По трапециям. Площадя: Голубой слева + пурпурный = половина высоты * нижнее основание. Голубой справа + пурпурный - то же самое. Но: голубой слева + голубой справа = пурпурный. Если решить систему из этих уравнений, получается, что три пурпурные площади равны высота*нижнее основание, т.е. пурпурная площадь = высота*нижнее основание/3. В то же время та же пурпурная площадь равна половине высоты этого треугольника, умноженного на нижнее основание. Тогда его высота будет 2/3 от общей высоты трапеции и, следовательно, высота белого треугольничка - 1/3 высоты трапеции. Т. к белый теугольник подобен пурпурному, коэф-т подобия = 2, т.е. площадь белого будет в четыре раза меньше площади пурпурного, получается общая площадь = белый + 4 белого + 4 белого (два голубых = пурпурный, мы это помним), т.е. общая площадь = 9 белых площадей. Тогда закрашено 8/9 трапеции. Как-то так. Оч хорошие задачки мозги разминать, спасибо, подписался на вас.
В задаче с трапецией закрашена 8/9 от общей площади трапеции. Решается в уме за несколько минут. Площади голубых треугольников равны, потому что высоты, проведенные из их нижних углов к бОльшей стороне белого треугльника равны, поэтому площади треугольников равны, т.к. равны площади составных треугольников (белый+голубой1 и белый+голубой2). Если площадь голубого треугольника обозначить за x. То площадь фиолетового будет 2x (=x+x). А площадь белого - будет в 4 раза меньше площади фиолетового (т.е. 0.5x), т.к. белый и фиолетовый треугольники подобны с коэффициентом подобия 1/2, значит их площади относятся как 1 к 4. Подобие вытекает из равенства всег углов, а коэф.подобия 1/2 вытекает из соотношения площадей голубых и фиолетового треугольника (нужно провести высоты в голубых треугольниках к боковым сторонам белого). Искомое соотношение: (x+x+2x)/(x+x+2x+2x/4)=4x/4.5x=8/9
Картинка подвижна в случае двух квадратов с сохранением результата. Мне стало интересно, а если добавить еще один маленький квадрат к правому верхнему углу большого квадрата? Очевидно, что попарно эти квадраты (большой с каждым из маленьких) дадут постоянный ответ 32. Однако сумма площадей трех квадратов перестает быть постоянной величиной. Она изменяется от 32 в случае вырожденных малых квадратов, до 48 в случае трех одинаковых квадратов.
Ваше решение подразумевает, что ответ не зависит от отношения сторон квадратов. В самом деле, поскольку ответ получается вполне конкретным, значит, не зависит. Но это мы можем утверждать только ПОСЛЕ того, как найдём решение. Или нужно как-то доказывать, что ответ не зависит от a/b каким-нибудь другим способом, например, вводя какую-нибудь функцию или еще как-нибудь.
Можно и без диагоналей , продлим сторону b влево и сторону а вправо до пересечения с окружностю , получим прямоугольник со сторонами b+a , b-a опирающимся на диаметр , применяем т. Пифагора и получим те-же а*а +b*b=32!
@@plusberryNV Правильно , что не верите наслово, коментаторы бывают разные :) Если серезно то конечно довольно очевидно , а строгое доказательство предложу вам например такое : центр окружности находится на диагонали большого квадрата проходящей с верхнего левого угла в правый нижний угол квадрата (вторая диагональ хорда, перпендикуляр проходящий через середину хорды -диаметр) значит диагональ ось симерии квадрата и окружности , следовательно точки пересечения сторон большого квадрата и окружности симетричны диагонали и можно на правом нижнем угле квадрата и этих точках построить квадрат , если провести диметр перпендикулярно хорде (которая чясть нижней стороны большого квадрата ) то по симетрии на прямой проходящей через эту хорду спрва от окружности как раз расположется нужным нам образом квадрат стороной a и делаем вывод что они совпадают ( для полной строгости : на прямой чясть которой является хорда окружности по одну сторону квадрата будет только одно место где расстояние от точки до окружности будет равно расстоянию до окружности по перпендикуляру к этой точке ( можно доказать например при помощи степени точки) и тепер уже точно видим что продолжение верхней стороны маленького квадрата поподет на пересечение стороны большого с окружностю и стороны прямоугольника = b+a , b-a. Может можно и проще доказать , привел то что я увидел :)
@@alfal4239 В зависимости от обстаятельств, если нужно доказывать не верующим то пожалуй да , если просто найти ответ то примерно равнодлинное устное решение :)
Поставил на паузу, написал 32, слежу за рассуждением. UPD: продолжения диагоналей квадратов пересекутся в центре, поэтому вырожденный случай, когда один квадрат нулевой площади даст второй квадрат, вписанный в окружность. Его площадь будет (8/SQRT(2))^2 = 32. Т.к. нам не дали соотношения площадей, я решил читернуть, предположив, что сумма площадей будет одинакова, проверив случаем двух равных квадратов. Проверил, получилось два квадрата по 16.
