Кстати, слышал, что у англоязычных есть такая вещь как King's property, она заключается в том, что если у нас есть интеграл с а до b некоторой функции f(x), то этот интеграл будет равен интегралу с а до b функции f(a+b-x), в данном примере это применимо
Можно формально, без рассуждений о симметрии. Такой примерно интеграл уже был у Михал Абрамыча. Там после подстановки выходило подинтегральное выражение с тангенсом Разобьём начальный интеграл на сумму двух интегралов: от 0 до π/4 и от π/4 до π/2. Во втором интеграле от π/4 до π/2 произведём замену переменной: y=π/2 - x, т.е. x=π/2 - y. При этом в подинтегральном выражении tg(x) заменится на ctg(y), dx на (-dy), пределы интегрирования на от π/4 до 0 для новой переменной y. Далее поменяем пределы интегрирования на от 0 до π/4, при этом заменим для компенсации знака (-dy) на dy. И наконец, формально заменим во втором интеграле y на x, т.к. результат интегрирования не зависит от обозначения переменной интегрирования. Тогда второй интеграл примет вид ${от 0 до π/4}[dx/(1+ctgⁿx)]. Здесь показатель степени n=√2. Т.к. пределы интегрирования у первого интеграла такие же, объединим оба интеграла в один ${от 0 до π/4}[1/(1+tgⁿx) + +1/(1+ctgⁿx)]•dx. Осталось просуммировать члены подинтегрального выражения, приведя их к общему знаменателю: 1/(1+tgⁿx) + 1/(1+ctgⁿx)= =[1+ctgⁿx+1+tgⁿx]/[(1+tgⁿx)(1+ctgⁿx)]= =[2+tgⁿx+ctgⁿx]/[1+tgⁿx+ctgⁿx+tgⁿx•ctgⁿx]= =[2+tgⁿx+ctgⁿx]/[2+tgⁿx+ctgⁿx]=1. Таким образом, исходный интеграл равен ${от 0 до π/4}[1•dx]=π/4.
🤭Не хочу вас огорчать, но в утверждении написано: Если не сможешь посчитать, следовательно не знаешь матан. А если сможешь, то не факт, что знаешь. Тем более не сами посчитали.
@@АлександрДороденко А если без шуток, то всё в моём комментарии логично. Действительно, автор написал, что тот, кто не решит, тот не знает матан. Я решил и написал, что "я решил, а значит я знаю матан". Значит ли это, что я написал: "я решил => я знаю матан". Нет конечно. Я фактически написал, что "(A(1) и A(2) и ... и A(n) и "я решил задачу") => ("я знаю матан")", где A(i) - какое-то утверждение. Так как вы не знаете ни одного A(i), вы не можете судить о правильности моего утверждения, ведь если например A(1)="я знаю матан", то я прав)
@@mp443 нет, не правильно. Вы знаете матан только потому, что вы его знаете. Но вы сделали вывод из утверждения автора, из которого не следует знание матана.
@@Людына_Павук Там же написано, что сумма двух интегралов равна интегралу от единицы. Сумма интегралов - это сумма площадей под графиками. А интеграл единицы - это и есть площадь прямоугольника.
Можно просто сделать замену переменной в интеграле на u=pi/2-x и формально поменять dx на -du со сменой пределов интергрирования, а затем поменять местами пределы, добавив перед интеграл ом знак минус 😅
@@АлександрДороденко пересчитал интеграл и вы, к сожалению, ввели меня в заблуждение, а я вам и поверил. Опять в интернете кто-то не прав и, к счастью, для меня, это вы
А ведь эта функция под знаком интеграла не имеет первообразную. Странно, раньше я думал, что если функция не имеет первообразную, значит, нужно использовать приближенное (численное) вычисление интеграла. Однако случайно получилось вычислить интеграл аналитически. А если усложнить ту задачу: функция та же, однако пределы интегрирования другие?
Вы хотели сказать, не имеет первообразной, выражающейся в элементарных функциях? Сама по себе первообразная для интегрируемой функции существует всегда.
