hey, merci pour le live j'ai quelques petites idées sur les exos : pour l'intégrale de n² à n^3 de 1/(1+t²) dt, on pouvait raisonner avec arctanx + arctan1/x, ou avec arctanx - arctany. Perso j'ai fait la première méthode avec arctanx et arctan1/x parce qu'elle est plus jolie, je trouve, elle fait pas intervenir de formules galères mais je pensais que vous feriez arctanx - arctany parce que vous semblez adorer cette relation, vous la mettez dans trois quarts des exos de trigo ;) pour l'exo avec l'équation fonctionnelle f(x) - f(y) = intgrl [2x+y, 2y+x] f(t)dt, j'ai aussi trouvé la fonction nulle mais en faisant une toute autre méthode. En fait vu que le 1) c'est à propos de la dérivibalité de f et que la relation de base qu'on a sur f c'est f(x) - f(y) = intgrl ..., j'ai tout de suite pensé à faire tendre y vers x. On trouve comme ça les "candidats possibles", mais vu qu'en fait on peut dégager toutes les fonctions sauf la fonction nulle et que la fonction nulle marche, on trouve "facilement" (pas du tout facilement, c'était une purge il est 2h40 j'ai cours demain et je bosse là-dessus depuis 23h parce que j'ai fait beaucoup d'erreurs de raisonnement donc j'ai dû reprendre plusieurs fois à 0, même maintenant je suis pas du tout certain que le raisonnement soit valide mais j'ai trouvé ça fun quand même) la seule solution : x |-> 0. Je suis qu'en L1 du coup mes arguments sont pas du tout travaillés et il y a un abominable "je sais pas si c'est vrai mais ça se voit" planqué quelque part, saurez-vous le trouver mdr ? je propose pas une correction mais plutôt une piste de réflexion : d'abord comme l'équation fonctionnelle est valable pour tous x et y, elle est valable même si on fait rend y proche de x y = x+h, si y -> x, alors h -> 0, du coup on peut étudier f comme une fonction à une seule variable (donc beaucoup plus simple d'exploiter les formules de dérivation), et h serait une constante du point de vue de f mais on va faire varier h pour avoir d'abord des égalités classiques puis des dérivées on part de la relation fonctionnelle initiale et on divise par x-y donc en fait par -h l = lim [h -> 0] (f(x) - f(x+h))/(-h) = f'(x) si f est dérivable l = lim [h -> 0] intgrl [3x+h, 3x+2h] f(t)dt / -h et ça c'est définie car on fait l'intégrale d'une fonction définie sur un segment de longueur h, et on divise par h, donc c'est une aire majorable par le rectangle qui l'encadre : l'intégrale est majorable en valeur absolue par max(|f(t)|) sur l'intervalle, donc f'(x) est définie partout où f est définie, donc f est dérivable. f continue : si f C_0 => f dérivable, alors f est C_1 (car on peut dire que si f est dérivable, en réutilisant l'équation de départ, f' est dérivable, et si f' est dérivable, f' est continue et f est C_1, je sais pas si mon argument est valable mais ça se voit mdr). Bon en vrai c'est pas super important parce que vous avez trouvé une autre façon de prouver que f était dérivable, par contre je vais utiliser 1000x le fait que f est C_1 donc si j'ai pas réussi à le prouver, mon raisonnement tient moyen la route Bref on transforme l'intégrale en différence de valeurs de F grace au TFA : f(x) - f(x+h) = F(3x+2h) - F(3x+h) on divise par -h puis on fait tendre h vers 0 pour avoir des nombres dérivés : f'(x) = -f(3x) (égalité notée *) en raisonnant terme à terme, on montre que f(x) = a*exp(-3x) + k, a étant une constante, et f'(x) = -3f(x) + 2a on en déduit f'(x) = a*exp(-3x) (pas de constante, elle ne concerne que f) reprenons depuis le départ, en posant cette fois y = -x f(x) - f(-x) = intgrl [x, -x] f(t) dt, une intégrale définie pour n'importe quel réel x, donc on déplace le segment de [x, -x] à [2x, 0] grace à un changement de variable : f(2x) - f(0) = intgrl [2x, 0] f(t)dt = F(0) - F(2x) d'après le TFA on suppose que f ou F est un polynome de degré inconnu pour un certain intervalle autour de 0 (même si l'intervalle est pas |R c'est pas grave) f(0) et F(0) sont des constantes, donc on peut écrire qu'il y a égalité des polynômes à constante près en dérivant : 2f'(2x) = -2f(2x), donc f'(x) = a'*exp(-x), sauf que grâce à *, on sait que f'(x) = a*exp(-3x), la seule façon pour que f' satisfasse les deux conditions en même temps serait que a'*exp(-x) = a*exp(-3x), en multipliant par exp(x) on voit que a' = a*exp(-2x) avec a' est une constante, et donc a = a' = 0. donc f' est la fonction nulle et f est une fonction constante. A partir de là, "c'en est presque trivial" comme dirait