Да-да, конечно, я там не тот сомножитель в квадрат случайно возвел) Но так там даже проще: наша производная x^x ( (lnx+1)^2+1/x) ну и в скобке оба слагаемых больше нуля. Ну и в итоге функция все равно выпукла вниз
Задачка из советского детсада. Функция x^x - это такая загогулина, которая постоянно выпуклая вниз и проходит через точки (0,1) и (1,1). sin(x*π/2) - это загогулина, постоянно выпуклая вверх на отрезке [0,π/2]. Пересекаются они в точке (1,1), а значит должны иметь ещё одну точку пересечения на [0,1]. Пристально всматриваемся - и вуаля! При x=1/2 левая часть (1/2)^(1/2)=1/√2 и sin(π/4)=1/√2. Это второй корень, а других, исходя из выпуклости функций, быть не может. Ну разве что x=-1, но мы же решаем в действительных числах, а их только положительными можно в действительную степень возводить.
вы шутите?)проходит через точку (0;1)?разве область определения включает 0?) а функция sin(xπ/2) выпукла на отрезке [0;π/2]?, не [0;2] случаем?) ну ладно, это мелочи, но важные а так, вы правы
Посмотрел ролик - выходит, Михаил Абрамыч шпиёнски с314здил моё решение! Недаром он периодически кудрявой студенткой прикидывается - очень подозрительная он личность. То ли Петров, то ли Боширов, то ли Ленин, бредущий по дну Финского залива.
@@romank.6813 Надо доказать, что x^x всё время выпукла вверх. Бывают точки перегиба, где монотонность не нарушается, а выпуклость изменяется. Мне Alex Sokolov привёл пример: x•exp(x).
x - количество твоих хомякоинов, x^x - ожидаемая сумма которую ты получишь после листинга, sin(xpi/2) - реальная сумма которую ты получишь после листинга. Задача заключается в том, чтобы понять, при каком количестве хомякоинов ожидание соответствует реальности
Наконец-то я понял связь этого уравнения с текущей ситуацией: Бакальчук^Бакальчук=sin(3,14дец Бакальчук/2). Кто-то из супругов данное уравнение не решил, но Михаил Абрамыч не раскрывает, кто именно.
Красивая и не простая задачка. Ошибка во второй производной, но если исправить, то еще проще становится. ( О, увидел комментарий на эту тему) Угадать второй корень без интуиции вряд ли возможно
X = -1 is another solution but it makes sense that most people would miss it since the domain of x^x is a funky one when it comes to the negative numbers
со второй производной наколбасил! х^x не в квадрате, а производная от этого выражения. Если правильно взять вторую производную, то она всегда положительна, а исходная ф-я вогнутая.
@@BN43214 Тут спорный вопрос. Посмотри графики функций x² и x^(-1), т.е. 1/x. Степенная функция может иметь отрицательное основание при некоторых показателях степеней. А вот показательная нет. А какая функция x^x: степенная или показательная? 😀
@@Mr.Karten в том-то и дело, что Desmos построит график x^x в отрицательной части оси Ox, но функция там будет бесконечно прерывистая, потому что Desmos не проверяет ОДЗ. Подходы к определению могут быть разные: в рамках школьной программы в России функция там не определена, и поэтому решений, соответственно, нет, но в рамках другого подхода (как он там называется я не знаю) там бесконечно много решений и фиг пойми каких, но (-1) входит в их число.
