Ho finito la scuola lo scorso anno, tuttavia ho trovato nella home questo video e ci ho cliccato subito dato che nessun professore mi ha mai spiegato il motivo di questo risultato
Grazie Professore, trovo che sia una spiegazione semplicemente perfetta, che ha chiarito completamente l'argomento, anziché enunciarlo come un dogma calato dall'alto. Ancora grazie.
La parentesi sulla proprietà riflessiva dell'uguaglianza mi ha quasi commossa. Ricordo che al primo anno di liceo il mio prof di matematica disse che "uguale significa uguale" e non significa "il risultato di quello che c'è a sinistra è quello che c'è a destra". Questa semplice osservazione ha cambiato totalmente il mio modo di guardare la matematica, equazioni e formule hanno assunto un senso tutto nuovo di colpo.
I tuoi video vanno oltre la matematica in se...perchè fanno capire come una materia "ostica" come la matematica o la fisica in realtà possono essere trasmesse e "decodificate" in linguaggio umano solo dalla bravura di chi le spiega. Complimenti Valerio i tuoi video li farei guardare agli studenti ma soprattutto ai professori!
Sono capitato per caso oggi sul tuo canale e devo dire che ne sono rimasto entusiasta, ...non vedo l'ora di guardare glil altri tuoi video. Grandissimi complimenti per la capacità espositiva e per gli argomenti. Un ssaluto, Stefano Cassiani - Modena
Ciao mi sono iscritto, non ho cercato questo video, mi è capitato tra i consigliati, ma complimenti, non sapevo neanche di avere questa curiosità dai tempi della scuola😁
Ne è passato di tempo dalla scuola e sinceramente non ricordo di aver ricevuto una spiegazione così esauriente. La ringrazio per questo insegnamento, con molto piacere mi iscrivo al suo canale. Capire è la chiave per imparare ed è bellissimo
Un approccio diverso consiste nel calcolare le potenze di una base partendo da una potenza > 0 andando a ritroso (così si comprendono anche le potenze negative). Esempio (con base 2): 2⁵=32 2⁴=16 ovvero 2⁵ / 2 2³=8 ovvero 2⁴ / 2 2²=4 ovvero 2³ / 2 2¹=2 ovvero 2² / 2 (continuiamo a dividere per la base) quindi: 2⁰ = 1 ovvero 2¹ / 2 (ed è vero per ogni base infatti a¹ / a = 1 sempre) Possiamo continuare anche con le potenze negative: 2^(-1) = 1/2 ovvero 2⁰ / 2 2^(-2) = 1/4 ovvero 2^(-1) / 2 2^(-3) = 1/8 ovvero 2^(-2) / 2 . . .
La sua spiegazione è stata ottima. A scuola amavo queste cose. Poi mi ha sempre affascinato l'analisi matematica, nonostante che può essere fatta anche ad un livello alto e quindi complesso.
Non so per quale motivo era in homepage ma mi ha incuriosito molto, e sinceramente avrei voluto avere Lei come professore alle superiori perché ha spiegato un concetto in un modo così semplice che, tornando indietro nel tempo coi ricordi che avevo, mi capitava addirittura di star male settimane per questa materia. Io non capivo le spiegazioni e il mio ex professore non capiva perché io non comprendessi ciò che lui spiegava in modo del tutto incomprensibile.. che paradosso.. 😅 Grazie per il video, davvero interessante!
Io sono un ignorante totale sulla matematica, ma dopo aver visto questo video (che incredibilmente sono riuscito a comprendere, quindi vuol dire che tu hai degli oggettivi super poteri) mi sono iscritto al canale. Sei un grande.
Numeri naturali 1. Espressioni con numeri naturali ua-cam.com/video/q1Vh-fB02t0/v-deo.html 2. Proprietà delle potenze ua-cam.com/video/KttXXe5BMDU/v-deo.html ua-cam.com/video/S5KImYQscoA/v-deo.html 3. Scomposizione in fattori primi e MCD ua-cam.com/video/w3ZpydEr5mQ/v-deo.html 4. Scomposizione in fattori primi e mcm ua-cam.com/video/EJgn-345QO4/v-deo.html Numeri interi relativi 5. Espressioni con numeri relativi (senza potenze) ua-cam.com/video/_cT4g6TblEg/v-deo.html 6. Espressioni con numeri relativi (con potenze) ua-cam.com/video/Gj3wgvPseEo/v-deo.html ua-cam.com/video/2hzDhoXs3Ag/v-deo.html ua-cam.com/video/Sp4vVphnaGQ/v-deo.html 7. Espressioni con numeri relativi (con valori assoluti) ua-cam.com/video/oZ3WfJCpOKA/v-deo.html Numeri razionali 8. Trasformare una frazione in numero decimale (senza calcolatrice) ua-cam.com/video/q5LuebtZWk4/v-deo.html 9. Trasformare un numero decimale in frazione ua-cam.com/video/oCSSqUOYaq8/v-deo.html 10. Sommare e sottrarre frazioni ua-cam.com/video/-Vdw7yp5tB4/v-deo.html 11. Percentuali ua-cam.com/video/aeDqJU6qEKo/v-deo.html ua-cam.com/video/JHIV83VU70A/v-deo.html ua-cam.com/video/GFoQxIF84mw/v-deo.html 12. Espressioni con frazioni (senza potenze) 13. Espressioni con frazioni (e potenze) ua-cam.com/video/nvPIkNvuDdM/v-deo.html 14. Espressioni con frazioni (e potenze con esponenti negativi) ua-cam.com/video/XKQbeFKka6Y/v-deo.html 15. Espressioni con numeri decimali e frazioni ua-cam.com/video/D7WSXPSgxQc/v-deo.html 16. Espressioni con frazioni a castello ua-cam.com/video/_jHvIkFJERw/v-deo.html 17. Notazione scientifica ua-cam.com/video/Nr2iSAeKXck/v-deo.html 18. Proporzioni ua-cam.com/video/zA5BogUQmbI/v-deo.html ua-cam.com/video/mB_puqqewnI/v-deo.html ua-cam.com/video/VTxmJgCiHls/v-deo.html Monomi e polinomi 19. Espressioni polinomiali (senza prodotti notevoli). ua-cam.com/video/q2z-XWNu_lw/v-deo.html 20. Prodotti notevoli ua-cam.com/video/siNPLVNmEnc/v-deo.html ua-cam.com/video/THg0YysbE0M/v-deo.html ua-cam.com/video/bOfWJmI9oBA/v-deo.html 21. Espressioni polinomiali (con prodotti notevoli). ua-cam.com/video/WLq411hRVQA/v-deo.html 22. Divisione con resto tra polinomi ua-cam.com/video/3g_IfmP56SU/v-deo.html 23. Fattorizzazione dei polinomi ua-cam.com/video/nZ1aQ66dC0Y/v-deo.html (teorema del resto) ua-cam.com/video/EW6SAi20Kno/v-deo.html (riconoscimento p. notevoli) ua-cam.com/video/Paf14cWR5HI/v-deo.html (trinomio speciale) ua-cam.com/video/6V3hfZykqzk/v-deo.html (trinomio speciale) ua-cam.com/video/uP1BFfaFev8/v-deo.html ua-cam.com/video/iWrVlFlCTJs/v-deo.html ua-cam.com/video/uP0Y6veYNiw/v-deo.html (scomp peruviana) Frazioni Algebriche 24. Somma e sottrazione di frazioni algebriche ua-cam.com/video/e39T-4-20w0/v-deo.html 25. Moltiplicazione, divisione e potenze di frazioni algebriche ua-cam.com/video/jO8Mscc_3T8/v-deo.html 26. Espressioni con frazioni algebriche ua-cam.com/video/HWCEM16M8LY/v-deo.html Equazioni di primo grado (o ad esse riconducibili) Extra: storia delle equazioni ua-cam.com/video/5u8kAP8K0nw/v-deo.html 27. Equazioni di primo grado a coefficienti interi ua-cam.com/video/dRZL9Q2hhJE/v-deo.html 28. Equazioni di primo grado a coefficienti frazionari ua-cam.com/video/v1PaznEBabY/v-deo.html 29. Equazioni riconducibili al primo grado tramite legge di annullamento del prodotto ua-cam.com/video/fiesaCxBJag/v-deo.html 30. Equazioni frazionarie riconducibili al primo grado ua-cam.com/video/BW1QU_atVgg/v-deo.html 31. Equazioni di primo grado letterali Disequazioni di primo grado (o ad essi riconducibili) 32. Disequazioni di primo grado. ua-cam.com/video/LshJLaNzzFg/v-deo.html 33. Disequazioni riconducibili al primo grado tramite regola dei segni ua-cam.com/video/2Ul3Tk-tZR8/v-deo.html 34. Disequazioni frazionarie di primo grado ua-cam.com/video/x6IznP_y-V8/v-deo.html 35. Disequazioni di primo grado parametriche Sistemi di equazioni e di disequazioni di primo grado 36. Sistemi lineari, metodo di sostituzione ua-cam.com/video/D2ei8sITwIQ/v-deo.html 37. Sistemi lineari, metodo del confronto ua-cam.com/video/SgrSNVO_LE0/v-deo.html 38. Sistemi lineari, metodo di riduzione ua-cam.com/video/fOPMS2vl77I/v-deo.html 39. Sistemi lineari, metodo di Cramer ua-cam.com/video/qBf5SiNlQVU/v-deo.html 40. Sistemi lineari Parametrici 41. Sistemi di disequazioni lineari ua-cam.com/video/qygmLTdXC0c/v-deo.html Radicali 42. Prodotti e divisioni con radicali numerici (anche con indici diversi) ua-cam.com/video/UUgmFsfJ2WY/v-deo.html 43. Prodotti e divisioni con radicali letterali (anche con indici diversi) ua-cam.com/video/iBvOW2L4AB8/v-deo.html 44. Espressioni con radicali letterali e condizioni di esistenza ua-cam.com/video/T29JNZkUK2s/v-deo.html 45. Portare dentro e fuori dal segno di radice ua-cam.com/video/95ytYKGg3zw/v-deo.html 46. Potenze e radici di radicali ua-cam.com/video/2-xOLciaCrA/v-deo.html 47. Razionalizzare il denominatore di un radicale ua-cam.com/video/sOgQ2Q8A4js/v-deo.html 48. Espressioni con radicali (senza prodotti notevoli) ua-cam.com/video/sOgQ2Q8A4js/v-deo.html ua-cam.com/video/xEGEygAjRdA/v-deo.html 49. Espressioni con radicali (con prodotti notevoli) ua-cam.com/video/jLZlTvHjl6U/v-deo.html 50. Espressioni con radicali (con radicali doppi) ua-cam.com/video/Mr0-IokII6Y/v-deo.html 51. Equazioni e sistemi lineari con i radicali ua-cam.com/video/xE_CCdBYTH4/v-deo.html 52. Potenze con esponente razionale ua-cam.com/video/0LGplVIVRzs/v-deo.html Equazioni e sistemi di secondo grado (o ad esse riconducibili) 53. Equazioni di secondo grado ua-cam.com/video/mzEyabWASvo/v-deo.html ua-cam.com/video/AxPHI0f2Yog/v-deo.html ua-cam.com/video/GetpsTrLKZM/v-deo.html 54. Equazioni frazionarie riconducibili al secondo grado ua-cam.com/video/lBl4QlDIW8w/v-deo.html 55. Equazioni di secondo grado letterali ua-cam.com/video/dc_oV-9Ex2c/v-deo.html 56. Somma e prodotto delle soluzioni di un’equazione di secondo grado ua-cam.com/video/032vEtuJB94/v-deo.html ua-cam.com/video/B2Z3Qrjb37M/v-deo.html 57. Scomporre un trinomio usando l’equazione di secondo grado 58. Sistemi di secondo grado 59. Equazioni di grado superiore riconducibili al secondo grado ua-cam.com/video/GQYuZJLKYAI/v-deo.html (binomie) ua-cam.com/video/mffZRxyJgok/v-deo.html (trinomie) Disequazioni e sistemi di secondo grado (o ad essi riconducibili) 60. Disequazioni di secondo grado ua-cam.com/video/dvHO_iV0-S0/v-deo.html 61. Disequazioni di grado superiore al secondo 62. Disequazioni fratte ua-cam.com/video/QwkmLNUAbFk/v-deo.html ua-cam.com/video/6u9UdjNtmnE/v-deo.html ua-cam.com/video/5oMXXEJDhw4/v-deo.html 63. Disequazioni letterali 64. Sistemi di disequazioni ua-cam.com/video/WqzUBmGFHfg/v-deo.html ua-cam.com/video/mxVmvmUYgY0/v-deo.html Equazioni e disequazioni irrazionali e con valori assoluti 65. Equazioni con valori assoluti ua-cam.com/video/LO_90Y_TFuA/v-deo.html 66. Disequazioni con valori assoluti ua-cam.com/video/qdRSLVBvojI/v-deo.html ua-cam.com/video/8xuXCGJiHV0/v-deo.html 67. Equazioni irrazionali ua-cam.com/video/UWtnCzOeWZ8/v-deo.html 68. Disequazioni irrazionali Calcoli a mente in modo rapido ua-cam.com/video/_i67fFJCD-Y/v-deo.html ua-cam.com/video/nvSYIapDl3g/v-deo.html ua-cam.com/video/84h16r42tDE/v-deo.html ua-cam.com/video/ZbZqk--YIxM/v-deo.html ua-cam.com/video/g4KcFZZiKWQ/v-deo.html (logaritmi)
Ciao, Valerio. Apprezzo sempre la tua chiarezza. In questo caso, però, trovo che ci sia una imprecisione di approccio: a^0 = 1 (con a 0) per definizione. Non è una proprietà derivante dalle proprietà delle potenze. Al contrario, è l'unica definizione possibile affinché le proprietà continuino a valere in tutti i casi, come hai ben mostrato.
è errata anche la proprietà usata al minuto 4:20 : la proprietà delle potenze usata NON E' VALIDA QUANDO LA BASE E' ZERO !!! Altrimenti avremmo anche : 0^4 = 0 = 0^6 / 0^ 2 = 0/0 che è palesemente errato!!
In matematica si sceglie cosa definire e cosa dimostrare. Una possibilità è definire le potenze per ricorsione; in tal caso 4^0=1 per definizione. Un'altra possibilità, ed è quella più diffusa in algebra e in analisi, è quella di calcolare le potenze a esponente nullo applicando le proprietà della moltiplicazione, che è quello che ho fatto in questo video.
@@ValerioPattaro la spiegazione del video è utile a comprendere il perché si scelga di porre un numero elevato a zero uguale ad uno, ma non è una dimostrazione formale.
