Пусть a - половина угла из которого проведена биссектриса. Тогда с одной стороны площадь треугольника: 6*8*sin(2a), а с другой: 6*6*sin(a) + 6*8*sin(a) То есть: 6*8*sin(2a) = 6*6*sin(a) + 6*8*sin(a) 2*6*8*sin(a)*cos(a) = 6*6*sin(a) + 6*8*sin(a) ; поделим на 6*sin(a) 16*cos(a) = 6 + 8 отсюда: cos(a) = 14/16 = 7/8 по теореме косинусов x*x = 8*8 + 6*6 - 2*8*6*cos(a) x*x = 100 - 84 x*x = 16 x = sqrt(16) = 4
Соединяем точку пересечения биссектрисы и стороны с точкой на стороне 8, удаленной от верха треугольника на 6. Получаем 2 подобных треугольника и из пропорции x/8 = 2/x находим x^2=16, x=4
слушайте, ну я даже по инструкции еле-еле разглядел там подобные треугольники, моё уважение) Я-то выразил вторую часть нижней стороны как пропорциональную стороне треугольника и дальше решал систему 6**2 - (х**2)*(3/8)**2 = 8**2 - (х**2)*(11/8)**2. Там быстро выходит, что х = 4.
Не знаю как бы я решал её в 9-м классе, но в 42 года я решил её построением второго равнобедренного и нашёл равные углы. А дальше его величество кф подобия.
Можно вспомнить 2 формулы: 1) Соотношение сторон треугольника и отрезков на которые биссектриса делит сторону к которой проведена. 8/6 = x/y где y - часть рядом с икс. Выразить у через х. y=3*x/4 2) Формулу длинны биссектрисы L= sqrt(a*b-x*y). 6 = sqrt(6*8 - 3*x^2 /4) Найти корень и все.
Вторая часть третьего отрезка у. По свойству биссектрисы: 6:8 = y:x, т.е. y = 3/4*х. Проводим высоту h к третьему отрезку, она же будет медианой равнобедренного треугольника. Два раза теорема Пифагора: h²=6²-(y/2)² и h²=8²-(x+y/2)². Приравниваем и заменяем y. Получаем: 36-(3/8*x)²=64-(11/8*x)², откуда 112/64*x²=28 или x²=16. Итого x=4.
{Y/x=6/8 {√(6*8-Yx)=6 6*8-yx=36 X=12/y (выразил х, хотя надо было Y) Y^2/12=6/8 (подставил в 1 уравнение) 2Y^2=18 Y=3 X=8Y/6=4 (Подставил значение Y) И кому нужны эти дорисульки, когда есть свойство биссектрисы
По другому решал. Просто отложил отрезок 6 на стороне 8 и соединил с точкой пересечения биссектрисы с основанием. Доказал, что треугольники подобны и через соотношение решил. Мне кажется проще так.
@@AlexanderRomadin Ок, разобрался. Да все верно. Прямо скажем, не очевидное подобие, которое еще нужно доказать. Просто вы говорите про подобные треугольники и не приводите доказательства подобия, поэтому ход мыслей не понятен.
Можно еще через св-во биссектрисы(пропорциональные отрезки, на которые она делит сторону), а потом провести из верхней точки высоту. Если рассмотреть 2 треугольника, на которые биссектриса разделила весь наш треуг-к, то она будет для них общая, поэтому можно выразить и приравнять по теореме Пифагора, и мы получим тот же самый ответ.
@@Egor0Steve один из вариантов подобия треугольников - по двум сторонам и углу между ними. Одна сторона (биссектриса большого треугольника) - общая, другие одинаковы (по 6), угол между ними одинаковый по свойству биссектрисы, которая делит угол на два равных угла.
Обозначим оставшуюся часть нижней стороны 2y, тогда по свойству биссектрис в треугольнике 6/2y=8/x, или y=3x/8. Проведём высоту h, тогда по т.Пифагора hh=36-yy, а из другого треугольника hh=64-(x+y)(x+y), приравняв правые части и заменив y, 36-9xx/64 =64-121xx/64, отсюда x=4.
для меня это самое простое решение, а там , где делят сторону 8 на 2 и 6, треугольники не подобны, так как у них только по 1 углу равно, остальные нет.
@@СергейМаторин-я5жГде делят сторону 8 на 6и2 тоже верно. Там тупой угол между 6 и X, это 180° минус угол при основании равнобедренного треугольника. Тупой угол между достойным отрезком и 2, это тоже 180° минус угол при основании равнобедренного треугольника (над достроенным отрезком равнобедренный треугольник с равными сторонами по 6). Тупые углы равны, правый общий, треугольники подобны по двум углам. Решение проще, но трудно увидеть подобие.
Самая элементарная задача. Пусть x и y отрезки на которые биссектриса разделила сторону. Тогда мы знаем что x/y = 8/6 и длина биссекрисы в квадрате 6^2 = 6*8 - x*y. Из этих двух уравнений, 3x=4y и x*y = 12, легко найти, что x=4. Решение заняло 2 минуты.
y - основание равнобедренного треугольника с боковыми сторонами 6 x - то, что нужно найти 1) По формуле о длине биссектрисы: 6²=6*8-xy 36=48-xy xy=12 2) По свойству биссектрисы: 8/6=x/y 4/3=x/y 3) Получили два элемента: xy=12 4/3=x/y Объединяем это в систему и получаем ответ: (4; 3) Нам нужно только x, поэтому ответ 4
кайф, получил тот же ответ, но другим способом. Строил высоту из того же угла, где проведена биссектриса, затем по свойству биссектрисы получал отношение между отрезками противолежащей ей стороне, выражал вторую неизвестную сторону через х и далее по теореме Пифагора выражал высоту, которая является общей для двух треугольников: с гипотенузой 6 и с гипотенузой 8. В итоге получал следующее: если у - второй отрезок, на который биссектриса делит противоположну сторону, то у=0,75х и 36-0,25у^2= 64- (0,5y+x)^2, откуда 36-0,140625x^2= 64-1,890625x^2, откуда 1,75x^2=28 и x=4. Единственный минус данного решения - без калькулятора трудновато будет считать, но мб через обычные дроби получится легче)))
Решал почти аналогично, но считать легко: у-половина основания равноб.треуг. со сторонами 6. Система уравн: 6/2у=8/х и 2-е уравн. 6^2-y^2=8^2-(x+y)^2 из 1-го y=6x/16 и подставляя во второе x^2=16
Треугольник АВС На стороне 8 ((ВС) откладываем от вершины (B) 6 (точка D) и соединяем с точкой пересечения биссектрисы и основания (О) Треугольник ОDC подобен треугольнику ОВС, составляем простую пропорцию X/8 = 2/X Откуда получаем x=4
@@Hrayr008 Угол С у них общий,, а углы ВОС и ОDС = 180-минус угол при основании двух равных равнобедренных треугольников АВО и ОВD,, и соответственно так же равны, а стало быть треугольники ОDC и ОВС подобны.
