Falls ihr mich und meinen Kanal ein wenig unterstützen möchtet, schaut doch mal bei meiner Kanalmitgliedschaft vorbei! ua-cam.com/users/mathematrickjoin Ich danke euch von ganzem Herzen für euren Support! _____________________________________ Meine Wunschliste: mathematrick.de/wunschzettel
ich hab es mir einfach gemacht: Kreisgleichung nach y aufgelöst: y=Wurzel(25-xhoch2), 1.Ableitung gebildet: y'=-2x/(2Wurzel(25-xhoch2), 3 eingesetzt, Wert von y' an der Stelle 3 ist -3/4
8:05 Falls man den Zusammenhang mr * mg = -1 nicht kennt, kann man das Blatt (in meinem Fall das Smartphone) um 90° drehen ;-) Dann fällt das im Kreis eingezeichnete Steigungsdreieck um 3 auf einer Streckenlänge von 4. Ergo: mg = -3/4.
Hallo Susanne, guten Morgen, hier mein Vorschlag: fk sei die Funktion für die Punkte des Kreises fg sei die Funktion der Geraden r sei die Strecke vom Ursprung zum Punkt C = Radius des Kreises mr sei die Steigung der Geraden r mg sei die Steigung von g geg.: fk = x^2 + y^2 = 25 r = 5 C(3,y) Außerdem soll C ein Punkt des Kreises und gleichzeitig der Geraden g sein. ges.: Steigung m der Geraden =mg Weil C (auch) ein Punkt auf dem Kreis ist gilt: fk(3) = 3^2 + y^2 = 25 | fk(3) = 9 + y^2 = 25 |-9 fk(3) = y^2 = 16 | Wurzel ziehen | Weil sich C nicht unterhalb der x-Achse befindet, ist nur der positive Wert der Wurzel relevant fk(3) = 4 Mit dem Wissen um "pythagoräische Trippel" hatte man zum Trippel (3,...,5) (3 = x-Koordinate, 5 = Radius des Kreises = Hypotenuse des Dreiecks Ursprung, C, Schnittpunkt Lot von C auf x) den fehlenden Wert 4 auch ohne Rechnen finden können. Der Punkt C hat also die Koordinaten C(3,4) Die Steigung der Geraden r ist dann y-Koordinate von C / x-Koordinate von C (Stichwort "Steigungsdreieck"), also mr = 4/3 Für die Steigungen von r und der senkrecht auf ihr stehenden Geraden g gilt folgender Zusammenhang: mr * mg = -1 mit mr = 4/3 ergibt sich für mg: 4/3 * mg = -1 |* 3/4 (statt zu teilen, darf mit dem Kehrwert mal genommen werden.) mg = -3/4 Die gesuchte Steigung der Geraden g beträgt also -3/4 LG auch an Thomas und Sabine aus dem Schwabenland.
Das Bild ist rein schematisch und im Text ist nur gefordert, dass die x-Koordinate des Punktes C gleich 3 ist. Was ist also mit g=3/4? Also wenn C auf (3, -4) liegt?
Schematisch, ja, aber dennoch eine Vorgabe. Bei Deiner "Annahme" würde die Gerade eine positive Steigung haben und die Zeichnung müsste einmal an der x-Achse gespiegelt werden. Und das wäre eine Tangente in einem anderen Punkt und eben nicht Punkt C.
Lösung: Da die x-Koordinate von C den Wert 3 hat, haben wir den y Wert mit: 3² + y² = 25 |-9 y² = 16 y = ±4 Von der Skizze ausgehend können wir y = -4 ignorieren. Da g eine Tangente zum Kreis ist, ist der Radius zwischen dem Nullpunkt und C genau im rechten Winkel zu g. Geraden im rechten Winkel zueinander haben die Steigung m und n, sodass m = -1/n ist. Die Steigung des Radius ist ja (y - 0)/(x - 0), also 4/3. Daher ist die Steigung der Gerade g = -1/(4/3) = -3/4.
Den Satz des Pythagoras hätte man nicht gebraucht, weil das y des Berührpunkts schon aus der Kreisgleichung hervorgeht. Aber in einem Vortrag für Schüler ist es schon sinnvoll, das zu erwähnen, weil es Zusammenhänge darstellt und so das Gesamtverständnis fördert. Ansonsten: schöne Aufgabe, wenn auch für einen Unitest nicht besonders schwer, wenn man den Zusammenhang m1×m2=-1 für aufeinander senkrecht stehende Geraden kennt.
Moin, Leute 👋 Moin, Susanne 👋 Ich Mathe-Versager 😭🤦🤷 verstehe die Frage nach dem Radius nicht ☝️ Der ist doch lt. Zeichnung mit (-5/0) schon vorgegeben 🤔🤔 LG 👋😍
Bei der Gerade g, auf der linken Seite: 3 in y-Richtung, 4 in x-Richtung. Das Minus gibt die Richtung der Steigung vor ( + -> aufsteigend, - -> absteigend). Außerdem ist es kein Winkel, das ist die Steigung.
-3/4 ist kein Winkel. Es ist die Steigung der roten Geraden g. g fällt um 3 (d.h. steigt um -3) auf einer Strecke von 4. Darum hat die Gerade g eine Steigung mg = -3/4. Wenn du es im Diagramm einzeichnen möchtest, könntest du ein Steigungsdreieck an der roten Geraden zeichnen.
Falls ihr mich und meinen Kanal ein wenig unterstützen möchtet, schaut doch mal bei meiner Kanalmitgliedschaft vorbei! ua-cam.com/users/mathematrickjoin
Ich danke euch von ganzem Herzen für euren Support!
