+++ Ergänzende Erläuterungen +++ 1) Im fertigen Term 1+n*3*5*7 ist n natürlich eine andere Zahl als im anfänglichen 1+n*3. 2) Die Faktoren 3, 5 und 7 konnten stets ohne weitere Komplikationen ergänzt werden, da sie paarweise teilerfremd sind. Wäre das nicht der Fall (z.B. bei 4, 5, und 6) müsste man das kleinste gemeinsame Vielfache, also 60, anstelle des Produkts nehmen.
Das ist immer noch ungenau: Entscheidend ist, dass 3, 5, 7 und 8 paarweise teilerfremd sind. Sonst könnte es nämlich auch gar keine Lösung geben (z.B. für 4, 5, 6 und 8). Ganz allgemein ist das eine Anwendung des "Chinesischen Restsatzes".
@@marcelwid4775 Falsch, denn nachdem bei allen Divisoren außer 8 immer ein Rest von 1 bleibt, bei 8 aber ein Rest von 0, ist 8 zwangsläufig teilerfremd zu allen anderen Zahlen.
Ich würde eher sagen: Man muss hier immer das kleinste gemeinsame Vielfache nehmen - es ist nur eben bei 3, 5 und 7 praktischerweise einfach das Produkt dieser drei Zahlen.
Die Anzahl muss um 1 größer sein als eine Zahl, die durch 3, 5 und 7 teilbar ist. Da 3, 5 und 7 Primzahlen sind, ist die gesuchte Zahl ein Vielfaches von 105 plus 1, also 106, 211, 316 etc. Da die Zahl durch 8 teilbar sein muss, kommen die ungeraden Zahlen, also Vielfache von 210 plus 1, nicht in Betracht. Also haben wir 210n + 106 = 8m, wobei m und n natürliche Zahlen sind. Da 106 = 13 · 8 + 2, muss 210n um 6 größer als eine durch 8 teilbare Zahl. Und dann probiert man durch: 210 · 1 - 6 = 204 (nicht durch 8 teilbar) 210 · 2 - 6 = 414 (nicht durch 8 teilbar) 210 · 3 - 6 = 624 = 78 · 8 Wir erhalten also n = 3 und damit 210 · 3 + 106 = 736 als die Mindestanzahl der Gäste. Es können natürlich auch Vielfache von 840 mehr sein, das wird dann aber eine noch größere Feier.
@@Nikioko Und weil wir mit Kongruenz rechnen können, ersetzen wir die großen Zahlen einfach durch den Rest Modulo 8 und und erkennen ohne großes ausprobieren, dass für 2n+2=8 n=3 gelten muss.
Modulo-Rechnungen sind sowieso eine besonders interresante Sache. Im Schulunterricht hatten wir Division. Da blieb manchmal ein Rest, dumm gelaufen, aber man kann ihn zumindest mal hinschreiben. Aber darüber hinaus ging es nicht weiter. Dass man mit diesem "Rest" auch weiter rechnen kann, ohne das genaue Divisionsergebnis zu kennen, das ist natürlich eine vollkommen neue Idee. Insbesondere nützlich in der Informatik und der Kryptographie.
Gesucht ist eine Zahl kleiner 1.000, die bei Teilbarkeit durch 3,5,7 den Rest 1 und durch 8 den Rest 0 lässt. Weil 3,5 und 7 teilerfremd sind, gilt: 3x5x7k + 1 ≡ 0 mod 8 105k + 1 ≡ 0 mod 8 Oder man ersetzt durch den Rest Modulo 8 und erhält: 1k + 1 ≡ 0 mod 8 k ≡ -1 ≡ 7 mod 8 Für k = 7 ist die Bedingung von weniger als 1.000 Gästen erfüllt, im Gegensatz zu einem Vielfachen von k = 7. Negativ kann der Faktor auch nicht sein, da sonst aus dem leeren Raum Leute hinaus gehen müssten. Also ist 736 die einzig mögliche Lösung.
Das Aufmultiplizieren der Faktoren 3, 5 und 7 geht so aber nur, weil 3, 5 und 7 teilerfremd sind. Das sollte dazu gesagt werden. Würde es sich z.B. anstelle der 5-er Gruppe um eine 6-er Gruppe handeln, ginge das so nicht.