Вы дали решение сложное, можно решить гораздо проще: применить отношение отрезков на которые делит биссектриса сторону, к соответствующим сторонам и теорему Пифагора, просто и понятно, и этому учат в школе а вы закрутили, мама не горюй. Хотя как вариант, для общего развития подходит.
Я заметил, что авторы обычно дают ход решения по труднее и по длиннее, хотя есть более лёгкий путь к получению отв. (сами пользователи указывают такие приёмы ). Я думаю, что авторы видео делают так специально. Даже решение бывает с ошибками, что заметно пользователям.
Я тоже сделала за минуту из подобия треугольников и с помощью такой пропорции. Можно еще и основание равнобедренных треугольников посчитать =2. Очень простенькая задачка. Зачем так усложняться
строим высоту в основном треугольнике h, его основание обозначим через y и решаем систему нелинейных уравнений : h^2=6^2-((y-x)/2)^2, y=6*x/8+x, h^2=8^2-(x+(y-x)/2)^2 Выявляем положительные результаты: x=4 ; y=7; h=3*sqrt(15)/2 Никаких дополнительных построений - только чистая алгебра.
Достраиваем до двух равнобедренных треугольников из вершины. 8 разделим на два отрезка 6 и 2. Найдём, что угол, образованный основанием нового равнобедренного треугольника равен A( А равен углу биссектрисы). Дальше просто подобные треугольники : x/8=2/x => x=4.
Берем угол слева и справа от биссектрисы за α. С одной стороны, площадь треугольника всего равна 1/2*6*8*sin2α. С другой стороны, она равна сумме площадей двух треугольников: 1/2*6*6*sinα+1/2*6*8*sinα. Справа приводим подобные слагаемые, слева расписываем синус двойного угла. Делим все равенство на отличный от нуля sinα. Находим cosα=7/8. Для правого треугольника записываем теорему косинусов: x^2=6^2+8^2-2*6*8*7/8. Вычисляем, извлекаем корень, получаем 4
Треугольник ABC от вершины по часовой стрелке. обзовем точку которая пересекает биссектрису и основание треугольника BC за М. отложим точку из вершины A по направлению к B длиной 6 и назовем D. Угол DMB = MAB подсчетом углов не сложно вывести. Получаем 2 подобных треугольника: AMB и MDB по 2 углам. Из коэ-та подобия получаем что X/8 = 2/X, X^2=16, X = 4.
Представленное решение оч. симпатичное. Мое решение "почти без построений": Проводим высоту h тр-ка из верхней вершины. Обозначаем оставшуюся часть основания через a. Выражаем h^2 из основного тр-ка: h^2=8^2-(a+x)^2 и из тр-ка, образованного высотой, биссектрисой и частью основания (a/2): h^2=6^2-(a/2)^2. Приравниваем правые части и после преобразований используем соотношение a=x*6/8 (-свойство биссектрисы тр-ка). Уравнение легко решается относительно x^2: x^2 = 16 и т. д.
Есть более простой вариант на подобии. Нижние части по свойству биссектрисы это 6х и 8х. Продлеваем биссекрису на 2, получаем снизу подобный левому равнобедренному треугольнику с основанием 6х и боковыми сторонами 6 равнобедренный треугольник с основанием 2 и боковыми сторонами 8х. 6х\6=2\8х. х=1\2, 8х=4.
Автор предложил слишком сложный путь. Тут, как показали коллеги, есть подобие, или самый лобовой путь - пропорция по свойству биссектрисы и провести высоту и два раза Пифагор. время максимум 10 минут.
Возможно предложу не лучшее решение, но если принять верхнюю точку за центр окружности, а радиус будет равен 6, то точки равнобедренного треугольника будут лежать на окружности. Далее продлеваем правую сторону на радиус и пишем уравнение касательных, откуда находим, что нижняя сторона * x равна 28. Далее через свойство биссектрисы выражаем нижнюю сторону и подставляем в теорему касательных, где получим, что x^2 = 16, значит х = 4
Попробую решить с помощью , полюбившейся , ф - лы Стюарта и соотношения боковых сторон к отрезкам основания . Х = 4 . Решается в течение 10 мин. без всяких дополнительных построений .
Решил за 1 минуту, жаль я не в 8 классе, а заканчиваю 11. Решал через свойство биссектрисы: биссектриса треугольника разбивает противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Потом воспользовался формулой длины биссектрисы и получил x=4
Можно использовать свойство биссектрисы треугольника и выразить x через другую переменную. Еще есть формула биссектрисы l^2=ab-xy (l - биссектриса; a, b - стороные треугольника, x,y - отрезки, на которые биссектриса делит сторону, на которую она падает). Решаем систему. В ответе получаем x=4.
Площадь левого треугольника S1=(1/2)*6*6*sin(a). Площадь правого треугольника S2=(1/2)*6*8*sin(a). Их сумма S=(1/2)*6*8*sin(2a). Составляем уравнение, находим cos(a)=(7/8). Потом по теореме косинусов находим икс.