_____________________________________
Meine Wunschliste: mathematrick.de/wunschzettel
ich hab es mir einfach gemacht: Kreisgleichung nach y aufgelöst: y=Wurzel(25-xhoch2), 1.Ableitung gebildet: y'=-2x/(2Wurzel(25-xhoch2), 3 eingesetzt, Wert von y' an der Stelle 3 ist -3/4
Viva Susanne! Viva Pythagoras! 🙂
...3 ,4 und 5....die "magischen" Zahlen beim Pythagoras....😉
8:05 Falls man den Zusammenhang mr * mg = -1 nicht kennt, kann man das Blatt (in meinem Fall das Smartphone) um 90° drehen ;-) Dann fällt das im Kreis eingezeichnete Steigungsdreieck um 3 auf einer Streckenlänge von 4. Ergo: mg = -3/4.
Hallo Susanne, guten Morgen,
hier mein Vorschlag:
fk sei die Funktion für die Punkte des Kreises
fg sei die Funktion der Geraden
r sei die Strecke vom Ursprung zum Punkt C = Radius des Kreises
mr sei die Steigung der Geraden r
mg sei die Steigung von g
geg.:
fk = x^2 + y^2 = 25
r = 5
C(3,y)
Außerdem soll C ein Punkt des Kreises und gleichzeitig der Geraden g sein.
ges.:
Steigung m der Geraden =mg
Weil C (auch) ein Punkt auf dem Kreis ist gilt:
fk(3) = 3^2 + y^2 = 25 |
fk(3) = 9 + y^2 = 25 |-9
fk(3) = y^2 = 16 | Wurzel ziehen | Weil sich C nicht unterhalb der x-Achse befindet, ist nur der positive Wert der Wurzel relevant
fk(3) = 4
Mit dem Wissen um "pythagoräische Trippel" hatte man zum Trippel (3,...,5) (3 = x-Koordinate, 5 = Radius des Kreises = Hypotenuse des Dreiecks Ursprung, C, Schnittpunkt Lot von C auf x) den fehlenden Wert 4 auch ohne Rechnen finden können.
Der Punkt C hat also die Koordinaten C(3,4)
Die Steigung der Geraden r ist dann y-Koordinate von C / x-Koordinate von C (Stichwort "Steigungsdreieck"), also mr = 4/3
Für die Steigungen von r und der senkrecht auf ihr stehenden Geraden g gilt folgender Zusammenhang:
mr * mg = -1
mit mr = 4/3 ergibt sich für mg:
4/3 * mg = -1 |* 3/4 (statt zu teilen, darf mit dem Kehrwert mal genommen werden.)
mg = -3/4
Die gesuchte Steigung der Geraden g beträgt also -3/4
LG auch an Thomas und Sabine aus dem Schwabenland.
💯
sehr lehrreich
Das Bild ist rein schematisch und im Text ist nur gefordert, dass die x-Koordinate des Punktes C gleich 3 ist. Was ist also mit g=3/4? Also wenn C auf (3, -4) liegt?
Schematisch, ja, aber dennoch eine Vorgabe. Bei Deiner "Annahme" würde die Gerade eine positive Steigung haben und die Zeichnung müsste einmal an der x-Achse gespiegelt werden. Und das wäre eine Tangente in einem anderen Punkt und eben nicht Punkt C.
Lösung:
Da die x-Koordinate von C den Wert 3 hat, haben wir den y Wert mit:
3² + y² = 25 |-9
y² = 16
y = ±4
Von der Skizze ausgehend können wir y = -4 ignorieren.
Da g eine Tangente zum Kreis ist, ist der Radius zwischen dem Nullpunkt und C genau im rechten Winkel zu g.
Geraden im rechten Winkel zueinander haben die Steigung m und n, sodass m = -1/n ist.
Die Steigung des Radius ist ja (y - 0)/(x - 0), also 4/3.
Daher ist die Steigung der Gerade g = -1/(4/3) = -3/4.
👍
Den Satz des Pythagoras hätte man nicht gebraucht, weil das y des Berührpunkts schon aus der Kreisgleichung hervorgeht. Aber in einem Vortrag für Schüler ist es schon sinnvoll, das zu erwähnen, weil es Zusammenhänge darstellt und so das Gesamtverständnis fördert. Ansonsten: schöne Aufgabe, wenn auch für einen Unitest nicht besonders schwer, wenn man den Zusammenhang m1×m2=-1 für aufeinander senkrecht stehende Geraden kennt.
Moin, Leute 👋
Moin, Susanne 👋
Ich Mathe-Versager 😭🤦🤷
verstehe die Frage nach dem Radius nicht ☝️
Der ist doch lt. Zeichnung mit (-5/0) schon vorgegeben 🤔🤔
LG 👋😍
hab ich mir auch gedacht - war aber eine anschauliche Erklärung der Kreisgleichung
wo zeichne ist den Winkel mg (- 3/4) ein? ich kapier es nicht!
Bei der Gerade g, auf der linken Seite: 3 in y-Richtung, 4 in x-Richtung. Das Minus gibt die Richtung der Steigung vor ( + -> aufsteigend, - -> absteigend).
Außerdem ist es kein Winkel, das ist die Steigung.
-3/4 ist kein Winkel. Es ist die Steigung der roten Geraden g. g fällt um 3 (d.h. steigt um -3) auf einer Strecke von 4. Darum hat die Gerade g eine Steigung mg = -3/4.
Wenn du es im Diagramm einzeichnen möchtest, könntest du ein Steigungsdreieck an der roten Geraden zeichnen.
@N7OmniTool thx
@@TenorDennis thx
Im Kopf: -3/4
Dito.