un élève un peu trop sûr de lui en khôlle Si f est constante, on pose f(x) = f(0) = C, f(x) - f(y) = 0, donc l'intégrale de f(t)dt vaut 0 mais vaut aussi C*(y-x) donc C vaut 0 donc la fonction est nulle et bam et j'aime pas l'algèbre donc je suis content d'avoir résolu l'exo uniquement avec de l'analyse même si je suis pas du tout sûr que tout est bon mais bon allez svp dites moi que c'est bon j'ai passé 3 heures sur cet exo foireux j'en peux plus, en plus demain j'ai TD d'algèbre à 9h tuez-moi svp sinon j'ai pas vu la vidéo en entier (je la finirai demain) donc je vais peut-être compléter le comm demain si j'ai d'autres remarques à faire, mais c'est quand même un super live merci de faire toujours des trucs pour nous, pour continuer à nous apprendre des trucs, on sent que t'as la fibre du prof ca fait plaisir (même si 15 minutes pour faire une DES de seulement deux polynomes ca fout un peu la honte mdrrr)
Merci pour ce long commentaire ! Tu t'es motivé ça fait très plaisir courage pour le TD de ce matin ;). Pour le fait que la fonction est C1, en fait ce qui est intéressant c'est que tu peux faire un raisonnement 'en boucle' et une fois que tu as montré qu'elle est C1, montrer qu'elle est C2, etc. Et finir sur le fait qu'elle est C-infini. Sur ta démo de C1 : j'aime bien l'idée de mettre y=x+h. Par contre au niveau de l'intégrale divisée par h, il me semble qu'il aurait pu être bon de séparer avec Chasles l'intégrale du dessus pour avoir quelque chose de bien 'propre', en suivant la voie que tu proposes. Typiquement ici : f(x) - f(x+h) = F(3x+2h) - F(3x+h) le terme de droite il faut le retravailler un petit peu en faisant apparaître -F(3x)+F(3x) et là en retravaillant un peu les fractions avec le h on aura quelque chose de complet ! Ensuite je ferais attention quand tu passes de [-x;x ] à [0; 2x] car ce sont deux mécanismes différents de faire cette transformation dans les termes de droite et de gauche (intégrale). Bonne piste mais peut-être à rechercher par écrit un petit peu ;) Donc en bilan j'aime bien tout ce que tu proposes, surtout quand tu dis que t'as pondu ça à minuit :D ! Il faut juste mettre un petit coup de rédaction rigoureuse hehe. Merci pour la gratitude ça fait plaisir ! À titre perso j'ai trouvé que ce live de retrouvailles était pas assez au niveau car j'étais éclaté + pas assez préparé d'exos que les gens attendaient (vous voulez des exos de concours, j'avais préparé des trucs trop simples en début de session). Mais bon je sais que je suis faillible donc c'est une motivation pour en faire un mieux et plus préparé la prochaine fois :D (typiquement sur la DES t'as raison la honte totale mdr... je me suis bloqué sur cette idée de faire un truc astucieux avec une limite et puis ça a été un fail qui a traîné en longueur 😅) À très vite en tout cas j'espère te retrouver sur les prochains lives des semaines qui arrivent ! :)
@@TheMathsTailor merci de votre réponse. le TD s'est bien passé malgré la fatigue, et puis le plus dur reste quand meme la physique qu'on a eu juste après ;) effectivement j'étais motivé, j'ai très vite senti qu'il y avait quelque chose à faire et que j'étais capable d'y arriver (même si avec votre méthode j'ai rien compris parce qu'on a pas fait d'algèbre avec des fonctions, donc je serais incapable de justifier le fait que K valait nécessairement 0 sans faire un DL). du coup je savais que si j'abandonnais et regardais la solution j'aurais été déçu, au final j'y ai passé 3h30 (+ le temps passé aujourd'hui pour corriger mes erreurs )mais ca valait le coup. Effectivement avec le raisonnement pour prouver que f est C1, j'avais vu qu'on pouvait réutiliser la même méthode dans une récurrence pour prouver que f est Cinfini, mais vu que j'étais pas 100% sûr de ma justification j'allais pas risquer de dire ça. Si j'avais faux, ma bourde aurait été digne des pires dingueries balancées devant des correcteurs de kholle parce qu'on a pas appris ses règles d'inversion série-intégrale (CF le fameux "f est continue donc ça marche, non ?") effectivement je viens de relire ma démo que f est C1, quand je divise F(3x+2h) par F(3x+h) par h, je dis tout de suite que ca faut f(3x). En fait ça se voit parce que h tend vers 0 donc le quotient qu'on manipule est le nombre dérivé de F(...) avec le ... qui tend vers 3x. Ce raisonnement couplé au fait que F est C0 (car f est définie partout meme si on est pas sûrs que f est C0) prouve que le nombre dérivé qu'on calcule est