очень сложно.давайте определим треугольник буквами- основание А- слева, В- справа, вершина- С. Точка пересечения биссектрисы с основанием- Д.Отложим на стороне СВ отрезок равный 6 -точка Е. Соединим точки Д и Е. Тр-к ДЕВ подобен тр-ку СВД. Значит ЕВ=2, .х/8=2/х и х квадра равен 16. И х= 4
Использовать свойство биссектрисы о пропорциональности сторонам и формулу для нахождения длины биссектрисы. Получим систему двух уравнений. Находим х элементарно.
По свойству биссектрисы: 6:8 = y:x, т.е. y = 3/4х. Плюс два раза теорема косинусов: 36 + 36 - 72 cosA = y^2 = 9/16 x^2 и 36 + 64 - 96 cos A = x^2. Из этой системы находим x^2 = 16, значит x = 4
Есть ряд более простых решений По свойству бисс-ы сторону на которую она падает разбивает на отрезки пропоры другим сторонам То есть 6/14 и 8/14 х=4а/7 у=3а/7 у=3/4х 1 теорема косинусов cos(a)=(a²+b²-c²)/(2ab) В 1м случае а=b=6 с=3х/4 Во 2м a=6 b=8 с=х Т.к. равен угол то и кос равен, а значит можем прировнять (6²+6²-(3х/4)²)/(2*6*6)=(6²+8²-х²)/(2*6*8) 4(6²+6²-(3х/4)²)=3(6²+8²-х²) 3х²-9х²/4=3*8²+3*6²-8*6² 3х²/4=192-180 х²=16 х=4
Проводим окружность радиусом 6 из вершины треугольника. Получаем 2 секущих, в которые входят его стороны. По теореме об отрезках секущих: ((8-6)+6+6)*2=6a*8a (произведение отрезков, разделенных биссектрисой, с учетом коэффициентов), 14a=28, a=1/2, x=8a=4
Да что ж такое.. ((8-6)+6+6)*(8-6) =14a*8a (произведение отрезков, разделенных биссектрисой, с учетом коэффициентов), 112*(a^2)=28, a=1/2, x=8a=4. Вино не способствует аккуратности
Выглядит, как упражнение на две самые простые и распространенные формулы, связанные с биссектрисой. Обе формулы проходятся в восьмом классе (не поленился, откопал учебник и посмотрел: действительно, находится в последней главе восьмого класса), поэтому, если восьмиклассники ещё могли что-то не решить, то для девятиклассников это должно было стать школьным упражнением.
Из вершины угла проводим высоту,.получим два прямоугольных треугольника.По свойству биссектрисы : она разделила противоположную сторону на отрезки в отношении 6:8 . Из прямоугольных треугольников выражаем квадрат высоты и приравниваем,находим коэффициент пропорциональности.Он равен 1.значит х=4.
С одной стороны площадь всего треугольника равна сумме маленьких: (6*6*sina)/2 + (6*8*sina)/2 С другой стороны он равен по собственным сторонам и углу: (6*8*sin2a)/2 = (6*8*2*sina*cosa)/2 Приравниваем, получаем: 42sina = 48sina*cosa Отсюда cosa=7/8 То есть прилежащий катет =7. Продлим сторону =6 на ещё 1, чтобы получилось =7 и прямоугольный треугольник. А дальнейшие рассуждения те же, что у автора видео
Повернул треугольник со сторонами 6, 8, х вокруг его верхней вершины по часовой стрелке так, чтобы сторона 6 совпала со стороной 6 другого треугольника. При этом исходную "копию" треугольника 6, 8, х стирать не стал. После такого дополнительного построения внизу чертежа образовался новый треугольник, две из сторон которого равны 2 и х. Этот новый треугольник оказался подобным треугольнику 6, 8, х. Отсюда х/8=2/х, т.е. х=4.
Можно было в разы легче по свойству биссектрисы, которое гласит что отношение двух сторон прилежащих к углу из которого выходит биссектриса равно отношению отрезков на которые делится третяя стррона биссектрисой
Как решил я. Я тоже использовал свойсво бис-сы, по которой y/6=x/8. y -основание равнобед треуг. И я просто забабахал две теоремы косинусов. Система из двух теорем косинусов + в системе y=3/4 x. => в системе две неизвесьные и 3 строчки. => x=4. Я думаю, свойство бис-сы и теорему кос уже знают в 8-мом классе. Наверное. Сам в этом году закончил 11-ый и сдавал профиль матешу.
Можно решить так: Один р/б треугольник уже есть! Продлим биссектрису до 8. Получим второй р/б треугольник со сторонами 8 и 8, подобный первому. А снизу окажется третий, им подобный! Со сторонами х и х (и такими же углами при основании!). Составляем пропорцию для самого большого и самого маленького: 8/х=х/2, откуда х=4.
Для меня проблема доказать подобие самого маленького из хотя бы из одним из больших. Где эти равные углы? Пару вертикальных вижу и дальше дело не идёт.
Решал в лоб, ничего недостраивая. Сначала применил свойство сторон треугольника, когда проведена биссектриса (типа отношение сторон к соответствующим частям основания равны, когда основание разделено биссектрисой), а потом теорему косинусов. И это всё. Правда долго пришлось вычислять, но если вы плохо знаете и понимаете геометрию, но сильны в алгебре, то это лёгкий вариант. Минимум геометрии, в основном алгебра.
Все эти построения неочевидны, и ни из чего не исходят. Решить задачу можно ,,в лоб", составив систему из 2 уравнений. 1-е уравнение исходя из свойства биссектрисы, кторая делит противоположную сторону в соотношении 6:8; 2-е уравнение путем определения по теореме Пифагора высоты трехугольника из двух разных внутренних трехугольников, и приравнивания двух разных выражений для определения одной и той же высоты. А продемонстрированное уважаемым автором решение, - это по большей части искусство, а не ремесло. Творчество, а не математика.