Ho pensato che possiamo dimostrarlo anche facendo così: x³:x⁰=x³-⁰=x³ Quindi per x³:x⁰=x³ l'unico valore possibile di x⁰ per verificare l'uguaglianza è 1, forse così non spiega il perché non dovrebbe essere 0 ma per un attimo ho pensato a questa spiegazione, da studente delle superiori
Non confondiamo una spiegazione "intuitiva" con una dimostrazione. Sono concetti differenti. La spiegazione del video è un ottimo modo per capire il perché un numero non nullo elevato a zero dia come risultato uno. Ma non è una dimostrazione neanche quella.
La dimostrazione di oggi, son riuscita a seguire bene, senza fusioni celebrali, anche perché il concetto mi era già chiaro! Grazie, Sempre l'ottantenne pensionata, ex, maesta elementare. Buona Pasqua. E grazie❤️
Grazie alla sua spiegazione ho capito rapidamente anche questo dilemma che avevo ma che davo per scontato, se non lo ha già fatto ne proporrei un altro: Non capisco perché dalla somma di due valori sotto radice non si può semplicemente elevare uno dei due addendi e poi "estrarlo" mentre si può fare solo se tra i due si esegue il prodotto.
L'estrazione di radice può essere considerata come una operazione di elevazione a potenza inversa quindi reiterando a partire da x elevato a n l'operazione di estrazionee di radice su tutti i risultati ottenuti si fa tendere a zero l'esponente n e dopo un certo numero z di estrazioni si arriva ad 1 qualunque sia il valore di n di partenza,con la calcolatrice questo è rapido ed evidente,non conosco ad esempio la relazione tra il numero di cicli ed n e non ho gli strumenti per elaborarla ma mi ha incuriosito
Carissimo Professore! Puo' spiegare la funzione delle equazioni di secondo grado? Calcolando il Delta per i numeri reali e il delta 4 per i numeri frazionati? Mi piacerebbe moltissimo che Lei ci spieghi questo. Grazie!!!
La spiegazione è chiara e lineare, così come il ragionamento matematico per cui un numero elevato alla 0 fa 1: ma nonostante torni in matematica, se penso come ci facevano pensare alle elementari, ossia usando degli oggetti come esempi, non torna. Mi spiego: Se io prendo 4 mele e le moltiplica 0 VOLTE per 4 mele mi restano comunque 4 mele, non 1
Grazie mille, spiegazione semplice e immediata, accessibile a tutti, quindi ancora più gradita! Ed ora ho una piccola richiesta: chiedo scusa se mi è sfuggito nella vastità dei suoi video pubblicati, ma potrebbe risolvere l'elevazione a potenza di i (unità immaginaria) alla i?😱 grazie di ❤
Grazie per questo video, carissimo Valerio. Da un punto di vista esclusivamente logico, in effetti, bisognerebbe ammettere, semplicemente per definizione, che sia 4^0 = 1. In effetti, quando enunciamo la definizione di potenza, forse dimentichiamo di precisare che essa ha senso solo quando l'esponente è maggiore o uguale a due. Se l'esponente è pari ad 1, oppure a zero, la definizione di potenza perde di significato. Il fatto che un numero (diverso da 0) elevato a zero dia uno quindi dovrebbe esser ammesso per definizione. Che poi la definizione sia giustificata da quanto dici nel video è cosa senz'altro buona e giusta, ma a mio avviso bisognerebbe dichiarare PRIMA cosa si ammetta con l'espressione a^0, poi, solo poi, giustificare la posizione fatta.
@@andrea.b3lof1g0 no, non credo proprio. Ciò che significa a^0 oppure a^1, in alcun modo può essere considerato come "conseguenza logica" del significato di a^3, che significa a*a*a. Che a^1 sia pari ad a lo devi dare per definizione.
@@andrea.b3lof1g0 no, non puoi dedurre proprio niente, se PRIMA non definisci cosa tu intenda per a^0. Un po' come quando si definisce il fattoriale di un numero intero, non so se conosci l'argomento. Il fattoriale di 0, PER DEFINIZIONE, è pari ad 1. Per toglierti ogni dubbio, studia prima, BENE, il concetto di potenza e guarda la sua definizione su un testo buono. Non credo che avrai problemi a convincerti di quel che dico.
Interessante far vedere esplicitamente degli esempi con basi diverse, peccato che non hai pensato a scegliere anche una base negativa o una frazione o un numero irrazionale...(qualcuno potrebbe concludere che la proprietà vale solo per basi intere positive)
3:12 "è proprio da questa uguaglianza che nasce il motivo per cui quattro elevato a zero è uguale ad uno", cioè il motivo per cui si definisce 4( o un qualsiasi altro numero diverso da zero) elevato a zero uguale ad uno. Un numero elevato a zero è uguale a uno per definizione, definizione che si giustifica con le uguaglianze fatte nel video.
Nella conversione da binario a decimale il 2^0=1 era un'operazione fondamentale. Per esempio 2^4 è uguale a 15 (1111 in binario) e si calcola così: 2^3+2^2+2^1+2^0 ovvero 8+4+2+1 e così via. In 5 anni di studi di informatica alle superiori nessun professore ci ha mai spiegato il perché 2^0 fosse uguale a 1. Era una sorta di dogma. Andava considerato vero per Fede...
sul mio libro di analisi è scritto che in questo modo si commette un errore logico perché il simbolo 4^0 , finché non viene definito è privo di significato e non si può dimostrare che è uguale a niente , finché non sappiamo che cosa sia; ma più che altro in questo modo giustifichiamo il fatto di aver posto per definizione 4^0 = 1 per far valere le proprietà formali delle potenze e quindi dimostra che la definizione che si da di potenza è l'unica possibile se si vuole che valgano queste proprietà
Sono un tuo iscritto e seguo con attenzione e interesse i tuoi video. Sei bravissimo e anche le cose difficili, spiegate da te sembrano facili. complimenti. Io tempo fa ho trovato un altro modo per dimostrare che un qualsiasi numero elevato a 0 da come risultato 1. voglio proporre alla tua attenzione questo mio metodo, fammi sapere se è un metodo valido. Grazie Ecco una facile dimostrazione che fa comprendere perchè qualsiasi numero elevato a zero da come risultato 1 Per semplicità prendiamo due numeri che si possono trasformare il potenze, per esempio il 16 e scriviamo: 16 : 16=1 Qualsiasi numero diviso per se stesso è sempre uguale a 1. il numeri 16 però lo posso scrivere anche così (4^2) quindi: 4^2 : 4^2=1 4 elevato alla seconda : 4 elevato alla seconda da come risultato sempre 1. quoziente di due potenze con la stessa base, possiamo scrivere: 4^(2-2)=1 siccome 2-2 = 0 possiamo scrivere che: 4^0 = 1 che è sempre uguale a 1. Ecco dimostrato che qualsiasi numero elevato a 0 è uguale a 1. Questa è una delle tante dimostrazioni che conferma che qualsiasi numero elevato a 0 e uguale a 1, ed è la più semplice e facile da comprendere.
Grazie Valerio per la tua chiarezza. Provo una spiegazione non matematica dello stesso quesito. Se avessi un attaccapanni con tre ganci e un gruppo di quattro giacche di diverso colore avrei 64 diverse combinazioni possibili di colori sull’attaccapanni, cioè quattro elevato a tre. Se avessi un attaccapanni con 0 ganci mi rimarrebbe 1 solo gruppo indifferenziato di giacche. Quando l’attaccapanni non ha ganci e come se non avesse potenza di differenziare i colori delle giacche di un qualsiasi gruppo, così il gruppo resta sempre 1 gruppo indistinto dal punto di vista della potenza. Nel caso in cui anche il numero delle giacche fosse zero è chiaro che stiamo parlando di nulla, cioè non stiamo facendo nessuna operazione matematica.🤔
Buonasera. Vorrei porle un quesito. Se scrivo il numero 4 e piu' sotto il numero 32 e piu sotto il 57 e ancora a finire il numero 112 ( numeri presi a casaccio il cui ordine puo`o no essere crescente) posso enunciarlo come " una serie numerica finita formata da 4 elementi cardinali" oppure devo per forza definirlo un "insieme di numeri formato 4 elementi"?? Grazie
Anche io avevo ragionato così, in effetti vale anche per n^ ( 5 - 5 ) = n^5 : n^5 = 1 non avevo pensato alle complicazioni se n = 0 . Ora il quadro è completo grazie al video.
In realtà questa non è la dimostrazione matematica del perché ogni numero diverso da zero elevato alla zero dà uno. La potenza è definita per ricorsione, attribuendo per definizione che x^0=1 e x^1=x. L'esempio presentato in questo video è solo un modo per convincersi che questa cosa vale.
Come spesso accade le definizioni sono SCELTE. La definizione di potenza in modo ricorsivo è una possibilità. Un'altra può essere quella di definire la potenza come quell'unica funzione che soddisfa le proprietà delle potenze (questo in realtà è l'approccio che si preferisce in analisi matematica). In tal caso il ragionamento presentato nel video è una dimostrazione
Meraviglioso, in pratica è come tirare fuori un coniglio dal cilindro, piegare la logica all'illogicità. Si "crea" una regola ed il gioco è fatto, basta poco che ce vò 😁
Una domanda, ma se elevo un numero negativo a 0 il risultato è sempre 1? Seguendo la sua spiegazione, da quel che ho capito, finirei per dividere un numero negativo per lo stesso numero negativo che porta ad un risultato positivo; volevo sapere se questo ragionamento è giusto oppure mi sono perso qualcosa
Buongiorno domanda forse sciocca. Se il numero fosse elevato alla -0 il risultato sarebbe sempre 1 oppure -1? Sempre che sia consentito elevare per -0. Grazie
Salve, c'è un solo "zero", che non è nè positivo nè negativo. Da non confondere con 0+ e 0- dei limiti che sono variabili che tendono a zero, ma non valgono zero.
Buongiorno e grazie per i Suoi video. D: se 2 elevato a 3 è uguale a 2 • 2 • 2 = 6, 2 elevato allo 0 perché non potrebbe essere 2 • 0? O 2 elevato alla 0 significa 2 elevato a nulla e quindi 2? Può chiarirmi questo mio inghippo? Grazie
Certo: 2*2*2 non fa 6 ma 8. Lei ha sommato anziché moltiplicare. Inoltre 2^0 non è uguale a 2*0 perché potenza e moltiplicazione non sono la stessa cosa.
La proprietà della differenza degli esponenti per stessa base vale solo se la base non è nulla ma questa proprietà non può essere usata per dimostrare che 0^0 in assoluto non esista perché se la si potesse applicare allora si potrebbe anche per 0^2=0^(3-1)=0^3/(0^1)=0(0^2)/0=(0^2)(0/0)=(0^2)(INDF)=INDF e così via per qualsiasi esponente k reale positivo (dimostrando una evidente contraddizione visto che 0^k=0) perciò il controesempio 0^k non può essere calcolato con questa proprietà, dunque ciò che ha spiegato nella parte finale del video è tutto corretto perché è rimasto all'interno della proprietà ma manca la specifica del fatto che il valore di 0^0 è indefinito solo se calcolato con questa proprietà perciò è necessario fare un ragionamento ulteriore per calcolarlo oppure bisogna dimostrarne l'indefinibilità per qualsiasi metodo, quindi l'indefinibilità assoluta; dato che manca questa parte allora è incompleta la trattazione.
@@ValerioPattaro dunque per caso vorrebbe fare un video riguardo a 0⁰ decidendo il risultato se 1 o INDF (senza il discorso dei limiti visto che i valori puntualj non corrispondono a quelli limite ) oppure no ? (ovviamente solo quando ha tempo e se le va)
Non puoi definire un numero N che goda di tale proprietà. Assumendo che N non sia nullo, moltiplicando ambo i membri per N stesso, otteresti N diverso da N.
@@mechabit78 non otterrei N diverso da N perché se N/N è diverso da uno per definizione allora io ottengo al massimo che N^2/N sia diverso da N. Quelli che intendo è che moltiplicando entrambi i membri ottengo N*N/N=N, ma non posso togliere uno dei due N dividendi con l'N divisore considerandoli uguale a 1 come si fa per i numeri reali La tua dimostrazione presuppone che N/N sia uguale a uno e lo usa per poi dire che la mia definizione porta a contraddizione ma ciò è falso
Cercherò di essere più esaustivo. Data l'assurdità della tua ipotesi ho creduto che due righe di dimostrazione ti convincessero. Ricomincio, allora. Hai preso un numero N che potremmo suppurre naturale (non è una ipotesi restrittiva). Hai definito una proprietà. Prima domanda da porsi: l'insieme dei numeri naturali che verificano tale proprietà è non vuoto? Va dimostrato. Stiamo parlando di numeri naturali e come tali, godono di tutta una serie inalienabile di proprietà, tra le quali quella che un numero diviso se stesso fornisce l'unità. Proprietà che ho appliccato nella dimostrazione e che prova che l'insieme dei numeri che godono della proprietà che ha proposto è l'insieme vuoto.
Perché la definizione di numero primo è "qualsiasi numero naturale che abbia due e solo due divisori naturali distinti" oppure "qualsiasi numero naturale maggiore di 1 divisibile solo per sé stesso e 1". In realtà basta poco per capire perché 1 non può essere considerato primo. Basta guardare il teorema fondamentale dell'aritmetica che dice che ogni numero naturale maggiore di 1 o è primo o si può rappresentare come prodotto di numeri primi e questa rappresentazione è unica, se si prescinde dall'ordine. Se 1 fosse primo, ogni numero avrebbe infinite rappresentazioni in prodotti di numeri primi.
Una di quelle spiegazioni che mi fanno bollire il sangue. Per conoscere quanto fa una potenza, devo saper fare altre potenze? Stessa storia per il solito 0! = 1, per "saperne" il risultato devo procedere a ritroso? Perché 0^0 fa 1? Rispondere perché ogni cosa elevata alla 0 fa 1 è di una superficialità disarmante. È la cosa più illogica che abbia mai sentito, praticamente non si fa altro che dedurne il risultato, senza calcolarlo effettivamente. La soluzione che mi do io è molto più semplice e più sensata. Partendo dal presupposto che moltiplicare per uno non varia l'altro fattore, basta immaginare ci siano sempre uno o infiniti uni a moltiplicare qualunque cosa si voglia calcolare. Questi uni sono trascurabili quando l'altro fattore ha un valore, ma non nei casi sia nullo. L'esempio per questo video sarebbe: 4² = 1 • 4 • 4 = 16 4⁰ = 1 = 1 Essendo che devo moltiplicare 4, 0 volte, resta solo l'uno. 0! = 1 per lo stesso motivo 0^0 0¹ = 1 • 0 = 0 0⁰ = 1 Trasgredisco a qualche regola della matematica professore? Mi faccia sapere
Ciao. Mi sto chiedendo una domanda o una curiosità che mi viene in mente. Perché le radici quadrate di un numero sono sempre positive e non valgono più o meno? Esempio: perché la radice di 9 vale solo 3 e non +-3? Se vuoi ci potresti fare un video al riguardo?
