简单的丢番图方程,你能瞪出答案吗?a²+b²=2009

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  • Опубліковано 7 лис 2024

КОМЕНТАРІ • 85

  • @math-eploration
    @math-eploration 2 роки тому +10

    7的平方是2009的因子,由于7是4k+3型素数,7必然是a和b的因子,如果是4k+1型素数,就不一定了。例如把7换成5,把2009=7x7x41换成1025=5x5x41,用视频中的方法求解丢番图方程a^2 + b^2 = 1025就比较困难了。上述结论的证明要用到环论的知识。整数环Z是唯一因子分解整环,把虚根i(即i^2 = -1)加到整数环去,成为复整数环Z[i],Z[i]也是唯一因子分解整环。把素数分为三类:2,4k+1型素数,4k+3型素数。2 = (1 + i)(1 - i)。如果p是4k+1型素数,一定存在整数a > b > 0,p = a^2 + b^2 = (a + bi)(a - bi),且a,b是唯一的,这个结论的证明要用到初等数论有关原根的知识。因此2和4k+1型素数都不是Z[i]的素元。但是4k+3型素数是Z[i]的素元,证明如下:设p是素数,4|(p - 3),如果p = (a + bi)(c + di),a,b,c,d是整数,a + bi和c + di不是Z[i]的单位,即不是正负1和正负i,则p^2 = |a + bi|^2 |c + di|^2 = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2),因此a^2 + b^2 = 1,p,或p^2,但是a + bi和c + di不是Z[i]的单位,故a^2 + b^2 = p,这与4|(p - 3)相矛盾,因为两个偶数或两个奇数的平方和是偶数,一个偶和一个奇数的平方和是4k+1整数。因此,如果n是正整数,a,b是整数,a^2 + b^2 = n,p|n,p是4k+3型素数,由于a^2 + b^2 = (a + bi)(a - bi),所以p|(a + bi)或p|(a - bi),从而p|a,p|b。因此p|(a + bi)且p|(a - bi),故p^2|n。所以丢番图方程a^2 + b^2 = n存在整数解a,b当且仅当n的4k+3型素因子具有偶数次方。用上述方法来求解丢番图方程a^2 + b^2 = 1025就比较简单:5 = (2 + i)(2 - i),41 = (5 + 4i)(5 - 4i),所以a + bi = 5(5 + 4i),a = 25,b = 20;或a + bi = (2 + i)^2 (5 + 4i) = (3 + 4i)(5 + 4i) = -1 + 32i,a = -1,b = 32;或 a + bi = (2 + i)^2 (5 - 4i) = (3 + 4i)(5 - 4i) = 31 + 8i,a = 31,b = 8。因此丢番图方程a^2 + b^2 = 1025满足a>b>0的整数解有3组:(25,20),(31,8),(32,1),通过调换a和b的位置以及改变正负号,可得到全部整数解,共有24组。用此方法求解视频中的题目,丢番图方程a^2 + b^2 = 2009满足a>b>0的整数解只有一组:a + bi = 7(5 + 4i),a = 35,b = 28。

    • @redneedletw
      @redneedletw 2 роки тому

      請問為何4k+3型質數可以說a,b必有其因數??
      我也是懷疑上面的推論,所以代了一些數,發現a=38,b=9,a^2+b^2=1525=5×5×61,
      但a,b,都不是5的倍數
      但是4k+3型質數是可以證明的嗎?如果非質數呢?

    • @math-eploration
      @math-eploration 2 роки тому +1

      @@redneedletw 整數環Z是唯一因子分解整環,Z[i]也是唯一因子分解整環。4k+1型質數不是Z[i]的素元,例如5=(2+i)(2-i),但是4k+3型質數是Z[i]的素元,因為此型質數不是兩個整數的平方之和。假設p是4k+3型質數,p|(a^2+b^2),由於a^2+b^2=(a+bi)(a-bi),所以p|(a+bi)或p|(a-bi)。如果p|(a+bi),則a+bi=p(c+di),c,d是整數,因此a=pc,b=pd,p是a,b的因子。同樣,如果p|(a-bi),p也是a,b的因子。