Ну, я человек с разумом немного закостенелым, доп построения не люблю, поэтому просто один отрезок 3х, второй 4х, и пишу теорему косинусов для двух треугольников
В 8 классе выводят длину биссектрисы через стороны? Если умеют, то третья сторона 7, ее биссектриса делит 6 к 8, откуда х=4. Спрашиваю потому, что школу окончил очень давно и нас учили искать элементы треугольника по трем его любым известным, кроме трех углов, элементам. Причем формулы не на память, а их выводы. Наш физик нам объяснил, формулу можешь забыть, а выводя понимаешь процесс, что гораздо глубже оседает в памяти
Мне кажется ваш способ с построениями слишком нагромаждённый, можно было решить проще алгебраически через теорему Пифагора и знание того что биссектриса отсекает пропорциональные отрезки, я также дополнительно провёл высоту и через множества решений вышел на ответ x=4, лично мне через уравнения было проще хоть и дольше решить, но ваш способ однозначно развивает воображение, буду учиться!
В любой ситуации нужен либо циркуль либо транспортер для того чтоб провести линии , и одним и другим предметом можна помереть линию "х" зачем тогда мучица с формулами и теоремами???🤔👍🧐
Ух ты ) я его уже решал. Но сейчас геометрически решил. Получил ровно 4. По свойству биссектрисы нашел отношение двух частей основания как 6/8, а затем опустил высоту и составил систему для двух прямоугольных с гипотенузой 6 и 8. Потом нашел из них требуемое.
Решение слишком сложное. Нужно было по стороне длиной 8 отложить отрезок длиной 6 - получатся двп подобных треугольника и пропорция: x/(8-6)=8/x, откуда х=4.
Классное решение, я бы по свойству биссектрисы нашла отношение отрезков на которые делит основание, а дальше по теореме косинусов выразила для каждого треугольника . Но это конечно не для 8 класса решение
Я решил без дополнительных построений с помощью тригонометрии, сначала выразил x по теореме косинусов и по теореме синусов. С помощью тригонометрии привёл синус к косинусу, и решал систему уравнений, где избавился от косинуса, и нашёл х. Очень сложное решение получилось, но зато без дополнительных построений
А я думал что углы на верху показаны одинаковые , а значит и площядь обоих трёхугольников одинакова и я при таких условиях решил задачу . Получил площядь каждого 10,6653 , а Х = 3,74165. А здесь оказывается задача проще.
Как х может раняться 4? Если с верху на равнобедренный треугольник мы провели меридиану, она же биссектриса, которая делит сторону попалам. Из этого у = 4!!!
Пусть a - половина угла из которого проведена биссектриса.
Тогда с одной стороны площадь треугольника: 6*8*sin(2a), а с другой: 6*6*sin(a) + 6*8*sin(a)
То есть:
6*8*sin(2a) = 6*6*sin(a) + 6*8*sin(a)
2*6*8*sin(a)*cos(a) = 6*6*sin(a) + 6*8*sin(a) ; поделим на 6*sin(a)
16*cos(a) = 6 + 8
отсюда: cos(a) = 14/16 = 7/8
по теореме косинусов
x*x = 8*8 + 6*6 - 2*8*6*cos(a)
x*x = 100 - 84
x*x = 16
x = sqrt(16) = 4
Соединяем точку пересечения биссектрисы и стороны с точкой на стороне 8, удаленной от верха треугольника на 6. Получаем 2 подобных треугольника и из пропорции x/8 = 2/x находим x^2=16, x=4
Самый простой способ
слушайте, ну я даже по инструкции еле-еле разглядел там подобные треугольники, моё уважение)
Я-то выразил вторую часть нижней стороны как пропорциональную стороне треугольника и дальше решал систему 6**2 - (х**2)*(3/8)**2 = 8**2 - (х**2)*(11/8)**2. Там быстро выходит, что х = 4.
да, я тоже к этому пришел. Жаль автор замарочился ненашутку)
Сразу стала решать также. Какие там 13 из 1000? 😂 😅😅
Не знаю как бы я решал её в 9-м классе, но в 42 года я решил её построением второго равнобедренного и нашёл равные углы. А дальше его величество кф подобия.
Можно вспомнить 2 формулы:
1) Соотношение сторон треугольника и отрезков на которые биссектриса делит сторону к которой проведена. 8/6 = x/y где y - часть рядом с икс. Выразить у через х. y=3*x/4
2) Формулу длинны биссектрисы L= sqrt(a*b-x*y). 6 = sqrt(6*8 - 3*x^2 /4)
Найти корень и все.
Формулу длины биссектрисы не проходят в обычной школе
Да задача легкая сама по себе,если не быть восьмеклассником
@@ВладимирСергеев-м9ю , значит просто нужно её вывести по ходу решения)))
@@ВладимирСергеев-м9ю проходят
В равнобедренном треугольнике провести высоту и использовать тео
Вторая часть третьего отрезка у. По свойству биссектрисы: 6:8 = y:x, т.е. y = 3/4*х. Проводим высоту h к третьему отрезку, она же будет медианой равнобедренного треугольника. Два раза теорема Пифагора: h²=6²-(y/2)² и h²=8²-(x+y/2)². Приравниваем и заменяем y. Получаем: 36-(3/8*x)²=64-(11/8*x)², откуда 112/64*x²=28 или x²=16. Итого x=4.
{Y/x=6/8
{√(6*8-Yx)=6
6*8-yx=36
X=12/y (выразил х, хотя надо было Y)
Y^2/12=6/8 (подставил в 1 уравнение)
2Y^2=18
Y=3
X=8Y/6=4 (Подставил значение Y)
И кому нужны эти дорисульки, когда есть свойство биссектрисы
😂
По другому решал. Просто отложил отрезок 6 на стороне 8 и соединил с точкой пересечения биссектрисы с основанием. Доказал, что треугольники подобны и через соотношение решил. Мне кажется проще так.
Это самое простое решение
какие именно треугольники подобны? Если сделать так как вы сказали, получится два равных треугольника и один со сторонами х и 2, дальше что?
@@vladbulgakov2104 ниже в комментариях посмотрите подробное описание. Соотношение х/8=2/х => х=4.
@@AlexanderRomadin Ок, разобрался. Да все верно. Прямо скажем, не очевидное подобие, которое еще нужно доказать. Просто вы говорите про подобные треугольники и не приводите доказательства подобия, поэтому ход мыслей не понятен.
@@vladbulgakov2104 Как не очевидное? Первом делом хочется проверить. А уж если нет, тогда думать об иных вариантах.
