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【訂正】(1)に関して、x=4,y=3を求めたあと、必ず下のlogの式に代入して、条件を満たしてる(十分性)ことの確認を記述するようにしてください。第1式を用いて範囲を考えて場合分けするのは、あくまでも必要条件なので、必ず第2式(log)にも当てはまることの記述を書くことは大切です。ご指摘いただいた方ありがとうございます。今後とも気をつけて参ります。
早稲田のやつにもX=3以外成り立たないことを証明しろみたいな問題あって同じ解法でした
進研ゼミでも取り上げてましたよこの同じ問題〜〜〜
第2式からlog_2 x = log_3 3y両辺はそれぞれx, yの単調増加関数だからこの式をyからxへの関数と見るとこれも単調に増加よってyの合成関数2^x + 3^yは単調に増加するので解はただ一つであるもう少し丁寧に記述するなら動画同様に0 < x < 4のとき、0 < y < 3で2^x + 3^y < 43とかやる。
解説マジでわかりやすいのに例えくそ下手なのバリおもろいwwww
マジで数学はノートもキレイだしめちゃくちゃ分かりやすい
動画内で「背理法は✖︎」って言ってるけど、『x=4のみであることを示す』ために『n≠4であると仮定して(0
何かまずい点があったら教えてください(別解)log[2]x=s, log[3]y=tとおくと与えられた第2式からs-t=1、すなわちt=s-1ー①が得られるまた、x=2^s, y=3^tとなり、与えられた第1式から2^(2s)+3^(3t)=43となるこの式を①を用いて変形すると、4^s=43-27^(s-1)この実数解はグラフより唯1つしか存在しないその解を探すとs=2, t=1が見つかる∴(x, y)=(4, 3)のみ■
懐かしい、、、私はまさにこの年に阪大文系キャンパスにてこの問題に直面してました、、、当日いろいろ手探りで進めていて、ふとグラフを書いた時に閃いて解けたことを覚えています。
(2)は範囲を絞らなくてもいけますよ。解の一意性を示したいので背理法で示します。(x, y)とは異なる解(x', y')を持つと仮定すると、下式よりlog2(x) - log3(y) = log2(x') - log3(y') 整理してlog2(x/x') = log3(y/y') この関係式よりx > x' ならy > y'となり2^x + 3^y > 2^x' + 3^y'となるので不適。x < x' も同様。よって x = x' , y = y'。
復習問題Iog2xy=3でxy=8だからx=8/yで、下の式に代入して相加相乗平均使って16になったんだけど合ってるかな？
2)結局は動画の解法と同じことですが、問題の本質は、関数の増減を考えることにあるようです。第2式 log2(x)-log3(y)=1において、xが増加すればyも増加するので、yはｘの増加関数（狭義単調）。上記の関数関係により、第1式の左辺 2^x+3^yを実数xの1変数関数と見做してf(x)と置くと、f(x)は増加関数（狭義単調）となる。従って、f(x)=43となるような実数xは高々１つであり、これに対応する実数の組(x, y)も高々１つ。 //QED
たま 所謂イメージで解くってやつですね。本番でこれを書く勇気はありませんが
私も同じ解き方でした。こっちの方が、より本質的だと思います。
今頃ですが、自分もこのように考えました。
@@工藤新一-o8y さんへ：Thanks for the comment. Glad to know you agree. Hopefully, you keep enjoying math even in this hard time of COVID-19 pandemic. Take care. ■
復習問題対数方程式を解くと xy=8(x,y>0)...①x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=(x+y)^2-16ここで、x>0,y>0より (x+y)^2=0をみたすx,yは存在しないもっとも (x+y)^2>16 (∵x,y>0より x^2+y^2>0 )であり最小値を定めるに至らない。 次に x^2+y^2=(x-y)^2+2xy=(x-y)^2+16このとき x=yで最小値16をとる①とx=y をみたすのは x=y=2√2∴x=y=2√2のとき 最小値16長いし回りくどいけど一応示せたかな？僕と同じく式変形を考えてしまった人の参考になるかもしれないので
真数条件でx,y＞0言えるやん
自分用メモ👏。{難問}２つの式を①,②とする。(1) 扱い難い②が トラップになってる。【 先ず①で🉐戦略K 区間限定→３^yを残す。】２^x＝43－３^y ＞０ より、 y＝ 1, 2, 3* ①に再代入して、(x, y)＝(4, 3*) ･･③ これは、②も満たすから ③･･･(答) (2) 【 (x, y)が1組 ⇔ 共有点が1組🔜 グラフ 】 ②を X－Y＝1 ⇔ Y＝X－1 とおくと、 x＝２^X, y＝３^Y ＝３^X-1 ①に代入して、２^2^X＋３^3^X-1 ＝ 43 ここで、 (左辺)＝f(X)とおくと、狭義単調増加だから、 y＝f(X) と y＝43 の共有点は、 高々１個である。よって、示された❣️ 【転換法】(ⅰ) (1)より、(x, y)＝(4, 3) は 解である。 (ⅱ) 0＜x＜4 のとき、②より log₃y＝log₂x－1＜log₂4－1 ＝１ ⇔ log₃y＜１⇔ 0＜y＜3 このとき、(①の左辺) ＜ ２⁴＋３³ ＝43 となって 不成立。 (ⅲ) 4＜x のとき、②より log₃y＝log₂x－1＞ log₂4－1 ＝１ ⇔ log₃y＞１⇔ 3＜y このとき、(①の左辺) ＞ ２⁴＋３³ ＝43 となって 不成立。 以上より、示された❣️🙏
x^2+y^2＝(x+y)^2−2xyだと、x＝−yとなって、真数条件より、x>0 y>0 を満たさないから、(x−y)^2+2xyを考えて、グラフは下に凸なので、x＝yで最小値2×8＝16をとるということですね！他の方の解き方を見て1番分かりやすかったのを挙げてみました。
サムネだけ見て、勘で解を出した後関数の単調性から解は一つだけという方針で解きました
パスラボ始めてちゃんと見たけどえぐいな。有益すぎた
パスラボ信者になるわ
復習問題１０秒無理ゲーw
(1)で、(4,3)を下の方程式に代入しないと十分とは言えなくないですか？連立方程式なので。復習問題log_2(x)+log_2(y)=3において、真数条件よりx>0かつy>0 よって相加・相乗平均より x^2+y^2≧2xy両辺に底が2の対数をとるとlog_2(x^2+y^2)≧log_2(2)+log_2(x)+log_2(y)=4よってx^2+y^2≧2^4=16x=yのとき、等号が成立するので求める最小値は16.
