✓ Задачка на делимость | В интернете опять кто-то неправ
Вставка
- Опубліковано 21 вер 2024
- Савватеев опять неправ )
Задача на теорию чисел:
Пусть a, b, c - целые числа такие, что ab = -c² и (a - b) делится на c.
Докажите, что a + b = 0.
Ролик Савватеева: • Разбор задачи №1 физте...
Книжка от Трушина: trushinbv.ru/book
Как поддержать канал: • Как помочь развитию ка...
Разовая помощь (Яндекс.Деньги): money.yandex.r...
Разовая помощь (PayPal): paypal.me/trus...
Разовая помощь (Donation Alerts): www.donational...
Регулярная помощь (UA-cam): / @trushinbv
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Онлайн-курсы по математике с Борисом Трушиным:
10 класс. Подготовка к ЕГЭ: trushinbv.ru/ege10
11 класс. Подготовка к ЕГЭ (задания 13-19): trushinbv.ru/eg...
10-11 классы. Подготовка к Перечневым олимпиадам: trushinbv.ru/olymp
Кроме этого, можно купить мои прошлогодние курсы в записи:
Подготовка к ОГЭ: trushinbv.ru/oge9
Подготовка к ЕГЭ. Задания 1-12: trushinbv.ru/eg...
Подготовка к ЕГЭ. Задания 13 и 15: trushinbv.ru/eg...
Подготовка к ЕГЭ. Задание 14: trushinbv.ru/ege14
Подготовка к ЕГЭ. Задание 16: trushinbv.ru/ege16
Подготовка к ЕГЭ. Задание 17: trushinbv.ru/ege17
Подготовка к ЕГЭ. Задание 18: trushinbv.ru/ege18
Подготовка к ЕГЭ. Задание 19: trushinbv.ru/ege19
Другие курсы Фоксфорда: trushinbv.ru/co...
Репетиторы Фоксфорда: trushinbv.ru/coach
Личный сайт: TrushinBV.ru
Группа "Олимпиады, ЕГЭ и ОГЭ по математике": ege_tru...
Группа "TrushinBV.ru": trushin...
Личная страница: trushinbv
Группа "TrushinBV.ru": / trushinbv
Личная страница: / boris.trushin
Инстаграм: / trushinbv
TikTok: / trushinbv
Telegram: t.me/trushinbv
Twitter: / trushinbv
UA-cam-канал: / trushinbv
В интернете опять кто-то стебёт Савватеева
Когда хайлайты?
@@europeantrad хайлайты стримов БВ?
смысла не вижу стебать за подобное :). Ведь там наглядный пример вывода знаний которые многие другие люди не смогут сделать Сами. Надо на именно на это обратить внимание :)
Фанат уберчма, помянем
@@squark3176 жёстко но пофакту
Мораль сей басни такова: на каждого Савватеева найдётся свой Трушин.
Мораль такова: самая короткая дорога это та которую знаешь.
@@mordorianin2 А если знаешь много дорог?
@@themonster4796 Сами к выводу прийти не можете? Ну, тогда помогу.
Зная множество дорог, знаешь и ту которая будет короче из этого множества.
@@mordorianin2 Я так и думал,но решил спросить.Иногда,даже бывают дороги,которые по длине примерно одинаковы,но становится понятно,какая короче.
@@themonster4796 подобный случай был с одним ослом
Кибербуллинг вначале
После этого видео монтажера уволили
@@kvadratmalevicha6842 жалко
Трушин как всегда красавчик! 😎 Скромный, добрый, без понтов и всегда в теме ☝️ Приятно смотреть и слушать такого человека как Трушин 👍 Большое спасибо за ролик и, конечно же, респект нашему любимому математику, Борису Трушину! 👍
Полностью согласна ! Только зачем он иногда носит красную нить на руке - это нехорошо.
@@НатальяБабухина-ь2ц а что в этом плохого?..
@@Максим-с3р6т , это каббалистический знак - а эти ребята зарекомендовали себя хуже некуда.
@@НатальяБабухина-ь2ц о какой нити идет речь? )
@@trushinbv , так, вроде была у Вас на запястье красная нитка? Ничего я не напутала?