Можно еще через св-во биссектрисы(пропорциональные отрезки, на которые она делит сторону), а потом провести из верхней точки высоту. Если рассмотреть 2 треугольника, на которые биссектриса разделила весь наш треуг-к, то она будет для них общая, поэтому можно выразить и приравнять по теореме Пифагора, и мы получим тот же самый ответ.
P.s. Подобие доказывается через 2 внешних угла, сперва в одном треугольнике, потом в другом.
Задача элементарная, разбиваем сторону 8 на 6 и 2, получаем два подобных треугольника и из пропорции 2/x = x/8 сразу же находим x=4
Ваше решение оптимальное
Ваше решение самое простое ;)))
Почему эти треугольники подобны?
@@Egor0Steve один из вариантов подобия треугольников - по двум сторонам и углу между ними. Одна сторона (биссектриса большого треугольника) - общая, другие одинаковы (по 6), угол между ними одинаковый по свойству биссектрисы, которая делит угол на два равных угла.
@@Egor0Steve по двум углам: один угол общий, а равенство других легко доказывается
Никак не решал,сразу стал смотреть решение, очень легко получается,когда смотришь
Обозначим оставшуюся часть нижней стороны 2y, тогда по свойству биссектрис в треугольнике 6/2y=8/x, или y=3x/8. Проведём высоту h, тогда по т.Пифагора hh=36-yy, а из другого треугольника hh=64-(x+y)(x+y), приравняв правые части и заменив y, 36-9xx/64 =64-121xx/64, отсюда x=4.
для меня это самое простое решение, а там , где делят сторону 8 на 2 и 6, треугольники не подобны, так как у них только по 1 углу равно, остальные нет.
@@СергейМаторин-я5жГде делят сторону 8 на 6и2 тоже верно. Там тупой угол между 6 и X, это 180° минус угол при основании равнобедренного треугольника. Тупой угол между достойным отрезком и 2, это тоже 180° минус угол при основании равнобедренного треугольника (над достроенным отрезком равнобедренный треугольник с равными сторонами по 6). Тупые углы равны, правый общий, треугольники подобны по двум углам. Решение проще, но трудно увидеть подобие.
Самая элементарная задача. Пусть x и y отрезки на которые биссектриса разделила сторону. Тогда мы знаем что x/y = 8/6 и длина биссекрисы в квадрате 6^2 = 6*8 - x*y. Из этих двух уравнений, 3x=4y и x*y = 12, легко найти, что x=4. Решение заняло 2 минуты.
y - основание равнобедренного треугольника с боковыми сторонами 6
x - то, что нужно найти
1) По формуле о длине биссектрисы:
6²=6*8-xy
36=48-xy
xy=12
2) По свойству биссектрисы:
8/6=x/y
4/3=x/y
3) Получили два элемента:
xy=12
4/3=x/y
Объединяем это в систему и получаем ответ:
(4; 3)
Нам нужно только x, поэтому ответ 4
кайф, получил тот же ответ, но другим способом. Строил высоту из того же угла, где проведена биссектриса, затем по свойству биссектрисы получал отношение между отрезками противолежащей ей стороне, выражал вторую неизвестную сторону через х и далее по теореме Пифагора выражал высоту, которая является общей для двух треугольников: с гипотенузой 6 и с гипотенузой 8. В итоге получал следующее: если у - второй отрезок, на который биссектриса делит противоположну сторону, то у=0,75х и 36-0,25у^2= 64- (0,5y+x)^2, откуда 36-0,140625x^2= 64-1,890625x^2, откуда 1,75x^2=28 и x=4. Единственный минус данного решения - без калькулятора трудновато будет считать, но мб через обычные дроби получится легче)))
Решал почти аналогично, но считать легко: у-половина основания равноб.треуг. со сторонами 6. Система уравн: 6/2у=8/х и 2-е уравн. 6^2-y^2=8^2-(x+y)^2 из 1-го y=6x/16 и подставляя во второе x^2=16
Браво!!!!!! Ребята, какие же вы МОЛОДЦЫ!!!!!!! 👏👏👏👏👏
Треугольник АВС На стороне 8 ((ВС) откладываем от вершины (B) 6 (точка D) и соединяем с точкой пересечения биссектрисы и основания (О) Треугольник ОDC подобен треугольнику ОВС, составляем простую пропорцию X/8 = 2/X Откуда получаем x=4
А почему они подобны обьясни пожалуйста не могу понять
@@Hrayr008 Угол С у них общий,, а углы ВОС и ОDС = 180-минус угол при основании двух равных равнобедренных треугольников АВО и ОВD,, и соответственно так же равны, а стало быть треугольники ОDC и ОВС подобны.
@@ВсёПутём-с8у спасибоо
очень хорошо объяснили! 👍
Вы дали решение сложное, можно решить гораздо проще: применить отношение отрезков на которые делит биссектриса сторону, к соответствующим сторонам и теорему Пифагора, просто и понятно, и этому учат в школе а вы закрутили, мама не горюй. Хотя как вариант, для общего развития подходит.
Я заметил, что авторы обычно дают ход решения по труднее и по длиннее, хотя есть более лёгкий путь к получению отв. (сами пользователи указывают такие приёмы ). Я думаю, что авторы видео делают так специально. Даже решение бывает с ошибками, что заметно пользователям.
Я тоже сделала за минуту из подобия треугольников и с помощью такой пропорции. Можно еще и основание равнобедренных треугольников посчитать =2. Очень простенькая задачка. Зачем так усложняться
строим высоту в основном треугольнике h, его основание обозначим через y и решаем систему нелинейных уравнений :
h^2=6^2-((y-x)/2)^2,
y=6*x/8+x,
h^2=8^2-(x+(y-x)/2)^2
Выявляем положительные результаты: x=4 ; y=7; h=3*sqrt(15)/2
Никаких дополнительных построений - только чистая алгебра.
Достраиваем до двух равнобедренных треугольников из вершины. 8 разделим на два отрезка 6 и 2. Найдём, что угол, образованный основанием нового равнобедренного треугольника равен A( А равен углу биссектрисы). Дальше просто подобные треугольники : x/8=2/x => x=4.