На графике ещё можно увидеть бесконечно много решений в области, где функция x^x бесконечно прерывистая, и которая не входит в ОДЗ. Михаил Абрамович, как найти их? Можно увидеть, что в этой "плохой" области есть корень x=-1, который корнем не считается в силу поиска действительных корней, а остальные корни уходят в отрицательную бесконечность
насчет вычисления второй производной, у меня сил это смотреть не хватило, конечно. Но блин, ладно, соглашусь, что просто сказать, что раз у функции один экстремум, то корней может быть всего два - мало, да, можно придумать строго возрастающую функцию, у которой с синусом сколько угодно пересечений. Ладно. Но нафига так сложно-то е-мое?? Функция x^x имеет один минимум, это ясно из вычисления первой производной. Т.е. на участке убывания функции до 1/е корень максимум один. Далее, на участке возрастания функции, производная ее есть произведение двух монотонно растущих функций (x^x и ln(x)+1), значит производная монотонно растет, значит выпукла вниз, значит на этом участке либо максимум один корень, если при 1/е значение синуса выше (т.е. если есть корень при х меньше 1/е) и максимум два корня, если наоборот (но тогда нет корней при х меньше 1/е). Итого в любом случае максимум два корня. Ну и, конечно, смотря как там 10 минут вторую производную вычисляют, при этом даже не потрудившись доказать, что при х->0 функция стремится к 1, а просто это постулируя, я немножко прифигел, это что, уже в школьную программу входит что ли и доказывать этот, в общем, не самый очевидный факт не надо? Про то, что корень х=-1 просто выкинули, сказав что-то непонятное про ОДЗ я уже упоминал.
Увы, бывают функции с единственным минимумом, но у которых есть перегиб в области убывания: x•exp(x). Единственный минимум: x=-1, точка перегиба (изменения направления выпуклости): x=-2. Это мне Alex Sokolov прислал.
@@Alexander_Goosev а я что сказал? Вот буквально это и сказал. Я про другое, я про то, что не надо вычислять вторую производную и мучаться 10 минут, чтоб в данном случае доказать, что нет точек перегиба
@@sergeybrener251 Да именно что надо проверять наличие точек перегиба из необходимого условия f''(x)=0, если пользоваться теоремой о пересечении двух кривых с разным направлением вогнутости (не более двух точек пересечения).
@@Alexander_Goosev не надо. Перечитай еще раз, что я написал. Первая производная при х>1/e - строго возрастающая функция, это элементарно доказывается без вычисления второй производной. Это вот буквально видно сразу после вычисления первой производной.
@@sergeybrener251 Неверно утверждение, что у монотонно убывающей функции может быть не более 1 точки пересечения с функцией sin(πx/2) на отрезке (0; xmin).
Не очень понял, зачем исследовать вторые производные функций. Свойства синуса хорошо известны. Что до функции x^x, то у неё единственный экстремум (минимум) в точке 1/e. Т.е. в окрестности точки 1/e функция выпукла вверх. А для смены направления выпуклости слева и справа от точки единственного минимума необходимо наличие других точек экстремума (точек "покоя"), как, к примеру, у функции x³ в точке x=0.
Берём функцию x*e^x, у неё единственный минимум в x = -1, но есть точка перегиба в x = -2. Поэтому из одного экстремума ещё нельзя сделать вывод, что перегиба нет
Да, но тогда нужно потребовать, чтобы уравнение решалось в целых числах, а не в действительных. Если в самом уравнении есть иррациональные числа, то уже предполагается, что решения тоже могут быть иррациональными
Зависит от подхода к определению функции x^x. Если ты считаешь (-1) корнем, то должен найти ещё бесконечно много отрицательных корней, либо выразить их каким-то общим образом. Но можно определить ОДЗ так, чтобы x^x была непрерывна (это все x>0), то тогда работает решение, которое продемонстрировал МА
@@mndtr0 я уже старый и школьного определения ОДЗ не помню, но что-то мне подсказывает, что нигде никто никогда не требовал, чтоб ОДЗ было компактным множеством или что-то в этом роде. И уж абсолютно точно никто не требовал, чтоб функция на ОДЗ была непрерывной. А если по рабоче-крестьянски, то (-1)⁻¹ - абсолютно однозначно определенная величина. Как и величина x^x для любого рационального х с нечетным знаменателем. На каком основании их просто взяли и волевым революционным решением исключили из ОДЗ - загадка. Других отрицательных решений скорее всего нет, я очень сомневаюсь, что синус рациональной части пи может быть корнем нечетной степени из рационального числа (кроме корня первой степени), но так сходу доказать это я вряд ли смогу. Для меня этот прикол, когда в видео просто сказали про ОДЗ, вообще никак это не обосновав, при этом 10 минут разжевывая очевидные вещи про выпуклость, выглядит примерно так: "решить честно для отрицательных иксов мне слабо, поэтому скажу умное про ОДЗ, авось никто не заметит".