=5ですか？=4では？
log_2(2)=1じゃないですか？
茶生 御指摘ありがとうございます！訂正します！
とるここ x^2+y^2≧2^4であるべき所がまだ5のままですよ！
yoshi 訂正しました！
真数条件より x,y>0log₂ x + log₂ y = log₂ xy = 3∴xy=2³=8・・・①また, x²+y²=(x+y)²-2xy=(x+y)²-16・・・②そこで, x,yを解に持つ tについての二次方程式 t²-(x+y)t+xy=0 を考えると, x,yが正の実数であることの必要十分条件は, 判別式をDとすると,D≧0, x+y>0, xy>0ここで, x+y=X, xy=Yとすると,D=X²-4Y≧0∴4Y≦X²①より 32≦X²・・・③③よりX²の最小値は32で, ②は(x+y)²=X²が最小のとき最小になるから∴最小値は 32-16=16 (x=y=2√2のとき)
復習問題は、条件式を陰関数とみて「反比例っぽいグラフ」になる(x、y軸に漸近し下に凸、直線y=xについて対称)のでこの直線上で原点との距離が最小と予想しました。f(x)+f(y)=Aの微分はdy/dx=-f‘(x)/f’(y)なので、y=xを代入すると-1、つまり対称軸上でその対称軸に直交する接線が引けることが分かり、(凸性も2回微分で同様に)正当化できます。この問題に対しては大袈裟ですが、複雑で微分可能(で非ゼロ)な対称式なら応用できそうです
1つめの式はxに対してyは単調減少、2つめの式は単調増加となるから、1点でしか交わらない、てなことでいいんじゃないかな。。。
0
動画見る前に解いたのであってるかは分かりませんが解法コメントしておきます。どうせ自然数が、答えだろうと試すとx=4.y=3が一つの答えになる。ここで下式よりx=2^(1+log（3）y)となるから上式に代入すると2^（2^(1+log（3）y)）+3^y=43…①となる。ここで①をyの関数と捉えるとそれぞれの指数の中身が0
(1)は上の式で範囲を絞り答えを出した後、下の式に代入して成り立つこと(十分性)を確認しないといけないんじゃないですか？
ご指摘ありがとうございます！仰る通りです。固定コメントにて訂正出させていただきました。今後ともミスがないよう気をつけて参ります。よろしくお願い申し上げます。
2019東大数学であったね。似たようなやつ。xの奇数乗とcosxの解は一つだけで0
ログで範囲使う発想が今までなかった…
要は、第1式では「xの増加・減少で、yは減少・増加する」。第2式では「xの増加・減少で、yも増加・減少する」。よって両式を成り立たせるx,yは1組しか無い。
きもちい
やはり問題解くときはスピードが大事ですね。今の自分には10秒がとても早く感じる。
カイオーガ 干物みたいでわろた
x,yは正だからx＝2^a,y＝3^bと置くと、a -b＝1つまりb＝a -1これを2^x +3^yに代入すると4^a＋27^a -1＝43 これは単調増加だからa＝2,b＝1のみ。よって解はx＝4,y＝3のみ。
前の対称式の動画のおかげで復習問題迷わないで解けた
カイオーガがクジラに見える。。（2）のような証明問題、京都大学のオープン模試にも似たようなの出てきてるので完璧に理解して第2回ではＣ判定出せるよう頑張りたいです！！
上の式について真数条件よりx,y>0であり、log2(xy)=3となるので、xy=2^3下の式について、x,y>0より相加、相乗平均の大小関係からx^2+y^2 >= 2|xy|= 2xy =2^4等号はx^2=y^2つまりx=y=2^3/2のとき成立する(x>0、y>0、xy=2^3より)初めてyoutubeにコメントします！
大学受験から15年離れましたけど、(2)は知らなくて、とても勉強になりました。柔軟な発想で、かつ一番スマートだし、他の問題にも応用出来ると思います。
受験生の時にこのチャンネルと出会いたかったなぁ
以下の解法だと場合分けいらずに解けます2^x+3^y＝43･･･①log(2)x-log(3)y＝1･･･②②式からy＝3^ax＝2×2^a(a∈Ｒ)とおける。これを①に代入して4^(2^a)+3^(3^a)＝43･･･②'r＞1のとき、r^sはsについて狭義単調増加なので2^a,3^aはaについて狭義単調増加、同様に4^(2^a),3^(3^a)もaについて狭義単調増加であるとわかる。従って②'の左辺はaの狭義単調増加関数であり、a＝1で②'が成立するから、求めるx,yはx＝4,y＝3 のみである
本質は動画の解法と同じですけど、動画のやり方だと上式の単調増加性が見にくいので微妙です
復習問題log2(xy)＝3よりxy=8 よってy=8/x (x,y＞0)ここからxy平面の原点中心の円が、上のグラフと初めて接するときの円の半径の二乗がx^2+y^2の最小値になる？
単純にy=8/xを代入して相加相乗平均を使っても良さそうですね
グラフを描いて2^x+3^y=43は単調減少、log2(x)-log3(y)=1は単調増加なので、第一象限において両者の交点はあっても1点のみ。(x,y)=(4,3)が示されているので、それ以外の交点は存在しない。Q.E.D.