Берем угол слева и справа от биссектрисы за α. С одной стороны, площадь треугольника всего равна 1/2*6*8*sin2α. С другой стороны, она равна сумме площадей двух треугольников: 1/2*6*6*sinα+1/2*6*8*sinα. Справа приводим подобные слагаемые, слева расписываем синус двойного угла. Делим все равенство на отличный от нуля sinα. Находим cosα=7/8. Для правого треугольника записываем теорему косинусов: x^2=6^2+8^2-2*6*8*7/8. Вычисляем, извлекаем корень, получаем 4
Гроб никого не щадит!
- Мастер ФИДЕ, Максим Омариев.
Треугольник ABC от вершины по часовой стрелке.
обзовем точку которая пересекает биссектрису и основание треугольника BC за М.
отложим точку из вершины A по направлению к B длиной 6 и назовем D.
Угол DMB = MAB подсчетом углов не сложно вывести.
Получаем 2 подобных треугольника: AMB и MDB по 2 углам.
Из коэ-та подобия получаем что X/8 = 2/X, X^2=16, X = 4.
Почему такое название? Это задание не все выпускники вузов могут решить, а инженеры со стажем более 10 лет на 90% не решат.
Да! Похоже однако что многие эти задачи решаются помня про подобие треугольников по углам либо сторонам.
Представленное решение оч. симпатичное. Мое решение "почти без построений": Проводим высоту h тр-ка из верхней вершины. Обозначаем оставшуюся часть основания через a. Выражаем h^2 из основного тр-ка: h^2=8^2-(a+x)^2 и из тр-ка, образованного высотой, биссектрисой и частью основания (a/2): h^2=6^2-(a/2)^2. Приравниваем правые части и после преобразований используем соотношение a=x*6/8 (-свойство биссектрисы тр-ка). Уравнение легко решается относительно x^2: x^2 = 16 и т. д.
Так, ну я решил. Где можно получить мои две пятерки?)
*Ответ: x = 4.* РЕШЕНИЕ (двумя способами).
*1-й способ решения (через т. косинусов).*
y² = 36 + 36 - 2*36*cosα; x² = 36 + 64 - 2*48*cosα ⇒ cosα = (100 - x²)/96 ⇒ y² = 72 - 72*(100 - x²)/96 = 72 - 3(100 - x²)/4. *y² = 72 - 3(100 - x²)/4.*
y/6 = x/8 ⇒ *y = 3x/4.* ⇒ y² = 9x²/16.
9x²/16 = 72 - 3(100 - x²)/4, 9x² = 72*16 - 12(100 - x²), 12x² - 9x² = 12*100 - 72*16, 3x² = 12*100 - 72*16, x² = 400 - 24*16 = 400 - 384 = 16. x = 4.
Этот способ решения универсальный и позволяет находить длину биссектрисы, если известны стороны треугольника.
*2-й способ решения (через т. Пифагора).*
64 - (y/2 + x)² = 36 - (y/2)², 64 - (y/2)² - x² - xy = 36 - (y/2)². *x² + xy = 28.*
*y = 3x/4.* ⇒ x² + x(3x)/4 = 28, 7x² = 28*4, x² = 4*4 = 16. x = 4.
Есть более простой вариант на подобии. Нижние части по свойству биссектрисы это 6х и 8х. Продлеваем биссекрису на 2, получаем снизу подобный левому равнобедренному треугольнику с основанием 6х и боковыми сторонами 6 равнобедренный треугольник с основанием 2 и боковыми сторонами 8х. 6х\6=2\8х. х=1\2, 8х=4.
Автор предложил слишком сложный путь. Тут, как показали коллеги, есть подобие, или самый лобовой путь - пропорция по свойству биссектрисы и провести высоту и два раза Пифагор. время максимум 10 минут.
И я так же решила
Возможно предложу не лучшее решение, но если принять верхнюю точку за центр окружности, а радиус будет равен 6, то точки равнобедренного треугольника будут лежать на окружности. Далее продлеваем правую сторону на радиус и пишем уравнение касательных, откуда находим, что нижняя сторона * x равна 28. Далее через свойство биссектрисы выражаем нижнюю сторону и подставляем в теорему касательных, где получим, что x^2 = 16, значит х = 4
Попробую решить с помощью , полюбившейся , ф - лы Стюарта и соотношения боковых сторон к отрезкам основания . Х = 4 . Решается в течение 10 мин. без всяких дополнительных построений .
Но быстрее решил бы по ужé готовой формуле для задач такого типа, неиспользуя формулу М. СТЮАРТА.
Решил за 1 минуту, жаль я не в 8 классе, а заканчиваю 11. Решал через свойство биссектрисы: биссектриса треугольника разбивает противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Потом воспользовался формулой длины биссектрисы и получил x=4
Можно использовать свойство биссектрисы треугольника и выразить x через другую переменную. Еще есть формула биссектрисы l^2=ab-xy (l - биссектриса; a, b - стороные треугольника, x,y - отрезки, на которые биссектриса делит сторону, на которую она падает). Решаем систему. В ответе получаем x=4.
Это 8 класс, выражение для биссектрисы они вряд ли знают)
@@МихаилКрасильников-й5й Это я понимаю, но другого способа мне в голову не пришло 🙃
Можно было записать формулу биссектрисы через косинус угла, найти косинус угла, а потом применить теорему косинусов и найти x.
Площадь левого треугольника S1=(1/2)*6*6*sin(a). Площадь правого треугольника S2=(1/2)*6*8*sin(a). Их сумма S=(1/2)*6*8*sin(2a). Составляем уравнение, находим cos(a)=(7/8). Потом по теореме косинусов находим икс.
Можно сразу 5 за четверть ставить, кто решил сам задачу.
Значит, я получу '5'?
очень сложно.давайте определим треугольник буквами- основание А- слева, В- справа, вершина- С. Точка пересечения биссектрисы с основанием- Д.Отложим на стороне СВ отрезок равный 6 -точка Е. Соединим точки Д и Е. Тр-к ДЕВ подобен тр-ку СВД. Значит ЕВ=2, .х/8=2/х и х квадра равен 16. И х= 4
Использовать свойство биссектрисы о пропорциональности сторонам и формулу для нахождения длины биссектрисы. Получим систему двух уравнений. Находим х элементарно.