@@sergeybrener251 функция определена так, чтобы она была непрерывной и чтобы работали все привычные свойства возведения в степень, - это соглашение между людьми. В видео всё честно решено в рамках современных определений и соглашений. Вам уже другой комментатор ответил, что чтобы (-1) было корнем, нужно искать решения в целых числах, где степенно-показательная функция однозначно определена, но тогда теряется корень x=(1/2). Это происходит потому что даже в рациональных числах степенно-показательная функция теряет однозначность
@@mndtr0 шо за дичь? Где это сказано, что функции должны быть непрерывны? Это что за новшество в математике? Про целые числа ваще не понял, люди себе какие-то определения придумывают, и настаивают на их верности. Я задаю простой вопрос -1 в степени -1 - сколько? Если кто-то скажет, что неопределено - может смело идти в 7й класс вспоминать определения степеней. Более того, тут даже нет вопроса с однозначностью, если кто-то начнет про ТФКТ что-то рассказывать. Если где-то в школьной программе написано, что x^x рассматривать положено только для положительных х - дайте ссылку, посмотрю. Но вот уверен, что ничего такого там нет. А поэтому ОДЗ просто высосано из пальца. Уравнение - ну более-менее очевидно, в действительных числах. Ну вот не проходят комплексные числа в школе, поэтому даже не обговаривается это в условии. Причем тут разные ветви в комплексной плоскости - не знаю, от большого ума, видимо. В действительных числах есть соглашение (и надо понимать, что это чисто соглашение для школьных примеров, к нормальной математике оно отношения не имеет), что такое дробные степени, что берется главное значение корня. Положительное для четных дробных степеней, при этом аргумент должен быть положительным и действительное для нечетных, при этом аргумент - любой. Для иррациональных степеней - только положительные аргументы. Да, например функция (-3)^x определена только на дискретном (хотя и плотном) множестве. И что? Уравнение (-3)^x=-27 не имеет решений что ли теперь? Не надо придумывать определения, чтоб упростить себе жизнь. А если придумываешь, то так и надо говорить, ограничимся рассмотрением положительных иксов, потому что с отрицательными сложно. Не надо нести дичь про то, что (-1)^(-1) неопределено.
8:38. А разве там не должно быть x^x * (lnx+1)^2 ?
Да-да, конечно, я там не тот сомножитель в квадрат случайно возвел) Но так там даже проще: наша производная x^x ( (lnx+1)^2+1/x) ну и в скобке оба слагаемых больше нуля. Ну и в итоге функция все равно выпукла вниз
@@Postupashki Интересное уравнение:
x^(sin²x)+x^(cos²x)=1+x.
Задачка из советского детсада. Функция x^x - это такая загогулина, которая постоянно выпуклая вниз и проходит через точки (0,1) и (1,1). sin(x*π/2) - это загогулина, постоянно выпуклая вверх на отрезке [0,π/2]. Пересекаются они в точке (1,1), а значит должны иметь ещё одну точку пересечения на [0,1]. Пристально всматриваемся - и вуаля! При x=1/2 левая часть (1/2)^(1/2)=1/√2 и sin(π/4)=1/√2. Это второй корень, а других, исходя из выпуклости функций, быть не может. Ну разве что x=-1, но мы же решаем в действительных числах, а их только положительными можно в действительную степень возводить.
вы шутите?)проходит через точку (0;1)?разве область определения включает 0?)
а функция sin(xπ/2) выпукла на отрезке [0;π/2]?, не [0;2] случаем?)
