大阪大 無理数の無理数乗＝有理数

[@kantaro1966]

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[@aac89170]

a^b=c　な時に　
a,b,cにどんな組み合わせで有理数、無理数の条件入れても（８種類）
成立する式が存在することは確認できました。

[@kiss_off]

動画と同じですね。
log[3]4 が有理数であると仮定する。
底と真数の値から log[3]4=p/q（p, q は互いに素である正の整数）とおけてこれから
q×log[3]4=p×log[3]3
∴ 4^q=3^p
両辺ともに整数であるが偶奇が一致しないためこの式は成り立たない。
最初の仮定が誤っていたことによる矛盾であり、これより log[3]4 は無理数であると言える。
後半は前半を利用して、
(√3)^(log[3]4)=2
√3 が無理数であることの証明は前半と同様の背理法をつかう。

[@佐々木理-d5g]

あっ、全てじゃなくて一つでしたね…😭そうですよね😭
無理に無理を重ねても今回は無理だった…ということで🤯🥲

[@ironia006]

√3が無理数である証明もやりました

[@石川洋臣]

少年の日に作ったの何だった
　横浜市立の過去問を参考に、今朝は背理法を復習しました。(２)は√３が底がそろって、良かったです。どうも、ありがとうございました。
　もう、忘れてしまいました。

[@peacefuljapans6286]

サムネを見た瞬間、鈴木さんと同じく√2の√2乗の問題を思い浮かべましたw

[@study_math]

誘導に乗るのが無難か。
実際の試験で0:41～の解答しても満点は無理だろうなぁ～a,bを求めよって書いてあるし。

[@maddux2007]

無理数の証明は無理ッす
…というダジャレは言わないことにします。

[@KT-tb7xm]

数学の先生が
「無理数を分数で表すのは無理」
って言ってたの思い出しました

[@smbspoon-me-baby]

比になる数という意味のrational numberの訳語が有理数（ratio:比）で、その否定形irrational numberの訳語が無理数ですね。
別に無理数とは「理がない数」ではないのです。

[@study_math]

ダジャレを言うのは誰じゃと返すのが定番😁

[@中村吉郎]

｢無理数の　定義を押さえ　解決す｣　貫太郎先生解説ありがとうございました。

[@teketeke9487]

おはようございます。うまく誘導に乗れなかったものの、「底が無理数で進数が有理数の対数を選べばよいのだろう、、」ということには気が付き、底√2、真数3を選んだら、誘導に乗ったのと同じようになりました。

[@mathseeker2718]

２番は
√3と、log3の4とかですか。
eとlog2とかでも良いのですかね。

[@ISBS1484]

ログ２が無理数の証明ムズくない？

[@kosei-kshmt]

このlog2の底はeだと明記しないと間違える人が…(笑)

[@smbspoon-me-baby]

そこは空気嫁、ってやつですな（笑）。
1986年は現代より空気が読めることを要求される社会的合意があったのでしょう。

[@smbspoon-me-baby]

@@kosei-kshmt さん
情報量なんで底は2で1（ビット）です、とか?

[@mathseeker2718]

@@ISBS1484 loge2が無理数の証明は、確かにむずいですね。自明としましたが。

[@KT-tb7xm]

私も実は真っ先に{√2^(√2)}^√2が思い浮かびました。
問題文を踏まえて思いついたのは√3^(log[√3 , 4]) = √3^(log[3 , 4]/log[3 , √3]) = √3^(2log[3 , 4])でした。
ちなみに，√2^(√2)についてはこれを有理数と仮定して
√2^(√2) = q/p (pとqは互いに素な自然数かつp ≠ 1)
とすると，両辺を1/2乗して
√2^(1/√2) = √(q/p)
なので，
√2^(√2) * √2^(1/√2) = √2 = √(q^3/p^3)
すなわち
2p^3 = q^3
で素因数分解の一意性と矛盾するので，√2^(√2)は無理数としました。

[@bigbruhhhhmoment]

同じです！

[@KT-tb7xm]

@@bigbruhhhhmoment さん
ご返信ありがとうございます🙏
最初にサムネ見たときは{√2^(√2)}^√2が思いつきましたが，誘導見たらもう1つの方が思い浮かびましたね。

[@智之-u1r]

nice!