Когда меня сын спросил что такое душнота, я показал ему каменты с этого канала
Через свойство биссектрисы и теорема косинусов
По свойству биссектрисы: 6:8 = y:x, т.е. y = 3/4х. Плюс два раза теорема косинусов: 36 + 36 - 72 cosA = y^2 = 9/16 x^2 и 36 + 64 - 96 cos A = x^2. Из этой системы находим x^2 = 16, значит x = 4
Решила так же.
А что в 8 классе нет тригонометрии? Она же решается на раз через высоту равнобедренного треугольника. К чему эти сложные построения, для красоты?
Сторону 8 можно было представить как 6+2 и соединить с ней
В лоб решается через теорему о биссектрисе и 2 теоремы косинусов
Точно не для моего ума, но хороша, спасибо👍
Есть готовая формула для такого типа задач (см. @artorias 9986).
Есть ряд более простых решений
По свойству бисс-ы сторону на которую она падает разбивает на отрезки пропоры другим сторонам
То есть 6/14 и 8/14
х=4а/7 у=3а/7 у=3/4х
1 теорема косинусов
cos(a)=(a²+b²-c²)/(2ab)
В 1м случае а=b=6 с=3х/4
Во 2м a=6 b=8 с=х
Т.к. равен угол то и кос равен, а значит можем прировнять
(6²+6²-(3х/4)²)/(2*6*6)=(6²+8²-х²)/(2*6*8)
4(6²+6²-(3х/4)²)=3(6²+8²-х²)
3х²-9х²/4=3*8²+3*6²-8*6²
3х²/4=192-180
х²=16
х=4
Дебильнее решения я не видел, из области: как он ещё не получил Нобелевскую премию
Проводим окружность радиусом 6 из вершины треугольника. Получаем 2 секущих, в которые входят его стороны. По теореме об отрезках секущих: ((8-6)+6+6)*2=6a*8a (произведение отрезков, разделенных биссектрисой, с учетом коэффициентов), 14a=28, a=1/2, x=8a=4
Поправка 48a=24. Далее правильно))
Да что ж такое.. ((8-6)+6+6)*(8-6) =14a*8a (произведение отрезков, разделенных биссектрисой, с учетом коэффициентов), 112*(a^2)=28, a=1/2, x=8a=4. Вино не способствует аккуратности
Строем систему из площадей треугольников через sin. Расскладываем sin2£ на cos и sin и находим cos. Подставляем в формулу стороны через cos.
Шикарная задачка,класс😮
Выглядит, как упражнение на две самые простые и распространенные формулы, связанные с биссектрисой. Обе формулы проходятся в восьмом классе (не поленился, откопал учебник и посмотрел: действительно, находится в последней главе восьмого класса), поэтому, если восьмиклассники ещё могли что-то не решить, то для девятиклассников это должно было стать школьным упражнением.
Из вершины угла проводим высоту,.получим два прямоугольных треугольника.По свойству биссектрисы : она разделила противоположную сторону на отрезки в отношении 6:8 . Из прямоугольных треугольников выражаем квадрат высоты и приравниваем,находим коэффициент пропорциональности.Он равен 1.значит х=4.
С одной стороны площадь всего треугольника равна сумме маленьких:
(6*6*sina)/2 + (6*8*sina)/2
С другой стороны он равен по собственным сторонам и углу:
(6*8*sin2a)/2 = (6*8*2*sina*cosa)/2
Приравниваем, получаем:
42sina = 48sina*cosa
Отсюда cosa=7/8
То есть прилежащий катет =7.
Продлим сторону =6 на ещё 1, чтобы получилось =7 и прямоугольный треугольник.
А дальнейшие рассуждения те же, что у автора видео
вместо дополнительных построений можно использовать теорему косинусов, учитывая, что значение косинуса угла мы вычислили
Повернул треугольник со сторонами 6, 8, х вокруг его верхней вершины по часовой стрелке так, чтобы сторона 6 совпала со стороной 6 другого треугольника. При этом исходную "копию" треугольника 6, 8, х стирать не стал. После такого дополнительного построения внизу чертежа образовался новый треугольник, две из сторон которого равны 2 и х. Этот новый треугольник оказался подобным треугольнику 6, 8, х. Отсюда х/8=2/х, т.е. х=4.
Можно было в разы легче по свойству биссектрисы, которое гласит что отношение двух сторон прилежащих к углу из которого выходит биссектриса равно отношению отрезков на которые делится третяя стррона биссектрисой
По формуле для биссектрисы треугольника решается в пять строк. l²=ab-a'b'
Как решил я. Я тоже использовал свойсво бис-сы, по которой y/6=x/8. y -основание равнобед треуг. И я просто забабахал две теоремы косинусов. Система из двух теорем косинусов + в системе y=3/4 x. => в системе две неизвесьные и 3 строчки. => x=4. Я думаю, свойство бис-сы и теорему кос уже знают в 8-мом классе. Наверное. Сам в этом году закончил 11-ый и сдавал профиль матешу.
Можно решить так:
Один р/б треугольник уже есть!
Продлим биссектрису до 8. Получим второй р/б треугольник со сторонами 8 и 8, подобный первому. А снизу окажется третий, им подобный! Со сторонами х и х (и такими же углами при основании!).
Составляем пропорцию для самого большого и самого маленького: 8/х=х/2, откуда х=4.
Для меня проблема доказать подобие самого маленького из хотя бы из одним из больших.
Где эти равные углы? Пару вертикальных вижу и дальше дело не идёт.
Задача для 9 класса, по свойству биссектрисы углов и теоремы косинусов хорошо решается, а так мудрено слишком
Зачем так усложнять решение дополнительными построениями?
Не понял, в чем сложность. Пусть а- половина основания треугольника.
Тогда: (2a+x)x = 28 = (3+4)4, откуда х=4.