Das ist jetzt neben der RSA Verschlüsselung mal ein verständlicher Anwendungsfall der Modulo Rechnung. Wäre mir im Leben nicht eingefallen. Danke @Mathegym :)
Suchen wir uns mal die kleinste Zahle, die durch 3, 5 und 7 teilbar ist. 3*5*7=105 Deren Nachfolger muss durch 8 teilbar sein. 106 fällt nicht darunter. Na gut, wir müssen die 105 mit einer ungeraden Zahl multiplizieren (wenn wir mit einer geraden Zahl multiplizieren, ist das ergebnis gerade und der Nachfolger ungerade, also nicht durch 8 teilbar). Wir haben also folgende Möglichkeiten 315, 525, 735 und 945. Deren Nachfolger sind 316, 526, 736 und 946. Von denen ist die 736 durch 8 teilbar.
Bin mal wieder frustriert. Nicht weil ich das nicht lösen konnte, sondern weil ich zur Party nicht eingeladen gewesen bin. Ein alternativer Lösungsweg wäre gewesen, dass die Türsecurity die Gäste beim Verlassen der Party zählt.
Wer das in einer Minute schafft, RESPEKT!. Bei der Auflösung dachte ich auch noch erst, dass ich's falsch habe. Aber das Ergebnis war dann wenigstens doch das gleiche 😄^^
Naja, wenn du das Essen für die Party liefern musst, musst du wissen, für wie viele Gäste. Daher kann dir jeder Caterer solche Aufgaben in einer Minute lösen.
Cui Bono? Also wem nützt es die Modulo Rechnung zu verstehen? Zum Beispiel jedem, der die RSA Verschlüsselung nutzt, also wir alle. Und andere nennen solche Dinge, die du als l'art pour l'art nennst, Grundlagenforschung.
@@Mathegym Danke. Habs jetzt auch verstanden. :) Dennoch finde ich die Herangehensweise didaktisch etwas unglücklich. Das fällt einfach so vom Himmel. Eigentlich geht es um das kgV und durch die Teilerfremdheit ist es das Produkt bzw. Vielfache davon.
@@michael516 Bitte nicht persönlich nehmen, aber nicht alles, was du nicht auf Anhieb verstehst, ist didaktisch unglücklich. Ich check auch nicht immer alles sofort aber käme nicht auf die Idee, dafür andere verantwortlich zu machen. Ich würde mir dann eher denken: wenn das so viele liken muss ich den Fehler wohl bei mir suchen...
Das Problem mit Textaufgaben ist, dass sie oftmals Unsinn produzieren... warum sollte aus "A hat 1000 Einladungen verschickt" logisch korrekt folgen, dass auf der Party (zu der eingeladen wurde) höchstens 1000 Personen / Gäste anwesend sind...
Textaufgaben trennen die Spreu vom Weizen. Die eine checken sofort, um was es geht und liefern das Ergebnis. Die anderen können noch so viel auswendig lernen - spätestens bei so einer Aufgabe wissen sie nicht weiter und der Frust darüber lässt sie dann meckern, dass das doch eh alles Unsinn ist ;-)
natürlich würde das im realen leben an den verschiedensten faktoren scheitern, ein paar leute haben sich auf dem klo verquatscht, andere sind beim rauchen draussen, die nächsten würden es nicht schaffen eine fünfergruppe zu bilden, sondern zu viert oder sechst stehen und dann sind da noch 3 schnorrer anwesend, die nicht eingeladen wurden. darum geht es bei der aufgabenstellung aber nicht, sondern darum mit dem richtigen gedankengang auf die richtige rechnung zu kommen.
Provokative Frage: Wenn ich 7er Gruppen antreten lasse, muss doch jemand kontrollieren, das nur einer übrigbleibt. In der Zeit zähle ich einfach die korrekten Gruppen und multipliziere. So bekomme ich das Ergebnis ohne den komplizierten Rechenweg.
nachdem immer genau eine Person übrig bleibt, muss die gesuchte Zahl um eins mehr als ein Vielfaches von 3 bzw. 5 bzw 7 sein. Da 3, 5 und 7 teilerfremd sind, muss die gesuchte Zahl ein Vielfaches von 3*5*7 und dann +1 sein. Also: 3*5*7 = 105, die Vielfachen davon sind 210, 315, usw. (735 + 1) ist auch durch 8 teilbar.
X = 3n + 1 = 5m + 1 = 7o + 1 ==> (X - 1) = 3n = 5m = 7o ==> (X - 1) = 3*5*7*k , for some value of k (and k is a positive integer). But you're right, he shouldn't have reused the same variable n .