Ну и токсик Трушин в начале
ох у эти ваши кликбейтные вырезки
Можно проще. a - b = cm; a^2 - 2ab + b^2 = (cm)^2; a^2 + 2ab + b^2 = (cm)^2 - 4c^2; a + b = c * sqrt(m^2 - 4), т.е. m^2 - 4 должно быть квадратом, что возможно только при m = +-2 => a + b = 0, ч.т.д.
Здорово )
Так же решил)
а почему если m^2-4 - квадрат, то m=+-2? вопрос закрыт m^2+n^2=4. дальше просто перебор
а как показать, что m^2 - 4 полный квадрат только при m = |2|?
@@ИванИванович-л4з В целых числах можно перебрать. При этом, совсем недолго.
Трушин не геометр, не специалист в теории чисел, однако в топе5 лучших школьных популяризаторов математики))))) скромность и одновременно уровень))) многим стоит поучиться))
100% согласен!
А в чём Господин Трушин силён?
@@braindett7831 по его словам всего понемногу, но на деле самые крутые объяснения сложных вещей
Трушин никогда не называл себя кем-то вроде "главы кафедры космических наук", но при этом разбирается в своём предмете на уровне, за его можно уважать. В противовес Савватееву, который "лучший учитель математики в России", что либо очень жирный рофл, либо я не знаю, как на это реагировать, который зам кафедры физико математических наук, не зная школьной физики и геометрии. А, ну и его высказывания типа "Ютуб не закрыли, потому что Мишустин любит наш канал", "очевидно, что все биологи мыслят не рационально ", или "я единственный кто сейчас может изменить российское образование"... Короче зазвездился
@@mega_mango Савватеев это просто фрик. Математики там уже не осталось, а на ненормальных можно и в другом месте посмотреть
Спасибо!
Мне кажется что любой семиклассник, как бы он не старался, он этого не поймет)
У меня совсем всё просто решилось. 1) Выражаем b = - c^2/a. 2) известно, что (a-b)/c = (a^2 + c^2) / ac -- целое. Значит a делится на c и c делится на a. Единственная возможность a = +-c. 3) Находим a+b = (a^2 - c^2) / a. Подставляем предыдущее выражение для а, получаем в ответе 0. 4) осталось исключить случайе a=0.
Ну, тут я соглашусь с некоторыми: саватеев тупо на красоту упирает.
В точку, когда слишком много знаешь то бывает коайне сложно найти ключик от конкретной задачи((
А когда мало знаешь, то ключик найти невозможно
@@iwillwatch Невозможно, если в рамках твоих знаний нет решений, а если есть, то, наоборот, как правильно было сказано, задача решается быстрее, так как меньше вариантов в голове перебираешь.
@@Леонид-с5з тем не менее лучше решить хоть как нибудь, чем не решить вовсе(если решения не оказалось)
Долго думал, откуда взялось постороннее решение 2,5c, дольше, чем над самой задачей)
Такие задачи НЕ простые. Но! Понять решение может и семиклассник. Спасибо. Думаю автор на такое решение и рассчитывал. )(
Савватеев любит умничать. Ему нравиться теория чисел. Возможно он даже мечтал что-то открыть)
Не судьба.)
"нравится"))!
О это же та самая задача с олимпиады ЛФИ
Добрый день! Условие c^2 | (a+b)^2 отсюда не очевидно, что c | (a+b). Доказать можно, но это сведется к способу Савватеева.
Это известный школьный факт. Он равносилен тому, что корень из натурального может быть рациональным только, если это корень из точного квадрата
В голос от начала видео хахах
После пятой строки в самом начале можно подставить значения и получить, что (a+b)^2=c^2*k^2-4*c^2. Т.к. кругом целые числа, то k^2-4 должно быть квадратом целого. А это возможно только при k^2=4, т.е. a+b=0
Спасибо, Борис за новое отличное видео. Как надоело про егэ, хочется просто красивой математики
Трушин в заставке:🤬👿👺
Трушин в видео:🥰😇
Кайфово получилось.