（2）で「x=4かつy≠3」のときに成り立たないことにも触れないと減点かも。
復習問題の答えlog2(x)+log2(y)=3より、log2(xy)=3xy=2^3=8……①また、真数条件より、x>0,y>0であるから、相加相乗平均の大小関係より、x^2+y^2≧2√x^2y^2=2xy=16(∵①)等号成立条件はx^2=y^2x>0,y>0より、x=y(このとき、x=y=2√2)∴x^2+y^2の最小値は、x=y=2√2のとき 16
指数対数という1つの化け物が居なくなった気がしますありがとうございました
log2(x)=log3(3y)=tと置いて2^2^t+3^3^(t-1)=43t=2で成り立ち、tが増えれば明らかに左辺は増えるからt=2のみが解
全く同じ解き方でした
グラフ書いて単調増加と単調減少だから必ず交点は１個で証明した
復習問題log2(x)+log3(y)=3 (x>0、y>0)xy=8 反比例関数x^2+y^2は原点を中心とする円グラフの半径r^2反比例グラフが原点からの最小距離の時、半径は最小となる。すなわち、x=y=2√2 の時、r^2=16因みに阪大の理系卒
最初の黒板の下の式のlog3yがlog2になってたせいでずっと解なしで5分無駄にされた。
コメント欄でAM-GM不等式使っている人多いけど、等号成立条件を書かないと不正解にされますので気をつけて
K雲 雲Kは生まれる前からこの事知ってたからなぁ
復習問題はシュワルツの不等式で解くんですかね？
(1)は43=2^4+3^3だったからx=2^a,y=3^bに置いたらa-b=1 2^2a+3^3b=2^4+3^3(2)は2^2(b+1)+3^3b=c これは単調増加だからcが43になるbは一つしかない
すごい、、ほんとにすごいまじで整数苦手やったんすけどすごく自分でもできるんじゃないかって思えるようになりました、ほんとにわかりやすいですありがとうございます
字とノート綺麗、尊敬カイオーガまぁまぁ、でも倒せない例え←内容とても面白かったです👍🏻
聞いてたら感動してニヤニヤしちゃった
両辺を2倍してlog2(x²)+log2(y²)=log2(64)log2(x²)を移項してまとめるとlog2(y²)=log2(64/x²)∴y²=64/x²ここでx²>0であるから相加相乗平均の関係よりX²+64/x²≧2√64=16等号成立はx²=64/x²、すなわちx⁴=64からx=2√3(∵x>0)∴求める最小値は16少し手間ですが最初に2倍するという答案は無さそうでしたので書かせていただきました😊
今更観始めた身だが、復習問題、x^2+y^2=rとでもおいて与式のxy=8と照らし合わせてrの最小値を出すという幾何的な観点でも解けるの面白い
[復習問題]与式の対数の底が同じことから簡単にXY＝8と求まるX²＞0, Y²＞0なので相加相乗平均の不等式よりX²＋Y²≧2XY＝16よって答えは16
等号成立条件を確認した方が丁寧だと思います！
p a 詳しく言うと確認しないと×ですね。
なるほど、勉強になります！🙇
双曲線xy＝8と円x²+y²＝r²で共有点(±2√2,±2√2)の時にr²が最小となるって図形的な解き方でできました！
本問の様に新たな重要な視点を気付かせてくれる様な文系も使える数学の問題をまた扱って欲しいです！
サムネ見て普通に解いてしまったlog2(x)=s, log3(y)=tとおくと、与えられた2つの式は、4^s+27^t=43 ...①s-t=1 ...②②よりt=s-1...③で、これを①に代入すると、4^s+27^(s-1)=43左辺は底が1より大きい指数関数の和だから単調増加であり、ゆえに解は高々1個で、s=2はこの式を満たすので、sの値は2に決まる。これと③より、t=1以上より、x=4, y=3
2年前のコメントに申し訳ないのですが、この時①の式は4^s+27^t=43 ではなく2^(2^s)+3^(3^t)=43ではないでしょうか？(a^b)^c≠a^(b^c)だった気が
証明問題のノウハウの場合分けは正直助かりましたあと、挨拶がだんだん、Quiz knockの伊澤さんみたいな感じになってきましたね(笑)
(2)の証明方法は感動した！確かにこの発想はなかった…
復習問題、紙の上で書いた答えとxy図上の答えが一致しなくて焦りました。実数存在条件はグラフ上でも見えるんですねえ
場合分けするのが見当つかなかった。(2)難しかった。最後の問題、半径4√2の円になって、‐4√2じゃないかと思ってるんですが。log2x+log2y=log2xy=3→xy=2^3=16x^2+y^2=(x+y)^2-2xy→(x+y)^2-32半径4√2の円にならないですかね？