Perché +3 e -3 sono le risposte a un'altra domanda: "Quali sono i numeri reali che elevati al quadrato danno 9?" E quelli sono in effetti +3 e -3. Ma la radice di 9 è solo 3, -3 è l'opposto della radice di 9. Lo si capisce meglio se consideri un numero che non è un quadrato perfetto, ad esempio 2: Non si può dire che la radice di 2 è pari a + o - radice di 2, altrimenti avresti un numero che è uguale, oltre che a se stesso, anche al suo opposto
Perché la radice quadrata è una funzione, una funzione è una relazione che associa un elemento del dominio ad uno del condominio, da x a f(x). Una funzione non può dare due risultati diversi. Detto questo ogni numero ha due radici "più radice quadrata di" e "meno radice quadrata di".
La funzione reale di radice quadrata è definita dall'insieme dei numeri reali non negativi (dominio della funzione) all'insieme dei numeri reali non negativi (codominio della funzione). Ogni funzione, per definizione, associa, ad un elemento del dominio, uno ed un solo elemento del codominio. Pertanto la radice quadrata di 9 è 3. L'osservare che il quadrato di -3 faccia 9 può trarre in inganno se non si ha ben chiaro il concetto di funzioni invertibili. La funzione radice lo è sempre, la funzione quadrato no (ne si limita il dominio per rendere la restrizione invertibile). Quindi è errato dire, ad esempio: "9 ha per radice quadrata 3 e -3 perchè 3 al quadrato fa 9 e -3 al quadrato fa 9". L'errore deriva appunto dall'errata convinzione di poter trattare sempre dunzione radice e funzione quadrato come una inversa dell'altra sempre.
Grazie Professore. Ma non capisco perché si dicono frasi come 4^5 equivale a 4 moltiplicato per se stesso 5 volte. In realtà le moltiplicazioni sono 4. Non sarebbe più corretto dire che a^b equivale ad a moltiplicato per se stesso (b - 1) volte? Oppure che equivale a un prodotto in cui l'unico fattore a compare b volte? Non voglio polemizzare, ma la definizione tradizionale mi è sempre parsa un po' ambigua (non sono un matematico).
Le moltiplicazioni sono 5 in verità, si tende sempre a dimenticare che per ogni moltiplicazione è sempre possibile moltiplicare x 1 ed avere il risultato dell'operazione. Non solo, 1 è proprio il numero "speciale" delle moltiplicazioni, così come 0 lo è per le somme (sommare qualcosa con 0 restituisce quel qualcosa) In algebra si chiamano "identità" ovvero funzioni che dato un elemento restituiscono come risultato quello stesso elemento
Se ti ho confuso col commento di prima, il discorso è ancora più semplice: l'esponente non conta il numero di moltiplicazioni, ma quante volte il numero 4 appaia nell'espressione equivalente: anche se si hanno meno operazioni, per scrivere la corretta espressione equivalente avremo bisogno di scrivere cinque volte il numero 4
infatti, detta così, la frase è sbagliata, altrimenti n^2 dovresti moltiplicare la base per se stessa 2 volte, mentre sappiamo che si moltiplica una volta sola. Sarebbe corretto dire che 4^5 è il prodotto di 5 fattori uguali alla base 4.
Una cosa che tutti sanno ma che nessuno comprende veramente, belli i suoi video. Potrebbe portare anche qualcosa riguardo alla frazioni algebriche ? Ps non sto chiedendo adesso oppure obbligando.
La matematica è affascinante, ma mi convico sempre di più che alla fine sia solo un giochetto autoreferenziale. In poche parole : la matematica può aiutare a descrivere la realtà,ma la realtà non è matematica.
La matematica è un linguaggio o una lingua, come l'Italiano, descrive la realtà o almeno la nostra visione della realtà o il nostro modello di realtà, solo che lo fa molto meglio di qualsiasi altro linguaggio.
Chiarissimo...però che significa una potenza "zero" ? Nel mondo reale, se ho un litro d'acqua e lo elevo alla terza potenza ottengo 1000 litri,un metro cubo. Se elevo 4 litri d'acqua alla potenza di zero ottengo 1 litro ? 🙂
Nel mondo reale non puoi elevare niente alla potenza di zero. Comunque un litro d'acqua alla terza potenza non fa 1000 litri, ma 1 "litro cubo" e 1 litro alla potenza di zero fa 1 "litro puntiforme" (qualsiasi cosa sia). Se invece parliamo di metri cubi che è meglio, un decimetro cubo - cioè un litro - alla terza non fa 1 metro cubo, ma un decimetro nono (cioè solido a 9 dimensioni che in ogni dimensione è lungo un decimetro) e un decimetro cubo alla zero fa un decimetro, una riga lunga un decimetro.
@@andrea.8458 Sì in effetti hai ragione, un decimetro sarebbe un decimetro cubo alla 1/3 . Per altro l'avevo scritto pure in partenza che nel mondo reale non si eleva niente per zero. Comunque grazie della correzione.
Ciao! Vorrei solo correggere un errore grammaticale presente nel titolo: "da" è preposizione semplice, nel titolo andrebbe scritto "dà", in quanto terza persona singolare presente del verbo dare
Intervengo anche io sull'argomento, l'accento, in questa occasione dovrebbe essere grave, non acuto. Nel caso di "i" e "u" esistono sostenitori dell'accento acuto, nonostante le grammatiche ufficiali riportino l'utilizzo di quello grave, ma la vocale "a" si accompagna sempre ad un accento grave.
quindi se ho tra parentesi (un'espressione qualsiasi) il tutto elevato allo zero posso evitare di risolverla e scrivere direttamente come risultato 1???
Ottimo video!! concetti che si tendono a dare per scontati (per quanto riguarda la parte iniziale), e proprio questa superficialità ti porta all'errore (per quanto riguarda la parte dello 0). Quindi ribadisco, davvero ottimo video!!! Una cosa prof, lei dice che 0/0 è un'operazione indefinita, a me hanno insegnato che è un'operazione impossibile. Le due definizioni sembrano astrattamente simili tra loro, ma io che sono pignolo 🤣🤣 vorrei sapere se c'è differenza tra le due affermazioni e se si qual'è? Grazie!
È una mera convenzione, dipende da quale punto di vista tra i tanti della matematica vuoi adoperare per descrivere il fenomeno. Se sei nel campo del calcolo numerico, allora è un operazione impossibile poiché non esiste nessun metodo per calcolare tale quantità Se sei nel campo dell'analisi o meglio ancora dell'algebra, allora non hai più numeri assoluti ma insiemi numerici ed operazioni definite sugli elementi degli stessi (banalmente i numeri) Si dice che un'operazione è indefinita quando non esiste alcun elemento dell'insieme che possa rappresentare il risultato di quell'operazione
Collegandosi al video sui limiti, il limite per x che tende a 0 di x^x e comunque uguale a 1👍🏼😉 Diverso è se si ragiona su funzioni a 2 variabili tipo x^y 🤪
Perché l'esponente rappresenta una dimensione nello spazio. Zero dimensioni significa che qualsiasi numero non può espandersi nello spazio ma resta 1 punto.
Molto bella questa definizione, ci sono decine di dimostrazioni per dire che numeri alla 0 danno 1, ma tu hai dato la definizione pratica, cioè cosa succede nella realtà. Avevo trovato una definizione simile, ma la tua è perfetta!
Salve, non mi è chiaro questo, se 4 alla terza è 4 x 4 x 4 perchè 4 alla 0 è 4 : 4 e non magari 4 moltiplicato per nulla visto che è alla 0 che farebbe 0? Perchè diventa diviso se la potenza è una moltiplicazione?
ci ho ragionato sopra è ho compreso così: se 2 alla 3 diviso 2 alla 2 equivale a 8 diviso 4 =2 oppure sintetizzato appunto a 2 alla 1 = 2 allora 2 alla 3 diviso 2 alla 3 equivale a 8 : 8 = 1 oppure sintetizzato in 8 alla 0 = 1.
Per rendere coerente la divisione con le proprietà delle potenze: se infatti a^n/a^n=1 (a≠0) , perché dividendo un numero per se stesso fa 1, è anche per le proprietà delle potenze a^n/a^n=a^(n-n)=a^0 e quindi a^0=1
Grazie, io ormai non vado più a scuola ....perché sono in pensione.😂😂😢😢 Però trovo bello che un professore spieghi bene la questione della matematica , perché non lo fanno mai , non c'è tempo e in classe si e' in troppi. La matematica, se non la capisci, ...hai finito.
Appurato che 0^0 è indeterminato, mentre 0^5=0 e 0^3=0, allora perché facendo 0^5:0^3=0^2 è determinato (e fa sempre 0), mentre se sviluppiamo le potenze (0^5=0 e 0^3=0) prima della divisione viene 0:0 (indeterminato)? E' un paradosso o la proprietà delle potenze con base uguale non vale per 0 come base? Perché altrimenti si potrebbe anche fare 0^5:0^0 che farebbe 0^5=0, creando un risultato determinato da una divisione avente uno dei membri indeterminato.
Manca una domanda essenziale, da anteporre come premessa: «da dove nasce il problema di quanto fa un numero (diverso da zero) elevato alla zero?» Ovvero, perché uno studente è imbarazzato davanti al calcolo esplicito di 4^0? Più in generale davanti ad una potenza del tipo x^0, con x diverso da zero. Il punto è che la definizione di potenza numerica, in realtà, prendendo in prestito la terminologia dalla fisica, è una definizione operativa. Ci dice cioè ad un tempo cos'è una potenza e come si calcola, ovvero moltiplicando la base (sempre diversa da zero) per se stessa tante volte quante indicate dall'esponente. Allora se l'esponente è 5 moltiplicherò la base per se stessa 5 volte, se l'esponente è 4 moltiplicherò la base per se stessa 4 volte, ...., se l'esponente è 1 impropriamente diciamo (o qualcuno lo dice) si moltiplica la base per se stessa una sola volta. Ma quando arriviamo all'esponente zero, quante volte devo scrivere la base? Zero volte? E come posso scriverla zero volte se lo zero denota l'assenza di qualsiasi ente? Qui, secondo me, nasce l'imbarazzo dello studente (fu anche mio a quei tempi). Il problema si risolve allora aggiungendo un ulteriore pezzo alla definizione (operativa) di potenza numerica, ovvero che x^0=1 per ogni x diverso da zero. È un'aggiunta ulteriore, dopo aver notato il difetto della definizione originaria (moltiplicate la base tante volte ....) Cioè, è bene rimarcarlo, x^0 è uguale ad 1 per definizione e solo per definizione, perché non c'è scritto nella definizione operativa principale come calcolare una potenza con esponente nullo. Il "giochetto" del filmato, deve essere chiaro agli studenti, serve solo giustificare i motivi di una tale scelta. L'apprendimento nelle scuole superiori resta comunque in parte dogmatico, perché lo studente non può afferrare tutto e tutto in una volta (nei programmi esistono gli obiettivi anche per questo). Ma gli si può comunque mettere la pulce nell'orecchio affinché col tempo diventi una persona che sappia ragionare. Purtroppo sui libri di testo tante cose non ci sono e, peggio, i docenti devono galoppare per stare al passo col programma e in sincronismo con le materie affini.
Mi trovo in accordo sull'imbarazzo dello studente, ma in disaccordo con quello della definizione errata. Provo a spiegarmi: quando si spiegano le somme, si dà per scontato che esista un numero "neutro" (mai purtroppo esplicitamente chiamato tale, ma ben intendibile dalla definizione di somma) e questo è lo zero: qualunque numero sommato zero darà come risultato sé stesso. Questo stesso principio, di numero "neutro" esiste anche per le moltiplicazioni: qualunque numero moltiplicato per 1, darà come risultato se stesso, analogamente allo zero nella somma. Tornando alla potenza come sequenza di moltiplicazioni, tale sequenza può essere sempre riscritta come 1*(a*a*a...*a) dunque l'esponente diventa il numero di a presenti nella sequenza: quando ho zero a, ciò che mi rimane è 1. Analogamente, anche le moltiplicazioni sono spesso definite come sequenze di somme a+a+a...+a Tutte le somme possono essere riscritte come 0+a+a+a...+a dunque il moltiplicatore assume lo stesso ruolo dell'esponente, ovvero contare quante volte a è presente: quando a è presente zero volte tutto ciò che ci rimane è 0, che per l'appunto è la definizione di moltiplicazione per zero. Gli studenti spesso non hanno la capacità di intravedere ciò che per noi è ovvio, come potrebbe essere l'elemento neutro di un'operazione algebrica, e sta agli insegnanti metterli nelle condizioni di comprendere. Se solo si insegnasse la matematica per quella che è e non come una lingua straniera fatta di simboli (i numeri) e regole (le operazioni) che così sono perché non si sa bene chi ha deciso che così debba essere, avremmo studenti estremamente più preparati e meno spaventati da quella che loro credono sia matematica ma che in realtà non è altro che becero e fine a se stesso (fuori dai giusti contesti) calcolo numerico.