Ну хз, мне, как окончившему прикладную математику с отличием решение Савватеева гораздо проще, человек просто напролом решил задачу. А Ваше очень красивое, но я бы фиг до него догадался.
Смотрел несколько роликов Савватеева - какие-то акробатические этюды вместо решения задач
Ну у него канал не про решения задач так то. Наоборот, он часто рассказывает такие задачи, на которые решения и не существует, во всяком случае пока
@@sim9797 Тогда это чистой воды выпендреж
@@ВладимирКрылов-т4с а чего ещё от пгм-нутого ожидать?
Косплеит Шэгги из Скуби Ду)
"Ну, тогда респект" ©
Савватан, Савватан, помоги мне сдать матан
Пропущен случай c=0. Он, конечно, прост: из c=0 автоматически следует a-b=0 (на ноль делится только ноль). Но надо обязательно указывать c≠0 при разборе случая чётного c, иначе нельзя сокращать на c².
Спасибо. Здорово. Палец вверх для поддержания!
А ниже, в комментариях, нашел ещё одно простенькое решение... Думаю Алексею тоже должно понравится :-)
Когда я учился в школе, у нас была школьная олимпиада по физике. И туда воткнули задачу на рассчет цепи в виде куба. Этот тип задач решается по алгоритму, который в ОЗШ не проходят. Те школьники, которые его знают, решают задачу на автомате как обычную рядовую домашку. А те детки, которые не знают(потому что у них не было денег не репетиторов или они не учились во всяких спецлицеях), решить задачу НИКАК не могут.
Был целый скандал, помнится. Я со всего городка своего решил только один - потому что отдельно учился на физмате областном
9:56 благодарю за эти слова 🙌💎
И a(a-b) и b(a-b) делятся на с => и a², и b² делятся на с => a² - 2ab + b² = a² + b² + 2c², т.е. a²+b² делится на с² => a² - 2c² + b² = a² + 2ab + b² делятся на с² => a+b делится на c => (a+b)(a-b)=a² - b² делится на с² => 2a² делится на с² => a² делится на с² => и a, и b делятся на с. Что для целых говорит что a и b равны по модулю и противополжны по знаку
Наконец-то канал хороший найден 😻😋
Савватеев меня разочаровал. Неприятно его слушать.
Вас же Борис приятно видеть.
имею тройку по математике, но смотреть интересно.
Если a+b=0, то a равно b по модулю, но с противоположным знаком. Если a*b равно минус c в квадрате, то очевидно что a и b противоположны по знаку. Осталось доказать, что a равно b по модулю. Может в эту сторону мыслить. Или я чего-то не понял
Почитал комментарии к задаче и понял почему под большинством роликов такие тупые комментарии - все умные школьники тусуются у Трушина на канале!
a-b=uc, (a+b)^2=(u^2-4)c^2 ⇒ a+b=± sqrt(u^2-4) c ⇒ sqrt(u^2-4)=±(a+b)/c in Q. Следовательно, sqrt(u^2-4) in Z. u^2-4=v^2 ⇒ (u-v)(u+v)=4 ⇒ в силу одинаковой чётности сомножителей u+v=u-v (оба 2 или оба -2) ⇒ v=0 ⇒ a+b=0.
Почти также решал, но в конце меньше кейсов рассматривал
a+b=mc
a-b=kc
ab=1/4(m^2-k^2)c^2=-c^2
m^2-k^2=-4 (m-k)(m+k)=-4
Оба квадрата m^2, k^2 либо чётные либо нечётные. А значит m-k, m+k чётные и остаётся только
m=0, k=2 или k=-2 для -4=-2*2=2*(-2).
Вариантов?
@@AlexXVL1 Мне не ясен вопрос.
Гений
(a-b)^2=k^2*c^2. Поделим почленно квадрат разности на аb. Получим a/b+b/a-2=-k^2, но |a/b+b/a|>=2. Условиям задачи удовлетворяет только a/b+b/a=-2 (надеюсь мы рассматриваем только рациональные числа). Сделав замену a/b=t, получим a/b=-1, откуда a+b=0
круто, круто!