le nombre dérivé de F(3x) (par continuité de F on fait passer la limite dans F() pour faire disparaître les +2h et +h. Le problème est qu'on dissocie les limites quand h tend vers 0 comme si on avait h et h', dont l'un tendait plus vite vers 0 que l'autre (ça marche mais c'est tout sauf rigoureux). On suppose que 3x+2h tend très vite vers 3x+h et 3x+h tend vers 3x pour ensuite faire le nombre dérivé. Si j'avais sorti ce raisonnement à un prof de physique, j'aurais utilisé des dF, des df et des dx pour justifier ce que je raconte en une ligne et il aurait rien trouvé à redire. Si j'avais tenté ce genre de bidouillage devant un prof de maths, ça serait parti en -4 points avec option "vous êtes SÛR de vous ?" mdrr Par contre si on a l'idée c'est pas très compliqué ni très long, en ajoutant puis soustrayant F(3x), on se retrouve avec F(3x+2h)-F(3x) - (F(3x+h)-F(3x)), en divisant par h on a bien 2 fois le taux d'accroissement de F en 3x moins 1 fois le taux d'accroissement de F, donc on a F'(3x), et c'est bien justifié Par contre sur le coup du décalage des bornes, effectivement c'est foireux, mon idée. J'ai trouvé une équation fonctionnelle pour f(x) - f(-x) et j'ai supposé qu'elle était valable même si on substituait -x par n'importe quel réel y. Du coup j'ai un peu paniqué, et j'ai relu le raisonnement avant pour voir si y avait pas un truc. Un truc déjà utilisé avant et que je pourrais refaire pour me simplifier la vie... Evidemment que oui...non c'était une feinte. J'ai pensé à réécrire l'intégrale comme F(-x) - F(x) puis ajouter et retirer f(0) à gauche de l'égalité et F(0) à droite. De cette façon on obtient Delta(f) - Delta(-f) = Delta(-F) - Delta(F), et là on a très très envie de dire que f = Kexp(-x), sauf que bah, 1), c'est pas facile à montrer, et non c'est tout, juste c'est pas facile à montrer. Autre idée : faire un truc pas hyper naturel mais en fait si plutôt logique au vu des équations qu'on (faisant intervenir f(x), f(-x), F(x), F(-x), ...). On écrit f comme un polynome infini, f(x) = sum [k >= 0] x^k*a_k/k!, du coup f(-x) = sum [k >= 0](-1)^k*x^k*a_k/k!. On primitive terme à terme (f = a*exp(-3x) d'après la démo plus haut donc f lisse sur |R tout entier donc aucun problème d'intégrer terme à terme) pour trouver une expression de F : F(x) = sum [k >= 1] x^k*a_(k-1)/k!, et le +C n'est pas important car on va tout le temps manipuler du F(...) - F(...) donc le +C disparaît. En faisant f(x) - f(-x) on ne garde que 2 fois les puissances de x impaires, donc les a_k avec k impair. En faisant F(-x) - F(x) on obtient -2 fois les puissances de x impaires, donc les puissances impaires de x dooooonc les a_k avec k pair. On a égalité entre 2*(a_k, k pair) et -2*(a_k, k impair). Et là, c'est magnifique, c'est merveilleux (normalement) (si vous trouvez une erreur de raisonnement j'abandonne, svp dites-moi que c'est bon) : les termes pairs sont les opposés des termes impairs suivants (en gros a0 = -a1, a2 = -a3, a4 = -a5, etc). Et ce genre de formule est un peu étonnant pour une fonction supposée s'écrire comme une exponentielle de -3x. Effectivement ce serait logique pour une exponentielle de -x, c'est totalement cohérent avec l'égalité Delta(f) - Delta(-f) = Delta(-F) - Delta(F) mais je vous rappelle que l'expression qu'on a c'est exponentielle de -3x. A partir de là, prenez un terme a_k, n'importe lequel sauf a0. En effet f est définie à une constante près, donc si on prend le a0 de x*a0 dans l'expression de F, il n'obéit pas à la même loi que les autres a_k. Le but est d'exploiter le lien entre deux coeff consécutifs de f. Comme f est a*exp(-3x) le rapport de proportionnalité entre a_(k+1) et a_k est de -3. Pour a0, vu que f est définie à constante près, on ne peut plus dire que a0 = -1/3*a1, donc la démo qui suit ne fonctionne plus. Prenez un terme un peu plus grand, genre a4, et vous serez certain que votre raisonnement est juste. Et si votre khôlleur vous demande "vous êtes SÛR de vous ?" vous pourrez répondre fièrement "oui." sans bégayer. a4 = - a5, d'après la relation trouvée quelques lignes plus tôt, pourtant a4 = a*(-3)^4 = 81a et a5 = a*(-3)^5 = -243a donc 81a = 243a, ce qui est possible ssi a = 0, donc f est une fonction qui s'écrit a*exp(-3x) +k, dont le a vaut 0, et comme on a dit que tous ses termes (même celui devant x^0) était proportionnels à a (en effet a0 = a), pas besoin de s'embêter : f est la fonction nulle Et BORDEL, c'était long. Bordel. Et il est évidemment 