein Schüler ist, und kann sich in diesen hineinversetzen. Wenn wir darüber reden, durch Arbeitsblätter oder ähnliches den Stoff an schon interessierte Schüler weiterzugeben, bin ich voll bei dir. Wenn es darum geht, dem Schüler das Fach Mathematik näher zu bringen, Dann wird erst das gemacht, und Dann die erweiterung Des stoffs durch solche "coolen" Erkenntnisse. Wenn du das so meinst, stimme ich dir nochmal voll zu! Dass das nicht immer klappt, ist meiner Meinung nach aber nicht unbedingt Schuld Des Lehrers. Klar trägt der Lehrer immer aus einem Blickwinkel Mitschuld... Freut mich, dass ich mich hier so angeregt darüber unterhalten kann. Dieses Thema interessierte mich schon Lange. Wenn ich verstanden habe, wie andere lernen, kann ich es selber besser, und andersrum. Theoretisch, praktisch sieht das Dann wieder anders aus!
Ja ich bin voll bei dir! Und ich geh noch einen Schritt weiter, weil ich denke Mathematik sollte als das unterrichtet werden, was es ist: eine Sprache. In jedem Fremdsprachen Unterricht lernen wir Vokabeln, Grammatik, nutzen sie zur Kommunikation,... aber im Mathe Unterricht... wird gerechnet. Klar dass keiner weiß was Mathematik ist. Mal rumgesponnen, was hältst du von folgender Idee? Schritt 1: wir nennen das Fach „Mathematik“ um in „Rechnen“ und behandeln dort Anwendungsaufgaben aus allen Fächern wie Physik, Chemie, Biologie, Wirtschaft, Geografie, etc und führen durch reale Anwendungsaufgaben alles zusammen. Schritt 2: wir führen das Fach „Mathematik“ an der Schule ein.
Ehrenmann :) Hatte vorhin die Herleitung in meiner Vorlesung, ging bisschen schnell, durch dich hab ichs komplett verstanden :)
Unfassbar gutes Video 👍
Sehr interessantes und gutes Video. Hat meine Lust auf Mathe und Physik gesteigert :D
Sehr cooles Video, vor allem die schöne Herleitung/Begründung, warum senkrecht aufeinander stehende Vektoren 0 als Skalarprodukt haben. Bis jetzt hab ich das immer mit Vektoren wie (a,-b) und (b,a) versucht den Schülern erklären.. 😊
Deine Erklärung ist wahrscheinlich auch leichter für Schüler zu verstehen. Am besten Schüler schauen sich Erklärungen auf unterschiedliche Weisen und Schwierigkeitsleveln an, um das Thema vollständig zu verstehen :)
krasses Video, hatte einige aha Momente, wirklich super erklärt
Endlich hat er wieder den Stift weggeschmissen
Mach ich nur noch bei anständigen Themen xD
bestes video was man zum skalarprodukt finden kann!!! Vielleicht könntest du am Anfang noch kurz erwähnen was genau das Skalarprodukt eigentlich ist, aber top!!
never mind, hast du in deinem Physik bespiel perfekt erklärt
Vielen Dank für deine Mühe:) Könntest du vielleicht ein Video zur Topologie machen ?
Großartig
2:31 einzige Frage: wie kommst du auf -2*a*bcos(a) und warum kommt das noch hinter dem a^2 + b^2
ansonsten super klasse video wie immer und gewohnt von dir danke danke danke
Das ist der Kosinussatz! :)
@@MathePeter perfekt verstanden !!!
Hab gleich noch ne Frage: du verwendest ganz am Anfang des Videos das Wort Skalarprodukt, später aber immer Standardskalarprodukt. Sind die beiden das Gleiche und somit austauschbar oder versprichst du dich?