А тут из условий задачи не следует, что a,b и c равны по модулю, но a и b очевидно противоположны по знаку? Пытаюсь найти контр пример и не могу. Есть ли такой пример, чтобы a,b и c не были равны по модулю и первые два условия задачи соблбдались? Ответьте пожалуйста
С тобою все решено, как это было давно) В 35 лет я только помню как по кнопкам стучать, думать я уже забыл))))
Я тоже формулами сокращённого умножения решил. Самый простой способ
пора добавлять новую рубрику - Саватеев опять где то неправ
Можно поприятнее сформулировать задачу:
ab=c², (a+b)⋮c => a=b
Да, но это не мое условие )
a = -b
@@sibedir нет всё верно написано, тут же и начальное условие другое. Как бы заменили b на -b чтоб красивее было.
@@alexanderkolesnik9357 ))) а, ну да.
Глупый вопрос. Я правильно понял , что в ответе мы получаем : -A*B=-C² ?
Или я чего то недопонял как всегда? по условиям задачи у нас должно быть в ответе A*B=-C² , если у нас ответ другой то условия не соблюдены . по тому что
A*B≠-A*B
То есть , мне бы хотелось бы понять как правильно записать то, что мы узнали. Вот так A*B=-C² , или вот так -A*B=-C² ? Как будет правильно ?
Неужели и так и так будет правильно ?
Так Савватеев и показывает как должен мыслить учёный. - именно мыслить логикой и математикой.
Понятно что можно упростить, но ограниченность мышления никогда не продвинет науку вперёд.
(a - b) mod c = 0, тогда a mod c = b mod c(общеизвестно, но для док-ва достаточно сказать, что если остатки разные, то разность не будет давать в остатке 0).
Предположим a mod c(и b mod c) не 0, но тогда ab не делится даже на c(для формального доказательства можно представить что a = a'c + r, b = b'c + r, перемножим многочлены, на c будет делится все кроме r^2, который 0 не равен). Получается a mod c = b mod c = 0. Тогда a = a'c, b = b'c. ab = a'c * b'c = a' * b' * c^2 = -c^2, уравнение в целых числах, очевидные решения либо 1 и -1 либо наоборот. Отсюда a = c, b = -c(или наоборот), a + b = 0. Вроде ничего не упустил.
На некой планете Н есть бесконечно высокая стена, нужно её преодолеть. Инженер будет строить корабль, используя энергию космоса для её преодоления (битва бесконечностей); простой человек, зная что планеты шарообразные, предложит пересечь её в обратном направлении; а кто попроще просто обойти. Для решения некоторых задач знания и вправду могут быть избыточными)))
a-b делится на с => a^2-a*b делится на с => a^2+c^2 делится на с => a делится на с и возвращаясь к исходному, b делится на с. Теперь a*b=-c^2 даёт всего два варианта: a=c, b=-c или a=-c, b=c. И там и там a+b=0.
Вы можете гарантировать только то, что a^2 делится на с
а как из a^2 делится на c следует, что a делится на c?
@@trushinbv Спасибо, за замечание. Поспешил.
@@fostergrand4497 Никак не следует. Например 2^2 делится на 4, но 2 на 4 не делится.
@@IgorGusev28 так и я о том же.
в спортивном ЧГК есть присказка: незнание - лучшая отсечка...
О, нарезки снова появились! 🌸🌸🌸
ab=-c^2, откуда а=c×k, b=-c/k, с кратно k. Далее а-b=с(k-1/k). Возьмем |k|>1 без потери общности (иначе поменяем a и b местами), тогда если (a-b) кратно c, то и c является делителем c(k-1/k), откуда k-1/k=Z так же целое число. Получаем k целое и -1/k тоже, откуда k=1 или -1, что в обоих случаях дает a=b
Нет. 4•(-9)=-6^2. Чему равно k? )
@@trushinbv 2/3 или 3/2, но разве 9-4 кратно 6? Или я вас недопонял?
@@Accusan Вы пишите "ab=-c^2, откуда а=c×k, b=-c/k, с кратно k." В это строчке k -- целое?