@@gnappoforever «Mi trovo in accordo sull'imbarazzo dello studente, ma in disaccordo con quello della definizione errata.» In realtà non parlo di definizione errata, ma di definizione incompleta, ogni volta che la definizione di potenza (indicata col simbolo a^k) vien data come prodotto di k fattori tutti uguali ad a (ovvero moltiplicando a per se stesso k-volte). Questo tipo di definizione presenta però due criticità. La prima, bypassabile in sordina, vien fuori quando k=1. Infatti, applicando direttamente la definizione (operativa), a^1 risulterebbe uguale al prodotto dell’unico fattore a. Solo che è un po’ improprio parlare di moltiplicazione in cui è presente un unico fattore, essendo tale operazione definita su un prodotto cartesiano ( _ • _ : RxR -> R) quindi operante su coppie di numeri. Nel caso di k=1, comunque, lo studente applica direttamente la definizione di potenza senza commettere errori: ritrovandosi infatti nel calcolo soltanto la base della potenza, la riconosce immediatamente come il risultato finale. (Sostanzialmente fa un ragionamento errato che però porta ad un risultato corretto) La seconda criticità si ha per k=0. In questo caso, seguendo la definizione (operativa) di potenza, si dovrebbe scrivere la base zero-volte, il che lascia ovviamente basiti, dovendo scrivere la base senza però poterla scrivere. Lo studente allora darà alla potenza a^0 valore zero, proprio perché non ci sono fattori da moltiplicare, ovvero (mettendo la frase in positivo) perché ci sono zero fattori, quindi il risultato lo legge come zero. Sul libro di testo “La Matematica a colori” di L. Sasso viene specificato che la definizione di potenza, data come prodotto della base multiplicata per se stessa tante volte quante indicate dall’esponente, vale solo se l’esponente è strettamente maggiore di 1, ampliandola subito dopo per i restanti valori dell’esponente (k=0,1) ponendo a^1=a e a^0=1 Non so’ se sono stato chiaro. «Tornando alla potenza come sequenza di moltiplicazioni, tale sequenza può essere sempre riscritta come 1*(a*a*a...*a) dunque l'esponente diventa il numero di a presenti nella sequenza: quando ho zero a, ciò che mi rimane è 1. » Perfettamente d’accordo, però si tratta una definizione diversa da quella solitamente presente nei libri di testo. Avendoci pensato, volevo utilizzarla anche io a lezione, solo che cambiare una definizione può poi comportare un successivo aggiustamento di molti degli argomenti che seguono. L’ideale sarebbe che ogni docente prepari il suo libro di testo, così il filo logico sarebbe ben percepito dai ragazzi. La faccenda in entrambi i casi ci si può ritorcere contro, almeno in termini di tempo.
@@ec7092Sei stato chiarissimo Riassumendo, il mio punto voleva essere proprio quello: la definizione di per sé non è errata, purché si mettano tutte le dovute precondizioni e si diano agli studenti i mezzi per comprendere ciò che stanno studiando. Che spesso nella scuola si vada di corsa (per raggiungere determinati obiettivi, senza preoccuparsi del come vengano raggiunti) e si omettano molti dettagli è noto ed è proprio ciò che ritengo deleterio, almeno nella matematica (anche se lo stesso ragionamento può essere applicato a tutte le discipline) Quello che suggerisci è specchio di quella che talvolta è la realtà universitaria: libri di testo usati come sostegno a dispense, appunti o veri e propri altri libri scritti dai professori che tengono i corsi. Sono grato alla mia esperienza di non esser stata dogmatica, ma pragmatica: forse non sarò stato il migliore degli studenti visto che non sono mai riuscito ad imparare a memoria per lunghi periodi formule, teoremi o dimostrazioni, ma ringrazio i miei insegnanti (di ogni grado) di avermi fatto apprendere come quelle stesse formule e quei teoremi possano essere ricavati e ricostruiti conoscendo le "poche" regole assiomatiche che la matematica richiede. Mi ha fatto veramente piacere leggere da parte di un insegnate una visione così aperta, sebbene di difficile applicazione pratica. Chiedo scusa per lo svarione fuori tema e tanti auguri di buona Pasqua
@@gnappoforever Ricambio di cuore gli auguri per una buona Pasqua e anche per una buona Pasquetta (altrettanto importante per staccare la spina, soprattutto per chi insegna) Nessun fuori tema, anzi! ... devo andare che mi chiamano.
hai scritto: "... se l'esponente è 1 impropriamente diciamo (o qualcuno lo dice) si moltiplica la base per se stessa una sola volta." No! Moltiplichi la base per se stessa una sola volta se l'esponente è 2, per due volte se l'esponente è 3, e via dicendo ... Con esponenti 1 e 0 (all'infuori della dovuta dimostrazione logica), osserviamo l'inghippo con occhio metafisico. Se l'esponente è 1, vediamolo come una povera base abbandonata a se stessa. Se l'esponente è 0, vediamolo come una qualsiasi base ingurgitata da un buco nero di diametro 1.😉
In questo video è stato commesso un errore quando si divide per zero: non c'é nesuna "indefinizuone" quando si tratta di semplici numeri, il problema sorge quqndo si ha a che fare con altre cose Ripeto in matematica non c'é niente di indefinito quando si tratta di dividere semplici numeri (magari sono operazioni insolite, il suffisso indefinito è un residuo degli primi srudiosi che tentarono di trattarli in modo rigoroso)
minuto 4:20 : la proprietà delle potenze usata NON E' VALIDA QUANDO LA BASE E' ZERO !!! Altrimenti avremmo anche : 0^4 = 0 = 0^6 / 0^ 2 = 0/0 che è palesemente errato!!
Professore mi scusi lei ha applicato una proprietà e dimostrando che partendo dall'assunto della proprietà il risultato sia uno, ma se teoricamente (5 potenziato 0), come è possibile che un numero potenziato per il nulla faccia ridurre il numero ad 1. Addirittura depotenziando 5 rendendolo 1 e non potenziandolo o facendolo rimanere uguale? perchè sembrerebbe che secondo l'assunto della proprietà che lei mostra la potenza 0 sottrae potenza al numero iniziale e non ne aggiunga... in ogni caso riconosco la mia completa ignoranza in materia e la mia incapacità a comprenderla mi scuso per possibili errori che ho scritto, spero sia comprensibile.... Se potessi mettermi in discussione da solo per cercare di farvi capire(se qualcun altro mi volesse aiutare nella comprensione) meglio che voglio scrivere: penso che la "potenza" intesa come crescita del numero sia sbagliata 5 non è più potente di 4 ,lol Ma al contempo la mia domanda nasce dal presupposto un numero potenziato per il nulla come può ridursi a una unità perdendo 4 unità in una logica reale e non matematica per quanto l'assunto sia giusto e verificato sembra non essere applicabile alle leggi della nostra realtà
@@ValerioPattaro Il mio errore é cercare di immaginare nel mondo reale una possibile applicazione a questa teoria o assunto o proprietà, ma ancora non sono capace , chiedo scusa se le ho fatto perdere tempo
Gentile Professore l'argomentazione qui presentata dice che volendo conservare la proprietà formale a^m : a^n = a^(m−n) (con basi reali positive) anche nel caso in cui m-n=0 è necessario definire a^0=1; essa non prova (perché non può farlo) che a^0=1 per a>0: dire a^0=1 presuppone di sapere chi sia a^0, ossia che a^0 sia stato definito altrimenti non è possibile provare che è uguale ad alcunché. P.S. L'ho imparato a mie spese quando al primo anno di matematica a Padova ci chiedevano di capire esattamente perché le definizioni vengono date in un certo modo.
Io la sapevo così: se proviamo a elevare 4 ad un numero sempre più piccolo (es. 0,0000002 e poi 0,00000000000002) il risultato tende a 1. Forse si poteva scrivere con i limiti. Se non sbaglio: il limite per x->0 di Y^x =1 ove Y diverso da 0.
Applicando lo stesso tipo di ragionamento, possiamo osservare che 1/1 fa 1, 2/2 fa 1, 3/3 fa 1, ecc. e quindi trarre la regola generale che ogni numero diviso se stesso fa 1. Ma allora 0/0 fa 1, e 0^0 fa 1 di conseguenza. Trova l'errore nella frase precedente, e usalo per argomentare che il contenuto del video non è una dimostrazione :)
@@ValerioPattaro L'errore era cercare di trarre una regola generale da un insieme finito di esempi. In questo caso, la proprietà di rapporto di potenze osservandola in azione sul numero 4: se non dimostrata, non la si può usare per concludere alcunché, se si fa invece riferimento alla sua dimostrazione "da manuale" essa assume già che x^0=1, quindi si entra in un circolo improbandum (penso per esempio a una dimostrazione per esponenti naturali per induzione, il caso base richiede di dimostrare proprio x^0=1). E pensandoci bene non può essere altrimenti: la proprietà è un assioma*, non può essere dimostrata attraverso altra conoscenza, ma solo motivata con esempi come quello del video Leggendo i commenti, però, sembra che più di qualcuno l'abbia scambiata per una dimostrazione :o *o si può dimostrare usando un sistema assiomatico diverso, spostando il problema su altri asiomi
Perché, se ricordo bene la dimostrazione matematica del mio prof delle superiori, è equivalente a moltiplicare 4 elevato alla prima per 4 elevato alla -1 il cui risultato è 4x1/4 cioè 4/4 che semplificato fa appunto 1 come risultato, la dimostrazione ovviamente vale per tutti i numeri elevati a 0....
Non tocco matematica da 7 anni, e rendermi conto del fatto - teoricamente scontato - che scomponendo il numero con esponente avevo di fatto un numero moltiplicato n volte per sé, e questo giustificava il motivo per cui potevo effettuare la sottrazione degli esponenti, mi ha atto implodere il cervello. Spiegato così avrei avuto molta meno difficoltà a ricordarlo.
E' molto semplice: Se moltiplicando quattro alla prima per quattro, otteniamo quattro alla seconda, e moltiplicando quattro alla seconda per quattro, otteniamo quattro alla terza, e moltiplicando quattro alla terza per quattro, otteniamo quattro alla quarta e vi discorrendo, allora è altresì vero che dividendo quattro alla quarta per quattro otteniamo quattro alla terza, e dividendo quattro alla terza per quattro otteniamo quattro alla seconda, e dividendo quattro alla seconda per quattro otteniamo quattro alla prima, e dividendo quattro alla prima per quattro otteniamo quattro alla... Zeresima?
Si puo anche fare una progressione inversa 4^3= 64 poi 4^2=16 poi 4^1=4 dopo 4^0 =1 cioe Dividendo per 4 i vari fattori alla fine in regressione ( es 64/4=16 /4 =4 /4=1-Forse saro ingenuo pero ci provo
Non capisco perché usare la divisione. E' molto più semplice usare la moltiplicazione dove da a^m*a^n=a^(m+n) che è del tutto ovvia almeno per m ed n interi positivi segue che a^0*a^n=a^(0+n)=a^n e quindi a^0 deve essere neutro per la moltiplicazione, ovvero a^0=1. Questo spiega anche perché 0^0 è indefinito senza bisogno di usare 0/0 (cosa peraltro inspiegata nel video): infatti poiché 0^n=0 per ogni n positivo l'eguaglianza 0^n=0^0*0^n resta verificata qualunque numero si sostituisca a 0^0.
In alcuni commenti mi avete chiesto di spiegare perchè zero fattoriale è uguale a uno. Ecco qui: ua-cam.com/video/lEubS6eflco/v-deo.html
Ho finito la scuola lo scorso anno, tuttavia ho trovato nella home questo video e ci ho cliccato subito dato che nessun professore mi ha mai spiegato il motivo di questo risultato
Quoto totalmente!!!
Idem
Grazie Professore, trovo che sia una spiegazione semplicemente perfetta, che ha chiarito completamente l'argomento, anziché enunciarlo come un dogma calato dall'alto. Ancora grazie.
Sempre un piacere ascoltare le sue spiegazioni professore. Grazie.
non è vero
@@caterinafiore4910 cosa *non è vero?* 😲
@@caterinafiore4910 cosa?
se un prof a scuola te lo cala come un dogma non è un buon professore. senza nulla togliere alla ottima spiegazione data in questo video
La parentesi sulla proprietà riflessiva dell'uguaglianza mi ha quasi commossa. Ricordo che al primo anno di liceo il mio prof di matematica disse che "uguale significa uguale" e non significa "il risultato di quello che c'è a sinistra è quello che c'è a destra". Questa semplice osservazione ha cambiato totalmente il mio modo di guardare la matematica, equazioni e formule hanno assunto un senso tutto nuovo di colpo.
I tuoi video vanno oltre la matematica in se...perchè fanno capire come una materia "ostica" come la matematica o la fisica in realtà possono essere trasmesse e "decodificate" in linguaggio umano solo dalla bravura di chi le spiega. Complimenti Valerio i tuoi video li farei guardare agli studenti ma soprattutto ai professori!
Sono capitato per caso oggi sul tuo canale e devo dire che ne sono rimasto entusiasta, ...non vedo l'ora di guardare glil altri tuoi video. Grandissimi complimenti per la capacità espositiva e per gli argomenti. Un ssaluto, Stefano Cassiani - Modena
Ciao mi sono iscritto, non ho cercato questo video, mi è capitato tra i consigliati, ma complimenti, non sapevo neanche di avere questa curiosità dai tempi della scuola😁
Ne è passato di tempo dalla scuola e sinceramente non ricordo di aver ricevuto una spiegazione così esauriente. La ringrazio per questo insegnamento, con molto piacere mi iscrivo al suo canale. Capire è la chiave per imparare ed è bellissimo
Un approccio diverso consiste nel calcolare le potenze di una base partendo da una potenza > 0 andando a ritroso (così si comprendono anche le potenze negative).
Esempio (con base 2):
2⁵=32
2⁴=16 ovvero 2⁵ / 2
2³=8 ovvero 2⁴ / 2
2²=4 ovvero 2³ / 2
2¹=2 ovvero 2² / 2 (continuiamo a dividere per la base) quindi:
2⁰ = 1 ovvero 2¹ / 2 (ed è vero per ogni base infatti a¹ / a = 1 sempre)
Possiamo continuare anche con le potenze negative:
2^(-1) = 1/2 ovvero 2⁰ / 2
2^(-2) = 1/4 ovvero 2^(-1) / 2
2^(-3) = 1/8 ovvero 2^(-2) / 2
.
.
.
ai ragazzi l'ho sempre spiegato così, molto chiaro e intuitivo
aiutami a crescere, grazie!!! ua-cam.com/video/M4uX0_Zmfec/v-deo.html
La sua spiegazione è stata ottima. A scuola amavo queste cose. Poi mi ha sempre affascinato l'analisi matematica, nonostante che può essere fatta anche ad un livello alto e quindi complesso.
Non so per quale motivo era in homepage ma mi ha incuriosito molto, e sinceramente avrei voluto avere Lei come professore alle superiori perché ha spiegato un concetto in un modo così semplice che, tornando indietro nel tempo coi ricordi che avevo, mi capitava addirittura di star male settimane per questa materia.
Io non capivo le spiegazioni e il mio ex professore non capiva perché io non comprendessi ciò che lui spiegava in modo del tutto incomprensibile.. che paradosso.. 😅 Grazie per il video, davvero interessante!
Io sono un ignorante totale sulla matematica, ma dopo aver visto questo video (che incredibilmente sono riuscito a comprendere, quindi vuol dire che tu hai degli oggettivi super poteri) mi sono iscritto al canale.
Sei un grande.