вроде св-во опред интеграла тут сразу можно применить - сумма нижнего и верхнего предела интегрирования минус аргумент = этому же интегралу... так котангенс и получается
Упс, Вы знаете, автор канала нигде в своём решении не использовал конкретное значение показателя степени √2. Все выкладки справедливы для любого действительного показателя степени. Это и есть доказательство справедливости результата π/4 для любого действительного показателя степени.
Вернее, он в начале начал писать показатель степени √2, но ясно, что он мог вместо √2 написать букву, и ничего бы не изменилось. Все последующие выкладки никак не поменялись бы.
Прлучается, что любые степени ставь, любые фугкции и будет всегда один ответ. Посмотрел бы я на то, если бы не было предела интегрирования. Как бы выкручивался уважаемый автор ролика
То "пи", то "пай", то "икс", то "экс". Вам бы определиться, вы для русскоязычной или для англоязычной аудитории объясняете. Раздражает такая манера объяснения. В остальном претензий нет.
Так он уже почти все умеет решать. Новая модель недавно появилась, основанная на математике, и она решает с точностью до 80-90% любые задачи, используется исследователями на данный момент как я знаю
@@kokoctv3600 Можно и втупую. Для этого исходный интеграл нужно разбить на сумму двух интегралов: от 0 до π/4 и от π/4 до π/2. Затем в интеграле от π/4 до π/2 произвести замену: y=π/2 - x, т.е. x=π/2 - y. И затем найти сумму двух интегралов с пределами интегрирования от 0 до π/4. Сумма двух подинтегральных выражений даст 1. А интеграл от 1 с пределами интегрирования от 0 до π/4 равен π/4.
@@Sergey12121979 Нет. Никаких догадок, никаких соображений симметрии. Единственно, разбить исходный интеграл пополам, чтобы при замене переменной получить котангенс, который уничтожит при суммировании тангенс. 😀
Примечательно, что результат никак не зависит от степени тангенса.
Да, именно так!
Кстати, слышал, что у англоязычных есть такая вещь как King's property, она заключается в том, что если у нас есть интеграл с а до b некоторой функции f(x), то этот интеграл будет равен интегралу с а до b функции f(a+b-x), в данном примере это применимо
Интересное решение определенного интеграла, поздравляю
Можно формально, без рассуждений о симметрии. Такой примерно интеграл уже был у Михал Абрамыча. Там после подстановки выходило подинтегральное выражение с тангенсом
Разобьём начальный интеграл на сумму двух интегралов: от 0 до π/4 и
от π/4 до π/2.
Во втором интеграле от π/4 до π/2 произведём замену переменной: y=π/2 - x,
т.е. x=π/2 - y.
При этом в подинтегральном
выражении tg(x) заменится на ctg(y),
dx на (-dy),
пределы интегрирования на
от π/4 до 0 для новой переменной y.
Далее поменяем пределы интегрирования на от 0 до π/4, при этом заменим для компенсации знака
(-dy) на dy. И наконец, формально заменим во втором интеграле y на x, т.к. результат интегрирования не зависит от обозначения переменной интегрирования.
Тогда второй интеграл примет вид
${от 0 до π/4}[dx/(1+ctgⁿx)].
Здесь показатель степени n=√2.
Т.к. пределы интегрирования у первого интеграла такие же, объединим оба интеграла в один
${от 0 до π/4}[1/(1+tgⁿx) +
+1/(1+ctgⁿx)]•dx.
Осталось просуммировать члены подинтегрального выражения, приведя их к общему знаменателю:
1/(1+tgⁿx) + 1/(1+ctgⁿx)=
=[1+ctgⁿx+1+tgⁿx]/[(1+tgⁿx)(1+ctgⁿx)]=
=[2+tgⁿx+ctgⁿx]/[1+tgⁿx+ctgⁿx+tgⁿx•ctgⁿx]=
=[2+tgⁿx+ctgⁿx]/[2+tgⁿx+ctgⁿx]=1.
