Спасибо, Борис! Очень изящно. Получил эстетическое удовольствие от просмотра и осмысления ролика. Очень жаль, что удовольствие от доказательства теорем начал получать не в школе а... после окончания вуза, в 24 года.
Можно воспользоваться теоремой о том, что для любой точки: ha/Ha + hb/Hb + hc/Hc = 1, где Ha, Hb, Hc - высоты треугольника, ha, hb, hc - высоты точки (со знаком). Для ортоцентра имеем: ha/Ha = (ba/Ha)*(ca/Ha) = (1/tgB)*(1/tgC), где ba и ca - проекции сторон b и c на сторону a.
Второе доказательство мне понравилось больше, и оно более наглядно. Но первое, которое само по себе тоже красивое, легче распространяется и на случай тупоугольного треугольника. Отличие лишь в том, что вместо суммы площадей треугольников берётся их разность.
Борис, что думаете насчет идеи снять видео о простых геометрических фактах, которые школьники обычно запоминают, не понимая, откуда они взялись? Например, неравенство треугольника, теоремы о средней линии, соотношения между углами и сторонами (против б. стороны лежит б. угол) и пр.?
Поздравляю. Вы геометрически доказали формулу тангенса суммы (как легко проверить после того как гамму убрали, эта родимая формула и получается). А если еще немного повозиться, учитывая что (sin(x)cos(y)+sin(y)cos(x))^2 + (cos(x)cos(y)-sin(y)sin(x))^2 = 1, то и формулы синуса и косинуса суммы.
Я натолкнулся на видео с разбором Гаокао(китайского эквивалента ЭГЭ) и там одна задача с этим материалом: А+В+С=180 град,sinA=2sinBSinC.Какое наименьшее значение может принимать tgAtgBtgC. Я вывел формулу tgAtgBtgC=tgA+tgB+tgC и дальше застопорил.Мне кажется,что сумму легче оценивать снизу? Как вы считаете?
2sinBsinC = sinA = sin(B+C) = sinBcosC+cosBsinC, 2tgBtgC = tgB+tgC, (2tgB-1)(2tgC-1)=1, b=tgB, c=tgC, tgA=-tg(B+C)=-(b+c)/(1-bc), tgAtgBtgC=-(b+c)bc/(1-bc), 2bc=b+c, c=b/(2b-1), -(b+c)bc/(1-bc) = -(b+b/(2b-1))b^2/(2b-1)/(1-b^2/(2b-1)) = -(2b^4/(2b-1))/(2b-1-b^2) = 2b^4/((2b-1)(b-1)^2), эта функция может быть сколь угодно малой и сколь угодно большой, т.к. на бесконечности эквивалентна 2b^4/(2b•b^2)=b.
Спасибо, Борис Викторович, Ришар и Иван! Красиво.. Как первое решение выглядит с тупым углом треугольника интуитивно ясно. Нужно рассмотреть не сумму площадей, а разность (ещё не проверил, но вроде должно сработать.. :) А вот, как во втором способе быть с тем, если один угол тупой, а два других - острые? Кто-нибудь знает, как второй способ обобщить на любой треугольник?..
это условие, то есть мы хотим доказать что если сумма альфа бетты и гаммы 180 град, то выполняется равенство который Борис уже доказал.То есть это всего лишь условие, но это не выполняется для произвольных углов тангенса
перенеси tg y в правую сторону, раздели на 1-tga*tgb, получишь -tg(a+b) = tg y, понятно отсюда, что a + b + y = pi*n, n в Z, в геоме углы меньше pi и больше нуля, тогда 0< a + b + y < 3pi, значит возможные варианты - pi, 2pi, ну или их сумма - 360 или 180 градусов. Если все углы - острые, то их сумма не превосходит 3pi/2 -> единственный вариант - 180 градусов. Ты можешь задать вопрос, почему я так фривольно поделил на tg a tg b - 1, ведь tg a*tg b вполне могло быть единичкой. Хорошо, если tg a*tg b = 1, то получаем равенство: tg a + tg b + tg y = tg y, я думаю вполне очевидно, что tg a, tg b не нули и одного знака, но тогда такое выражение выше "абсурдно". И такое могло произойти, если a + b = pi/2 + pi n, но тогда и прямая теоремка не очень формулируется.