2h44 sinon c'est pas drôle A part ça j'ai quand même trouvé que c'était un bon live, et pour la DES un étudiant m'a montré une fois comment trouver les coefficients des polynômes en passant par les limites, comme tu as dit. C'est pas si difficile, et ça sert quand on a beaucoup de polynômes, mais l'expliquer pour la première fois quand on s'est pas entrainé juste avant c'est pas forcément évident. Vu que tu as galéré pour la DES par limites et que ça t'es resté en travers de la gorge, je te file un conseil si tu veux réessayer d'expliquer l'identification des coeff par limites pour le prochain live : sépare chaque coefficient (même lorsque tu as un polynôme divisé par un même polynôme de degré 2), factorise par 1/x ou par 1/x² au besoin, puis raisonne en petit o(1/x^n), n étant le nombre de coeff à trouver. Exemple : tu sais que tu as a/(1+x), bx/(1-x+x²), c/(1-x+x²). Il y a 3 coeff, il faut raisonner en o(1/x^3). Factorise la première fraction rationnelle par 1/x, tu as a/x*1/(1+1/x), que tu peux développer en a/x*(1-1/x+1/x²+o(1/x²)) = a/x - a/x² + a/x^3 + o(1/x^3). Deuxième fraction : bx/(1-x+x²) = b/x*1/(1-1/x+1/x²) = b/x*(1+1/x-1/x²+1/x²+o(1/x²)) = b/x*(1+1/x+o(1/x²)) = b/x + b/x² + o(1/x^3). Troisième fraction : c/(1-x+x²) = c/x²*1/(1-1/x+1/x²) = c/x²*(1+1/x+o(1/x)) = c/x² + c/x^3 + o(x^3). Fraction initiale : 1/(1+x^3) = 1/x^3*(1+1/x^3) = 1/x^3 + o(1/x^3) En sommant les expressions obtenues pour a, b et c, tu sais que tu dois retrouver l'expression obtenue pour la fraction initiale 1/(1+x^3). Donc a/x - a/x² + a/x^3 + b/x + b/x² + c/x² + c/x^3 + o(1/x^3) = 1/x^3 + o(1/x^3). En regroupant les termes par puissance de x et en dégageant le o(1/x^3) qui sert à rien, on se retrouve avec (a+b)/x + (-a+b+c)/x² + (a+c)/x^3 = 1/x^3. On trouve a+b=0, -a+b+c=0, a+c=1 donc a = -b, a = 1-c, 2b+c = 0, c = 2a = 2 - 2c, 3c = 2, c = 2/3, a = 1/3 et b = -1/3. On retrouve les trois valeurs calculées avec l'identification classique. Cette méthode est selon moi plus jolie car elle est assez atypique, elle fait appel à des raisonnements plus beaux que simplement développer des polynômes (faisable par n'importe quel élève de troisième qui ne s'est pas couché à 3h du matin pour résoudre des équations du premier degré toute la soirée mdrrr). Le pb de cette méthode est qu'il faut être sacrément rodé pour ne pas se planter quand on factorise par 1/x^k, surtout que le k change à chaque coefficient. Ici c'est pas compliqué parce que le seul polynôme de degré 2, le coeff devant x² est le même que devant x^0, 1 : (1 - x + x²), mais lorsque le polynôme c'est (2 + 4x + 4x²), faut être sûr d'étre bien réveillé lorsqu'on va factoriser, sinon on a vite fait d'écrire ax*1/(2+4x+4x²) = a/x²*1/(4+4/x+2/x²), ou même a/(2+4x+4x²) = a/x²*1/(2+4/x+4/x²), et là on est mort avant même d'avoir fait le DL. Alors que déjà les DL de 1/P(x) avec P un polynôme de degré 2, on sait que c'est source de bourdes. En plus pour vérifier qu'on a fait aucune erreur c'est un mission impossible tellement il y a d'endroits dans le raisonnement qui sont de vrais nids à erreurs Sinon super live, vraiment on a tous des jours où on est pas réveillés. Et vraiment les DES par limites si t'es pas frais t'es mort donc OKLM
Très bonne idée d'utiliser des séries entières pour l'équa diff ;) Méthode de bourrin un peu mais ça roule bien ! Merci pour le rappel sur les DES, je te retrouve dans un prochain live ;)
@@TheMathsTailoreffectivement ça fait un peu bourrin, mais c’est ça ou j’abandonnais, et ça j’avais vraiment pas envie parce que j’étais certain d’avoir une solution. J’aurais été dégoûté de lâcher l’affaire après tant d’heures de sommeil sacrifiées On se retrouve au prochain live, je vais quand même pas rater la résolution de intgrl [0, 1] t^n/(1+t2)^n dt en live alors que j’ai pas réussi, quand même ;) Question pour gris bourrins : est-ce que y a un moyen de trouver une valeur en passant par la fonction Bêta ? Vu qu’elle d’écrit comme intgrl [0, pi/2] de puissances de sinus et cosinus, et que l’intégrale de base donne très envie de poser t = tan(x) ou t = tan(x/2), je l’ai fait dans le but de retrouver la fonction Bêta, mais j’ai fini par abandonner. Puis j’ai vu que tu disais de passer par tan x/2 donc je me suis dit qu’en fait c’était vraiment une bonne piste, mais après moult tentatives (y compris repartir de in intégrale initiale pour trouver une valeur directement grâce à la fonction beta incomplète, j’en suis au point mort. Une idée ?