ну ладно, это мелочи, но важные
а так, вы правы
Посмотрел ролик - выходит, Михаил Абрамыч шпиёнски с314здил моё решение! Недаром он периодически кудрявой студенткой прикидывается - очень подозрительная он личность. То ли Петров, то ли Боширов, то ли Ленин, бредущий по дну Финского залива.
@@romank.6813ну шутки я понимаю, но мы все таки за строгое решение, представленное выше Михаилом Абрамовичем
@@ФедорРождественски Мы за победу коммунизма во всём мире!
@@romank.6813 Надо доказать, что x^x всё время выпукла вверх.
Бывают точки перегиба, где монотонность не нарушается, а выпуклость изменяется.
Мне Alex Sokolov привёл пример: x•exp(x).
Что там с хамстер комбат
x - количество твоих хомякоинов, x^x - ожидаемая сумма которую ты получишь после листинга, sin(xpi/2) - реальная сумма которую ты получишь после листинга. Задача заключается в том, чтобы понять, при каком количестве хомякоинов ожидание соответствует реальности
@@BN43214и задача разрешима только при хомяках в количестве полтора
@@BN43214так у меня тогда x=0, значит что 1=sin(0)=0
Ах, Михаил Абрамович, озорник… запутать всех решили, что же вторую производную от х^х неверно взяли😁
Наконец-то я понял связь этого уравнения с текущей ситуацией:
Бакальчук^Бакальчук=sin(3,14дец Бакальчук/2). Кто-то из супругов данное уравнение не решил, но Михаил Абрамыч не раскрывает, кто именно.
Из супругов Бакальчук это уравнение решит получилось только у Бакальчук, а у Бакальчук это уравнение решить не получилось.
Вольфрам Альфа г-рит что там еще два комплексных корня уравнения.
Красивая и не простая задачка. Ошибка во второй производной, но если исправить, то еще проще становится. ( О, увидел комментарий на эту тему)
Угадать второй корень без интуиции вряд ли возможно
X = -1 is another solution
but it makes sense that most people would miss it since the domain of x^x is a funky one when it comes to the negative numbers
Смотреть без звука с субтитрами исключительно в скорости 2t
Посмотрел сегодня выпимши и вы знаете.мне понравилось)
со второй производной наколбасил! х^x не в квадрате, а производная от этого выражения. Если правильно взять вторую производную, то она всегда положительна, а исходная ф-я вогнутая.
Не понял, а почему х=-1 не является тоже решением. (-1)^(-1)=-1 как и синус -90 градусов.
В desmos посмотри графики функций
Действительная степень определена только для не отрицательных оснований
@@BN43214 Тут спорный вопрос.
Посмотри графики функций x² и x^(-1), т.е. 1/x.
Степенная функция может иметь отрицательное основание при некоторых показателях степеней.
А вот показательная нет.
А какая функция x^x: степенная или показательная? 😀
@@Alexander_Goosev Не та и не другая по определению. Но раз у нас в степени может быть действительное число, значит на основание ограничение
@@Mr.Karten в том-то и дело, что Desmos построит график x^x в отрицательной части оси Ox, но функция там будет бесконечно прерывистая, потому что Desmos не проверяет ОДЗ. Подходы к определению могут быть разные: в рамках школьной программы в России функция там не определена, и поэтому решений, соответственно, нет, но в рамках другого подхода (как он там называется я не знаю) там бесконечно много решений и фиг пойми каких, но (-1) входит в их число.
На графике ещё можно увидеть бесконечно много решений в области, где функция x^x бесконечно прерывистая, и которая не входит в ОДЗ. Михаил Абрамович, как найти их? Можно увидеть, что в этой "плохой" области есть корень x=-1, который корнем не считается в силу поиска действительных корней, а остальные корни уходят в отрицательную бесконечность
x^x без W функции Ламберта 😢😮😮
Спасибо за разбор, не очень понятно проскочили доказательство того, что вторая производная x^x положительно .