Hallo! Warum machst Du s dir so schwer ! Du baust dir eine Lichtschranke am ein/ Ausgang ein und verbindest es mit deim PC und schon weißt Du am Ende deiner Party wie viele Gäste mit Dir gefeiert haben !! Matte kann doch so einfach sein - eh naja ! Deine Zecke von Darmals !!
+++ Ergänzende Erläuterungen +++
1) Im fertigen Term 1+n*3*5*7 ist n natürlich eine andere Zahl als im anfänglichen 1+n*3.
2) Die Faktoren 3, 5 und 7 konnten stets ohne weitere Komplikationen ergänzt werden, da sie paarweise teilerfremd sind. Wäre das nicht der Fall (z.B. bei 4, 5, und 6) müsste man das kleinste gemeinsame Vielfache, also 60, anstelle des Produkts nehmen.
Das ist immer noch ungenau: Entscheidend ist, dass 3, 5, 7 und 8 paarweise teilerfremd sind. Sonst könnte es nämlich auch gar keine Lösung geben (z.B. für 4, 5, 6 und 8). Ganz allgemein ist das eine Anwendung des "Chinesischen Restsatzes".
@@marcelwid4775 Falsch, denn nachdem bei allen Divisoren außer 8 immer ein Rest von 1 bleibt, bei 8 aber ein Rest von 0, ist 8 zwangsläufig teilerfremd zu allen anderen Zahlen.
Ich würde eher sagen: Man muss hier immer das kleinste gemeinsame Vielfache nehmen - es ist nur eben bei 3, 5 und 7 praktischerweise einfach das Produkt dieser drei Zahlen.
@@Uerdue Lehrbuchmäßig! Aber ich glaube jeder versteht das oben schon richtig 🙂
immer geile Aufgaben👍👍👍, Danke für deine tolle Arbeit
Die Anzahl muss um 1 größer sein als eine Zahl, die durch 3, 5 und 7 teilbar ist. Da 3, 5 und 7 Primzahlen sind, ist die gesuchte Zahl ein Vielfaches von 105 plus 1, also 106, 211, 316 etc.
Da die Zahl durch 8 teilbar sein muss, kommen die ungeraden Zahlen, also Vielfache von 210 plus 1, nicht in Betracht.
Also haben wir 210n + 106 = 8m, wobei m und n natürliche Zahlen sind.
Da 106 = 13 · 8 + 2, muss 210n um 6 größer als eine durch 8 teilbare Zahl.
Und dann probiert man durch:
210 · 1 - 6 = 204 (nicht durch 8 teilbar)
210 · 2 - 6 = 414 (nicht durch 8 teilbar)
210 · 3 - 6 = 624 = 78 · 8
Wir erhalten also n = 3 und damit 210 · 3 + 106 = 736 als die Mindestanzahl der Gäste. Es können natürlich auch Vielfache von 840 mehr sein, das wird dann aber eine noch größere Feier.
@@Nikioko Und weil wir mit Kongruenz rechnen können, ersetzen wir die großen Zahlen einfach durch den Rest Modulo 8 und und erkennen ohne großes ausprobieren, dass für
2n+2=8
n=3
gelten muss.
Modulo-Rechnungen sind sowieso eine besonders interresante Sache. Im Schulunterricht hatten wir Division. Da blieb manchmal ein Rest, dumm gelaufen, aber man kann ihn zumindest mal hinschreiben. Aber darüber hinaus ging es nicht weiter. Dass man mit diesem "Rest" auch weiter rechnen kann, ohne das genaue Divisionsergebnis zu kennen, das ist natürlich eine vollkommen neue Idee. Insbesondere nützlich in der Informatik und der Kryptographie.
@@_Udo_Hammermeister naja, wer nach der Division noch an Bruchrechnen teilgenommen hat, hat schon irgendwie mit dem Rest weiter gerechnet. 👀
Gesucht ist eine Zahl kleiner 1.000, die bei Teilbarkeit durch 3,5,7 den Rest 1 und durch 8 den Rest 0 lässt.