  • @徐瑞斌-i8o
    @徐瑞斌-i8o 3 місяці тому

    從 m^2 + n^2 = 41 開始, 有更快的辦法, 不用討論許多情形. 題目問 a+b, 也就是7(m+n). 不用分開討論m,n, 直接討論 m+n. 我們只看正整數,並只看 m >= n 之後再 m, n 對調, 加負號即可.
    m^2 + n^2 = 41 => (m,n) 在半徑 根號41的圓上. => m + n < 根號41 x 根號 2 < 7 x 1.415 < 10. 且 m + n > 根號41 (三角不等式).
    所以, m+n 只可能是 7, 8, 9.
    (m+n)^2 - 2mn = m^2 + n^2 = 41 => 2mn = (m+n)^2 - 41= 7^2 - 41 或 8^2 - 41 或 9^2 - 41 = 8 或 64-41(奇數, 不合) 或 40.
    m, n 必須1奇1偶, 平方和才能是奇數41.
    2mn = 8, m>=n, 1奇1偶 (其中一個要拿走所有的2因子, 才能1奇1偶 ) => m=4, n=1 (不合)
    2mn=40, m>=n, 1奇1偶 => m=5, n=4 或 m=20, n=1 (不合).

  • @adamwang523
    @adamwang523 2 роки тому +7

    a和b都是正整数,那就可以直接凑数字试出来。两个数相加个位数是9,那么个位数组合无非就是0+9, 1+8,2+7,3+6,4+5。由于要满足两个数都是正整数的平方,那么正整数平方的个位数不可能是2,3,7,8。剩下0+9的个位数组合很快就能排除,那么就只有4+5了。也就是说a和b的个位数只可能是2,5,8。由于个位数为4的情况会出现2和8两种情况,所以首选用5来试。因此为非就是5,15,25和35。用2009分别减去25,225,625和1225,得到的数字看一下能不能开平方即可。

  • @songweimai6411
    @songweimai6411 2 роки тому +11

    不知道为啥就看这些视频了。视频主最后说的话才是精髓,多用笔算,心算,加减乘除,别用简单法的心算3位数*3位数,4位数乘4位数等。感觉这样可以练习反应和逻辑能力。其实你看完答案回头一想:一开始的式子左边是加法,右边是一个数,要把左边的加法联系,只有分裂出一个公有的项,这个公有的项都可以在a2和b2里面,之后的加法合拼时,可以化简2009。所以2009必定要分离出2个相同的约数,然后我们就在2009的约数里面试就行了。比如(1*1=1,2*2=4到(6,6=36,不行,直到77=49,就可以分离出全部整数的约数了。7,7,41,41=25+16。全部过程都可以心算的,真的可以瞪眼看出来。也不知道为什么看楼主的视频,或许喜欢吗?或许只是想对得起那个曾经的自己吧。来自一个异国他乡的人。

  • @毒貓本人
    @毒貓本人 2 роки тому +13

    在a, b是正整數的情形下
    直接看個位數9
    必是由兩數平方的個位數總合而成
    平方數個位數只可能是0,1,4,9,6,5,6,9,4,1
    能組合成的必然只有0+9及4+5
    0+9的可能可以直接去掉:因為此數的十位數僅會受個位數為9的數字影響,然綜觀2009之下無一數符合十位數為0之條件,故必然不是答案
    看4+5的組合
    此組合中a, b必然不等故必然一大一小
    又個位數為5的平方中所有數十位數必然為2
    故要滿足條件只要找到十位數為8個位數為4的平方數
    只剩兩種種可能22,28
    4+5的組合下
    此外a必然不等於b
    故兩數必有一數大於2009/2約是32
    22,28皆小於32
    故5的組合僅有可能是35
    那只要加加看就知道題目為28及35的組合
    答案為28+35=63

    • @ccy665
      @ccy665 2 роки тому +1

      既然用瞪出來。視頻主的方法太麻煩。我也用你的分析。不要理影片的,囉嗦。

  • @guozhongzhuang9489
    @guozhongzhuang9489 11 місяців тому

    这种题用立表法也能解决。 不失一般性, 另a大于等于b. 由已知条件, 32

  • @will2438
    @will2438 Рік тому

    大神,请问在哪里订阅你的专栏?

  • @leealex3692
    @leealex3692 2 роки тому +4

    首先, 這只是先猜到答案才可以這樣做, 而先猜答案, 也根本不用這樣麻煩了
    a^2+b^2=7x7x41=7x7x(25+16)=(7x5)^2+(7x4)^2, 而且沒說明a,b一定是整數, 這不是數學証明, 是撞中而已

  • @007kxy7
    @007kxy7 2 роки тому +7

    哈哈,数论相关的题目是最有趣的,开放性很大。最后在讨论m和n的值时,其实也可以利用完全平方数的尾数特性来估算。完全平方数的尾数只会是:0,1,4,5,6,9.所以可以使尾数加起来等于1的,只可能是尾数为,5和6的完全平方数。尾数为5的完全平方数且小于41的只有25,于是就可以得解