数3の知識が必要になりますが、(2)はこんな解法はいかがでしょうか？xy平面上にそれぞれの式のグラフを書くことを考えると、上の式はdy/dxが負なので単調減少、下の式はdy/dxが正なので単調増加。よって共有点は最大で1つしか持たないので、連立方程式の解も1つに限られる。
最悪グラフいっちゃえ！ってのありますよね
狭義単調と言ったほうがよいかもしれませんね。無限個の共有点を持つ可能性を排除できるので。
0:57 で動画止めて考えてたからlog2底y なら解なくね？？？ってめっちゃ悩んじゃったw
今回の復習問題解法は分かったけど動画との関連性が分からんかった……
別解x＝log2(43-3^y)としてlog3yとlog2log2(43-3^y)との比較だね。単調増加と減少だから一つしか交わんねーってまじで。
ちょっとバカなことをして方程式を 4^(log3(3y))+3^y = 43にしたら、左側は必ず単調増加だから......逆にすごく簡単になってしまう
感動しましたぁー！
幾何的理解・別解①2^x,log_2(x)はともに単調増加なのでyについて解くと単調減少と単調増加。②単調増加と単調減少のグラフの交点は1個or存在しない。③問(1)より解が求まっているので①②より(2)は明らか。※①②を自明なものとして（式的な証明なしに）使っていいのか不明
嫌なら①は微分②も微分結果の差を考えれば示せるし良いんじゃない？正味②は自明で良い気もする
本当にためになります！
阪大志望です。こないだこれx,yが自然数なので15通りしか答えになり得るやつがなくてゴリ押したのでこの綺麗な回答は真似したいですね
気づいたら毎朝pass labo見て、学校に行くのが習慣になってた！今は逆に見ないと気持ち悪い 笑
高校一年生なので未習範囲は解けませんが、いつか学ぶと思って吸収してます！
むー マジでその気持ち分かります笑毎朝ご飯食べながら見て感動してます
X=4のみを示せ（X>0）0
めっちゃ綺麗でした！
どうやったらそんなにきれいな字でノートが書けるのか
ホワイトボードの問題の2つ目の式のyの方の底が2になってませんか？字が小さいんで3かも知れないですけど…。
訂正見てみ
感動しました！
出た掌握2のラストの問題一意性示すのほんと苦手です…苦笑
質問です！(2)の証明問題についてなんですが、(1)で出したyの範囲で考えないのはなぜですか？
めちゃくちゃわかりやすい！笑参考になります
log2x=a log3y=b として(1)といてa-b=1と無理数の差は無理数であることから示せないかな？
こうやってやると１変数に帰着して簡単だよ
無理数と無理数の差は無理数とは限らない（例：1+√3,√3）のでダメです
感動しました。
これは阪大文系の何年の問題ですか？？
無いことを示せ、はあると仮定して矛盾を示す
予備校の先生やつめっちゃわかるw
今年の阪大オープン文数の2番がほとんど一緒でしたa+2b=2log10 210^a+10^2b=6でした
問題見た瞬間答えっぽいのは分かってしまう
オシャレ
てっきり、昨日のヤツを使うのかと思って、43を底にしてlogを取ろうかと思ったが、どーにもならなかったわ（笑）。
この問題はあの類題だと思い込み、そのやり方で解くと痛い目にあうやつだ
サムネだけ見て問題解いたから(2)から先に解く事になったわw考え2変数に対して2式か〜真数条件考慮して二つのグラフの概形見るかな(微分)答えは一つね〜どうやって求めよう？じー、あ、4、3じゃん。この問題誘導無い方が絶対解きやすい。
問題をよく読めば誰でも解けるが初見では難問と錯覚しやすいのと(2)を効率よく解くのが難しい。底の差が整数になるのを解析的に論ずるより範囲しらみ潰しが速い。
復習問題は解けた！大きいほうを引くの大事。～以外は存在しないことを示すにはそれ以外の範囲で成立しないことを示す。
復習問題は相加相乗かー
０を自然数に含むと言う考えもあるのでxが６つと言う考えも正しいかもしれませんね
復習問題って何でなくなっちゃった？？復活して欲しい
計算合わなくて焦ったけどホワイトボードが間違ってた
気持ちぇぇえええ
ユーチューバーっぽく染まっていくたびになんか無性に腹が立ってくるなw
最初のbgmがクセになってきました。パンダがいぱいでてるテイコウペンギンのbgmのようにそれをききにくるために動画に来てるまである(仕事終わるタイミングで動画うpされてるからもあるけど)パンダがめっちゃ好きなんですが、3:11あたりのパンダがこわくて、、、、、、再生するのが
ぱっと見はセンターでも出そう
コーシーシュワァルツの不等式で復習問題瞬殺しましたー！
log2 x=log3 3y=m とおくとx=2^m y=3^m-1mに対してx,yが一意に決まり2^x+3^yはmの単調増加関数よりm=2の時のみでもいいのかな...