![Vectors & Dot Product • Math for Game Devs [Part 1]](http://i.ytimg.com/vi/MOYiVLEnhrw/mqdefault.jpg)
Salut ! Merci pour ce que tu fais continue c'est vraiment du bon boulot, je me suis découvert une passion pour les math grâce à toi
Merci à toi 😊 ça fait très plaisir :) !
hey, merci pour le live
j'ai quelques petites idées sur les exos : pour l'intégrale de n² à n^3 de 1/(1+t²) dt, on pouvait raisonner avec arctanx + arctan1/x, ou avec arctanx - arctany. Perso j'ai fait la première méthode avec arctanx et arctan1/x parce qu'elle est plus jolie, je trouve, elle fait pas intervenir de formules galères mais je pensais que vous feriez arctanx - arctany parce que vous semblez adorer cette relation, vous la mettez dans trois quarts des exos de trigo ;)
pour l'exo avec l'équation fonctionnelle f(x) - f(y) = intgrl [2x+y, 2y+x] f(t)dt, j'ai aussi trouvé la fonction nulle mais en faisant une toute autre méthode. En fait vu que le 1) c'est à propos de la dérivibalité de f et que la relation de base qu'on a sur f c'est f(x) - f(y) = intgrl ..., j'ai tout de suite pensé à faire tendre y vers x. On trouve comme ça les "candidats possibles", mais vu qu'en fait on peut dégager toutes les fonctions sauf la fonction nulle et que la fonction nulle marche, on trouve "facilement" (pas du tout facilement, c'était une purge il est 2h40 j'ai cours demain et je bosse là-dessus depuis 23h parce que j'ai fait beaucoup d'erreurs de raisonnement donc j'ai dû reprendre plusieurs fois à 0, même maintenant je suis pas du tout certain que le raisonnement soit valide mais j'ai trouvé ça fun quand même) la seule solution : x |-> 0. Je suis qu'en L1 du coup mes arguments sont pas du tout travaillés et il y a un abominable "je sais pas si c'est vrai mais ça se voit" planqué quelque part, saurez-vous le trouver mdr ?
je propose pas une correction mais plutôt une piste de réflexion :
d'abord comme l'équation fonctionnelle est valable pour tous x et y, elle est valable même si on fait rend y proche de x
y = x+h, si y -> x, alors h -> 0, du coup on peut étudier f comme une fonction à une seule variable (donc beaucoup plus simple d'exploiter les formules de dérivation), et h serait une constante du point de vue de f mais on va faire varier h pour avoir d'abord des égalités classiques puis des dérivées
on part de la relation fonctionnelle initiale et on divise par x-y donc en fait par -h
l = lim [h -> 0] (f(x) - f(x+h))/(-h) = f'(x) si f est dérivable
l = lim [h -> 0] intgrl [3x+h, 3x+2h] f(t)dt / -h et ça c'est définie car on fait l'intégrale d'une fonction définie sur un segment de longueur h, et on divise par h, donc c'est une aire majorable par le rectangle qui l'encadre : l'intégrale est majorable en valeur absolue par max(|f(t)|) sur l'intervalle, donc f'(x) est définie partout où f est définie, donc f est dérivable. f continue : si f C_0 => f dérivable, alors f est C_1 (car on peut dire que si f est dérivable, en réutilisant l'équation de départ, f' est dérivable, et si f' est dérivable, f' est continue et f est C_1, je sais pas si mon argument est valable mais ça se voit mdr). Bon en vrai c'est pas super important parce que vous avez trouvé une autre façon de prouver que f était dérivable, par contre je vais utiliser 1000x le fait que f est C_1 donc si j'ai pas réussi à le prouver, mon raisonnement tient moyen la route
Bref on transforme l'intégrale en différence de valeurs de F grace au TFA : f(x) - f(x+h) = F(3x+2h) - F(3x+h)
on divise par -h puis on fait tendre h vers 0 pour avoir des nombres dérivés : f'(x) = -f(3x) (égalité notée *)
en raisonnant terme à terme, on montre que f(x) = a*exp(-3x) + k, a étant une constante, et f'(x) = -3f(x) + 2a
on en déduit f'(x) = a*exp(-3x) (pas de constante, elle ne concerne que f)
reprenons depuis le départ, en posant cette fois y = -x
f(x) - f(-x) = intgrl [x, -x] f(t) dt, une intégrale définie pour n'importe quel réel x, donc on déplace le segment de [x, -x] à [2x, 0] grace à un changement de variable : f(2x) - f(0) = intgrl [2x, 0] f(t)dt = F(0) - F(2x) d'après le TFA
on suppose que f ou F est un polynome de degré inconnu pour un certain intervalle autour de 0 (même si l'intervalle est pas |R c'est pas grave)
f(0) et F(0) sont des constantes, donc on peut écrire qu'il y a égalité des polynômes à constante près
en dérivant : 2f'(2x) = -2f(2x), donc f'(x) = a'*exp(-x), sauf que grâce à *, on sait que f'(x) = a*exp(-3x), la seule façon pour que f' satisfasse les deux conditions en même temps serait que a'*exp(-x) = a*exp(-3x), en multipliant par exp(x) on voit que a' = a*exp(-2x) avec a' est une constante, et donc a = a' = 0.