Это всё-таки чит. Он позволяет узнать правильный ответ, но его недостаточно для строгого обоснования. Надо всё равно доказывать, что не зависит от относительных размеров квадратов.
Мне казалось, это сделает процесс решения неинтересным: будет уже видно, какой правильный ответ. А вам бы хотелось сразу узнать, верное ли у вас решение? Ну и ещё мне, конечно, хочется, чтобы вы пришли смотреть и следующее видео, поэтому я откладываю оглашение правильного ответа. А вы у себя в ответе чуть-чуть перепутали.
Вдвойне приятнее, когда первую задачку решил самостоятельно и рассуждая примерно так же :)
Простая и изящная задача)
А в домашней получилось 8/9, с помощью свойства о равенстве произведений площадей
По трапециям. Площадя: Голубой слева + пурпурный = половина высоты * нижнее основание. Голубой справа + пурпурный - то же самое. Но: голубой слева + голубой справа = пурпурный. Если решить систему из этих уравнений, получается, что три пурпурные площади равны высота*нижнее основание, т.е. пурпурная площадь = высота*нижнее основание/3. В то же время та же пурпурная площадь равна половине высоты этого треугольника, умноженного на нижнее основание. Тогда его высота будет 2/3 от общей высоты трапеции и, следовательно, высота белого треугольничка - 1/3 высоты трапеции. Т. к белый теугольник подобен пурпурному, коэф-т подобия = 2, т.е. площадь белого будет в четыре раза меньше площади пурпурного, получается общая площадь = белый + 4 белого + 4 белого (два голубых = пурпурный, мы это помним), т.е. общая площадь = 9 белых площадей.
Тогда закрашено 8/9 трапеции.
Как-то так.
Оч хорошие задачки мозги разминать, спасибо, подписался на вас.
В задаче с трапецией закрашена 8/9 от общей площади трапеции.
Решается в уме за несколько минут.
Площади голубых треугольников равны, потому что высоты, проведенные
из их нижних углов к бОльшей стороне белого треугльника равны, поэтому площади
треугольников равны, т.к. равны площади составных треугольников (белый+голубой1 и белый+голубой2).
Если площадь голубого треугольника обозначить за x. То площадь фиолетового будет 2x (=x+x).
А площадь белого - будет в 4 раза меньше площади фиолетового (т.е. 0.5x), т.к.
белый и фиолетовый треугольники подобны с коэффициентом подобия 1/2, значит их площади относятся как 1 к 4.
Подобие вытекает из равенства всег углов, а коэф.подобия 1/2 вытекает из соотношения площадей голубых и фиолетового треугольника (нужно провести высоты в голубых треугольниках к боковым сторонам белого).
Искомое соотношение: (x+x+2x)/(x+x+2x+2x/4)=4x/4.5x=8/9
Картинка подвижна в случае двух квадратов с сохранением результата. Мне стало интересно, а если добавить еще один маленький квадрат к правому верхнему углу большого квадрата? Очевидно, что попарно эти квадраты (большой с каждым из маленьких) дадут постоянный ответ 32. Однако сумма площадей трех квадратов перестает быть постоянной величиной. Она изменяется от 32 в случае вырожденных малых квадратов, до 48 в случае трех одинаковых квадратов.