На какие "остальные" случаи? Есть только один другой случай - тупоугольный треугольник (у которого, конечно, только один угол тупой). Ведь у прямоугольного треугольника не у всех углов есть тангенс.
Спасибо, Борис! Очень изящно. Получил эстетическое удовольствие от просмотра и осмысления ролика. Очень жаль, что удовольствие от доказательства теорем начал получать не в школе а... после окончания вуза, в 24 года.
Никогда не поздно)
За вступление как обычно лайк не глядя
За вступление как обычно дислайк. =(. Отвратительно.
@@tdu819 чел, ты..
Суровое и элегантное доказательство. Спасибо! ❤😍❤
Вот это да! Захотел - и на тебе! Спасибо, ребята! Герон стал из алгебы геометрией :))
Гении...
Настоящая Магия! Молодцы ребята!!!
Я: сложная интересная тема
Видео начинается
Борис,: Все! Все! Все!
Я: надо же
просто супер, геометрия это крутая дисциплина
Смотрю на количество лайков и просто радуюсь за человечество :)
Можно воспользоваться теоремой о том, что для любой точки: ha/Ha + hb/Hb + hc/Hc = 1, где Ha, Hb, Hc - высоты треугольника, ha, hb, hc - высоты точки (со знаком). Для ортоцентра имеем: ha/Ha = (ba/Ha)*(ca/Ha) = (1/tgB)*(1/tgC), где ba и ca - проекции сторон b и c на сторону a.
красотища
Второе доказательство мне понравилось больше, и оно более наглядно. Но первое, которое само по себе тоже красивое, легче распространяется и на случай тупоугольного треугольника. Отличие лишь в том, что вместо суммы площадей треугольников берётся их разность.
Борис, что думаете насчет идеи снять видео о простых геометрических фактах, которые школьники обычно запоминают, не понимая, откуда они взялись? Например, неравенство треугольника, теоремы о средней линии, соотношения между углами и сторонами (против б. стороны лежит б. угол) и пр.?
Про неравенство треугольника и против большей стороны лежит больший угол давно хочу снять. Спасибо, что напомнили )
Красиво
да, именно как во вступлении я решаю геометрию
Да, это жестко...
Волшебство
Поздравляю. Вы геометрически доказали формулу тангенса суммы (как легко проверить после того как гамму убрали, эта родимая формула и получается). А если еще немного повозиться, учитывая что
(sin(x)cos(y)+sin(y)cos(x))^2 + (cos(x)cos(y)-sin(y)sin(x))^2 = 1,
то и формулы синуса и косинуса суммы.
думаю, это можно доказать в оруглах.
"Какие могут быть тупые " как воду глядел
Я натолкнулся на видео с разбором Гаокао(китайского эквивалента ЭГЭ) и там одна задача с этим материалом:
А+В+С=180 град,sinA=2sinBSinC.Какое наименьшее значение может принимать tgAtgBtgC.
Я вывел формулу tgAtgBtgC=tgA+tgB+tgC и дальше застопорил.Мне кажется,что сумму легче оценивать снизу?
Как вы считаете?
2sinBsinC = sinA = sin(B+C) = sinBcosC+cosBsinC, 2tgBtgC = tgB+tgC, (2tgB-1)(2tgC-1)=1, b=tgB, c=tgC, tgA=-tg(B+C)=-(b+c)/(1-bc), tgAtgBtgC=-(b+c)bc/(1-bc), 2bc=b+c, c=b/(2b-1), -(b+c)bc/(1-bc) = -(b+b/(2b-1))b^2/(2b-1)/(1-b^2/(2b-1)) = -(2b^4/(2b-1))/(2b-1-b^2) = 2b^4/((2b-1)(b-1)^2), эта функция может быть сколь угодно малой и сколь угодно большой, т.к. на бесконечности эквивалентна 2b^4/(2b•b^2)=b.