Если так, то "4•(-9)=-6^2" -- контрпример к вашему утверждению
@@trushinbv спасибо за замечание, наконец понял! Вообще иррациональным k быть не может, остается рациональная дробь вида p/q и целые числа. Так как k-1/k целое, решим уравнение k-1/k=z, получим k=(z+-sqrt(z^2-4))/2, откуда sqrt(z^2-4) рациональное число, так как равно разности рациональных. Если это дробь вида p/q с взаимнопростыми, то (p/q)^2 так же не целое число, но z^-4 целое - противоречие. Решим уравнение в натуральных числах (затем можно взять z с минусом как еще одну серию решений) z^2-4=c^2. (z-c)(z+c)=4, откуда по ОТА либо z=+-2.5, c=1.5, что не подходит, либо z=+-2, c=0. Отсюда при z=+-2, k=+-1. Вывод: k равно +-1 и a=b.
Подскажите, теперь верно?
Заранее спасибо за уделенное внимание и ваш труд! Лучший!
Посмотрел сначала оригинал и мне остался неясен один момент. Вижу упрощения: A=P(a), B=P(b) и C=a-b, откуда A*B=-C^2. Тут все ясно.
Не ясно почему сделано утверждение, что A-B делится на С? Откуда это следует? Хоть убейте не вижу, как из оригинального условия получено такое утверждение.
Потому что для любого n выражение a^n-b^n делится на a-b
@@casht100 спасибо. Либо не знал вообще, либо просто забыл это свойство.
@@casht100 А как и где это применить?
@@r75shell, просто выпишите разность, группируя члены с одинаковыми степенями
Предлагаю свою версию (пока сам решал такое придумал). Во-первых, я проделал тоже самое: Q(x-a) - новый полином у которого коэффициенты тоже целые. Тогда Q(0)*Q(b-a) = -(b-a)^2, что эквивалентно Q(0)*Q(c) = -c^2. Теперь скажем что Q(0) это новый a, и Q(c) это новый b. Тогда a*b = -c^2. Теперь внимательно взглянем на Q(0) = a, это означает, что коэффициент при нулевой степени x равен a. То есть полином Q имеет вид ?*x^n+?*x^(n-1)+...+?*x^2+?*x+a. То есть, Q(x) имеет вид, H(x)*x+a, где H(x) это снова полином с целыми коэффициентами. Ну тогда Q(0)*Q(c) = (H(0)*0+a)*(H(c)*c+a) = -c^2. (далее я не пользовался делимостью (b-a) на с а просто выразил a по формуле через дискриминант, и получил доказательство). Теперь "вспомним" что (H(0)*0 + a) = a по определению, а H(c)*c+a = b по определению, и теперь получим что b-a = H(c)*c+a-(H(0)*0+a) = c*H(c), то есть (b-a) делится на c.
С начала проорался
Я решил эту задачу с помощью формул с. у. значит я на 1 курсе думаю как семиклассник(
Слишком быстро донатеров прокрутил,на мой вкус.
Сложно
6:47 "Это какое-то КЦ".
Про спички задача?
Док-во от родителя 7миклассника: если (a-b):c -> a=mc, b=nc -> mnc²=-c² ->mn = -1. (a+b)=c(m+n)=0, тк m=1 n=-1 (или наоборот. Минут 10 тупил, пока не включил ролик дальше и не услышал, что m и n - целые!!! А сам я забыл про это🤦🤦🤣)
@@RumblesThunder да, уже понял) 🤷
Чтобы представить себе то что я доказал. Просто представьте себе что вас заперли в 20- точках на 20 течках и вас никаких шансов выйти , как вы думаете - какой размер бесконечности будет для вас? Ответ 20 точекна 20 точек....Это означает если бесконечность убрать точку, то у тебя уже будет бесконечность из 19 точек и так далее.
7:35 разве из того, что 2a делится, на c, следует, что c/2 - целое число? Сразу приходить пример с 2*3:3
c/2 - целое, потому что в этот момент мы рассматриваем случай четного с )
@@trushinbv 😬без комментариев....