    • @thomaslee9048
      @thomaslee9048 2 роки тому

      你推文就有列到0,1,所以明顯還有0和1這種可能。無關此題答案,單純要說明不是只有尾數為5和6這種狀況。

    • @flyingmathclub
      @flyingmathclub 2 роки тому

      谢谢分享。 欢迎大家观看,飞扬公式 求解验证二元二次不定方程 。 ua-cam.com/video/HysTgf5vqWc/v-deo.html

  • @许衍-p7b
    @许衍-p7b 10 днів тому

    我也是用求余的方式,进行凑数字,我数感不好,只记得碰到类似的问题(a+b)^2+(a-b)2=2(a^2+b^2), 确实有点汗颜啊

  • @CTT36544
    @CTT36544 2 роки тому +57

    应该把a, b正整数写在标题和封面里。

    • @neowong7224
      @neowong7224 2 роки тому +2

      丢番图方程就是这个意思

    • @CTT36544
      @CTT36544 2 роки тому +5

      @@neowong7224 确实是的。但我感觉显式地写出来更清楚。

    • @紫衣-j3b
      @紫衣-j3b 2 роки тому

      赞同

    • @nonickname142
      @nonickname142 2 роки тому +2

      我拿excel跑了一圈,这个比用眼睛瞪更快

    • @紫衣-j3b
      @紫衣-j3b 2 роки тому

      @@nonickname142 哈哈,写个公式,下拉,搞定

  • @杨家良-p5s
    @杨家良-p5s 21 день тому

    你搞的太复杂了。x和y一个一定是一个偶数一个奇数。偶数平方的尾数4、6。奇数平方的尾数1、5、9。x+y尾数凑成9,只能是4+5,所以奇数的个位数肯定是5,那么就有可能是5、15、25、35。45以后的平方大于2009,所以忽略。那么带入式子,只有35符合条件。那么偶数就是28。所以x+y=63。

  • @冯立强
    @冯立强 7 місяців тому

    几行代码搞定的事情,分析这一通能学到啥呢?

  • @ivanlee9209
    @ivanlee9209 2 роки тому +5

    用高中的知識這二元二次方程就是一個圓,a+b也即是這圓上任意一點在a,b軸上投影之和,所以可以理解為a+b為恆定值,用特殊例子來解就簡單了,當a=b時計算結果為√2009*√2=63.38,但跟up主計算得有出入

    • @noahqiao6624
      @noahqiao6624 2 роки тому +2

      恒定你妹,再想想

    • @ivanlee9209
      @ivanlee9209 2 роки тому

      @@noahqiao6624 那這道題就沒意思了,沒恆定值就是沒標準答案,那至少要有個答案範圍

    • @yggvg9868
      @yggvg9868 2 роки тому +1

      這題求的不是正整數解嗎

    • @ivanlee9209
      @ivanlee9209 2 роки тому

      @@yggvg9868求正整數嗎?看漏了!那我有個想法x^n+y^n=z(xyzn均為正整數)問x+y是否存在唯一一個正整數解?

    • @紫衣-j3b
      @紫衣-j3b 2 роки тому +3

      想什么呢?如果a+b恒定。(a+b)²也恒定 ab就恒定,也就是顶点为(0,0) (a,0)(a,b)(0,b)的长方形面积恒定,你认为呢?

  • @maele6306
    @maele6306 2 роки тому +3

    原题没有限制条件吗(例如“a和b都是正整数”)?如果没有,答案会有无限多。

  • @いざよいみく-p9q
    @いざよいみく-p9q 2 роки тому +2

    看似簡單的題目,我卻感受到我是如此的菜😭😭😭

  • @johnsongong915
    @johnsongong915 2 роки тому +1

    a和b有可能為負數整數解,這答案會有好幾個。

  • @烤豬
    @烤豬 2 роки тому

    問一下 為什麼不能2009加根號就好了

    • @夢幻-u9p
      @夢幻-u9p 2 роки тому

      (a+b)的平方你可以乘開看看

    • @Lai_Ray
      @Lai_Ray 2 роки тому +1

      a平+b平 不等於 (a+b)平喔 會多一個2ab

  • @danielwan8487
    @danielwan8487 2 роки тому

    这种是类似试错来排除其它答案。。谁都懂两个未知数需要两个方程式才能解开。数目大了你的方法肯定不能用。

  • @Mark-cz2qe
    @Mark-cz2qe 2 роки тому

    如果 a b互质又是另一种情况要枚举才能排除但是因为其中一项必然是4的倍数所以很有限的几个

    • @紫衣-j3b
      @紫衣-j3b 2 роки тому

      请教为啥一定是4的倍数?