donc f' est la fonction nulle et f est une fonction constante. A partir de là, "c'en est presque trivial" comme dirait un élève un peu trop sûr de lui en khôlle
Si f est constante, on pose f(x) = f(0) = C, f(x) - f(y) = 0, donc l'intégrale de f(t)dt vaut 0 mais vaut aussi C*(y-x) donc C vaut 0
donc la fonction est nulle
et bam
et j'aime pas l'algèbre donc je suis content d'avoir résolu l'exo uniquement avec de l'analyse même si je suis pas du tout sûr que tout est bon mais bon allez svp dites moi que c'est bon j'ai passé 3 heures sur cet exo foireux j'en peux plus, en plus demain j'ai TD d'algèbre à 9h tuez-moi svp
sinon j'ai pas vu la vidéo en entier (je la finirai demain) donc je vais peut-être compléter le comm demain si j'ai d'autres remarques à faire, mais c'est quand même un super live merci de faire toujours des trucs pour nous, pour continuer à nous apprendre des trucs, on sent que t'as la fibre du prof ca fait plaisir (même si 15 minutes pour faire une DES de seulement deux polynomes ca fout un peu la honte mdrrr)
Merci pour ce long commentaire ! Tu t'es motivé ça fait très plaisir courage pour le TD de ce matin ;). Pour le fait que la fonction est C1, en fait ce qui est intéressant c'est que tu peux faire un raisonnement 'en boucle' et une fois que tu as montré qu'elle est C1, montrer qu'elle est C2, etc. Et finir sur le fait qu'elle est C-infini.
Sur ta démo de C1 : j'aime bien l'idée de mettre y=x+h. Par contre au niveau de l'intégrale divisée par h, il me semble qu'il aurait pu être bon de séparer avec Chasles l'intégrale du dessus pour avoir quelque chose de bien 'propre', en suivant la voie que tu proposes.
Typiquement ici : f(x) - f(x+h) = F(3x+2h) - F(3x+h) le terme de droite il faut le retravailler un petit peu en faisant apparaître -F(3x)+F(3x) et là en retravaillant un peu les fractions avec le h on aura quelque chose de complet !
Ensuite je ferais attention quand tu passes de [-x;x ] à [0; 2x] car ce sont deux mécanismes différents de faire cette transformation dans les termes de droite et de gauche (intégrale). Bonne piste mais peut-être à rechercher par écrit un petit peu ;)
Donc en bilan j'aime bien tout ce que tu proposes, surtout quand tu dis que t'as pondu ça à minuit :D ! Il faut juste mettre un petit coup de rédaction rigoureuse hehe.
Merci pour la gratitude ça fait plaisir ! À titre perso j'ai trouvé que ce live de retrouvailles était pas assez au niveau car j'étais éclaté + pas assez préparé d'exos que les gens attendaient (vous voulez des exos de concours, j'avais préparé des trucs trop simples en début de session). Mais bon je sais que je suis faillible donc c'est une motivation pour en faire un mieux et plus préparé la prochaine fois :D (typiquement sur la DES t'as raison la honte totale mdr... je me suis bloqué sur cette idée de faire un truc astucieux avec une limite et puis ça a été un fail qui a traîné en longueur 😅)
À très vite en tout cas j'espère te retrouver sur les prochains lives des semaines qui arrivent ! :)
@@TheMathsTailor merci de votre réponse. le TD s'est bien passé malgré la fatigue, et puis le plus dur reste quand meme la physique qu'on a eu juste après ;)
effectivement j'étais motivé, j'ai très vite senti qu'il y avait quelque chose à faire et que j'étais capable d'y arriver (même si avec votre méthode j'ai rien compris parce qu'on a pas fait d'algèbre avec des fonctions, donc je serais incapable de justifier le fait que K valait nécessairement 0 sans faire un DL). du coup je savais que si j'abandonnais et regardais la solution j'aurais été déçu, au final j'y ai passé 3h30 (+ le temps passé aujourd'hui pour corriger mes erreurs )mais ca valait le coup. Effectivement avec le raisonnement pour prouver que f est C1, j'avais vu qu'on pouvait réutiliser la même méthode dans une récurrence pour prouver que f est Cinfini, mais vu que j'étais pas 100% sûr de ma justification j'allais pas risquer de dire ça. Si j'avais faux, ma bourde aurait été digne des pires dingueries balancées devant des correcteurs de kholle parce qu'on a pas appris ses règles d'inversion série-intégrale (CF le fameux "f est continue donc ça marche, non ?")