Weil 3,5 und 7 teilerfremd sind, gilt:
3x5x7k + 1 ≡ 0 mod 8
105k + 1 ≡ 0 mod 8
Oder man ersetzt durch den Rest Modulo 8 und erhält:
1k + 1 ≡ 0 mod 8
k ≡ -1 ≡ 7 mod 8
Für k = 7 ist die Bedingung von weniger als 1.000 Gästen erfüllt, im Gegensatz zu einem Vielfachen von k = 7.
Negativ kann der Faktor auch nicht sein, da sonst aus dem leeren Raum Leute hinaus gehen müssten.
Also ist 736 die einzig mögliche Lösung.
Das Aufmultiplizieren der Faktoren 3, 5 und 7 geht so aber nur, weil 3, 5 und 7 teilerfremd sind. Das sollte dazu gesagt werden. Würde es sich z.B. anstelle der 5-er Gruppe um eine 6-er Gruppe handeln, ginge das so nicht.
Ich hab mod gekannt, aber das ist die erste sinnvolle Anwendung. Für mich, habe nämlich immer gedacht, für was soll das gut sein. 👍
Das ist jetzt neben der RSA Verschlüsselung mal ein verständlicher Anwendungsfall der Modulo Rechnung. Wäre mir im Leben nicht eingefallen. Danke @Mathegym :)
Wann lernt man diesen Modolo ? Nie gehört
Suchen wir uns mal die kleinste Zahle, die durch 3, 5 und 7 teilbar ist.
3*5*7=105
Deren Nachfolger muss durch 8 teilbar sein. 106 fällt nicht darunter.
Na gut, wir müssen die 105 mit einer ungeraden Zahl multiplizieren (wenn wir mit einer geraden Zahl multiplizieren, ist das ergebnis gerade und der Nachfolger ungerade, also nicht durch 8 teilbar).
Wir haben also folgende Möglichkeiten 315, 525, 735 und 945.
Deren Nachfolger sind 316, 526, 736 und 946.
Von denen ist die 736 durch 8 teilbar.
Endlich ... durch den Kommentar hab ich s nun auch geschnallt - Danke
Bin mal wieder frustriert. Nicht weil ich das nicht lösen konnte, sondern weil ich zur Party nicht eingeladen gewesen bin. Ein alternativer Lösungsweg wäre gewesen, dass die Türsecurity die Gäste beim Verlassen der Party zählt.
Wer das in einer Minute schafft, RESPEKT!. Bei der Auflösung dachte ich auch noch erst, dass ich's falsch habe. Aber das Ergebnis war dann wenigstens doch das gleiche 😄^^
In 105 steckt die 104 (13*8). Somit bleibt 1*n+1=x*8. n=7
7*105+1=736
Größer (n=15) würde die 1000 übersteigen.
Wo ist denn das tolle Video mit der Mwst. geblieben?
Gelöscht, da Didaktik nicht optimal. Über Dreisatz am am einfachsten zu vermitteln, leider zu spät erkannt :-(
@@MathegymSchade, ich fands gut. Aber ich bin eh für 20% Mwst... 😅
Da fragt man sich schon: cui bono? Das ist l´art pour l´art.😆
Schön, jetzt wissen wir, dass Sie gebildet sind. Wollten Sie uns darüber hinaus noch etwas mitteilen?
Naja, wenn du das Essen für die Party liefern musst, musst du wissen, für wie viele Gäste. Daher kann dir jeder Caterer solche Aufgaben in einer Minute lösen.
Cui Bono? Also wem nützt es die Modulo Rechnung zu verstehen? Zum Beispiel jedem, der die RSA Verschlüsselung nutzt, also wir alle. Und andere nennen solche Dinge, die du als l'art pour l'art nennst, Grundlagenforschung.
Warum wird die gleiche Zahl n für dreier, fünfer und siebener Gruppen genommen? Die Anzahl der Gruppen ist doch unterschiedlich je nach Gruppengröße.
Genau das habe ich auch gedacht.
Eine Zahl, die Vielfaches von 3, 5, und 7 ist kann ich schreiben als n*3*5*7. So ist n gemeint.
n ist ja nicht gesucht. n ist einfach eine natürliche Zahl.
@@Mathegym Danke. Habs jetzt auch verstanden. :) Dennoch finde ich die Herangehensweise didaktisch etwas unglücklich. Das fällt einfach so vom Himmel. Eigentlich geht es um das kgV und durch die Teilerfremdheit ist es das Produkt bzw. Vielfache davon.