３のＹ乗は３の倍数43が３で割って１余るだから２のＸ乗は３で割って１余る、つまりＸは偶数Ｘは２または４っていう考え方でやりました
![Kyoto University's famous integer problem [Instant kill with technique].](http://i.ytimg.com/vi/QZMmqpuufcg/mqdefault.jpg)
【訂正】
(1)に関して、x=4,y=3を求めたあと、必ず下のlogの式に代入して、条件を満たしてる(十分性)ことの確認を記述するようにしてください。
第1式を用いて範囲を考えて場合分けするのは、あくまでも必要条件なので、必ず第2式(log)にも当てはまることの記述を書くことは大切です。
ご指摘いただいた方ありがとうございます。今後とも気をつけて参ります。
早稲田のやつにもX=3以外成り立たないことを証明しろみたいな問題あって同じ解法でした
進研ゼミでも取り上げてましたよこの同じ問題〜〜〜
第2式からlog_2 x = log_3 3y
両辺はそれぞれx, yの単調増加関数だから
この式をyからxへの関数と見るとこれも単調に増加
よってyの合成関数2^x + 3^yは単調に増加するので
解はただ一つである
もう少し丁寧に記述するなら
動画同様に
0 < x < 4のとき、0 < y < 3で2^x + 3^y < 43
とかやる。
解説マジでわかりやすいのに例えくそ下手なのバリおもろいwwww
マジで数学はノートもキレイだしめちゃくちゃ分かりやすい
動画内で「背理法は✖︎」って言ってるけど、
『x=4のみであることを示す』ために
『n≠4であると仮定して(0
何かまずい点があったら教えてください
(別解)
log[2]x=s, log[3]y=tとおくと
与えられた第2式からs-t=1、すなわちt=s-1ー①が得られる
また、x=2^s, y=3^tとなり、
与えられた第1式から2^(2s)+3^(3t)=43となる
この式を①を用いて変形すると、4^s=43-27^(s-1)
この実数解はグラフより唯1つしか存在しない
その解を探すとs=2, t=1が見つかる
∴(x, y)=(4, 3)のみ■
懐かしい、、、
私はまさにこの年に阪大文系キャンパスにてこの問題に直面してました、、、
当日いろいろ手探りで進めていて、ふとグラフを書いた時に閃いて解けたことを覚えています。
(2)は範囲を絞らなくてもいけますよ。
解の一意性を示したいので背理法で示します。
(x, y)とは異なる解(x', y')を持つと仮定すると、下式より
log2(x) - log3(y) = log2(x') - log3(y') 整理して
log2(x/x') = log3(y/y') この関係式より
x > x' ならy > y'となり2^x + 3^y > 2^x' + 3^y'となるので不適。
x < x' も同様。
よって x = x' , y = y'。
復習問題
Iog2xy=3で
xy=8だからx=8/yで、下の式に代入して相加相乗平均使って16になったんだけど合ってるかな？
2)結局は動画の解法と同じことですが、問題の本質は、関数の増減を考えることにあるようです。
第2式
log2(x)-log3(y)=1
において、xが増加すればyも増加するので、yはｘの増加関数（狭義単調）。
上記の関数関係により、第1式の左辺
2^x+3^y
を実数xの1変数関数と見做してf(x)と置くと、f(x)は増加関数（狭義単調）となる。
従って、f(x)=43となるような実数xは高々１つであり、これに対応する実数の組(x, y)も高々１つ。 //QED
たま
所謂イメージで解くってやつですね。本番でこれを書く勇気はありませんが
私も同じ解き方でした。
こっちの方が、より本質的だと思います。
今頃ですが、自分もこのように考えました。
@@工藤新一-o8y さんへ：Thanks for the comment. Glad to know you agree. Hopefully, you keep enjoying math even in this hard time of COVID-19 pandemic. Take care. ■
復習問題
対数方程式を解くと xy=8(x,y>0)...①
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=(x+y)^2-16
ここで、x>0,y>0より (x+y)^2=0をみたすx,yは存在しない
もっとも (x+y)^2>16
(∵x,y>0より x^2+y^2>0 )
であり最小値を定めるに至らない。
次に x^2+y^2=(x-y)^2+2xy=(x-y)^2+16
このとき x=yで最小値16をとる
①とx=y をみたすのは x=y=2√2
∴x=y=2√2のとき 最小値16
長いし回りくどいけど一応示せたかな？僕と同じく式変形を考えてしまった人の参考になるかもしれないので
真数条件でx,y＞0言えるやん
自分用メモ👏。{難問}２つの式を①,②とする。(1) 扱い難い②が トラップになってる。
【 先ず①で🉐戦略K 区間限定→３^yを残す。】２^x＝43－３^y ＞０ より、 y＝ 1, 2, 3*
①に再代入して、(x, y)＝(4, 3*) ･･③ これは、②も満たすから ③･･･(答)
(2) 【 (x, y)が1組 ⇔ 共有点が1組🔜 グラフ 】 ②を X－Y＝1 ⇔ Y＝X－1 とおくと、
x＝２^X, y＝３^Y ＝３^X-1 ①に代入して、２^2^X＋３^3^X-1 ＝ 43 ここで、
(左辺)＝f(X)とおくと、狭義単調増加だから、 y＝f(X) と y＝43 の共有点は、
高々１個である。よって、示された❣️
【転換法】(ⅰ) (1)より、(x, y)＝(4, 3) は 解である。
(ⅱ) 0＜x＜4 のとき、②より log₃y＝log₂x－1＜log₂4－1 ＝１ ⇔ log₃y＜１⇔ 0＜y＜3
このとき、(①の左辺) ＜ ２⁴＋３³ ＝43 となって 不成立。
(ⅲ) 4＜x のとき、②より log₃y＝log₂x－1＞ log₂4－1 ＝１ ⇔ log₃y＞１⇔ 3＜y
このとき、(①の左辺) ＞ ２⁴＋３³ ＝43 となって 不成立。
以上より、示された❣️🙏
x^2+y^2＝(x+y)^2−2xyだと、x＝−yとなって、真数条件より、x>0 y>0 を満たさないから、(x−y)^2+2xyを考えて、グラフは下に凸なので、x＝yで最小値2×8＝16をとるということですね！他の方の解き方を見て1番分かりやすかったのを挙げてみました。
サムネだけ見て、勘で解を出した後関数の単調性から解は一つだけという方針で解きました
パスラボ始めてちゃんと見たけどえぐいな。
有益すぎた
パスラボ信者になるわ
復習問題１０秒無理ゲーw
(1)で、(4,3)を下の方程式に代入しないと十分とは言えなくないですか？連立方程式なので。
復習問題
log_2(x)+log_2(y)=3
において、真数条件よりx>0かつy>0 よって相加・相乗平均より x^2+y^2≧2xy
両辺に底が2の対数をとると
log_2(x^2+y^2)≧log_2(2)+log_2(x)+log_2(y)=4
よってx^2+y^2≧2^4=16
x=yのとき、等号が成立するので求める最小値は16.