Numeri naturali
1. Espressioni con numeri naturali
ua-cam.com/video/q1Vh-fB02t0/v-deo.html
2. Proprietà delle potenze
ua-cam.com/video/KttXXe5BMDU/v-deo.html
ua-cam.com/video/S5KImYQscoA/v-deo.html
3. Scomposizione in fattori primi e MCD
ua-cam.com/video/w3ZpydEr5mQ/v-deo.html
4. Scomposizione in fattori primi e mcm
ua-cam.com/video/EJgn-345QO4/v-deo.html
Numeri interi relativi
5. Espressioni con numeri relativi (senza potenze)
ua-cam.com/video/_cT4g6TblEg/v-deo.html
6. Espressioni con numeri relativi (con potenze)
ua-cam.com/video/Gj3wgvPseEo/v-deo.html
ua-cam.com/video/2hzDhoXs3Ag/v-deo.html
ua-cam.com/video/Sp4vVphnaGQ/v-deo.html
7. Espressioni con numeri relativi (con valori assoluti)
ua-cam.com/video/oZ3WfJCpOKA/v-deo.html
Numeri razionali
8. Trasformare una frazione in numero decimale (senza calcolatrice)
ua-cam.com/video/q5LuebtZWk4/v-deo.html
9. Trasformare un numero decimale in frazione
ua-cam.com/video/oCSSqUOYaq8/v-deo.html
10. Sommare e sottrarre frazioni
ua-cam.com/video/-Vdw7yp5tB4/v-deo.html
11. Percentuali
ua-cam.com/video/aeDqJU6qEKo/v-deo.html
ua-cam.com/video/JHIV83VU70A/v-deo.html
ua-cam.com/video/GFoQxIF84mw/v-deo.html
12. Espressioni con frazioni (senza potenze)
13. Espressioni con frazioni (e potenze)
ua-cam.com/video/nvPIkNvuDdM/v-deo.html
14. Espressioni con frazioni (e potenze con esponenti negativi)
ua-cam.com/video/XKQbeFKka6Y/v-deo.html
15. Espressioni con numeri decimali e frazioni
ua-cam.com/video/D7WSXPSgxQc/v-deo.html
16. Espressioni con frazioni a castello
ua-cam.com/video/_jHvIkFJERw/v-deo.html
17. Notazione scientifica
ua-cam.com/video/Nr2iSAeKXck/v-deo.html
18. Proporzioni
ua-cam.com/video/zA5BogUQmbI/v-deo.html
ua-cam.com/video/mB_puqqewnI/v-deo.html
ua-cam.com/video/VTxmJgCiHls/v-deo.html
Monomi e polinomi
19. Espressioni polinomiali (senza prodotti notevoli).
ua-cam.com/video/q2z-XWNu_lw/v-deo.html
20. Prodotti notevoli
ua-cam.com/video/siNPLVNmEnc/v-deo.html
ua-cam.com/video/THg0YysbE0M/v-deo.html
ua-cam.com/video/bOfWJmI9oBA/v-deo.html
21. Espressioni polinomiali (con prodotti notevoli).
ua-cam.com/video/WLq411hRVQA/v-deo.html
22. Divisione con resto tra polinomi
ua-cam.com/video/3g_IfmP56SU/v-deo.html
23. Fattorizzazione dei polinomi
ua-cam.com/video/nZ1aQ66dC0Y/v-deo.html (teorema del resto)
ua-cam.com/video/EW6SAi20Kno/v-deo.html (riconoscimento p. notevoli)
ua-cam.com/video/Paf14cWR5HI/v-deo.html (trinomio speciale)
ua-cam.com/video/6V3hfZykqzk/v-deo.html (trinomio speciale)
ua-cam.com/video/uP1BFfaFev8/v-deo.html
ua-cam.com/video/iWrVlFlCTJs/v-deo.html
ua-cam.com/video/uP0Y6veYNiw/v-deo.html (scomp peruviana)
Frazioni Algebriche
24. Somma e sottrazione di frazioni algebriche
ua-cam.com/video/e39T-4-20w0/v-deo.html
25. Moltiplicazione, divisione e potenze di frazioni algebriche
ua-cam.com/video/jO8Mscc_3T8/v-deo.html
26. Espressioni con frazioni algebriche
ua-cam.com/video/HWCEM16M8LY/v-deo.html
Equazioni di primo grado (o ad esse riconducibili)
Extra: storia delle equazioni
ua-cam.com/video/5u8kAP8K0nw/v-deo.html
27. Equazioni di primo grado a coefficienti interi
ua-cam.com/video/dRZL9Q2hhJE/v-deo.html
28. Equazioni di primo grado a coefficienti frazionari
ua-cam.com/video/v1PaznEBabY/v-deo.html
29. Equazioni riconducibili al primo grado tramite legge di annullamento del prodotto
ua-cam.com/video/fiesaCxBJag/v-deo.html
30. Equazioni frazionarie riconducibili al primo grado
ua-cam.com/video/BW1QU_atVgg/v-deo.html
31. Equazioni di primo grado letterali
Disequazioni di primo grado (o ad essi riconducibili)
32. Disequazioni di primo grado.
ua-cam.com/video/LshJLaNzzFg/v-deo.html
33. Disequazioni riconducibili al primo grado tramite regola dei segni
ua-cam.com/video/2Ul3Tk-tZR8/v-deo.html
34. Disequazioni frazionarie di primo grado
ua-cam.com/video/x6IznP_y-V8/v-deo.html
35. Disequazioni di primo grado parametriche
Sistemi di equazioni e di disequazioni di primo grado
36. Sistemi lineari, metodo di sostituzione
ua-cam.com/video/D2ei8sITwIQ/v-deo.html
37. Sistemi lineari, metodo del confronto
ua-cam.com/video/SgrSNVO_LE0/v-deo.html
38. Sistemi lineari, metodo di riduzione
ua-cam.com/video/fOPMS2vl77I/v-deo.html
39. Sistemi lineari, metodo di Cramer
ua-cam.com/video/qBf5SiNlQVU/v-deo.html
40. Sistemi lineari Parametrici
41. Sistemi di disequazioni lineari
ua-cam.com/video/qygmLTdXC0c/v-deo.html
Radicali
42. Prodotti e divisioni con radicali numerici (anche con indici diversi)
ua-cam.com/video/UUgmFsfJ2WY/v-deo.html
43. Prodotti e divisioni con radicali letterali (anche con indici diversi)
ua-cam.com/video/iBvOW2L4AB8/v-deo.html
44. Espressioni con radicali letterali e condizioni di esistenza
ua-cam.com/video/T29JNZkUK2s/v-deo.html
45. Portare dentro e fuori dal segno di radice
ua-cam.com/video/95ytYKGg3zw/v-deo.html
46. Potenze e radici di radicali
ua-cam.com/video/2-xOLciaCrA/v-deo.html
47. Razionalizzare il denominatore di un radicale
ua-cam.com/video/sOgQ2Q8A4js/v-deo.html
48. Espressioni con radicali (senza prodotti notevoli)
ua-cam.com/video/sOgQ2Q8A4js/v-deo.html
ua-cam.com/video/xEGEygAjRdA/v-deo.html
49. Espressioni con radicali (con prodotti notevoli)
ua-cam.com/video/jLZlTvHjl6U/v-deo.html
50. Espressioni con radicali (con radicali doppi)
ua-cam.com/video/Mr0-IokII6Y/v-deo.html
51. Equazioni e sistemi lineari con i radicali
ua-cam.com/video/xE_CCdBYTH4/v-deo.html
52. Potenze con esponente razionale
ua-cam.com/video/0LGplVIVRzs/v-deo.html
Equazioni e sistemi di secondo grado (o ad esse riconducibili)
53. Equazioni di secondo grado
ua-cam.com/video/mzEyabWASvo/v-deo.html
ua-cam.com/video/AxPHI0f2Yog/v-deo.html
ua-cam.com/video/GetpsTrLKZM/v-deo.html
54. Equazioni frazionarie riconducibili al secondo grado
ua-cam.com/video/lBl4QlDIW8w/v-deo.html
55. Equazioni di secondo grado letterali
ua-cam.com/video/dc_oV-9Ex2c/v-deo.html
56. Somma e prodotto delle soluzioni di un’equazione di secondo grado
ua-cam.com/video/032vEtuJB94/v-deo.html
ua-cam.com/video/B2Z3Qrjb37M/v-deo.html
57. Scomporre un trinomio usando l’equazione di secondo grado
58. Sistemi di secondo grado
59. Equazioni di grado superiore riconducibili al secondo grado
ua-cam.com/video/GQYuZJLKYAI/v-deo.html (binomie)
ua-cam.com/video/mffZRxyJgok/v-deo.html (trinomie)
Disequazioni e sistemi di secondo grado (o ad essi riconducibili)
60. Disequazioni di secondo grado
ua-cam.com/video/dvHO_iV0-S0/v-deo.html
61. Disequazioni di grado superiore al secondo
62. Disequazioni fratte
ua-cam.com/video/QwkmLNUAbFk/v-deo.html
ua-cam.com/video/6u9UdjNtmnE/v-deo.html
ua-cam.com/video/5oMXXEJDhw4/v-deo.html
63. Disequazioni letterali
64. Sistemi di disequazioni
ua-cam.com/video/WqzUBmGFHfg/v-deo.html
ua-cam.com/video/mxVmvmUYgY0/v-deo.html
Equazioni e disequazioni irrazionali e con valori assoluti
65. Equazioni con valori assoluti
ua-cam.com/video/LO_90Y_TFuA/v-deo.html
66. Disequazioni con valori assoluti
ua-cam.com/video/qdRSLVBvojI/v-deo.html
ua-cam.com/video/8xuXCGJiHV0/v-deo.html
67. Equazioni irrazionali
ua-cam.com/video/UWtnCzOeWZ8/v-deo.html
68. Disequazioni irrazionali
Calcoli a mente in modo rapido
ua-cam.com/video/_i67fFJCD-Y/v-deo.html
ua-cam.com/video/nvSYIapDl3g/v-deo.html
ua-cam.com/video/84h16r42tDE/v-deo.html
ua-cam.com/video/ZbZqk--YIxM/v-deo.html
ua-cam.com/video/g4KcFZZiKWQ/v-deo.html (logaritmi)
Ciao, Valerio. Apprezzo sempre la tua chiarezza. In questo caso, però, trovo che ci sia una imprecisione di approccio: a^0 = 1 (con a 0) per definizione. Non è una proprietà derivante dalle proprietà delle potenze. Al contrario, è l'unica definizione possibile affinché le proprietà continuino a valere in tutti i casi, come hai ben mostrato.
è errata anche la proprietà usata al
minuto 4:20 : la proprietà delle potenze usata NON E' VALIDA QUANDO LA BASE E' ZERO !!! Altrimenti avremmo anche :
0^4 = 0 = 0^6 / 0^ 2 = 0/0 che è palesemente errato!!
In matematica si sceglie cosa definire e cosa dimostrare.
Una possibilità è definire le potenze per ricorsione; in tal caso 4^0=1 per definizione.
Un'altra possibilità, ed è quella più diffusa in algebra e in analisi, è quella di calcolare le potenze a esponente nullo applicando le proprietà della moltiplicazione, che è quello che ho fatto in questo video.
@@pinomugo8960 ho capito ora cosa intendevi. Sì, giusta osservazione.
0^0 è solo accennato nel video ma la spiegazione che ho dato è confutabile.
@@ValerioPattaro la spiegazione del video è utile a comprendere il perché si scelga di porre un numero elevato a zero uguale ad uno, ma non è una dimostrazione formale.
Ho pensato che possiamo dimostrarlo anche facendo così:
x³:x⁰=x³-⁰=x³
Quindi per x³:x⁰=x³ l'unico valore possibile di x⁰ per verificare l'uguaglianza è 1, forse così non spiega il perché non dovrebbe essere 0 ma per un attimo ho pensato a questa spiegazione, da studente delle superiori
Altra spiegazione validissima.
Non confondiamo una spiegazione "intuitiva" con una dimostrazione. Sono concetti differenti. La spiegazione del video è un ottimo modo per capire il perché un numero non nullo elevato a zero dia come risultato uno. Ma non è una dimostrazione neanche quella.
La dimostrazione di oggi, son riuscita a seguire bene, senza fusioni celebrali, anche perché il concetto mi era già chiaro! Grazie, Sempre l'ottantenne pensionata, ex, maesta elementare. Buona Pasqua. E grazie❤️
Quella del video non è una dimostrazione però.
Grazie alla sua spiegazione ho capito rapidamente anche questo dilemma che avevo ma che davo per scontato, se non lo ha già fatto ne proporrei un altro:
Non capisco perché dalla somma di due valori sotto radice non si può semplicemente elevare uno dei due addendi e poi "estrarlo" mentre si può fare solo se tra i due si esegue il prodotto.
Perché la radice non è una funzione lineare.
Da spiegare è un po' lungo.
Gracias....un placer seguir sus explicaciones
Clarisimo!
De nada
Mi piacciono le tue spiegazioni perchè sono chiare come la luce del sole Grazie!❤
grazi professore trovo che sia una spiegazione semplicemente perfettache ha chiaritocompletamente
L'estrazione di radice può essere considerata come una operazione di elevazione a potenza inversa quindi reiterando a partire da x elevato a n l'operazione di estrazionee di radice su tutti i risultati ottenuti si fa tendere a zero l'esponente n e dopo un certo numero z di estrazioni si arriva ad 1 qualunque sia il valore di n di partenza,con la calcolatrice questo è rapido ed evidente,non conosco ad esempio la relazione tra il numero di cicli ed n e non ho gli strumenti per elaborarla ma mi ha incuriosito
Carissimo Professore! Puo' spiegare la funzione delle equazioni di secondo grado? Calcolando il Delta per i numeri reali e il delta 4 per i numeri frazionati? Mi piacerebbe moltissimo che Lei ci spieghi questo. Grazie!!!
aiutami a crescere, grazie!!! ua-cam.com/video/M4uX0_Zmfec/v-deo.html
La spiegazione è chiara e lineare, così come il ragionamento matematico per cui un numero elevato alla 0 fa 1: ma nonostante torni in matematica, se penso come ci facevano pensare alle elementari, ossia usando degli oggetti come esempi, non torna.
Mi spiego: Se io prendo 4 mele e le moltiplica 0 VOLTE per 4 mele mi restano comunque 4 mele, non 1
Link alla playlist "Aritmetica e Algebra":
ua-cam.com/play/PLM3M-5ytwzzMMaMPZT4VUtzzcectZE6DN.html
Grazie mille, spiegazione semplice e immediata, accessibile a tutti, quindi ancora più gradita!
