я всегда любил математику, но после Вашего видео, мне стало намного интереснее изучать ее, с мыслью о том, что математика это такое же искусство, как и картины известных писателей. Спасибо!
Когда я узнал про ряд Маклорена для натурального логарифма ln((x+1)/(x-1)) = 2*((x^1)/1 + (x^3)/3 + (x^5)/5 + …), я, помню, был в ТАКОМ восхищении от того, что теперь я мог брать ЛЮБЫЕ логарифмы, какие захочу и с какой угодно точностью, и жалел лишь только о том, почему нам не говорили такого ни в старших классах, ни на первом курсе (хоть и специальность у нас тянет больше к статистике, чем к матанализу). Достаточно представить log(a)b как ln(b)/ln(a); затем представить a и b в виде (x+1)/(x-1), т.е. решить соответствующие уравнения (x+1)/(x-1) = a или b; ну и затем раскладывать, для меня точность до члена (x^13)/13 вполне достаточна
@@Mr.Karten Для меня это чисто прикладной вопрос, т.е. я это делаю только с той целью, чтобы узнать, какому приблизительно числу, равен, допустим, log(3)13, потому что упростить его ну никак нельзя. А в уравнениях и неравенствах лучше так не делать. Ну если только ты уже получил ответ и тебе надо выяснить его числовое значение
Еще много для чего может пригодится :) интегралы можно вычислять приближенно с помощью этих разложений, например. А некоторые интегралы можно даже точно вычислить, применяя ряды.
Что если заменить сумму интегралом,а целые производные дробными, факториалы гамма функцией? По идее что-то интересное должно получится, какие-то более фундаментальные свойства аналитичности будут
Из-за дистанционного формата и недостатка практики многие вещи из математики в вузе становятся непонятными. Огромное вам спасибо за такое видео, всё просто, разложено по полочкам, интересно. Так математика становится такой прекрасной, когда из-за какого-то разложения столько странных вычислений становятся простыми, волшебство!
Чаще бывает ещё хуже: многие вещи становятся... понятными. Но понимание это иллюзорное. Это только так кажется, что понятно. Математика как ничто другое способствует появлению иллюзии знания. Выход только один: слушать лекции мало. Нужно самостоятельно решать новые задачи и проводить доказательства. И нужны какие-то перекрёстные проверки, ведь и в решениях задач и в доказательствах можно ошибиться.
Если значение синуса равно конечной десятичной дроби ( например при синусе ПИ/6 радиан), то для нахождения значения синуса при таких углах, нам не нужен весь бесконечный ряд для точного определения функции с таким аргументом?
sin п/6 = 1/2 - это известно и так из геометрии :) чтобы получить это число с помощью ряда - нужно сложить всё бесконечное число слагаемых, как и для любого другого аргумента.
функция должна быть дифференцируема бесконечное число раз. Кроме того, не всегда полученный ряд будет сходится (или может сходится только в какой-то области, например, ряд для ln(1+x) сходится при -1
выйдет, но числа огромные сначала будут, но в знаменателях факториалы растут в итоге быстрее, так что рано или поздно дроби будут уменьшаться :) но вы же знаете, что синус периодическая функция и sin(9)=sin(3п-9), а аргумент (3п-9) сильно ближе к нулю и значит числа огромные в дробях уже не будут получатся
я же говорю, нужно сначала воспользоваться тем, что sin(9)=sin(3п-9) 3п-9=0.4247779608 - если теперь это число подставлять в ряд для синуса, то достаточно 4 первых слагаемых взять из него, чтобы уже получить значение для синуса с точностью до 10 знака если же так не делать, а сразу подставлять в ряд х=9, то нужно будет взять 20 первых слагаемых из получившегося ряда, чтобы найти значение синуса до 10 знака.
ок, но я не видел для e^x именно более быстрого алгоритма. Хотел бы такое видео сделать, но не получается ничего такого найти. Корень квадратный, например, действительно быстрее найти другим методом, ряд Тейлора для него вряд ли кто-то будет использовать
У автора ряд Тейлора появляется как чёрт из табакерки, сначала нужно было про степенные ряды и признаки их сходимости, а потом откуда появились коэффициенты a(0,1,2,..) как они связаны со значением производной. Короче у Демидовича все внятно написано, а тут в кучу.