=5ですか？=4では？
log_2(2)=1じゃないですか？
茶生 御指摘ありがとうございます！訂正します！
とるここ x^2+y^2≧2^4であるべき所がまだ5のままですよ！
yoshi 訂正しました！
真数条件より x,y>0
log₂ x + log₂ y = log₂ xy = 3
∴xy=2³=8・・・①
また, x²+y²=(x+y)²-2xy=(x+y)²-16・・・②
そこで, x,yを解に持つ tについての二次方程式 t²-(x+y)t+xy=0 を考えると, x,yが正の実数であることの必要十分条件は, 判別式をDとすると,
D≧0, x+y>0, xy>0
ここで, x+y=X, xy=Yとすると,
D=X²-4Y≧0
∴4Y≦X²
①より 32≦X²・・・③
③よりX²の最小値は32で, ②は(x+y)²=X²が最小のとき最小になるから
∴最小値は 32-16=16 (x=y=2√2のとき)
復習問題は、条件式を陰関数とみて「反比例っぽいグラフ」になる(x、y軸に漸近し下に凸、直線y=xについて対称)のでこの直線上で原点との距離が最小と予想しました。
f(x)+f(y)=Aの微分はdy/dx=-f‘(x)/f’(y)なので、y=xを代入すると-1、つまり対称軸上でその対称軸に直交する接線が引けることが分かり、(凸性も2回微分で同様に)正当化できます。この問題に対しては大袈裟ですが、複雑で微分可能(で非ゼロ)な対称式なら応用できそうです
1つめの式はxに対してyは単調減少、
2つめの式は単調増加となるから、
1点でしか交わらない、てなことでいいんじゃないかな。。。
0
動画見る前に解いたのであってるかは分かりませんが解法コメントしておきます。
どうせ自然数が、答えだろうと試すとx=4.y=3が一つの答えになる。
ここで下式よりx=2^(1+log（3）y)
となるから上式に代入すると
2^（2^(1+log（3）y)）+3^y=43…①となる。
ここで①をyの関数と捉えるとそれぞれの指数の中身が0
(1)は上の式で範囲を絞り答えを出した後、下の式に代入して成り立つこと(十分性)を確認しないといけないんじゃないですか？
ご指摘ありがとうございます！仰る通りです。固定コメントにて訂正出させていただきました。
今後ともミスがないよう気をつけて参ります。よろしくお願い申し上げます。
2019東大数学であったね。似たようなやつ。xの奇数乗とcosxの解は一つだけで0
ログで範囲使う発想が今までなかった…
要は、第1式では「xの増加・減少で、yは減少・増加する」。
第2式では「xの増加・減少で、yも増加・減少する」。
よって両式を成り立たせるx,yは1組しか無い。
きもちい
やはり問題解くときはスピードが大事ですね。
今の自分には10秒がとても早く感じる。
カイオーガ 干物みたいでわろた
x,yは正だからx＝2^a,y＝3^bと置くと、
a -b＝1つまりb＝a -1
これを2^x +3^yに代入すると
4^a＋27^a -1＝43
これは単調増加だからa＝2,b＝1のみ。よって解は
x＝4,y＝3のみ。
前の対称式の動画のおかげで復習問題迷わないで解けた
カイオーガがクジラに見える。。
（2）のような証明問題、京都大学のオープン模試にも似たようなの出てきてるので完璧に理解して第2回ではＣ判定出せるよう頑張りたいです！！
上の式について
真数条件よりx,y>0であり、
log2(xy)=3となるので、xy=2^3
下の式について、x,y>0より
相加、相乗平均の大小関係から
x^2+y^2 >= 2|xy|= 2xy =2^4
等号はx^2=y^2
つまりx=y=2^3/2のとき成立する
(x>0、y>0、xy=2^3より)
初めてyoutubeにコメントします！
大学受験から15年離れましたけど、(2)は知らなくて、とても勉強になりました。柔軟な発想で、かつ一番スマートだし、他の問題にも応用出来ると思います。
受験生の時にこのチャンネルと出会いたかったなぁ
以下の解法だと場合分けいらずに解けます
2^x+3^y＝43･･･①
log(2)x-log(3)y＝1･･･②
②式から
y＝3^a
x＝2×2^a
(a∈Ｒ)とおける。
これを①に代入して
4^(2^a)+3^(3^a)＝43･･･②'
r＞1のとき、r^sはsについて狭義単調増加なので2^a,3^aはaについて狭義単調増加、同様に4^(2^a),3^(3^a)もaについて狭義単調増加であるとわかる。
従って②'の左辺はaの狭義単調増加関数であり、a＝1で②'が成立するから、求めるx,yはx＝4,y＝3 のみである
本質は動画の解法と同じですけど、動画のやり方だと上式の単調増加性が見にくいので微妙です
復習問題
log2(xy)＝3よりxy=8 よってy=8/x (x,y＞0)
ここからxy平面の原点中心の円が、上のグラフと初めて接するときの円の半径の二乗がx^2+y^2の最小値になる？
単純にy=8/xを代入して相加相乗平均を使っても良さそうですね
グラフを描いて2^x+3^y=43は単調減少、log2(x)-log3(y)=1は単調増加なので、第一象限において両者の交点はあっても1点のみ。
(x,y)=(4,3)が示されているので、それ以外の交点は存在しない。
Q.E.D.