Ed ora ho una piccola richiesta: chiedo scusa se mi è sfuggito nella vastità dei suoi video pubblicati, ma potrebbe risolvere l'elevazione a potenza di i (unità immaginaria) alla i?😱 grazie di ❤
*Bellissima spiegazione!* 👌🏻
Adoro i tuoi video.
Per favore potresti fare un video di fisica relativo alla tensione con piano inclinato e attrito ma senza accelerazione.
Cioè? Un corpo in equilibrio sul piano inclinato?
@@ValerioPattaro Si.
grazie professore mai una volta che a scuola ti spiegassero la matematica come si deve
Grazie per questo video, carissimo Valerio. Da un punto di vista esclusivamente logico, in effetti, bisognerebbe ammettere, semplicemente per definizione, che sia 4^0 = 1. In effetti, quando enunciamo la definizione di potenza, forse dimentichiamo di precisare che essa ha senso solo quando l'esponente è maggiore o uguale a due. Se l'esponente è pari ad 1, oppure a zero, la definizione di potenza perde di significato. Il fatto che un numero (diverso da 0) elevato a zero dia uno quindi dovrebbe esser ammesso per definizione. Che poi la definizione sia giustificata da quanto dici nel video è cosa senz'altro buona e giusta, ma a mio avviso bisognerebbe dichiarare PRIMA cosa si ammetta con l'espressione a^0, poi, solo poi, giustificare la posizione fatta.
@@andrea.b3lof1g0 no, non credo proprio. Ciò che significa a^0 oppure a^1, in alcun modo può essere considerato come "conseguenza logica" del significato di a^3, che significa a*a*a. Che a^1 sia pari ad a lo devi dare per definizione.
@@andrea.b3lof1g0 no, non puoi dedurre proprio niente, se PRIMA non definisci cosa tu intenda per a^0. Un po' come quando si definisce il fattoriale di un numero intero, non so se conosci l'argomento. Il fattoriale di 0, PER DEFINIZIONE, è pari ad 1. Per toglierti ogni dubbio, studia prima, BENE, il concetto di potenza e guarda la sua definizione su un testo buono. Non credo che avrai problemi a convincerti di quel che dico.
Interessante far vedere esplicitamente degli esempi con basi diverse, peccato che non hai pensato a scegliere anche una base negativa o una frazione o un numero irrazionale...(qualcuno potrebbe concludere che la proprietà vale solo per basi intere positive)
wow..... mi iscrivo immediatamente al canale😍🙏
Non ci avevo mai pensato. Bellissimo :)
Bravissimo, mi iscrivo subito
3:12 "è proprio da questa uguaglianza che nasce il motivo per cui quattro elevato a zero è uguale ad uno", cioè il motivo per cui si definisce 4( o un qualsiasi altro numero diverso da zero) elevato a zero uguale ad uno.
Un numero elevato a zero è uguale a uno per definizione, definizione che si giustifica con le uguaglianze fatte nel video.
Mi ha rimesso la voglia di studiare! Parli un po' dei limiti che mi piacevano tanto, soprattutto il concetto di infinito e infinitesimo.... grazie
C'è una playlist dedicata. Tutti i link delle playlist sono in descrizione a ogni video
@@ValerioPattaro ok
Grazie. Davvero esaustivo. Complimenti.
Nella conversione da binario a decimale il 2^0=1 era un'operazione fondamentale. Per esempio 2^4 è uguale a 15 (1111 in binario) e si calcola così: 2^3+2^2+2^1+2^0 ovvero 8+4+2+1 e così via. In 5 anni di studi di informatica alle superiori nessun professore ci ha mai spiegato il perché 2^0 fosse uguale a 1. Era una sorta di dogma. Andava considerato vero per Fede...
sul mio libro di analisi è scritto che in questo modo si commette un errore logico perché il simbolo 4^0 , finché non viene definito è privo di significato e non si può dimostrare che è uguale a niente , finché non sappiamo che cosa sia; ma più che altro in questo modo giustifichiamo il fatto di aver posto per definizione 4^0 = 1 per far valere le proprietà formali delle potenze e quindi dimostra che la definizione che si da di potenza è l'unica possibile se si vuole che valgano queste proprietà
Ci sono diversi approcci. Il tuo libro probabilmente definiva le potenze per ricorsione
Sono un tuo iscritto e seguo con attenzione e interesse i tuoi video.
Sei bravissimo e anche le cose difficili, spiegate da te sembrano facili. complimenti.
Io tempo fa ho trovato un altro modo per dimostrare che un qualsiasi numero elevato a 0 da come risultato 1.
voglio proporre alla tua attenzione questo mio metodo, fammi sapere se è un metodo valido. Grazie
Ecco una facile dimostrazione che fa comprendere perchè qualsiasi numero elevato a zero da come risultato 1
Per semplicità prendiamo due numeri che si possono trasformare il potenze, per esempio il 16 e scriviamo:
16 : 16=1 Qualsiasi numero diviso per se stesso è sempre uguale a 1. il numeri 16 però lo posso scrivere anche così (4^2) quindi:
4^2 : 4^2=1 4 elevato alla seconda : 4 elevato alla seconda da come risultato sempre 1. quoziente di due potenze con la stessa base, possiamo scrivere:
4^(2-2)=1 siccome 2-2 = 0 possiamo scrivere che:
4^0 = 1 che è sempre uguale a 1.
Ecco dimostrato che qualsiasi numero elevato a 0 è uguale a 1.
Questa è una delle tante dimostrazioni che conferma che qualsiasi numero elevato a 0 e uguale a 1, ed è la più semplice e facile da comprendere.
Grazie Valerio per la tua chiarezza. Provo una spiegazione non matematica dello stesso quesito. Se avessi un attaccapanni con tre ganci e un gruppo di quattro giacche di diverso colore avrei 64 diverse combinazioni possibili di colori sull’attaccapanni, cioè quattro elevato a tre. Se avessi un attaccapanni con 0 ganci mi rimarrebbe 1 solo gruppo indifferenziato di giacche. Quando l’attaccapanni non ha ganci e come se non avesse potenza di differenziare i colori delle giacche di un qualsiasi gruppo, così il gruppo resta sempre 1 gruppo indistinto dal punto di vista della potenza. Nel caso in cui anche il numero delle giacche fosse zero è chiaro che stiamo parlando di nulla, cioè non stiamo facendo nessuna operazione matematica.🤔
Ciao Valerio. Spieghi in qualche video perché 0 fattoriale fa 1?
Ecco qui: ua-cam.com/video/lEubS6eflco/v-deo.html
grazie mille. Sempre molto interessante.
Buonasera. Vorrei porle un quesito. Se scrivo il numero 4 e piu' sotto il numero 32 e piu sotto il 57 e ancora a finire il numero 112 ( numeri presi a casaccio il cui ordine puo`o no essere crescente) posso enunciarlo come " una serie numerica finita formata da 4 elementi cardinali" oppure devo per forza definirlo un "insieme di numeri formato 4 elementi"?? Grazie
È una successione di numeri.
La parola "serie", in linguaggio matematico, indica la somma di più numeri.
Però nella successione i numeri sono ordinati, cioè c'è un primo numero, poi un secondo etc (non per forza crescenti o decrescenti).
Anche io avevo ragionato così, in effetti vale anche per n^ ( 5 - 5 ) = n^5 : n^5 = 1 non avevo pensato alle complicazioni se n = 0 . Ora il quadro è completo grazie al video.
È la stessa cosa di fare 5*0 , 5*0 è uguale a 5-5, 5* -1 è uguale a 5-5-5 etc
Hanno delle somiglianze eh
Caro Valerio, perché non fai un video dove spieghi perché la divisione per zero non é ammessa?
In realtà questa non è la dimostrazione matematica del perché ogni numero diverso da zero elevato alla zero dà uno. La potenza è definita per ricorsione, attribuendo per definizione che x^0=1 e x^1=x. L'esempio presentato in questo video è solo un modo per convincersi che questa cosa vale.
Come spesso accade le definizioni sono SCELTE. La definizione di potenza in modo ricorsivo è una possibilità. Un'altra può essere quella di definire la potenza come quell'unica funzione che soddisfa le proprietà delle potenze (questo in realtà è l'approccio che si preferisce in analisi matematica). In tal caso il ragionamento presentato nel video è una dimostrazione
@@GaetanoDiCaprio ci sarebbe tanto su cui obiettare
@@1989thesituation Su cosa in particolare?
Meraviglioso, in pratica è come tirare fuori un coniglio dal cilindro, piegare la logica all'illogicità.
Si "crea" una regola ed il gioco è fatto, basta poco che ce vò 😁
Anche nella matematica (come nella scienza di confine ) teorie deliranti
Una domanda, ma se elevo un numero negativo a 0 il risultato è sempre 1? Seguendo la sua spiegazione, da quel che ho capito, finirei per dividere un numero negativo per lo stesso numero negativo che porta ad un risultato positivo; volevo sapere se questo ragionamento è giusto oppure mi sono perso qualcosa
Certo, sempre 1
Buongiorno
domanda forse sciocca. Se il numero fosse elevato alla -0 il risultato sarebbe sempre 1 oppure -1? Sempre che sia consentito elevare per -0.
Grazie
Salve, c'è un solo "zero", che non è nè positivo nè negativo.
Da non confondere con 0+ e 0- dei limiti che sono variabili che tendono a zero, ma non valgono zero.
Che dire?... Chiaro e semplice... grazie!
Buongiorno e grazie per i Suoi video.
D: se 2 elevato a 3 è uguale a 2 • 2 • 2 = 6, 2 elevato allo 0 perché non potrebbe essere 2 • 0?
O 2 elevato alla 0 significa 2 elevato a nulla e quindi 2?
Può chiarirmi questo mio inghippo?
Grazie
Fai confusione tra addizione e moltiplicazione.
@@ValerioPattaro grazie infinite.
Sono affetto da discalculia credo.
Con Suoi video imparerò a correggermi.
Grazie ancora.
@@ValerioPattaro ma rimane la domanda che Le ho fatto che 2 elevato allo 0 sarebbe 2 • 0, mi sbaglio?
Può aiutarmi per favore?
Certo:
2*2*2 non fa 6 ma 8. Lei ha sommato anziché moltiplicare.
Inoltre 2^0 non è uguale a 2*0 perché potenza e moltiplicazione non sono la stessa cosa.
@@ValerioPattaro grazie per il Suo tempo
La proprietà della differenza degli esponenti per stessa base vale solo se la base non è nulla ma questa proprietà non può essere usata per dimostrare che 0^0 in assoluto non esista perché se la si potesse applicare allora si potrebbe anche per 0^2=0^(3-1)=0^3/(0^1)=0(0^2)/0=(0^2)(0/0)=(0^2)(INDF)=INDF e così via per qualsiasi esponente k reale positivo (dimostrando una evidente contraddizione visto che 0^k=0) perciò il controesempio 0^k non può essere calcolato con questa proprietà, dunque ciò che ha spiegato nella parte finale del video è tutto corretto perché è rimasto all'interno della proprietà ma manca la specifica del fatto che il valore di 0^0 è indefinito solo se calcolato con questa proprietà perciò è necessario fare un ragionamento ulteriore per calcolarlo oppure bisogna dimostrarne l'indefinibilità per qualsiasi metodo, quindi l'indefinibilità assoluta; dato che manca questa parte allora è incompleta la trattazione.
Sì, hai ragione
@@ValerioPattaro dunque per caso vorrebbe fare un video riguardo a 0⁰ decidendo il risultato se 1 o INDF (senza il discorso dei limiti visto che i valori puntualj non corrispondono a quelli limite ) oppure no ? (ovviamente solo quando ha tempo e se le va)
Sì, magari lo farò. Grazie per lo spunto.
esite qualcosa come INFINITO elevato ZERO? o anch'esso è indeterminato come penso?
Professore, qualora io definissi un N come numero tale che N/N sia diverso da 1, la potenza alla 0 di N cosa sarebbe?
Non puoi definire un numero N che goda di tale proprietà. Assumendo che N non sia nullo, moltiplicando ambo i membri per N stesso, otteresti N diverso da N.
@@mechabit78 Certo che posso definirlo. Un esempio pratico potrebbe essere lo zero stesso, che è un numero che soddisfa tali condizioni.
Ripeto, non puoi. Te l'ho dimostrato. A maggior ragione è sbagliato l'esempio che porti. Perchè 0/0 non è un ente matematico definito.
@@mechabit78 non otterrei N diverso da N perché se N/N è diverso da uno per definizione allora io ottengo al massimo che N^2/N sia diverso da N. Quelli che intendo è che moltiplicando entrambi i membri ottengo N*N/N=N, ma non posso togliere uno dei due N dividendi con l'N divisore considerandoli uguale a 1 come si fa per i numeri reali
La tua dimostrazione presuppone che N/N sia uguale a uno e lo usa per poi dire che la mia definizione porta a contraddizione ma ciò è falso
Cercherò di essere più esaustivo. Data l'assurdità della tua ipotesi ho creduto che due righe di dimostrazione ti convincessero. Ricomincio, allora. Hai preso un numero N che potremmo suppurre naturale (non è una ipotesi restrittiva). Hai definito una proprietà. Prima domanda da porsi: l'insieme dei numeri naturali che verificano tale proprietà è non vuoto? Va dimostrato. Stiamo parlando di numeri naturali e come tali, godono di tutta una serie inalienabile di proprietà, tra le quali quella che un numero diviso se stesso fornisce l'unità. Proprietà che ho appliccato nella dimostrazione e che prova che l'insieme dei numeri che godono della proprietà che ha proposto è l'insieme vuoto.
Professore, ma perchè nei numeri primi non c'è 1. Non ha senso, ce lo può spiegare? Grazie
Perché la definizione di numero primo è "qualsiasi numero naturale che abbia due e solo due divisori naturali distinti" oppure "qualsiasi numero naturale maggiore di 1 divisibile solo per sé stesso e 1".
In realtà basta poco per capire perché 1 non può essere considerato primo. Basta guardare il teorema fondamentale dell'aritmetica che dice che ogni numero naturale maggiore di 1 o è primo o si può rappresentare come prodotto di numeri primi e questa rappresentazione è unica, se si prescinde dall'ordine.
Se 1 fosse primo, ogni numero avrebbe infinite rappresentazioni in prodotti di numeri primi.
Una di quelle spiegazioni che mi fanno bollire il sangue. Per conoscere quanto fa una potenza, devo saper fare altre potenze?
Stessa storia per il solito 0! = 1, per "saperne" il risultato devo procedere a ritroso?