[@KT-tb7xm]

@@智之-u1r さん
ありがとうございます😄

[@KT-tb7xm]

@S. M.I. さん
ご返信ありがとうございます🙏
厳密にはそうなんですね😅

[@mips70831]

なるほど、そういう誘導があったのですね。
自分も √2^√2　は√2乗したら2
でも√2^√2　が無理数であることをどう示したら･･･？　と悩んでいました。
本日も勉強になりました。ありがとうごぁいました。

[@JrMini-qk5cw]

共テに誘導付きで無かったっけ？

[@bearstrawberry9142]

1986年なら浪人時代にこの問題やったような・・・。今日も勉強になりました。ありがとうございました。

[@左衛門右衛門-w5q]

e^log2 = 2 が一瞬で思いつきました

[@クリートゥ]

eの無理性どうやって示すん。

[@なかちん-q9c]

それ思いついたら勝ちやな
底を√2とかにすればいい

[@user-vt3yn6ic5l]

(‪√‬2)^{(‪√‬2)^(‪√‬2)}は横市や！

[@ベロンベロン丸]

底と真数の両方にルートを取ると
logの√3の2
√3^(log_√3_2)=2

[@ne-hc2hh]

問題文を読み間違えて、てっきり(2)は全ての組を求めるのかと勘違いしてしまいました笑
今日も素敵な解説ありがとうございます

[@大岩佑輔]

絶対ムリで草

[@クルースダウナー]

「x^logx(y) = y」は「loga(c) = b → a^b = c」と同値。
「logx(x^y) = y」は「a^b = c → loga(c) = b」と同値。
って事は分かってる？「x^logx(y) = y」だけを見て、この式は対数の定義だって言うのは微妙じゃね。

[@大岩佑輔]

x^t=yとなるtを、t=logx(y)とあらわすのでx^logx(y)=yは対数の定義です。

[@世良-l5q]

√2の話は佐賀大だった気がします

[@みふゆもあ]

横浜私立大学だった気がします。

[@みふゆもあ]

市立でした〜。

[@八百屋の菠薐草]

佐賀ありましたね

[@HachiKaduki0501]

@@みふゆもあ さん
　私立と市立では、"さが大” …　なんて（失礼！）

[@世良-l5q]

@@HachiKaduki0501 👏

[@vacuumcarexpo]

ヨシッ❗
（2）がフワッとした問題なので、逆に悩んでしまった。ランベルトのW関数とか使うのか？とか思ってみたり（笑）。結局分かったけど。

[@hHAI21]

佐賀大の問題に出ましたね。文系の問題でした。

[@Uchiko_Shufuno]

ルート2乗根の2のルート2乗って僕は出たけどこれはあってるのだろうか？ わかる人いたら教えてくれるとありがたいです

[@ISBS1484]

その数が無理数って答案の中で証明できていればオッケー😊

[@telephone6597]

お久しゅうございます
昭和61年の問題とは恐れ入りました

[@jinmennunagi]

ハイレベル理系数学に載ってましたね

[@PC三太郎]

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(2)について、\sqrt{3} が無理数であることを示す必要があるか否かは微妙なところ（教科書に載っているため。）ですが、
解答欄の余白が十分あり、時間があれば、示した方が無難な感じもいたしました。

[@オモドウ-b4p]

√2^√2は良さそうではありますがあくまで無理数の無理数乗が有理数となる例をいうのが簡単だから使えるって感じなんですかね。
組(a，b)を求めよ、なので√2^√2または(√2^√2)^√2だと答えとして、、うーん…(それじゃダメそうだけど…)

[@detty_an6]

この問題文で一例でいいんだ笑

[@みふゆもあ]