Таким образом, исходный интеграл равен
${от 0 до π/4}[1•dx]=π/4.
У меня 59 секунд ушло 🤯
Чуть из универа не вылетел😨
Дагестанского?
Интересная задача и необычный подход
Супер ! Привет из Нюрнберга! Уважение к заданию и к ведущему !! Отлично !
Зашёл в комментарии и нашёл ответ. И всё это меньше, чем за минуту, а значит я знаю матан.
🤭Не хочу вас огорчать, но в утверждении написано: Если не сможешь посчитать, следовательно не знаешь матан. А если сможешь, то не факт, что знаешь. Тем более не сами посчитали.
@@АлександрДороденко Я знаю, что не факт, что знаю, но знаю. Я к тому же посчитал его сам, ведь, прочитав решение, я сам его посчитал.
@@АлександрДороденко А если без шуток, то всё в моём комментарии логично. Действительно, автор написал, что тот, кто не решит, тот не знает матан. Я решил и написал, что "я решил, а значит я знаю матан". Значит ли это, что я написал: "я решил => я знаю матан". Нет конечно. Я фактически написал, что "(A(1) и A(2) и ... и A(n) и "я решил задачу") => ("я знаю матан")", где A(i) - какое-то утверждение. Так как вы не знаете ни одного A(i), вы не можете судить о правильности моего утверждения, ведь если например A(1)="я знаю матан", то я прав)
@@mp443 нет, не правильно. Вы знаете матан только потому, что вы его знаете. Но вы сделали вывод из утверждения автора, из которого не следует знание матана.
@@АлександрДороденко Читать разучились? Если нет - перечитайте ещё раз. Если да - с вами общаться не имеет смысла.
0:30 а кого-то даже и *отчислить*
глянул это видео, и понял, что математику я вообще не знаю.
Такая же фигня. Как в конце площадь под графиками получили из площади прямоугольника? Шозанах
@@Людына_Павук Там же написано, что сумма двух интегралов равна интегралу от единицы. Сумма интегралов - это сумма площадей под графиками. А интеграл единицы - это и есть площадь прямоугольника.
@@dfbdtrhgwtwd7149 спасибо, подумаю
Ну и как такое замечать*
Посчитал за секунду в уме 😎
неужели за секунду? почему не за полсекунды... надо тренироваться
@@alexnikola7520 =(
И как же ты понял, что получилось верно?
Посчитал за миллисекунду. Я победил 😅
@@alexandermorozov2248посчитал за планковскую секунду
Можно просто сделать замену переменной в интеграле на u=pi/2-x и формально поменять dx на -du со сменой пределов интергрирования, а затем поменять местами пределы, добавив перед интеграл ом знак минус 😅
Известный факт, что интеграл от 0 до pi/2 от функции 1/(1+tan^a x), где а принадлежит действительным числам, всегда равен pi/4
При a=0, pi/2 получается
@@RMNJO вы сказали, что действительны числа
@@АлександрДороденко Чё за бред. При a=0 подинтегральная функция константа и равна ½.
½•(π/2 - 0)=π/4.
Те же π/4.
@@АлександрДороденко пересчитал интеграл и вы, к сожалению, ввели меня в заблуждение, а я вам и поверил. Опять в интернете кто-то не прав и, к счастью, для меня, это вы
@@АлександрДороденко пересчитал интеграл, вы что-то напутали, все верно в моем комментарии
очень красиво, сразу целый пласт олимпиадных задач вскрывается
А ведь эта функция под знаком интеграла не имеет первообразную.
Странно, раньше я думал, что если функция не имеет первообразную, значит, нужно использовать приближенное (численное) вычисление интеграла. Однако случайно получилось вычислить интеграл аналитически.
А если усложнить ту задачу: функция та же, однако пределы интегрирования другие?
Вы хотели сказать, не имеет первообразной, выражающейся в элементарных функциях?
Сама по себе первообразная для интегрируемой функции существует всегда.
Как площадь под графиком 2х функций мы получаем из площади прямоугольника? Я совсем тупой наверно
Это только не благодаря матану.