（2）で「x=4かつy≠3」のときに成り立たないことにも触れないと減点かも。
復習問題の答え
log2(x)+log2(y)=3より、
log2(xy)=3
xy=2^3=8……①
また、真数条件より、x>0,y>0であるから、相加相乗平均の大小関係より、
x^2+y^2≧2√x^2y^2=2xy=16(∵①)
等号成立条件はx^2=y^2
x>0,y>0より、x=y(このとき、x=y=2√2)
∴x^2+y^2の最小値は、x=y=2√2のとき 16
指数対数という1つの化け物が居なくなった気がします
ありがとうございました
log2(x)=log3(3y)=t
と置いて
2^2^t+3^3^(t-1)=43
t=2で成り立ち、tが増えれば明らかに左辺は増えるからt=2のみが解
全く同じ解き方でした
グラフ書いて単調増加と単調減少だから必ず交点は１個で証明した
復習問題
log2(x)+log3(y)=3 (x>0、y>0)
xy=8 反比例関数
x^2+y^2は原点を中心とする円グラフの半径r^2
反比例グラフが原点からの最小距離の時、
半径は最小となる。
すなわち、x=y=2√2 の時、r^2=16
因みに阪大の理系卒
最初の黒板の下の式のlog3yがlog2になってたせいでずっと解なしで5分無駄にされた。
コメント欄でAM-GM不等式使っている人多いけど、等号成立条件を書かないと不正解にされますので気をつけて
K雲 雲Kは生まれる前からこの事知ってたからなぁ
復習問題はシュワルツの不等式で解くんですかね？
(1)は43=2^4+3^3だったから
x=2^a,y=3^bに置いたら
a-b=1 2^2a+3^3b=2^4+3^3
(2)は2^2(b+1)+3^3b=c
これは単調増加だから
cが43になるbは一つしかない
すごい、、ほんとにすごいまじで整数苦手やったんすけどすごく自分でもできるんじゃないかって思えるようになりました、ほんとにわかりやすいですありがとうございます
字とノート綺麗、尊敬
カイオーガまぁまぁ、でも倒せない
例え←
内容とても面白かったです👍🏻
聞いてたら感動してニヤニヤしちゃった
両辺を2倍してlog2(x²)+log2(y²)=log2(64)
log2(x²)を移項してまとめると
log2(y²)=log2(64/x²)
∴y²=64/x²
ここでx²>0であるから相加相乗平均の関係より
X²+64/x²≧2√64=16
等号成立はx²=64/x²、すなわちx⁴=64からx=2√3(∵x>0)
∴求める最小値は16
少し手間ですが最初に2倍するという答案は無さそうでしたので書かせていただきました😊
今更観始めた身だが、復習問題、x^2+y^2=rとでもおいて与式のxy=8と照らし合わせてrの最小値を出すという幾何的な観点でも解けるの面白い
[復習問題]
与式の対数の底が同じことから
簡単にXY＝8と求まる
X²＞0, Y²＞0なので
相加相乗平均の不等式より
X²＋Y²≧2XY＝16
よって答えは16
等号成立条件を確認した方が丁寧だと思います！
p a 詳しく言うと確認しないと×ですね。
なるほど、勉強になります！🙇
双曲線xy＝8と円x²+y²＝r²で共有点(±2√2,±2√2)の時にr²が最小となるって図形的な解き方でできました！
本問の様に新たな重要な視点を気付かせてくれる様な文系も使える数学の問題をまた扱って欲しいです！
サムネ見て普通に解いてしまった
log2(x)=s, log3(y)=tとおくと、与えられた2つの式は、
4^s+27^t=43 ...①
s-t=1 ...②
②よりt=s-1...③で、これを①に代入すると、
4^s+27^(s-1)=43
左辺は底が1より大きい指数関数の和だから単調増加であり、ゆえに解は高々1個で、s=2はこの式を満たすので、sの値は2に決まる。
これと③より、t=1
以上より、x=4, y=3
2年前のコメントに申し訳ないのですが、この時①の式は
4^s+27^t=43 ではなく
2^(2^s)+3^(3^t)=43ではないでしょうか？
(a^b)^c≠a^(b^c)だった気が
証明問題のノウハウの場合分けは正直助かりました
あと、挨拶がだんだん、Quiz knockの伊澤さんみたいな感じになってきましたね(笑)
(2)の証明方法は感動した！確かにこの発想はなかった…
復習問題、紙の上で書いた答えとxy図上の答えが一致しなくて焦りました。実数存在条件はグラフ上でも見えるんですねえ
場合分けするのが見当つかなかった。(2)難しかった。
最後の問題、半径4√2の円になって、‐4√2じゃないかと思ってるんですが。
log2x+log2y=log2xy=3→xy=2^3=16
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy→(x+y)^2-32
半径4√2の円にならないですかね？
数3の知識が必要になりますが、(2)はこんな解法はいかがでしょうか？