Самое парадоксальное в математике то что в точной науке нет ничего точного, т.е. вычисляя синус мы обязаны остановиться на каком то шаге и как следствие происходит потеря точности а для вычисления точного згачения нужно бесконечно вычислять, разве это не парадокс
@@Hmath Товарищ не понимает самой сути математики. Математика это в принципе наука о бесконечности. А точность состоит совсем не в этом. Многие не понимают, что бесконечность появляется уже с самых азов. Например, в любом натуральном числе уже сидит бесконечность, причём актуальная бесконечность. Почему? Возьмём число 5. Это абстракция над понятием множества. Может быть пять чего угодно, яблок, букв, задач. Такое число это класс эквивалентности множеств, такой класс называется «кардинальным числом», он объединяет в общий класс все множества, в которых пять элементов. Хотя каждое из таких множеств конечно, их число бесконечно. И это не притянуто за уши, а лежит глубоко в сути вещей. А можно ли вообще говорить о множестве множеств? В принципе, от это этого вопроса можно прийти к парадоксу Рассела, который вполне можно объяснить любому толковому школьнику, причём строго, а не в виде байки о парикмахере. И так далее...
![[Calculus | глава 11] Ряд Тейлора](http://i.ytimg.com/vi/HJwxT9icYEk/mqdefault.jpg)
![[Calculus | глава 11] Ряд Тейлора](/img/tr.png)
я всегда любил математику, но после Вашего видео, мне стало намного интереснее изучать ее, с мыслью о том, что математика это такое же искусство, как и картины известных писателей. Спасибо!
в математике, как и в других искусствах и науках: чем больше знаешь и понимаешь, тем интереснее становится! продолжайте изучать! ;)
Согласен, автор просто молодец, я его уважаю за такой подход к объяснению
наконец-то я +- понял для чего нужны ряды. Спасибо большое за объяснение!
спасибо! с графиками особенно показательно было
рад, что понравилось! :)
Отличное видео. Всё подробно и понятно. Спасибо.
Спасибо за очень подробное и понятное объяснение!
Когда я узнал про ряд Маклорена для натурального логарифма
ln((x+1)/(x-1)) = 2*((x^1)/1 + (x^3)/3 + (x^5)/5 + …),
я, помню, был в ТАКОМ восхищении от того, что теперь я мог брать ЛЮБЫЕ логарифмы, какие захочу и с какой угодно точностью, и жалел лишь только о том, почему нам не говорили такого ни в старших классах, ни на первом курсе (хоть и специальность у нас тянет больше к статистике, чем к матанализу).
Достаточно представить log(a)b как ln(b)/ln(a); затем представить a и b в виде (x+1)/(x-1), т.е. решить соответствующие уравнения (x+1)/(x-1) = a или b; ну и затем раскладывать, для меня точность до члена (x^13)/13 вполне достаточна
а разложение в ряд маклорена можно применять в уравнениях или неравенствах?
@@Mr.Karten Для меня это чисто прикладной вопрос, т.е. я это делаю только с той целью, чтобы узнать, какому приблизительно числу, равен, допустим, log(3)13, потому что упростить его ну никак нельзя. А в уравнениях и неравенствах лучше так не делать. Ну если только ты уже получил ответ и тебе надо выяснить его числовое значение
Думаю, это видео достойно большего количества лайков и просмотров...
Очень интересно, полезно и информативно! Спасибо большое за видео
Спасибо, помогли, вы очень доступно.объясняете.
самое понятное объяснение, спасибо!
Здравствуйте, очень интересный ролик! Хотел спросить, что думаете о нестандартном анализе и всяких дуальных и гипердействительных числах?
никогда не слышал
Роскошно! Очень наглядно
Крутой канал!
Спасибо большое! Это круть
Я всё ждал, когда прозвучит слово "аппроксимация"
Только сейчас понял для чего нужно разложение функции в ряд Тейлора
Еще много для чего может пригодится :) интегралы можно вычислять приближенно с помощью этих разложений, например. А некоторые интегралы можно даже точно вычислить, применяя ряды.
Классный видос, жалко что просмотров так мало
Что если заменить сумму интегралом,а целые производные дробными, факториалы гамма функцией? По идее что-то интересное должно получится, какие-то более фундаментальные свойства аналитичности будут
спасибо помог очень сильно
Из-за дистанционного формата и недостатка практики многие вещи из математики в вузе становятся непонятными. Огромное вам спасибо за такое видео, всё просто, разложено по полочкам, интересно. Так математика становится такой прекрасной, когда из-за какого-то разложения столько странных вычислений становятся простыми, волшебство!
рад, что понравилось :) это видео год назад делал, в новых качество вроде лучше, может только математика сложнее :)
Чаще бывает ещё хуже: многие вещи становятся... понятными. Но понимание это иллюзорное. Это только так кажется, что понятно. Математика как ничто другое способствует появлению иллюзии знания. Выход только один: слушать лекции мало. Нужно самостоятельно решать новые задачи и проводить доказательства. И нужны какие-то перекрёстные проверки, ведь и в решениях задач и в доказательствах можно ошибиться.