А теорему косинусов нельзя применять ? А то уж очень красиво решается: отрезки 3 и 4 составляют основание нашего треугольника.
Т. Косинусов не проходят в 8 классе
Если бы теорему косинусов проходили в 8 классе то тут решать нечего
Зачем так сильно усложнят решение?
Решал в лоб, ничего недостраивая.
Сначала применил свойство сторон треугольника, когда проведена биссектриса (типа отношение сторон к соответствующим частям основания равны, когда основание разделено биссектрисой), а потом теорему косинусов.
И это всё. Правда долго пришлось вычислять, но если вы плохо знаете и понимаете геометрию, но сильны в алгебре, то это лёгкий вариант. Минимум геометрии, в основном алгебра.
А почему при разности 8 и 7 вышло 15 4:50
Все эти построения неочевидны, и ни из чего не исходят.
Решить задачу можно ,,в лоб", составив систему из 2 уравнений.
1-е уравнение исходя из свойства биссектрисы, кторая делит противоположную сторону в соотношении 6:8;
2-е уравнение путем определения по теореме Пифагора высоты трехугольника из двух разных внутренних трехугольников, и приравнивания двух разных выражений для определения одной и той же высоты.
А продемонстрированное уважаемым автором решение, - это по большей части искусство, а не ремесло. Творчество, а не математика.
Сразу видно что бисектриса делит основания на 3 и 4. Я устна решил. 56 лет мастер по ремонту обуви😂
Ну, я человек с разумом немного закостенелым, доп построения не люблю, поэтому просто один отрезок 3х, второй 4х, и пишу теорему косинусов для двух треугольников
Круто, мне 35 лет😂
В 8 классе выводят длину биссектрисы через стороны? Если умеют, то третья сторона 7, ее биссектриса делит 6 к 8, откуда х=4.
Спрашиваю потому, что школу окончил очень давно и нас учили искать элементы треугольника по трем его любым известным, кроме трех углов, элементам. Причем формулы не на память, а их выводы. Наш физик нам объяснил, формулу можешь забыть, а выводя понимаешь процесс, что гораздо глубже оседает в памяти
Техен на превью сделал мой день
уменьшительные суффиксочки очень слюнявят изложеньице
Проще применить свойство биссектрисы и теоремы Пифагора. И никаких построений.
Мне кажется ваш способ с построениями слишком нагромаждённый, можно было решить проще алгебраически через теорему Пифагора и знание того что биссектриса отсекает пропорциональные отрезки, я также дополнительно провёл высоту и через множества решений вышел на ответ x=4, лично мне через уравнения было проще хоть и дольше решить, но ваш способ однозначно развивает воображение, буду учиться!
В любой ситуации нужен либо циркуль либо транспортер для того чтоб провести линии , и одним и другим предметом можна помереть линию "х" зачем тогда мучица с формулами и теоремами???🤔👍🧐
Пробовал решить, разбив первый треугольник на два прямоугольных, через прямоугольный с гипотенузой 6 и 8. Углы получились - альфа и 3 альфа. 6 косинусов альфа равны 8 косинусам 3 альфа, Отсюда угол - 14.7725 градусов. Икс равен 8 синусов 3 альфа минус 6 синусов альфа. )) около 4
Ух ты ) я его уже решал. Но сейчас геометрически решил. Получил ровно 4. По свойству биссектрисы нашел отношение двух частей основания как 6/8, а затем опустил высоту и составил систему для двух прямоугольных с гипотенузой 6 и 8. Потом нашел из них требуемое.
А где 5-бальная система? С какого Вы города?
Соотношение отрезков, рожденных биссектрисой, плюс теорема косинусов.
Решение слишком сложное. Нужно было по стороне длиной 8 отложить отрезок длиной 6 - получатся двп подобных треугольника и пропорция: x/(8-6)=8/x, откуда х=4.
Решил тупо системой из трёх уравнений, но зато без доппостроений
Ещё гораздо легче по готовой формуле в задачах данного типа.
Классное решение, я бы по свойству биссектрисы нашла отношение отрезков на которые делит основание, а дальше по теореме косинусов выразила для каждого треугольника . Но это конечно не для 8 класса решение
канал заГРОБной математики.
По свойству биссектрисы 8/6=x/y. Получаем, что х=4, а оставшаяся часть этой стороны равна 3
Зачем так выпендриваться так сложно
Посмотрели как вы можете сложно, поздравляю
Но людям нужно проще
Теорема Стюарта в явную
В конце почему корень из 15 если 8/2 будет 4(тк там два отрезка равны)?
Свойства биссектрисы засекретили что ли?
Это нарочно так делается.
Я решил без дополнительных построений с помощью тригонометрии, сначала выразил x по теореме косинусов и по теореме синусов. С помощью тригонометрии привёл синус к косинусу, и решал систему уравнений, где избавился от косинуса, и нашёл х. Очень сложное решение получилось, но зато без дополнительных построений
А ещё легче решается по готовой формуле для задач данного типа.
Да у вас одни двоечники , если ваши ученики не знают свойство биссектрисы и формулы нахождения ее .
Дополнительное построение зло
Теорема пифагора:/, где мы находит катет х
А я думал что углы на верху показаны одинаковые , а значит и площядь обоих трёхугольников одинакова и я при таких условиях решил задачу . Получил площядь каждого 10,6653 , а Х = 3,74165. А здесь оказывается задача проще.
я не понимаю как научиться видеть и делать такие дополнительные построения, я и во 2 части огэ не могу додуматься какое построение
Видно, что нарочно так делается.
Моя учительница любила такие задачи. Мы много таких решали. Как орешки щелкали в школе
Через принцип подобия по моему проще...
Как х может раняться 4? Если с верху на равнобедренный треугольник мы провели меридиану, она же биссектриса, которая делит сторону попалам. Из этого у = 4!!!
А без построения как то можно решить ее внутри самого треугольника?
Есть формула готовая.
Я чего-то не понимаю, к чему эта добавка "гроб"??? А так как всегда круто!👍
Гроб не очень удачное слово, это мягко говоря. Хороший преподаватель математики важно, но нужны какието помощники со здравым смыслом