Die meisten kennen es unter dem Namen "Skalarprodukt". Eigentlich ist es aber nur das "Standardskalarprodukt". Ich kann auch ein Skalarprodukt definieren, dass als 'Vektoren' zwei Funktionen multipliziert und sie integriert. Das ist auch ein Skalarprodukt, aber nicht das, was man in der Schule kennen lernt, sondern eins, dass man erst in der komplexen Analysis braucht.
Kommt man nicht bei den ganzen stiften unten am whiteboard durcheinander, welcher leer bzw voll ist?
Ich hatte ein System 😂 Mittlerweile liegen da aber nur noch 4-5 Stifte. Hab aufgeräumt.
Super erklärt danke 👍
Sehr gutes Video, vielen Dank für deine Mühe 👍! Ich habe nicht ganz verstanden, wie du 1/Wurzel 2 = Wurzel 2/ 2 mit dem Trick herausgefunden hast. Wie hast du das gemacht?
Danke dir! Du kannst 1/Wurzel(2) im Zähler und Nenner mit Wurzel(2) erweitern. Dann hast du Wurzel(2)/(Wurzel(2)*Wurzel(2)), was ja gleich Wurzel(2)/2 ist, denn Wurzel(2)*Wurzel(2) = Wurzel(2)^2 = 2.
Ah ok, jetzt habe ich es verstanden👍. Dankeschön!☺️
Hallo Lieber Peter, da bin ich wieder ☺. Was passiert zu der Skalarprodukt der beiden Vektoren, wenn sie parallel zu einander sind? Wie wenn zwei Vektoren senkrecht bzw. orthogonal stehen, dass die Skalarprodukt der beiden Vektoren sich null ergibt?
Vielen Dank und schönen Abend!
Das Skalarprodukt von einem Vektor mit sich selbst, ergibt seine Länge zum Quadrat. Wenn du also zwei Vektoren a und b=lambda*a hast (lambda ist eine reelle Zahl), dann ist das Skalarprodukt gleich lambda*|a|^2.
@@MathePeter ok danke! Was wäre denn der Einsatz der Skalarprodukt der beiden Vektoren a und b, wenn sie parallel zu einander sind?
Das kommt zum Beispiel bei der orthogonalen Projektion vor.
Wie kommt man denn auf die Definition am Anfang?
Ich denke, dass sie sinnvoll ist, weil sie Winkel und Längen mit einbezieht und vor allem eine symmetrische positiv definite Bilinearform ist.
King
Die dritte Gerade, also der Vektor c, schreibst du am Anfang als c = a - b.
Danach sagst du bei 2:13 aber, dass zur Berechnung von c .... gebraucht wird, schreibst aber c diesmal nicht als a - b hin, sondern als Betrag von (a - b)^2 hin. Das versteh ich nicht. Müsste es, wenn überhaupt, nicht die Wurzel daraus sein?
Es ist richtig, dass c = a - b. Und bei 2:13 nehme ich die Länge (!!!) des Vektors c zum Quadrat, also die Länge des Vektors a-b zum Quadrat, oder kurz geschrieben |a-b|² einfach nur mit dem Cosinussatz auseinander. Das besagt der Cosinussatz, der lässt sich sogar elementargeometrisch beweisen.
sehr schnell erklärt
Ich kenne es nur als := x^T * In* y
( x transponiert mal die Einheitsmatrix mal y )
Videos zu allgemeinen Skalarprodukten kommen noch ;)
Würdest du auch ein Video zu Wegzusammmenhang von metrischen Räumen machen ?
:)
Woran genau hast du da gedacht? Die Definition erklären, Sätze mit Beweisen in dem Zusammenhang, oder hast du Aufgaben dazu?
Am besten an einem konkreten Beispiel erklären wie man beweisen/widerlegen kann das einen Metrischer Raum X wegzusammenhängend ist. Also besonders wie man sich den Weg ( die stetige Abbildungen [a,b] -> X ) definieren kann.
Zum Beispiel Aufgaben wie:
Zeigen Sie das IR^2 \ {0} wgzhd ist.