Очень Классно!
Если значение синуса равно конечной десятичной дроби ( например при синусе ПИ/6 радиан), то для нахождения значения синуса при таких углах, нам не нужен весь бесконечный ряд для точного определения функции с таким аргументом?
sin п/6 = 1/2 - это известно и так из геометрии :)
чтобы получить это число с помощью ряда - нужно сложить всё бесконечное число слагаемых, как и для любого другого аргумента.
@@Hmath Понятно.
Любую функцию можно разложить в ряд?
функция должна быть дифференцируема бесконечное число раз. Кроме того, не всегда полученный ряд будет сходится (или может сходится только в какой-то области, например, ряд для ln(1+x) сходится при -1
Скажите пожалуйста. Вот если вместо аргумент взять например 9 то значение sin(9) по ряду Тейлора не выйдет?( Там просто выходят числа огромные)
выйдет, но числа огромные сначала будут, но в знаменателях факториалы растут в итоге быстрее, так что рано или поздно дроби будут уменьшаться :) но вы же знаете, что синус периодическая функция и sin(9)=sin(3п-9), а аргумент (3п-9) сильно ближе к нулю и значит числа огромные в дробях уже не будут получатся
@@Hmath ну в теории да. А вот на практике что-то не так считает . Ну ладно наверное ошибка в проге. Спасибо за информацию
я же говорю, нужно сначала воспользоваться тем, что sin(9)=sin(3п-9)
3п-9=0.4247779608 - если теперь это число подставлять в ряд для синуса, то достаточно 4 первых слагаемых взять из него, чтобы уже получить значение для синуса с точностью до 10 знака
если же так не делать, а сразу подставлять в ряд х=9, то нужно будет взять 20 первых слагаемых из получившегося ряда, чтобы найти значение синуса до 10 знака.
@@Hmath я понял. Просто у меня даже 30 слагаемых и огромное число.
только лишь скажу, что такие вещи зачастую вычисляются немного другими, более быстрыми алгоритмами
интересно узнать, какой более быстрый алгоритм для вычисления e^x? дайте какую-нибудь ссылку на материал
@@Hmath это в численных методах есть, всякие методы ньютона и тд
ок, но я не видел для e^x именно более быстрого алгоритма. Хотел бы такое видео сделать, но не получается ничего такого найти. Корень квадратный, например, действительно быстрее найти другим методом, ряд Тейлора для него вряд ли кто-то будет использовать
Я восхищён
А разве для синуса степень -1 не должна быть n+1?
А разве (-1)^(n-1) не равно (-1)^(n+1) при целых n>0 ?
У автора ряд Тейлора появляется как чёрт из табакерки, сначала нужно было про степенные ряды и признаки их сходимости, а потом откуда появились коэффициенты a(0,1,2,..) как они связаны со значением производной. Короче у Демидовича все внятно написано, а тут в кучу.
посмотрим ради спортивного интереса, хотя тема легкая
как же надоело изучать эти бесполезные вещи) просто невозможно)
изучайте полезные
@@Hmath очень хотелось бы, сессия не позволяет
Самое парадоксальное в математике то что в точной науке нет ничего точного, т.е. вычисляя синус мы обязаны остановиться на каком то шаге и как следствие происходит потеря точности а для вычисления точного згачения нужно бесконечно вычислять, разве это не парадокс
ну тогда нужно удивляться еще раньше: само определение иррационального числа подразумевает, что это иррациональное число будет невозможно записать :)
@@Hmath Товарищ не понимает самой сути математики. Математика это в принципе наука о бесконечности. А точность состоит совсем не в этом. Многие не понимают, что бесконечность появляется уже с самых азов. Например, в любом натуральном числе уже сидит бесконечность, причём актуальная бесконечность. Почему? Возьмём число 5. Это абстракция над понятием множества. Может быть пять чего угодно, яблок, букв, задач. Такое число это класс эквивалентности множеств, такой класс называется «кардинальным числом», он объединяет в общий класс все множества, в которых пять элементов. Хотя каждое из таких множеств конечно, их число бесконечно. И это не притянуто за уши, а лежит глубоко в сути вещей. А можно ли вообще говорить о множестве множеств? В принципе, от это этого вопроса можно прийти к парадоксу Рассела, который вполне можно объяснить любому толковому школьнику, причём строго, а не в виде байки о парикмахере. И так далее...