@@michael516 Bitte nicht persönlich nehmen, aber nicht alles, was du nicht auf Anhieb verstehst, ist didaktisch unglücklich. Ich check auch nicht immer alles sofort aber käme nicht auf die Idee, dafür andere verantwortlich zu machen. Ich würde mir dann eher denken: wenn das so viele liken muss ich den Fehler wohl bei mir suchen...
Das Problem mit Textaufgaben ist, dass sie oftmals Unsinn produzieren...
warum sollte aus "A hat 1000 Einladungen verschickt" logisch korrekt folgen, dass auf der Party (zu der eingeladen wurde) höchstens 1000 Personen / Gäste anwesend sind...
Textaufgaben trennen die Spreu vom Weizen. Die eine checken sofort, um was es geht und liefern das Ergebnis. Die anderen können noch so viel auswendig lernen - spätestens bei so einer Aufgabe wissen sie nicht weiter und der Frust darüber lässt sie dann meckern, dass das doch eh alles Unsinn ist ;-)
natürlich würde das im realen leben an den verschiedensten faktoren scheitern, ein paar leute haben sich auf dem klo verquatscht, andere sind beim rauchen draussen, die nächsten würden es nicht schaffen eine fünfergruppe zu bilden, sondern zu viert oder sechst stehen und dann sind da noch 3 schnorrer anwesend, die nicht eingeladen wurden.
darum geht es bei der aufgabenstellung aber nicht, sondern darum mit dem richtigen gedankengang auf die richtige rechnung zu kommen.
Provokative Frage: Wenn ich 7er Gruppen antreten lasse, muss doch jemand kontrollieren, das nur einer übrigbleibt. In der Zeit zähle ich einfach die korrekten Gruppen und multipliziere. So bekomme ich das Ergebnis ohne den komplizierten Rechenweg.
Als ich 3*5*7 gesehen habe, war mir der Lösungsweg + Lösung klar! Und warum bin ich da nicht sofort drauf gekommen!?!
1000 Gäste : 5er Gruppen = 200. Wo bleibt da Einer übrig?
Es würde 1000 Einladungen verschickt, das heißt jedoch nicht, dass auch 1000 Gäste da waren.
@@timofaber9748 Es sind doch nicht alle erschienen. Es können nur höchstens 1.000 zur Party kommen. Ab 2x736 Gästen wäre die Antwort nicht eindeutig.
n*3+1 ist die unbekannte Menge. aber nicht n*5+1 sondern m*5+1 ist die menge. und o*7+1 auch. ich verstehs leider nicht
nachdem immer genau eine Person übrig bleibt, muss die gesuchte Zahl um eins mehr als ein Vielfaches von 3 bzw. 5 bzw 7 sein. Da 3, 5 und 7 teilerfremd sind, muss die gesuchte Zahl ein Vielfaches von 3*5*7 und dann +1 sein. Also: 3*5*7 = 105, die Vielfachen davon sind 210, 315, usw. (735 + 1) ist auch durch 8 teilbar.
X = 3n + 1 = 5m + 1 = 7o + 1 ==>
(X - 1) = 3n = 5m = 7o ==>
(X - 1) = 3*5*7*k , for some value of k (and k is a positive integer).
But you're right, he shouldn't have reused the same variable n .
Das hätte im Video so erklärt werden sollen
Naja ne Drohne steigen lassen könntest Du auch !! Sorry Mathe ist nicht mein Fall!!müsste aber ein Zählwerk an bauen!!
Why 946 isn't answer ?
946-1=945
945÷3,5,7=315,189,135
946:8=118,25
Hallo! Warum machst Du s dir so schwer ! Du baust dir eine Lichtschranke am ein/ Ausgang ein und verbindest es mit deim PC und schon weißt Du am Ende deiner Party wie viele Gäste mit Dir gefeiert haben !! Matte kann doch so einfach sein - eh naja ! Deine Zecke von Darmals !!
N = 3*5*7*k + 1 = 105k + 1 , for some positive integer k
and
N = 0 (mod 8)
105k + 1 = 0 (mod 8)
... note: 105 = 1 + 13*8 = 1 (mod 8) ...
1*k + 1 = 0 (mod 8)
k = -1 (mod 8)
k = 7 (mod 8)
k ∈ {7 , 15 , 23 , ...}
k = 7 : N = 105*7 + 1 = 736
k ≥ 15 : N ≥ 105*15 + 1 = 1576 > 1000 ==> not a solution.
Solution: N = 736