Ehrlich gesagt würd mich das selbst interessieren, wie man den Nachweis führt. Bisher war für alle Anwendungen (Potential, DGL,...) einfach klar, dass R^2 einfach zusammenhängend ist, aber R^2\{0} nicht. R^3 auch wieder, genau wie R^3\{0}, aber nicht R^3\{beliebige Gerade}. Aber schick mir doch gern mal Aufgaben mit Lösungen und auch gern Altklausuren :)
Bin Mir nicht sicher, was ein Schüler davon schon Kennt. Aber cool, wie es Mit "Schulmathematik" möglich ist. Ist im Unterricht Dann aber schwierig einzubringen, Weil Beweise in der Regel nie gelernt wurden. Daher ist es schwierig, dem Schüler die Relevanz Des Unterrichtsinhalts zu vermitteln. Wenn jemand eine Idee hat, wie man das einbringt, nehme ich an!
Dann wird es Zeit so schnell wie möglich damit anzufangen und die Schüler mit realen Anwendungen zu motivieren.
Das klärt noch nicht die Frage, wie ein Lehrer dabei vorgehen könnte. Ich kann mich dran erinnern, in der Schule alles mal gehört zu haben. Doch bringen dem Lehrer diese informationen doch keinen Fortschritt Im Unterrichtsstoff und damit auch keinen Fortschritt beim gelernten der Schüler. Warum es Skalarprodukte gibt, und welche, und warum diese Eigenschaften haben, ist abstrakter als das Skalarprodukt anzuwenden. Ein gefährlicher grad, da Menschen schnell abschalten, Wenn es zu kompliziert wird/sie nicht mehr mitkommen.
@@fabianpascalabt6353 Ja genau, das erfordert Recherche und kostet Vorbereitungszeit. Meiner Meinung ist das der Job eines Lehrers. Ein Lehrer sollte seine Schüler motivieren und ihnen was von seiner Leidenschaft abgeben. Muss ja einen Grund geben, warum die Person Lehrer geworden ist.
Und dieser Grund ist in dem Fall Leidenschaft in diesem Fach? Meiner Meinung nach weiß ein Lehrer, auf welchem Stand ein Schüler ist, und kann sich in diesen hineinversetzen. Wenn wir darüber reden, durch Arbeitsblätter oder ähnliches den Stoff an schon interessierte Schüler weiterzugeben, bin ich voll bei dir. Wenn es darum geht, dem Schüler das Fach Mathematik näher zu bringen, Dann wird erst das gemacht, und Dann die erweiterung Des stoffs durch solche "coolen" Erkenntnisse. Wenn du das so meinst, stimme ich dir nochmal voll zu! Dass das nicht immer klappt, ist meiner Meinung nach aber nicht unbedingt Schuld Des Lehrers. Klar trägt der Lehrer immer aus einem Blickwinkel Mitschuld... Freut mich, dass ich mich hier so angeregt darüber unterhalten kann. Dieses Thema interessierte mich schon Lange. Wenn ich verstanden habe, wie andere lernen, kann ich es selber besser, und andersrum. Theoretisch, praktisch sieht das Dann wieder anders aus!
Ja ich bin voll bei dir! Und ich geh noch einen Schritt weiter, weil ich denke Mathematik sollte als das unterrichtet werden, was es ist: eine Sprache. In jedem Fremdsprachen Unterricht lernen wir Vokabeln, Grammatik, nutzen sie zur Kommunikation,... aber im Mathe Unterricht... wird gerechnet. Klar dass keiner weiß was Mathematik ist. Mal rumgesponnen, was hältst du von folgender Idee?
Schritt 1: wir nennen das Fach „Mathematik“ um in „Rechnen“ und behandeln dort Anwendungsaufgaben aus allen Fächern wie Physik, Chemie, Biologie, Wirtschaft, Geografie, etc und führen durch reale Anwendungsaufgaben alles zusammen.
Schritt 2: wir führen das Fach „Mathematik“ an der Schule ein.