    • @Mark-cz2qe
      @Mark-cz2qe 2 роки тому

      @@紫衣-j3b a方加b方一定奇偶性不同如果奇偶性不同的话一定会变成4的倍数

    • @紫衣-j3b
      @紫衣-j3b 2 роки тому

      @@Mark-cz2qe 你说的是“其中一项”是指平方?恕我语法不好,没看出来。而且a,b也没必要互质。

    • @Mark-cz2qe
      @Mark-cz2qe 2 роки тому

      @@紫衣-j3b 你可以用代数来验证一下

    • @紫衣-j3b
      @紫衣-j3b 2 роки тому

      @@Mark-cz2qe 你指的是互质?看看答案,根本不是。
      a or b 的平方是4的倍数?毛用?

  • @Mark-cz2qe
    @Mark-cz2qe 2 роки тому +3

    其实这个题a和b都小于44 再筛完全平方已经很简单了

    • @紫衣-j3b
      @紫衣-j3b 2 роки тому

      我的解法和你不约相同。

  • @awwpdcwx
    @awwpdcwx Рік тому

    直角三角形模型

  • @WaXiaoDe
    @WaXiaoDe 2 роки тому

    呃……想解决此类问题还可以去学基础数论……学过基础数论就会发现这个问题还是很常规的……

  • @謝鎮宇-c2m
    @謝鎮宇-c2m Рік тому

    7*4,7*5,63

  • @angli9023
    @angli9023 2 роки тому

    a+b = 28+35

  • @user-bw3xv4yh4n
    @user-bw3xv4yh4n 2 роки тому +12

    題目沒有說明a、b為正整數。都嘛你自己在說而已!

    • @-Hank-
      @-Hank- 2 роки тому

      我一開始看封面是這麼想的,但在解說前,他在釋題時有講a,b是正整數

    • @user-bw3xv4yh4n
      @user-bw3xv4yh4n 2 роки тому +3

      題目上沒寫清楚就不成立啦!
      不然我也可以說a^2是負數不是?

    • @manbeings
      @manbeings 2 роки тому

      我也覺得把a,b 的條件設定嚴謹一點會比較好🤔

    • @vergil-magic
      @vergil-magic 2 роки тому

      標題不是寫了Diophantine equation嗎?

  • @hsztc
    @hsztc 2 роки тому

    用两个for套在一起等答案就行了

  • @珍珠奶茶-b9r
    @珍珠奶茶-b9r 2 роки тому

    45+4i

  • @vincentwarren9941
    @vincentwarren9941 2 роки тому

    看我用伸腿瞪眼法秒杀它

  • @leealex3692
    @leealex3692 8 місяців тому

    答案共有4組

  • @lawyal
    @lawyal 2 роки тому

    63?眼珠子都快瞪掉了。

  • @nihonjin0820
    @nihonjin0820 2 роки тому

    算這個幹嘛

  • @seanming75
    @seanming75 2 роки тому +2

    才四位數直接除以7不慢吧

    • @ja9158
      @ja9158 2 роки тому

      重點是怕不是阿 假如他是13 17 19 23之後的倍數呢

    • @seanming75
      @seanming75 2 роки тому

      @@ja9158 不管是或不是你都得檢驗才知道,檢驗7最快的方法就是直接除

  • @飞张-l6v
    @飞张-l6v 2 роки тому +2

    思维跳跃太快了,我研究生毕业都看不懂

    • @cwg8870
      @cwg8870 2 роки тому

      现在研究生入学考试都考这些题目了,难

    • @哈哈哈-u6q
      @哈哈哈-u6q 2 роки тому

      我看懂一点点,看来我比研究生要好一点点,嘎嘎

    • @紫衣-j3b
      @紫衣-j3b 2 роки тому +5

      你可以竞选桃园市市长。

    • @atosmond6054
      @atosmond6054 2 роки тому

      @@紫衣-j3b 桃園市長會做這個題?

  • @howarang
    @howarang 2 роки тому

    👍👍👍

  • @dylangaradyn6734
    @dylangaradyn6734 2 роки тому

    a b限定整数了?没意思 散了吧

    • @劉永昌-g7g
      @劉永昌-g7g 2 роки тому

      a b不限定整數沒有標準答案

  • @seanisi
    @seanisi 2 роки тому

    只有一個感覺:這個人不是個可以教人的料!其實也不用自卑,百分之八十五的大學教授,都不知道如何表達!所以學生最需要的就是(用功),也就是:自己摸索!想靠這種老師?死定了!!!他會出視頻,就代表他(很想教人),可惜明顯沒有(教)的能力!!!