вроде св-во опред интеграла тут сразу можно применить - сумма нижнего и верхнего предела интегрирования минус аргумент = этому же интегралу... так котангенс и получается
Восемьсот лет назад это решал но думаю упростить сперва
а можно ли строго доказать независимость от степени тангенса?
Как раз "тупое" решение доказывает. Найдите моё решение пониже среди комментариев.
Упс, Вы знаете, автор канала нигде в своём решении не использовал конкретное значение показателя степени √2. Все выкладки справедливы для любого действительного показателя степени. Это и есть доказательство справедливости результата π/4 для любого действительного показателя степени.
Вернее, он в начале начал писать показатель степени √2, но ясно, что он мог вместо √2 написать букву, и ничего бы не изменилось. Все последующие выкладки никак не поменялись бы.
Ура, видео
Отлично
У меня в школе интегралы в сентябре в 8 классе начали преподавать.
ну правило Кинга выручает, но интеграл, если честно, не особо очевидный был)
Вау
топово
Прлучается, что любые степени ставь, любые фугкции и будет всегда один ответ. Посмотрел бы я на то, если бы не было предела интегрирования. Как бы выкручивался уважаемый автор ролика
Любые степени (действительные)- да.
Но, конечно, не любые функции.
я не понимаю как мы вычислили тангенс пи пополам. Он же не определен , а вы говорите , что он равен нулю ,
!
почему такие легкие задачи? это высшая математика?!
Кншн.
Изи решил в уме с 78 попытки 😎
Изя решил? 😀
Изя всё с первой попытки решает, иначе это не Изя. 😀
@@Alexander_Goosevизи (easy)
@@nick3000cool_chanell Ну, и пиши на английском, иначе Изя выплывает. 😀
То "пи", то "пай", то "икс", то "экс". Вам бы определиться, вы для русскоязычной или для англоязычной аудитории объясняете. Раздражает такая манера объяснения. В остальном претензий нет.
На НАТО работает, судя по "камрадам"!
Автор обьясняет для людей которых интересует тема сама по себе, а не какие-то незначительные детали
уважаемый ведущий, а вы стесняетесь слово "товарищ"? Не надо.
Что-то против товарищей имеешь? Ты нам точно - не товарищ
@@МихаилДукор а ты сначала разберись, а потом тыкай незнакомым людям. "Нам" - это кому? За себя говори.
Такое даже ChatGPT умеет решать...
Так он уже почти все умеет решать. Новая модель недавно появилась, основанная на математике, и она решает с точностью до 80-90% любые задачи, используется исследователями на данный момент как я знаю
@@bloodycuite7138 ну типа того
С точностью 80-90 - это гарантированный вылет из МФТИ или с Мехмата МГУ.
позор!
я как балбес начал в тупую решать
@@kokoctv3600 Можно и втупую.
Для этого исходный интеграл нужно разбить на сумму двух интегралов: от 0 до π/4 и от π/4 до π/2. Затем в интеграле от π/4 до π/2 произвести замену:
y=π/2 - x,
т.е. x=π/2 - y.
И затем найти сумму двух интегралов с пределами интегрирования от 0 до π/4.
Сумма двух подинтегральных выражений даст 1.
А интеграл от 1 с пределами интегрирования от 0 до π/4 равен
π/4.
такая же фигня )))
@@Sergey12121979 Нет. Никаких догадок, никаких соображений симметрии.
Единственно, разбить исходный интеграл пополам, чтобы при замене переменной получить котангенс, который уничтожит при суммировании тангенс. 😀
@@Sergey12121979 Sorry, Вы правы та же фигня. Я сразу начал решать по-своему, не досмотрел ролик до конца. 😀
Какой же ты нудный.
Очень грубые объяснения! Нет доказательств
Всё математически строго. У Вас нет базового математического образования. Тут ничего уже не поделать. Поздно.
как же слух режет это твоё колхозное "эээээКс" - дизлайк
Американское, а не колхозное. 😀
Не возводи напраслину на американцев. 😀