Проверил для тупоугольного треугольника, на основе 1го способа. Картинка другая, но все сошлось, соотношение работает
Третий год смотрю эти доказательства (особенно второе) и постоянно ощущаю магию.
Спасибо, Борис Викторович, Ришар и Иван!
Красиво..
Как первое решение выглядит с тупым углом треугольника интуитивно ясно. Нужно рассмотреть не сумму площадей, а разность (ещё не проверил, но вроде должно сработать.. :)
А вот, как во втором способе быть с тем, если один угол тупой, а два других - острые? Кто-нибудь знает, как второй способ обобщить на любой треугольник?..
мужик в юморе просто жесток
Здравствуйте, Борис! Наткнулся на одну жуткую 19 задачу про мышей и вино. Как её вообще объяснять?!
Вопрос ко второму доказательству:
Откуда мы взяли, что альфа+бета+гамма=180 градусов?
Сумма углов треугольника
@@andreyshudrik1140 какого треугольника? Каждый угол находится в разных треугольников
Albert π_π узнал?
это условие, то есть мы хотим доказать что если сумма альфа бетты и гаммы 180 град, то выполняется равенство который Борис уже доказал.То есть это всего лишь условие, но это не выполняется для произвольных углов тангенса
Катарсис 2 решение
Предлагаю назвать эту теорему- теоремой Трушина.
Подскажите, а в обратную сторону работает: если сумма тангенсов равна их произведению, то сумма углов равна 180?
Сумма углов треугольника всегда 180 градусов
Это аксиома
@@ЛордТемный-л7о, это теорема, которая несложно доказывается. Если не верите, то уточните в школьном учебнике.
@@ЛордТемный-л7о Имелось в виду, истинно ли следующее высказывание? tgα+tgβ+tgγ=tgα*tgβ*tgγ α+β+γ=π/2
перенеси tg y в правую сторону, раздели на 1-tga*tgb, получишь -tg(a+b) = tg y, понятно отсюда, что a + b + y = pi*n, n в Z, в геоме углы меньше pi и больше нуля, тогда 0< a + b + y < 3pi, значит возможные варианты - pi, 2pi, ну или их сумма - 360 или 180 градусов. Если все углы - острые, то их сумма не превосходит 3pi/2 -> единственный вариант - 180 градусов.
Ты можешь задать вопрос, почему я так фривольно поделил на tg a tg b - 1, ведь tg a*tg b вполне могло быть единичкой. Хорошо, если tg a*tg b = 1, то получаем равенство: tg a + tg b + tg y = tg y, я думаю вполне очевидно, что tg a, tg b не нули и одного знака, но тогда такое выражение выше "абсурдно". И такое могло произойти, если a + b = pi/2 + pi n, но тогда и прямая теоремка не очень формулируется.
почему сумма отношении площадей треугольников даст нам площадь большего треугольника
это площади 3х треугольников на которые разрезают данный треугольник. Сумма трех площадей меньших треугольников равна площади большого
все призовых мест не осталось!!!
второе тоже занято уже))
Почему бы для угла бетта не воспользоваться равенством углов при взаимоперпендикулярности сторон? Так будет быстрее.
Может я чего то не понял, но второе доказательство же не работает для случаев, если в начале у треугольников разные длины катетов?
На какие "остальные" случаи? Есть только один другой случай - тупоугольный треугольник (у которого, конечно, только один угол тупой). Ведь у прямоугольного треугольника не у всех углов есть тангенс.
Углы со взаимно перпендикулярными сторонами РАВНЫ.
ЭТО проходили древние Греки.
Вроде работает и для тупых углов(для проверки взял углы 30⁰;45⁰,105⁰)
Вроде? Точно проверил? Пересчитай ещё раз.
А где доказательство для теоремы котангенсов?)
ну и последний шаг никто не сделал - геометрически доказать на тупых углах
первый)