effectivement je viens de relire ma démo que f est C1, quand je divise F(3x+2h) par F(3x+h) par h, je dis tout de suite que ca faut f(3x). En fait ça se voit parce que h tend vers 0 donc le quotient qu'on manipule est le nombre dérivé de F(...) avec le ... qui tend vers 3x. Ce raisonnement couplé au fait que F est C0 (car f est définie partout meme si on est pas sûrs que f est C0) prouve que le nombre dérivé qu'on calcule est le nombre dérivé de F(3x) (par continuité de F on fait passer la limite dans F() pour faire disparaître les +2h et +h. Le problème est qu'on dissocie les limites quand h tend vers 0 comme si on avait h et h', dont l'un tendait plus vite vers 0 que l'autre (ça marche mais c'est tout sauf rigoureux). On suppose que 3x+2h tend très vite vers 3x+h et 3x+h tend vers 3x pour ensuite faire le nombre dérivé. Si j'avais sorti ce raisonnement à un prof de physique, j'aurais utilisé des dF, des df et des dx pour justifier ce que je raconte en une ligne et il aurait rien trouvé à redire. Si j'avais tenté ce genre de bidouillage devant un prof de maths, ça serait parti en -4 points avec option "vous êtes SÛR de vous ?" mdrr
Par contre si on a l'idée c'est pas très compliqué ni très long, en ajoutant puis soustrayant F(3x), on se retrouve avec F(3x+2h)-F(3x) - (F(3x+h)-F(3x)), en divisant par h on a bien 2 fois le taux d'accroissement de F en 3x moins 1 fois le taux d'accroissement de F, donc on a F'(3x), et c'est bien justifié
Par contre sur le coup du décalage des bornes, effectivement c'est foireux, mon idée. J'ai trouvé une équation fonctionnelle pour f(x) - f(-x) et j'ai supposé qu'elle était valable même si on substituait -x par n'importe quel réel y. Du coup j'ai un peu paniqué, et j'ai relu le raisonnement avant pour voir si y avait pas un truc. Un truc déjà utilisé avant et que je pourrais refaire pour me simplifier la vie... Evidemment que oui...non c'était une feinte. J'ai pensé à réécrire l'intégrale comme F(-x) - F(x) puis ajouter et retirer f(0) à gauche de l'égalité et F(0) à droite. De cette façon on obtient Delta(f) - Delta(-f) = Delta(-F) - Delta(F), et là on a très très envie de dire que f = Kexp(-x), sauf que bah, 1), c'est pas facile à montrer, et non c'est tout, juste c'est pas facile à montrer. Autre idée : faire un truc pas hyper naturel mais en fait si plutôt logique au vu des équations qu'on (faisant intervenir f(x), f(-x), F(x), F(-x), ...).
On écrit f comme un polynome infini, f(x) = sum [k >= 0] x^k*a_k/k!, du coup f(-x) = sum [k >= 0](-1)^k*x^k*a_k/k!. On primitive terme à terme (f = a*exp(-3x) d'après la démo plus haut donc f lisse sur |R tout entier donc aucun problème d'intégrer terme à terme) pour trouver une expression de F : F(x) = sum [k >= 1] x^k*a_(k-1)/k!, et le +C n'est pas important car on va tout le temps manipuler du F(...) - F(...) donc le +C disparaît. En faisant f(x) - f(-x) on ne garde que 2 fois les puissances de x impaires, donc les a_k avec k impair. En faisant F(-x) - F(x) on obtient -2 fois les puissances de x impaires, donc les puissances impaires de x dooooonc les a_k avec k pair. On a égalité entre 2*(a_k, k pair) et -2*(a_k, k impair). Et là, c'est magnifique, c'est merveilleux (normalement) (si vous trouvez une erreur de raisonnement j'abandonne, svp dites-moi que c'est bon) : les termes pairs sont les opposés des termes impairs suivants (en gros a0 = -a1, a2 = -a3, a4 = -a5, etc). Et ce genre de formule est un peu étonnant pour une fonction supposée s'écrire comme une exponentielle de -3x. Effectivement ce serait logique pour une exponentielle de -x, c'est totalement cohérent avec l'égalité Delta(f) - Delta(-f) = Delta(-F) - Delta(F) mais je vous rappelle que l'expression qu'on a c'est exponentielle de -3x. A partir de là, prenez un terme a_k, n'importe lequel sauf a0. En effet f est définie à une constante près, donc si on prend le a0 de x*a0 dans l'expression de F, il n'obéit pas à la même loi que les autres a_k. Le but est d'exploiter le lien entre deux coeff consécutifs de f. Comme f est a*exp(-3x) le rapport de proportionnalité entre a_(k+1) et a_k est de -3. Pour a0, vu que f est définie à constante près, on ne peut plus dire que a0 = -1/3*a1, donc la démo qui suit ne fonctionne plus. Prenez un terme un peu plus grand, genre a4, et vous serez certain que votre raisonnement est juste. Et si votre khôlleur vous demande "vous êtes SÛR de vous ?" vous pourrez répondre fièrement "oui." sans bégayer. a4 = - a5, d'après la relation trouvée quelques lignes plus tôt, pourtant a4 = a*(-3)^4 = 81a et a5 = a*(-3)^5 = -243a