オハヨー😴
解けました〜😊
誘導の意味がわかっていれば簡単ですね〜。

[@KT-tb7xm]

たくみさんが扱っていた問題ですが
指数タワー√2^((……((√2^(√2^(√2^(…………)))の極限を求めよ。

[@tasami6559]

a(1)=√2, a(n+1)=√2^{a(n)} によって定義される数列の極限という意味ですね.
まず帰納法から, 任意の自然数nにたいして 1

[@KT-tb7xm]

@@tasami6559 さん
ご解答ありがとうございます🙏
流石です。お見事てす👏

[@kosei-kshmt]

@@tasami6559 さん
相変わらず簡略できれいな論理構成ですね。(笑)
m(_ _)m

[@Minakami-37143]

@@tasami6559
完結ですごい綺麗ですね。

[@user-Ib6gw4xi2m]

無理数乗の無理数乗の無理数は有理数になるかな？

[@Indian_NAMADESHITE]

真っ先にeのlog2乗を思いついた

[@九州図書隊]

中学の時にWindowsの関数電卓でlogの件が出てルートの他にも無理数というのがあるのだなと感じたことがありました。実際にこの問題に当たって成る程と思ったことがあります。

[@哲平伊野]

ルート2のルート2乗のルート二乗

[@セイル-x7i]

サムネだけ見て、考えたのは、2^√2　の√２乗。　※4=2^2 = 2^(√2*√2) =(2^√2)*√2　から
本当は、2^√2が無理数であることを示すべきなのですが、
まぁ、2^√2が超越数であることは証明されているし、
サムネには「例を挙げよ」とあるだけなので、これでいいのかな、と。
実際に動画を見て、誘導があると、なるほど、ですね。

[@Uchiko_Shufuno]

僕も一緒です

[@yamachanhangyo]

サムネで考え込んでしまいましたｗ
…というか、無理数を無理数乗したら有理数になるか？…だなんて考えたこともなかった。
もしかすると分数乗の形にするんじゃないか？…と考えて視聴したら対数だった🤣🤣
目端の利く受験生なら（1）からははぁ…なんでしょうが、初見だとちょっと辛い問題かもですね。

[@HachiKaduki0501]

おはようございます。
お、わが母校"の問題だゾ…。
サムネ見て、”log使うんやろなぁ"と動画を開き、そのまま考えることもせず漫然と流してしまいました、反省！
大阪大といえば、元竜王の降級が決まってしまいましたねぇ…、残念。
来期は初代叡王と切磋琢磨して、捲土重来を果たしてほしいです。

[@kosei-kshmt]

佐藤会長のことですか？
後輩の糸谷8段のことですよね。(笑)

[@smbspoon-me-baby]

叡王入試（適当）

[@HachiKaduki0501]

ダニー先生の先輩（エッヘン！ゴホゴホ）である私は、"見るだけ将" ですが駒を持つ手は山ちゃん（=初代叡王）と同じ（消しゴムを持つ方の手）です…。（ソレガドナイシタン？）

[@HachiKaduki0501]

あれ？
箸を右手で使う人は茶碗を左手で持つんだから、右手で鉛筆を使う人が消しゴムを持つのは左手でしょ…？

[@kosei-kshmt]

私は左手で消しゴムを使ったことはありません。余程のことがない限り、消しゴムは使わずに大❌をつけて後々の戒めとしての証拠にします。(笑)

[@かくる-v3n]

eのlog2乗

[@randomokeke]

サムネのシャツに書いてあるっすよと決して突っ込まないと誓った

[@CannedBenzene]

πiは虚数なので無理数ではないのでは

[@秋桜こもなな]

ふくらPがサブで言ってたやつやん

[@ぺんのさきっちょ]

いーのあいぱいじょう

[@Golgo1.3]

・・・

[@せろまか]

むりっす

[@zasty0816yo]

ua-cam.com/video/c65aood7Rg8/v-deo.html
ごや先生の動画のリンクです