Почему если (a+b)^2 кратно c^2, то и a+b должно быть кратным c? Допустим, (a+b)^2 = 2*c^2, тогда a+b = корень из двух на c, соответственно при делении на с дает нецелое частное, следовательно не кратно
Так у нас же a и b - целые
@@trushinbv спасибо!
a*b=c^2 =>a=k^2*нод(а,b);b=m^2*нод(а,b), (k,m- взаимопростые) учитывая a-b:c=>(k-m)(k+m):k*m
(k-m)(k+m):m=>x*(x+2m):m=>x:m=>k:m, но они взаимопростые, значит m=1.
Аналогично и k=1
Все гениальное просто :) Спасибо за разбор
А решите ли олимпиадную задачку для 7классников из 1990 года? Уголками полностью заполняется квадрат nxn клеточек (вся сетка), чтобы не было ни одного пересечения (наложения). Всего 4 варианта ориентации уголков. Доказать, что количества уголков в противоположных направлениях равны. На разборе сразу ввели аналогию про весы, которуя я не понял, поэтому не понял решения.
Аналогия про весы - чтобы сохранялось равновесие, нужно чтобы на чашах весов находилась одинаковая масса или одинаковое количество одинаковых предметов. Для того, чтобы заполнить уголками квадрат, надо чтобы некие группы уголков образовывали маленькие квадратики. А это можно сделать только двумя способами: сложив два уголка, так чтобы диагональ шла вниз или вверх. В обоих случаях одному уголку требуется в пару один противоположный уголок, поэтому вывод очевиден.
ПГМ Савватеева прогрессирует.
Без ограничения общности будем считать, что |a| ≥ |b|
Пусть d = (a, c). c | (a - b) => d | b.
a = dn, b = dm, c = dk
d²nm = -d²k² => nm = -k², но (n,k) = 1 => n = 1, m = -k², т.е. a = d, b = -dk², но |a| ≥ |b| => k² = 1, т.е. k = -1, т.к. ab ≤ 0 => a + b = 0
Тоже хорошо )
Это фактически решение Савватеева, рассказанное простым языком
Только после k^2 = 1 можно было уже остановиться. Откуда там про k=-1?
@@trushinbv да, вы правы, я подумал, что b = -dk в этот момент почему-то.
Бл, я себя чувствую какой-нибудь букашкой
Шелдон одобряет.
Ну и жесть конечно
Объясните пожалуйста, почему 4ab делится на с?
ab=-c²⇒ab⁝c⇒4ab⁝c
Ну, решение не простое, а Савватеев, как я понял, уповал именно на сложность. Не думаю, что школьнику найти это решение было бы проще.
это тупо делимость братан, че там сложного
И сам савватеев привел намного более сложное решение (хотя не сказать что супер сложное)
Я не вижу его сложность сильно большей, чем это. Борис прав, найти решение Савватеева более младшекласснику почти нереально, но ведь и задача не для них. Так-то оба решения ИМХО весьма непросты для тех, для кого задача. Ну т.е. у Бориса проще, но не так уж значительно.
Куда тебе задачи интересные кидать?
А разве из "a + b = 0" не следует, что "а = -b"? Тогда "|а| = |b|", значит ab = -(с*с), а "а-b=0", а 0 всегда делиться без остатка. Или я не прав, тогда мне важно понять: где?
Ты не можешь использовать следствия из того, что тебе надо доказать
Мы же не знаем, что a+b=0. Мы хотим это доказать )
@@trushinbv а ой)
Сложновато для семиклассников
В каком году нашей эры операцию деления в математике стали обозначать тремя точками, расположенными по вертикали относительно друг друга?
Это не операция деления, это обозначение "делимости"
@@Vladimir_Pavlov В седьмом классе в 1992 г. в средней Мухосранской школе №1 "делимость" тремя точками не обозначали, зуб даю! ))))
А как обозначали? )
@@alexalex-ch8rc Если в вашей школе в поименованном городе в седьмом классе решали задачи " на делимость целых чисел нацело", то слава вашему педагогу.
Это не из программы обучения общеобразовательных школ.)
Может ,еще раз......
Речь идет не об операции деления , любых действительных чисел.