насчет вычисления второй производной, у меня сил это смотреть не хватило, конечно. Но блин, ладно, соглашусь, что просто сказать, что раз у функции один экстремум, то корней может быть всего два - мало, да, можно придумать строго возрастающую функцию, у которой с синусом сколько угодно пересечений. Ладно. Но нафига так сложно-то е-мое?? Функция x^x имеет один минимум, это ясно из вычисления первой производной. Т.е. на участке убывания функции до 1/е корень максимум один. Далее, на участке возрастания функции, производная ее есть произведение двух монотонно растущих функций (x^x и ln(x)+1), значит производная монотонно растет, значит выпукла вниз, значит на этом участке либо максимум один корень, если при 1/е значение синуса выше (т.е. если есть корень при х меньше 1/е) и максимум два корня, если наоборот (но тогда нет корней при х меньше 1/е). Итого в любом случае максимум два корня.
Ну и, конечно, смотря как там 10 минут вторую производную вычисляют, при этом даже не потрудившись доказать, что при х->0 функция стремится к 1, а просто это постулируя, я немножко прифигел, это что, уже в школьную программу входит что ли и доказывать этот, в общем, не самый очевидный факт не надо? Про то, что корень х=-1 просто выкинули, сказав что-то непонятное про ОДЗ я уже упоминал.
Увы, бывают функции с единственным минимумом, но у которых есть перегиб в области убывания: x•exp(x).
Единственный минимум: x=-1,
точка перегиба (изменения направления выпуклости): x=-2.
Это мне Alex Sokolov прислал.
@@Alexander_Goosev а я что сказал? Вот буквально это и сказал. Я про другое, я про то, что не надо вычислять вторую производную и мучаться 10 минут, чтоб в данном случае доказать, что нет точек перегиба
@@sergeybrener251 Да именно что надо проверять наличие точек перегиба из необходимого условия f''(x)=0, если пользоваться теоремой о пересечении двух кривых с разным направлением вогнутости (не более двух точек пересечения).
@@Alexander_Goosev не надо. Перечитай еще раз, что я написал. Первая производная при х>1/e - строго возрастающая функция, это элементарно доказывается без вычисления второй производной. Это вот буквально видно сразу после вычисления первой производной.
@@sergeybrener251 Неверно утверждение, что у монотонно убывающей функции может быть не более 1 точки пересечения с функцией sin(πx/2) на отрезке (0; xmin).
Не очень понял, зачем исследовать вторые производные функций.
Свойства синуса хорошо известны.
Что до функции x^x, то у неё единственный экстремум (минимум) в точке 1/e.
Т.е. в окрестности точки 1/e функция выпукла вверх.
А для смены направления выпуклости слева и справа от точки единственного минимума необходимо наличие других точек экстремума (точек "покоя"), как, к примеру, у функции x³ в точке x=0.
Берём функцию x*e^x, у неё единственный минимум в x = -1, но есть точка перегиба в x = -2. Поэтому из одного экстремума ещё нельзя сделать вывод, что перегиба нет
@@alexsokolov1729 Да.
А можно решить по-честному через комплексные функции? Расписать логарифм и всё-таки найти все корни? А токак-то срвсем по-школьному получается😮
Нет, конечно. Если только с комплексной функцией Ламберта. Это ужасно.
Давай сам реализуй свои хотелки. 😀
@@Alexander_Goosev вы прикалывается? Какая функция Ламберта? Не хотите решать пример - так и напишите. Не надо на понт. Я то решу - не сомневайтесь
@@mmun4772 Посмотри, что такое функция Ламберта в Интернете. Она как раз используется при решении уравнений с x^x.
@@mmun4772 Жду твоего решения, нахал.
Sin(xπ/2)/> x^x\>x[0;1/e],/>x[1/e;1] 1>0,1/e^(1/e)>sin(π/2/e)× x=1✓ e^(xlnx)(lnx+1)-cos(xπ/2)π/2=0 x=0,76-*+>x min
-1 тоже корень.