xy平面上にそれぞれの式のグラフを書くことを考えると、上の式はdy/dxが負なので単調減少、下の式はdy/dxが正なので単調増加。よって共有点は最大で1つしか持たないので、連立方程式の解も1つに限られる。
最悪グラフいっちゃえ！ってのありますよね
狭義単調と言ったほうがよいかもしれませんね。無限個の共有点を持つ可能性を排除できるので。
0:57 で動画止めて考えてたからlog2底y なら解なくね？？？ってめっちゃ悩んじゃったw
今回の復習問題
解法は分かったけど動画との関連性が分からんかった……
別解
x＝log2(43-3^y)として
log3yとlog2log2(43-3^y)との比較だね。単調増加と減少だから一つしか交わんねーってまじで。
ちょっとバカなことをして方程式を 4^(log3(3y))+3^y = 43にしたら、左側は必ず単調増加だから......逆にすごく簡単になってしまう
感動しましたぁー！
幾何的理解・別解
①2^x,log_2(x)はともに単調増加なのでyについて解くと単調減少と単調増加。
②単調増加と単調減少のグラフの交点は1個or存在しない。
③問(1)より解が求まっているので①②より(2)は明らか。
※①②を自明なものとして（式的な証明なしに）使っていいのか不明
嫌なら①は微分②も微分結果の差を考えれば示せるし良いんじゃない？
正味②は自明で良い気もする
本当にためになります！
阪大志望です。
こないだこれx,yが自然数なので15通りしか答えになり得るやつがなくてゴリ押したのでこの綺麗な回答は真似したいですね
気づいたら毎朝pass labo見て、学校に行くのが習慣になってた！今は逆に見ないと気持ち悪い 笑
高校一年生なので未習範囲は解けませんが、いつか学ぶと思って吸収してます！
むー マジでその気持ち分かります笑
毎朝ご飯食べながら見て感動してます
X=4のみを示せ（X>0）
0
めっちゃ綺麗でした！
どうやったらそんなにきれいな字でノートが書けるのか
ホワイトボードの問題の2つ目の式のyの方の底が2になってませんか？字が小さいんで3かも知れないですけど…。
訂正見てみ
感動しました！
出た掌握2のラストの問題
一意性示すのほんと苦手です…苦笑
質問です！(2)の証明問題についてなんですが、(1)で出したyの範囲で考えないのはなぜですか？
めちゃくちゃわかりやすい！笑
参考になります
log2x=a log3y=b として(1)といてa-b=1と無理数の差は無理数であることから示せないかな？
こうやってやると１変数に帰着して簡単だよ
無理数と無理数の差は無理数とは限らない（例：1+√3,√3）のでダメです
感動しました。
これは阪大文系の何年の問題ですか？？
無いことを示せ、はあると仮定して矛盾を示す
予備校の先生やつめっちゃわかるw
今年の阪大オープン文数の2番がほとんど一緒でした
a+2b=2log10 2
10^a+10^2b=6
でした
問題見た瞬間答えっぽいのは分かってしまう
オシャレ
てっきり、昨日のヤツを使うのかと思って、43を底にしてlogを取ろうかと思ったが、どーにもならなかったわ（笑）。
この問題はあの類題だと思い込み、そのやり方で解くと痛い目にあうやつだ
サムネだけ見て問題解いたから(2)から先に解く事になったわw
考え
2変数に対して2式か〜
真数条件考慮して二つのグラフの概形見るかな(微分)
答えは一つね〜どうやって求めよう？
じー、あ、4、3じゃん。
この問題誘導無い方が絶対解きやすい。
問題をよく読めば誰でも解けるが初見では難問と錯覚しやすいのと(2)を効率よく解くのが難しい。
底の差が整数になるのを解析的に論ずるより範囲しらみ潰しが速い。
復習問題は解けた！大きいほうを引くの大事。～以外は存在しないことを示すにはそれ以外の範囲で成立しないことを示す。
復習問題は相加相乗かー
０を自然数に含むと言う考えもあるのでxが６つと言う考えも正しいかもしれませんね
復習問題って何でなくなっちゃった？？復活して欲しい
計算合わなくて焦ったけどホワイトボードが間違ってた
気持ちぇぇえええ
ユーチューバーっぽく染まっていくたびになんか無性に腹が立ってくるなw
最初のbgmがクセになってきました。パンダがいぱいでてるテイコウペンギンのbgmのようにそれをききにくるために動画に来てるまである(仕事終わるタイミングで動画うpされてるからもあるけど)
パンダがめっちゃ好きなんですが、3:11あたりのパンダがこわくて、、、、、、再生するのが
ぱっと見はセンターでも出そう
コーシーシュワァルツの不等式で復習問題瞬殺しましたー！
log2 x=log3 3y=m とおくと
x=2^m y=3^m-1
mに対してx,yが一意に決まり
2^x+3^yはmの単調増加関数よりm=2の時のみ
でもいいのかな...
３のＹ乗は３の倍数
43が３で割って１余る
だから２のＸ乗は３で割って１余る、つまりＸは偶数
Ｘは２または４
っていう考え方でやりました