Perché 0^0 fa 1? Rispondere perché ogni cosa elevata alla 0 fa 1 è di una superficialità disarmante.
È la cosa più illogica che abbia mai sentito, praticamente non si fa altro che dedurne il risultato, senza calcolarlo effettivamente.
La soluzione che mi do io è molto più semplice e più sensata.
Partendo dal presupposto che moltiplicare per uno non varia l'altro fattore, basta immaginare ci siano sempre uno o infiniti uni a moltiplicare qualunque cosa si voglia calcolare. Questi uni sono trascurabili quando l'altro fattore ha un valore, ma non nei casi sia nullo.
L'esempio per questo video sarebbe:
4² = 1 • 4 • 4 = 16
4⁰ = 1 = 1
Essendo che devo moltiplicare 4, 0 volte, resta solo l'uno.
0! = 1 per lo stesso motivo
0^0
0¹ = 1 • 0 = 0
0⁰ = 1
Trasgredisco a qualche regola della matematica professore? Mi faccia sapere
0⁰ non fa 1 ma è indefinito.
Ciao Valerio, potresti parlare della scala di Plank
Bella spiegazione.. finalmente ho capito questa potenza
Ciao. Mi sto chiedendo una domanda o una curiosità che mi viene in mente. Perché le radici quadrate di un numero sono sempre positive e non valgono più o meno? Esempio: perché la radice di 9 vale solo 3 e non +-3? Se vuoi ci potresti fare un video al riguardo?
Perché +3 e -3 sono le risposte a un'altra domanda: "Quali sono i numeri reali che elevati al quadrato danno 9?" E quelli sono in effetti +3 e -3. Ma la radice di 9 è solo 3, -3 è l'opposto della radice di 9. Lo si capisce meglio se consideri un numero che non è un quadrato perfetto, ad esempio 2: Non si può dire che la radice di 2 è pari a + o - radice di 2, altrimenti avresti un numero che è uguale, oltre che a se stesso, anche al suo opposto
Perché la radice quadrata è una funzione, una funzione è una relazione che associa un elemento del dominio ad uno del condominio, da x a f(x). Una funzione non può dare due risultati diversi.
Detto questo ogni numero ha due radici "più radice quadrata di" e "meno radice quadrata di".
La funzione reale di radice quadrata è definita dall'insieme dei numeri reali non negativi (dominio della funzione) all'insieme dei numeri reali non negativi (codominio della funzione). Ogni funzione, per definizione, associa, ad un elemento del dominio, uno ed un solo elemento del codominio. Pertanto la radice quadrata di 9 è 3. L'osservare che il quadrato di -3 faccia 9 può trarre in inganno se non si ha ben chiaro il concetto di funzioni invertibili. La funzione radice lo è sempre, la funzione quadrato no (ne si limita il dominio per rendere la restrizione invertibile). Quindi è errato dire, ad esempio: "9 ha per radice quadrata 3 e -3 perchè 3 al quadrato fa 9 e -3 al quadrato fa 9". L'errore deriva appunto dall'errata convinzione di poter trattare sempre dunzione radice e funzione quadrato come una inversa dell'altra sempre.
capisco quello che dici , ma se 4 alla 2° è uguale a 4X4 , 4alla 0 non dovrebbe essere 4X0? cioè perche cambia completamente ragionamento ?
4^2^0 è uguale a (16)^0 che fa 1. (4^2)^0 è uguale a 4^(2*0) ovvero 4^0 che fa 1
come si fa la caponata di carote?
Grazie Professore. Ma non capisco perché si dicono frasi come 4^5 equivale a 4 moltiplicato per se stesso 5 volte. In realtà le moltiplicazioni sono 4. Non sarebbe più corretto dire che a^b equivale ad a moltiplicato per se stesso (b - 1) volte? Oppure che equivale a un prodotto in cui l'unico fattore a compare b volte? Non voglio polemizzare, ma la definizione tradizionale mi è sempre parsa un po' ambigua (non sono un matematico).
Le moltiplicazioni sono 5 in verità, si tende sempre a dimenticare che per ogni moltiplicazione è sempre possibile moltiplicare x 1 ed avere il risultato dell'operazione.
Non solo, 1 è proprio il numero "speciale" delle moltiplicazioni, così come 0 lo è per le somme (sommare qualcosa con 0 restituisce quel qualcosa)
In algebra si chiamano "identità" ovvero funzioni che dato un elemento restituiscono come risultato quello stesso elemento
Se ti ho confuso col commento di prima, il discorso è ancora più semplice: l'esponente non conta il numero di moltiplicazioni, ma quante volte il numero 4 appaia nell'espressione equivalente: anche se si hanno meno operazioni, per scrivere la corretta espressione equivalente avremo bisogno di scrivere cinque volte il numero 4
Grazie delle risposte, Davide. Vedrò di approfondire.
infatti, detta così, la frase è sbagliata, altrimenti n^2 dovresti moltiplicare la base per se stessa 2 volte, mentre sappiamo che si moltiplica una volta sola.
Sarebbe corretto dire che 4^5 è il prodotto di 5 fattori uguali alla base 4.
Una cosa che tutti sanno ma che nessuno comprende veramente, belli i suoi video. Potrebbe portare anche qualcosa riguardo alla frazioni algebriche ? Ps non sto chiedendo adesso oppure obbligando.
Arriverà presto
Ottima spiegazione👍
Ciao Valerio, non so se lo hai fatto ma puoi fare un video di 0 elevato alla 0 ? Grazie.
0^0 è privo di significato, però si può calcolare il limite.
Ne parlo qui:
ua-cam.com/video/tSOYoGRr6kY/v-deo.html
@@ValerioPattaro Esattamente il video che cercavo, mi era sfuggito !!! Grazie Valerio.
molto Chiaro, Grazie!
La matematica è affascinante, ma mi convico sempre di più che alla fine sia solo un giochetto autoreferenziale. In poche parole : la matematica può aiutare a descrivere la realtà,ma la realtà non è matematica.
La matematica è un linguaggio o una lingua, come l'Italiano, descrive la realtà o almeno la nostra visione della realtà o il nostro modello di realtà, solo che lo fa molto meglio di qualsiasi altro linguaggio.
Ottima spiegazione, grazie
Chiarissimo...però che significa una potenza "zero" ? Nel mondo reale, se ho un litro d'acqua e lo elevo alla terza potenza ottengo 1000 litri,un metro cubo. Se elevo 4 litri d'acqua alla potenza di zero ottengo 1 litro ? 🙂
Nel mondo reale non puoi elevare niente alla potenza di zero.
Comunque un litro d'acqua alla terza potenza non fa 1000 litri, ma 1 "litro cubo" e 1 litro alla potenza di zero fa 1 "litro puntiforme" (qualsiasi cosa sia).
Se invece parliamo di metri cubi che è meglio, un decimetro cubo - cioè un litro - alla terza non fa 1 metro cubo, ma un decimetro nono (cioè solido a 9 dimensioni che in ogni dimensione è lungo un decimetro) e un decimetro cubo alla zero fa un decimetro, una riga lunga un decimetro.
@@nicoladc89 in realtà un decimetro cubo alla 0 non fa un decimetro ma fa un punto. Mentre un decimetro cubo fratto un decimetro quadro si
@@andrea.8458 Sì in effetti hai ragione, un decimetro sarebbe un decimetro cubo alla 1/3 . Per altro l'avevo scritto pure in partenza che nel mondo reale non si eleva niente per zero. Comunque grazie della correzione.
Ciao! Vorrei solo correggere un errore grammaticale presente nel titolo: "da" è preposizione semplice, nel titolo andrebbe scritto "dà", in quanto terza persona singolare presente del verbo dare
Grazie, correggo.
Intervengo anche io sull'argomento, l'accento, in questa occasione dovrebbe essere grave, non acuto. Nel caso di "i" e "u" esistono sostenitori dell'accento acuto, nonostante le grammatiche ufficiali riportino l'utilizzo di quello grave, ma la vocale "a" si accompagna sempre ad un accento grave.
Non ce la faccio proprio 😂😂😂
come 0 : 0 può dare qualsiasi risultato?? questa non l'ho capita. sarebbe interessante facesse un video su questo.
0:0 = indeterminato , secondo me è perchè qualsiasi risposta si da è giusta
Esempio, 4 : 2 = 2 per verificarlo si fa 2*2 che fa 4. 0 : 0 = ? Possiamo sostuitire X con qualsiasi numero ma moltiplicato per 0 fara sempre 0.
quindi se ho tra parentesi (un'espressione qualsiasi) il tutto elevato allo zero posso evitare di risolverla e scrivere direttamente come risultato 1???
Si, a meno che dentro la parentesi non dia zero
Ottimo video!! concetti che si tendono a dare per scontati (per quanto riguarda la parte iniziale), e proprio questa superficialità ti porta all'errore (per quanto riguarda la parte dello 0). Quindi ribadisco, davvero ottimo video!!! Una cosa prof, lei dice che 0/0 è un'operazione indefinita, a me hanno insegnato che è un'operazione impossibile. Le due definizioni sembrano astrattamente simili tra loro, ma io che sono pignolo 🤣🤣 vorrei sapere se c'è differenza tra le due affermazioni e se si qual'è? Grazie!
È una mera convenzione, dipende da quale punto di vista tra i tanti della matematica vuoi adoperare per descrivere il fenomeno.
Se sei nel campo del calcolo numerico, allora è un operazione impossibile poiché non esiste nessun metodo per calcolare tale quantità
Se sei nel campo dell'analisi o meglio ancora dell'algebra, allora non hai più numeri assoluti ma insiemi numerici ed operazioni definite sugli elementi degli stessi (banalmente i numeri)
Si dice che un'operazione è indefinita quando non esiste alcun elemento dell'insieme che possa rappresentare il risultato di quell'operazione
Collegandosi al video sui limiti, il limite per x che tende a 0 di x^x e comunque uguale a 1👍🏼😉
Diverso è se si ragiona su funzioni a 2 variabili tipo x^y 🤪
Perché l'esponente rappresenta una dimensione nello spazio. Zero dimensioni significa che qualsiasi numero non può espandersi nello spazio ma resta 1 punto.
Molto bella questa definizione, ci sono decine di dimostrazioni per dire che numeri alla 0 danno 1, ma tu hai dato la definizione pratica, cioè cosa succede nella realtà. Avevo trovato una definizione simile, ma la tua è perfetta!
avessi avuto questi mezzi quando andavo a scuola io...bel lavoro valerio
Salve, non mi è chiaro questo, se 4 alla terza è 4 x 4 x 4 perchè 4 alla 0 è 4 : 4 e non magari 4 moltiplicato per nulla visto che è alla 0 che farebbe 0? Perchè diventa diviso se la potenza è una moltiplicazione?
ci ho ragionato sopra è ho compreso così: se 2 alla 3 diviso 2 alla 2 equivale a 8 diviso 4 =2 oppure sintetizzato appunto a 2 alla 1 = 2 allora 2 alla 3 diviso 2 alla 3 equivale a 8 : 8 = 1 oppure sintetizzato in 8 alla 0 = 1.
Mi scusi, perché nell'esempio 4^0 non è uguale a 4^1 : 4^-1 ?
Perché sarebbe stato ... = 4^1 x 4^-1
Ok capito
Per rendere coerente la divisione con le proprietà delle potenze: se infatti a^n/a^n=1 (a≠0) , perché dividendo un numero per se stesso fa 1, è anche per le proprietà delle potenze a^n/a^n=a^(n-n)=a^0 e quindi a^0=1
grande Debian !! 👍🏼
Grazie, io ormai non vado più a scuola ....perché sono in pensione.😂😂😢😢 Però trovo bello che un professore spieghi bene la questione della matematica , perché non lo fanno mai , non c'è tempo e in classe si e' in troppi. La matematica, se non la capisci, ...hai finito.
Appurato che 0^0 è indeterminato, mentre 0^5=0 e 0^3=0, allora perché facendo 0^5:0^3=0^2 è determinato (e fa sempre 0), mentre se sviluppiamo le potenze (0^5=0 e 0^3=0) prima della divisione viene 0:0 (indeterminato)? E' un paradosso o la proprietà delle potenze con base uguale non vale per 0 come base? Perché altrimenti si potrebbe anche fare 0^5:0^0 che farebbe 0^5=0, creando un risultato determinato da una divisione avente uno dei membri indeterminato.
(E mi rendo conto che la seconda osservazione potrebbe anche avere senso, perché 0 diviso qualsiasi numero diverso da zero fa sempre 0)
È indeterminato anche quello perché non si può dividere per zero
Manca una domanda essenziale, da anteporre come premessa: «da dove nasce il problema di quanto fa un numero (diverso da zero) elevato alla zero?»
Ovvero, perché uno studente è imbarazzato davanti al calcolo esplicito di 4^0? Più in generale davanti ad una potenza del tipo x^0, con x diverso da zero.
Il punto è che la definizione di potenza numerica, in realtà, prendendo in prestito la terminologia dalla fisica, è una definizione operativa. Ci dice cioè ad un tempo cos'è una potenza e come si calcola, ovvero moltiplicando la base (sempre diversa da zero) per se stessa tante volte quante indicate dall'esponente.
Allora se l'esponente è 5 moltiplicherò la base per se stessa 5 volte, se l'esponente è 4 moltiplicherò la base per se stessa 4 volte, ...., se l'esponente è 1 impropriamente diciamo (o qualcuno lo dice) si moltiplica la base per se stessa una sola volta.
Ma quando arriviamo all'esponente zero, quante volte devo scrivere la base? Zero volte? E come posso scriverla zero volte se lo zero denota l'assenza di qualsiasi ente? Qui, secondo me, nasce l'imbarazzo dello studente (fu anche mio a quei tempi).
Il problema si risolve allora aggiungendo un ulteriore pezzo alla definizione (operativa) di potenza numerica, ovvero che x^0=1 per ogni x diverso da zero. È un'aggiunta ulteriore, dopo aver notato il difetto della definizione originaria (moltiplicate la base tante volte ....)
Cioè, è bene rimarcarlo, x^0 è uguale ad 1 per definizione e solo per definizione, perché non c'è scritto nella definizione operativa principale come calcolare una potenza con esponente nullo.
Il "giochetto" del filmato, deve essere chiaro agli studenti, serve solo giustificare i motivi di una tale scelta.
L'apprendimento nelle scuole superiori resta comunque in parte dogmatico, perché lo studente non può afferrare tutto e tutto in una volta (nei programmi esistono gli obiettivi anche per questo). Ma gli si può comunque mettere la pulce nell'orecchio affinché col tempo diventi una persona che sappia ragionare. Purtroppo sui libri di testo tante cose non ci sono e, peggio, i docenti devono galoppare per stare al passo col programma e in sincronismo con le materie affini.