Да, но тогда нужно потребовать, чтобы уравнение решалось в целых числах, а не в действительных. Если в самом уравнении есть иррациональные числа, то уже предполагается, что решения тоже могут быть иррациональными
Зависит от подхода к определению функции x^x. Если ты считаешь (-1) корнем, то должен найти ещё бесконечно много отрицательных корней, либо выразить их каким-то общим образом. Но можно определить ОДЗ так, чтобы x^x была непрерывна (это все x>0), то тогда работает решение, которое продемонстрировал МА
@@mndtr0 я уже старый и школьного определения ОДЗ не помню, но что-то мне подсказывает, что нигде никто никогда не требовал, чтоб ОДЗ было компактным множеством или что-то в этом роде. И уж абсолютно точно никто не требовал, чтоб функция на ОДЗ была непрерывной. А если по рабоче-крестьянски, то (-1)⁻¹ - абсолютно однозначно определенная величина. Как и величина x^x для любого рационального х с нечетным знаменателем. На каком основании их просто взяли и волевым революционным решением исключили из ОДЗ - загадка. Других отрицательных решений скорее всего нет, я очень сомневаюсь, что синус рациональной части пи может быть корнем нечетной степени из рационального числа (кроме корня первой степени), но так сходу доказать это я вряд ли смогу.
Для меня этот прикол, когда в видео просто сказали про ОДЗ, вообще никак это не обосновав, при этом 10 минут разжевывая очевидные вещи про выпуклость, выглядит примерно так: "решить честно для отрицательных иксов мне слабо, поэтому скажу умное про ОДЗ, авось никто не заметит".
@@sergeybrener251 функция определена так, чтобы она была непрерывной и чтобы работали все привычные свойства возведения в степень, - это соглашение между людьми. В видео всё честно решено в рамках современных определений и соглашений. Вам уже другой комментатор ответил, что чтобы (-1) было корнем, нужно искать решения в целых числах, где степенно-показательная функция однозначно определена, но тогда теряется корень x=(1/2). Это происходит потому что даже в рациональных числах степенно-показательная функция теряет однозначность
@@mndtr0 шо за дичь? Где это сказано, что функции должны быть непрерывны? Это что за новшество в математике? Про целые числа ваще не понял, люди себе какие-то определения придумывают, и настаивают на их верности. Я задаю простой вопрос -1 в степени -1 - сколько? Если кто-то скажет, что неопределено - может смело идти в 7й класс вспоминать определения степеней. Более того, тут даже нет вопроса с однозначностью, если кто-то начнет про ТФКТ что-то рассказывать. Если где-то в школьной программе написано, что x^x рассматривать положено только для положительных х - дайте ссылку, посмотрю. Но вот уверен, что ничего такого там нет. А поэтому ОДЗ просто высосано из пальца.
Уравнение - ну более-менее очевидно, в действительных числах. Ну вот не проходят комплексные числа в школе, поэтому даже не обговаривается это в условии. Причем тут разные ветви в комплексной плоскости - не знаю, от большого ума, видимо. В действительных числах есть соглашение (и надо понимать, что это чисто соглашение для школьных примеров, к нормальной математике оно отношения не имеет), что такое дробные степени, что берется главное значение корня. Положительное для четных дробных степеней, при этом аргумент должен быть положительным и действительное для нечетных, при этом аргумент - любой. Для иррациональных степеней - только положительные аргументы. Да, например функция (-3)^x определена только на дискретном (хотя и плотном) множестве. И что? Уравнение (-3)^x=-27 не имеет решений что ли теперь? Не надо придумывать определения, чтоб упростить себе жизнь. А если придумываешь, то так и надо говорить, ограничимся рассмотрением положительных иксов, потому что с отрицательными сложно. Не надо нести дичь про то, что (-1)^(-1) неопределено.