Приятно видеть красивую и умную!
Красивая конструкция, но есть более идейное решение:
Пусть a/b=1 => a=b=R => a^2+b^2=32
(Кому интересно, подумайте, почему 1 шаг можно сделать)
Ваше решение подразумевает, что ответ не зависит от отношения сторон квадратов. В самом деле, поскольку ответ получается вполне конкретным, значит, не зависит. Но это мы можем утверждать только ПОСЛЕ того, как найдём решение. Или нужно как-то доказывать, что ответ не зависит от a/b каким-нибудь другим способом, например, вводя какую-нибудь функцию или еще как-нибудь.
Можно и без диагоналей , продлим сторону b влево и сторону а вправо до пересечения с окружностю , получим прямоугольник со сторонами b+a , b-a опирающимся на диаметр , применяем т. Пифагора и получим те-же а*а +b*b=32!
Мне не очевидно, что при продлении все прямые попадут куда надо...
@@plusberryNV Правильно , что не верите наслово, коментаторы бывают разные :) Если серезно то конечно довольно очевидно , а строгое доказательство предложу вам например такое : центр окружности находится на диагонали большого квадрата проходящей с верхнего левого угла в правый нижний угол квадрата (вторая диагональ хорда, перпендикуляр проходящий через середину хорды -диаметр) значит диагональ ось симерии квадрата и окружности , следовательно точки пересечения сторон большого квадрата и окружности симетричны диагонали и можно на правом нижнем угле квадрата и этих точках построить квадрат , если провести диметр перпендикулярно хорде (которая чясть нижней стороны большого квадрата ) то по симетрии на прямой проходящей через эту хорду спрва от окружности как раз расположется нужным нам образом квадрат стороной a и делаем вывод что они совпадают ( для полной строгости : на прямой чясть которой является хорда окружности по одну сторону квадрата будет только одно место где расстояние от точки до окружности будет равно расстоянию до окружности по перпендикуляру к этой точке ( можно доказать например при помощи степени точки) и тепер уже точно видим что продолжение верхней стороны маленького квадрата поподет на пересечение стороны большого с окружностю и стороны прямоугольника = b+a , b-a. Может можно и проще доказать , привел то что я увидел :)
@@vkr122 Итого: можно и без диагоналей, но это будет раз в десять длиннее.
@@alfal4239 В зависимости от обстаятельств, если нужно доказывать не верующим то пожалуй да , если просто найти ответ то примерно равнодлинное устное решение :)
А что такое катрионы?
то есть, что такое Агг, вам понятно?=)))
@@plusberryNV не теперь вообще не понятно. Как будто решаете Американские геометрические задачи. Или Канадские. Можете полностью расшифровать
@@нннннн-ш7щ ua-cam.com/video/aIEeBhO6zbg/v-deo.html
@@plusberryNV👌
Поставил на паузу, написал 32, слежу за рассуждением.
UPD: продолжения диагоналей квадратов пересекутся в центре, поэтому вырожденный случай, когда один квадрат нулевой площади даст второй квадрат, вписанный в окружность. Его площадь будет (8/SQRT(2))^2 = 32. Т.к. нам не дали соотношения площадей, я решил читернуть, предположив, что сумма площадей будет одинакова, проверив случаем двух равных квадратов. Проверил, получилось два квадрата по 16.
Это всё-таки чит. Он позволяет узнать правильный ответ, но его недостаточно для строгого обоснования. Надо всё равно доказывать, что не зависит от относительных размеров квадратов.
А почему вы на комментарии с решениями не реагируете?
a² + b² = 2R²
Мне казалось, это сделает процесс решения неинтересным: будет уже видно, какой правильный ответ. А вам бы хотелось сразу узнать, верное ли у вас решение?
Ну и ещё мне, конечно, хочется, чтобы вы пришли смотреть и следующее видео, поэтому я откладываю оглашение правильного ответа.
А вы у себя в ответе чуть-чуть перепутали.
Предвижу, следующий раз будет с такой же лёгкостью доказательство теоремы Пуанкаре-Перельмана.
Завидую ученикам Нины, красивая и умная девушка.