donc 81a = 243a, ce qui est possible ssi a = 0, donc f est une fonction qui s'écrit a*exp(-3x) +k, dont le a vaut 0, et comme on a dit que tous ses termes (même celui devant x^0) était proportionnels à a (en effet a0 = a), pas besoin de s'embêter : f est la fonction nulle
Et BORDEL, c'était long. Bordel. Et il est évidemment 2h44 sinon c'est pas drôle
A part ça j'ai quand même trouvé que c'était un bon live, et pour la DES un étudiant m'a montré une fois comment trouver les coefficients des polynômes en passant par les limites, comme tu as dit. C'est pas si difficile, et ça sert quand on a beaucoup de polynômes, mais l'expliquer pour la première fois quand on s'est pas entrainé juste avant c'est pas forcément évident. Vu que tu as galéré pour la DES par limites et que ça t'es resté en travers de la gorge, je te file un conseil si tu veux réessayer d'expliquer l'identification des coeff par limites pour le prochain live : sépare chaque coefficient (même lorsque tu as un polynôme divisé par un même polynôme de degré 2), factorise par 1/x ou par 1/x² au besoin, puis raisonne en petit o(1/x^n), n étant le nombre de coeff à trouver. Exemple : tu sais que tu as a/(1+x), bx/(1-x+x²), c/(1-x+x²). Il y a 3 coeff, il faut raisonner en o(1/x^3). Factorise la première fraction rationnelle par 1/x, tu as a/x*1/(1+1/x), que tu peux développer en a/x*(1-1/x+1/x²+o(1/x²)) = a/x - a/x² + a/x^3 + o(1/x^3). Deuxième fraction : bx/(1-x+x²) = b/x*1/(1-1/x+1/x²) = b/x*(1+1/x-1/x²+1/x²+o(1/x²)) = b/x*(1+1/x+o(1/x²)) = b/x + b/x² + o(1/x^3). Troisième fraction : c/(1-x+x²) = c/x²*1/(1-1/x+1/x²) = c/x²*(1+1/x+o(1/x)) = c/x² + c/x^3 + o(x^3). Fraction initiale : 1/(1+x^3) = 1/x^3*(1+1/x^3) = 1/x^3 + o(1/x^3)
En sommant les expressions obtenues pour a, b et c, tu sais que tu dois retrouver l'expression obtenue pour la fraction initiale 1/(1+x^3). Donc a/x - a/x² + a/x^3 + b/x + b/x² + c/x² + c/x^3 + o(1/x^3) = 1/x^3 + o(1/x^3). En regroupant les termes par puissance de x et en dégageant le o(1/x^3) qui sert à rien, on se retrouve avec (a+b)/x + (-a+b+c)/x² + (a+c)/x^3 = 1/x^3. On trouve a+b=0, -a+b+c=0, a+c=1 donc a = -b, a = 1-c, 2b+c = 0, c = 2a = 2 - 2c, 3c = 2, c = 2/3, a = 1/3 et b = -1/3. On retrouve les trois valeurs calculées avec l'identification classique. Cette méthode est selon moi plus jolie car elle est assez atypique, elle fait appel à des raisonnements plus beaux que simplement développer des polynômes (faisable par n'importe quel élève de troisième qui ne s'est pas couché à 3h du matin pour résoudre des équations du premier degré toute la soirée mdrrr). Le pb de cette méthode est qu'il faut être sacrément rodé pour ne pas se planter quand on factorise par 1/x^k, surtout que le k change à chaque coefficient. Ici c'est pas compliqué parce que le seul polynôme de degré 2, le coeff devant x² est le même que devant x^0, 1 : (1 - x + x²), mais lorsque le polynôme c'est (2 + 4x + 4x²), faut être sûr d'étre bien réveillé lorsqu'on va factoriser, sinon on a vite fait d'écrire ax*1/(2+4x+4x²) = a/x²*1/(4+4/x+2/x²), ou même a/(2+4x+4x²) = a/x²*1/(2+4/x+4/x²), et là on est mort avant même d'avoir fait le DL. Alors que déjà les DL de 1/P(x) avec P un polynôme de degré 2, on sait que c'est source de bourdes. En plus pour vérifier qu'on a fait aucune erreur c'est un mission impossible tellement il y a d'endroits dans le raisonnement qui sont de vrais nids à erreurs
Sinon super live, vraiment on a tous des jours où on est pas réveillés. Et vraiment les DES par limites si t'es pas frais t'es mort donc OKLM
Très bonne idée d'utiliser des séries entières pour l'équa diff ;) Méthode de bourrin un peu mais ça roule bien !
Merci pour le rappel sur les DES, je te retrouve dans un prochain live ;)
@@TheMathsTailoreffectivement ça fait un peu bourrin, mais c’est ça ou j’abandonnais, et ça j’avais vraiment pas envie parce que j’étais certain d’avoir une solution. J’aurais été dégoûté de lâcher l’affaire après tant d’heures de sommeil sacrifiées
On se retrouve au prochain live, je vais quand même pas rater la résolution de intgrl [0, 1] t^n/(1+t2)^n dt en live alors que j’ai pas réussi, quand même ;)
Question pour gris bourrins : est-ce que y a un moyen de trouver une valeur en passant par la fonction Bêta ? Vu qu’elle d’écrit comme intgrl [0, pi/2] de puissances de sinus et cosinus, et que l’intégrale de base donne très envie de poser t = tan(x) ou t = tan(x/2), je l’ai fait dans le but de retrouver la fonction Bêta, mais j’ai fini par abandonner. Puis j’ai vu que tu disais de passer par tan x/2 donc je me suis dit qu’en fait c’était vraiment une bonne piste, mais après moult tentatives (y compris repartir de in intégrale initiale pour trouver une valeur directement grâce à la fonction beta incomplète, j’en suis au point mort. Une idée ?