Mi trovo in accordo sull'imbarazzo dello studente, ma in disaccordo con quello della definizione errata.
Provo a spiegarmi: quando si spiegano le somme, si dà per scontato che esista un numero "neutro" (mai purtroppo esplicitamente chiamato tale, ma ben intendibile dalla definizione di somma) e questo è lo zero: qualunque numero sommato zero darà come risultato sé stesso.
Questo stesso principio, di numero "neutro" esiste anche per le moltiplicazioni: qualunque numero moltiplicato per 1, darà come risultato se stesso, analogamente allo zero nella somma.
Tornando alla potenza come sequenza di moltiplicazioni, tale sequenza può essere sempre riscritta come 1*(a*a*a...*a) dunque l'esponente diventa il numero di a presenti nella sequenza: quando ho zero a, ciò che mi rimane è 1.
Analogamente, anche le moltiplicazioni sono spesso definite come sequenze di somme a+a+a...+a
Tutte le somme possono essere riscritte come 0+a+a+a...+a dunque il moltiplicatore assume lo stesso ruolo dell'esponente, ovvero contare quante volte a è presente: quando a è presente zero volte tutto ciò che ci rimane è 0, che per l'appunto è la definizione di moltiplicazione per zero.
Gli studenti spesso non hanno la capacità di intravedere ciò che per noi è ovvio, come potrebbe essere l'elemento neutro di un'operazione algebrica, e sta agli insegnanti metterli nelle condizioni di comprendere.
Se solo si insegnasse la matematica per quella che è e non come una lingua straniera fatta di simboli (i numeri) e regole (le operazioni) che così sono perché non si sa bene chi ha deciso che così debba essere, avremmo studenti estremamente più preparati e meno spaventati da quella che loro credono sia matematica ma che in realtà non è altro che becero e fine a se stesso (fuori dai giusti contesti) calcolo numerico.
@@gnappoforever «Mi trovo in accordo sull'imbarazzo dello studente, ma in disaccordo con quello della definizione errata.»
In realtà non parlo di definizione errata, ma di definizione incompleta, ogni volta che la definizione di potenza (indicata col simbolo a^k) vien data come prodotto di k fattori tutti uguali ad a (ovvero moltiplicando a per se stesso k-volte).
Questo tipo di definizione presenta però due criticità.
La prima, bypassabile in sordina, vien fuori quando k=1. Infatti, applicando direttamente la definizione (operativa), a^1 risulterebbe uguale al prodotto dell’unico fattore a. Solo che è un po’ improprio parlare di moltiplicazione in cui è presente un unico fattore, essendo tale operazione definita su un prodotto cartesiano ( _ • _ : RxR -> R) quindi operante su coppie di numeri.
Nel caso di k=1, comunque, lo studente applica direttamente la definizione di potenza senza commettere errori: ritrovandosi infatti nel calcolo soltanto la base della potenza, la riconosce immediatamente come il risultato finale. (Sostanzialmente fa un ragionamento errato che però porta ad un risultato corretto)
La seconda criticità si ha per k=0. In questo caso, seguendo la definizione (operativa) di potenza, si dovrebbe scrivere la base zero-volte, il che lascia ovviamente basiti, dovendo scrivere la base senza però poterla scrivere. Lo studente allora darà alla potenza a^0 valore zero, proprio perché non ci sono fattori da moltiplicare, ovvero (mettendo la frase in positivo) perché ci sono zero fattori, quindi il risultato lo legge come zero.
Sul libro di testo “La Matematica a colori” di L. Sasso viene specificato che la definizione di potenza, data come prodotto della base multiplicata per se stessa tante volte quante indicate dall’esponente, vale solo se l’esponente è strettamente maggiore di 1, ampliandola subito dopo per i restanti valori dell’esponente (k=0,1) ponendo a^1=a e a^0=1
Non so’ se sono stato chiaro.
«Tornando alla potenza come sequenza di moltiplicazioni, tale sequenza può essere sempre riscritta come 1*(a*a*a...*a) dunque l'esponente diventa il numero di a presenti nella sequenza: quando ho zero a, ciò che mi rimane è 1. »
Perfettamente d’accordo, però si tratta una definizione diversa da quella solitamente presente nei libri di testo. Avendoci pensato, volevo utilizzarla anche io a lezione, solo che cambiare una definizione può poi comportare un successivo aggiustamento di molti degli argomenti che seguono. L’ideale sarebbe che ogni docente prepari il suo libro di testo, così il filo logico sarebbe ben percepito dai ragazzi.
La faccenda in entrambi i casi ci si può ritorcere contro, almeno in termini di tempo.
@@ec7092Sei stato chiarissimo
Riassumendo, il mio punto voleva essere proprio quello: la definizione di per sé non è errata, purché si mettano tutte le dovute precondizioni e si diano agli studenti i mezzi per comprendere ciò che stanno studiando.
Che spesso nella scuola si vada di corsa (per raggiungere determinati obiettivi, senza preoccuparsi del come vengano raggiunti) e si omettano molti dettagli è noto ed è proprio ciò che ritengo deleterio, almeno nella matematica (anche se lo stesso ragionamento può essere applicato a tutte le discipline)
Quello che suggerisci è specchio di quella che talvolta è la realtà universitaria: libri di testo usati come sostegno a dispense, appunti o veri e propri altri libri scritti dai professori che tengono i corsi.
Sono grato alla mia esperienza di non esser stata dogmatica, ma pragmatica: forse non sarò stato il migliore degli studenti visto che non sono mai riuscito ad imparare a memoria per lunghi periodi formule, teoremi o dimostrazioni, ma ringrazio i miei insegnanti (di ogni grado) di avermi fatto apprendere come quelle stesse formule e quei teoremi possano essere ricavati e ricostruiti conoscendo le "poche" regole assiomatiche che la matematica richiede.
Mi ha fatto veramente piacere leggere da parte di un insegnate una visione così aperta, sebbene di
difficile applicazione pratica.
Chiedo scusa per lo svarione fuori tema e tanti auguri di buona Pasqua
@@gnappoforever Ricambio di cuore gli auguri per una buona Pasqua e anche per una buona Pasquetta (altrettanto importante per staccare la spina, soprattutto per chi insegna)
Nessun fuori tema, anzi! ... devo andare che mi chiamano.
hai scritto: "... se l'esponente è 1 impropriamente diciamo (o qualcuno lo dice) si moltiplica la base per se stessa una sola volta."
No! Moltiplichi la base per se stessa una sola volta se l'esponente è 2, per due volte se l'esponente è 3, e via dicendo ...
Con esponenti 1 e 0 (all'infuori della dovuta dimostrazione logica), osserviamo l'inghippo con occhio metafisico.
Se l'esponente è 1, vediamolo come una povera base abbandonata a se stessa.
Se l'esponente è 0, vediamolo come una qualsiasi base ingurgitata da un buco nero di diametro 1.😉
In questo video è stato commesso un errore quando si divide per zero: non c'é nesuna "indefinizuone" quando si tratta di semplici numeri, il problema sorge quqndo si ha a che fare con altre cose
Ripeto in matematica non c'é niente di indefinito quando si tratta di dividere semplici numeri (magari sono operazioni insolite, il suffisso indefinito è un residuo degli primi srudiosi che tentarono di trattarli in modo rigoroso)
Ma no! a^0=1 per convenzione, semplicemente si definisce così. Serve tra l’altro per far tornare la proprietà che lei scrive a^n/a^n=a^(n-n)=a^0=1
minuto 4:20 : la proprietà delle potenze usata NON E' VALIDA QUANDO LA BASE E' ZERO !!! Altrimenti avremmo anche :
0^4 = 0 = 0^6 / 0^ 2 = 0/0 che è palesemente errato!!
Non puoi dividere per zero
@@ValerioPattaro ...prova sulla calcolatrice di windows del PC : 0^0 = 1
Professore mi scusi lei ha applicato una proprietà e dimostrando che partendo dall'assunto della proprietà il risultato sia uno, ma se teoricamente (5 potenziato 0), come è possibile che un numero potenziato per il nulla faccia ridurre il numero ad 1.
Addirittura depotenziando 5 rendendolo 1 e non potenziandolo o facendolo rimanere uguale? perchè sembrerebbe che secondo l'assunto della proprietà che lei mostra la potenza 0 sottrae potenza al numero iniziale e non ne aggiunga... in ogni caso riconosco la mia completa ignoranza in materia e la mia incapacità a comprenderla mi scuso per possibili errori che ho scritto, spero sia comprensibile....
Se potessi mettermi in discussione da solo per cercare di farvi capire(se qualcun altro mi volesse aiutare nella comprensione) meglio che voglio scrivere:
penso che la "potenza" intesa come crescita del numero sia sbagliata 5 non è più potente di 4 ,lol
Ma al contempo la mia domanda nasce dal presupposto un numero potenziato per il nulla come può ridursi a una unità perdendo 4 unità in una logica reale e non matematica per quanto l'assunto sia giusto e verificato sembra non essere applicabile alle leggi della nostra realtà
Potenza non significa che il numero aumenta.
5 alla -1 è uguale a 0,2
@@ValerioPattaro Il mio errore é cercare di immaginare nel mondo reale una possibile applicazione a questa teoria o assunto o proprietà, ma ancora non sono capace , chiedo scusa se le ho fatto perdere tempo
Tranquillo
Gentile Professore l'argomentazione qui presentata dice che volendo conservare la proprietà formale a^m : a^n = a^(m−n) (con basi reali positive) anche nel caso in cui m-n=0 è necessario definire a^0=1; essa non prova (perché non può farlo) che a^0=1 per a>0: dire a^0=1 presuppone di sapere chi sia a^0, ossia che a^0 sia stato definito altrimenti non è possibile provare che è uguale ad alcunché. P.S. L'ho imparato a mie spese quando al primo anno di matematica a Padova ci chiedevano di capire esattamente perché le definizioni vengono date in un certo modo.
per ulteriori chiarimenti consiglio un libro secondo me notevole per eleganza,precisione ed efficacia didattica: G. De Marco, "Analisi Uno"
Io la sapevo così: se proviamo a elevare 4 ad un numero sempre più piccolo (es. 0,0000002 e poi 0,00000000000002) il risultato tende a 1. Forse si poteva scrivere con i limiti. Se non sbaglio: il limite per x->0 di Y^x =1 ove Y diverso da 0.
Il limite è uno proprio perché 4 elevato a zero è uguale ad uno. Non si può usare la tesi di un teorema per dimostrare il teorema stesso.
Grazie mille riesco a fare lezioni che sp tutto grazie davvero.Prima avevo tanta difficoltà e adesso nn più grazie😘
Applicando lo stesso tipo di ragionamento, possiamo osservare che 1/1 fa 1, 2/2 fa 1, 3/3 fa 1, ecc. e quindi trarre la regola generale che ogni numero diviso se stesso fa 1. Ma allora 0/0 fa 1, e 0^0 fa 1 di conseguenza.
Trova l'errore nella frase precedente, e usalo per argomentare che il contenuto del video non è una dimostrazione :)
Ogni numero diverso da zero diviso per se stesso è uguale a uno.
@@ValerioPattaro L'errore era cercare di trarre una regola generale da un insieme finito di esempi. In questo caso, la proprietà di rapporto di potenze osservandola in azione sul numero 4: se non dimostrata, non la si può usare per concludere alcunché, se si fa invece riferimento alla sua dimostrazione "da manuale" essa assume già che x^0=1, quindi si entra in un circolo improbandum (penso per esempio a una dimostrazione per esponenti naturali per induzione, il caso base richiede di dimostrare proprio x^0=1).
E pensandoci bene non può essere altrimenti: la proprietà è un assioma*, non può essere dimostrata attraverso altra conoscenza, ma solo motivata con esempi come quello del video
Leggendo i commenti, però, sembra che più di qualcuno l'abbia scambiata per una dimostrazione :o
*o si può dimostrare usando un sistema assiomatico diverso, spostando il problema su altri asiomi
Bellissima spiegazione
molto bravo a spiegare
Perché, se ricordo bene la dimostrazione matematica del mio prof delle superiori, è equivalente a moltiplicare 4 elevato alla prima per 4 elevato alla -1 il cui risultato è 4x1/4 cioè 4/4 che semplificato fa appunto 1 come risultato, la dimostrazione ovviamente vale per tutti i numeri elevati a 0....
Non tocco matematica da 7 anni, e rendermi conto del fatto - teoricamente scontato - che scomponendo il numero con esponente avevo di fatto un numero moltiplicato n volte per sé, e questo giustificava il motivo per cui potevo effettuare la sottrazione degli esponenti, mi ha atto implodere il cervello. Spiegato così avrei avuto molta meno difficoltà a ricordarlo.
Grazie mille par la spiegazione. Ero convinto che 0^0 fosse uguale a 1.
E' molto semplice:
Se moltiplicando quattro alla prima per quattro, otteniamo quattro alla seconda, e moltiplicando quattro alla seconda per quattro, otteniamo quattro alla terza, e moltiplicando quattro alla terza per quattro, otteniamo quattro alla quarta e vi discorrendo, allora è altresì vero che dividendo quattro alla quarta per quattro otteniamo quattro alla terza, e dividendo quattro alla terza per quattro otteniamo quattro alla seconda, e dividendo quattro alla seconda per quattro otteniamo quattro alla prima, e dividendo quattro alla prima per quattro otteniamo quattro alla... Zeresima?
alla ... nullima 🤣
Si puo anche fare una progressione inversa 4^3= 64 poi 4^2=16 poi 4^1=4 dopo 4^0 =1 cioe Dividendo per 4 i vari fattori alla fine in regressione ( es 64/4=16 /4 =4 /4=1-Forse saro ingenuo pero ci provo
perchè radice (pari) di 4 = +2 e non +-2 ?
Perché le funzioni nell'insieme dei numeri reali hanno un solo risultato, che nel caso della radice è quello positivo. Per definizione.
Non capisco perché usare la divisione. E' molto più semplice usare la moltiplicazione dove da a^m*a^n=a^(m+n) che è del tutto ovvia almeno per m ed n interi positivi segue che a^0*a^n=a^(0+n)=a^n e quindi a^0 deve essere neutro per la moltiplicazione, ovvero a^0=1. Questo spiega anche perché 0^0 è indefinito senza bisogno di usare 0/0 (cosa peraltro inspiegata nel video): infatti poiché 0^n=0 per ogni n positivo l'eguaglianza 0^n=0^0*0^n resta verificata qualunque numero si sostituisca a 0^0.