Речь идет о свойстве некоторых целых чисел,после деления на определённые целые числа давать в результате целое число.
Найдите в ВИКИ определение "делимость". там и обозначение этого свойства есть.)
@@Vladimir_Pavlov В родной средней школе про "делимость" с тремя точками не знали ни в седьмом, ни в восьмом и так далее до одиннадцатого, как ученики так и учителя (наверное, или скрывали). )))))))))))
Борис, доброго времени суток! А нельзя ли решить данную задачу, перевернув все с ног на голову? То есть не доказывать что а+b=0, а наоборот принять это как факт и проверить, будут ли тогда выполняться начальные условия задачи. Рассуждения примерно такие: Если предположение что a+b=0 верно, тогда b=-a. Следовательно а*(-а)=-с2. Это значит, что а*а=с2. А это значит, что а=с (что автоматически означает что b=-c) или а=-с (b=c). Теперь проверяем, делится ли разность (a-b) на c, заменяя a/b на соответственно c/-c или -с/c. В первом случае (c-(-c))=(c+c)=2c - полученное произведение спокойно делится на с. Во втором случае (-c-c)=-2c - тоже делится на с. Из всего следует, что a+b действительно может равняться 0, но только если значения a/b равны c/-c или -с/с. Так можно рассуждать?
Как вы верно заметили, вы показали, что "Из всего следует, что a + b действительно может равняться 0", но это не означает, что а + b точно равно 0.
@@trushinbv :-) да, точно. Спасибо!!!
У меня по-длиннее решение через b² + kcb = -c² для целочисленных k, где a-b = kc. Единственное решение при k=±2, то есть b=±c.
Но требует представления об иррациональности всех квадратных корней, кроме как из квадратов, и что k²-4 не квадрат, кроме |k|=2.
Когда вы утверждали( фраза «ну вроде как совсем очевидно») , что Если квадрат одного числа делит квадрат другого числа , то и само это число делит другое число, то вот тут использована единственность разложения на простые множители, а этого по-моему нет в школьной программе))
ЗЫ Хорошо бы избегать слова «очевидно» полностью
Не использует
@@casht100 тогда строго докажи, без использования этого факта и слов «очевидно». У меня доказательство элементарное, если у чисел наборы простых множителей различны, то у их квадратов они те же самые)))
Единственность не требуется. Достаточно любого разложения. Доказывается, что целое отношение квадратов - тоже квадрат, а потом формула разности квадратов
@@casht100 как вы докажете, что целое отношение квадратов тоже квадрат, без использования единственности разложения числа на простые множители?)))
Разложение на простые множители проходят в пятом классе.
Не совсем понял логику перехода на 6-10 от второго столбика к третьему..
Если м и н делятся на с, то и м+н, м-н делятся
Ибо м=хс, н=ус
м+н=хс+ус=с(х+у)
м-н=с(х-у)
У нас
а+б : с
а-б : с
Значит и
(а+б)+(а-б)=2а : с
И
(а+б)-(а-б)=2б : с
Подскажите как эта программа называется, где Трушин пишет. Заранее спасибо!
Paint 😀
А что думает про этот ролик? ua-cam.com/video/9kPxFtRefac/v-deo.html
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
трушин не хочеш демидович порешать там интегралы, приделы?
У вас микрофон новый? Тембр другой.
У ТКБЯ СПЕКТООРР
Хорошо, что вы объяснили, что "задача сводится к a * b = -c*c". Как люди вообще могут понимать эти чисто буквенные объяснения, по типу: "Смотрите, у нас есть A(x), которое принадлежит B. Из этого однозначно следует, что C(x) = Q(x), но никак не может быть, что C(x) = N(m). И только идиот может предположить, что U(i) равен дельта зед пополам"?
7:02 пачему? это верно же только в том случае если k и n целые. А так это могут быть например числа 2 и -0.5
k и n целые числа по определению делимости
Так как и a и б деляться на С на цело. То кэфы k и n при записи a = kc b = nc всегда целые числа
хех, логично. Спасибо)
Можно стереометрию с нуля до уровня ЕГЭ?
незлья
Дед напился и опять Бухтит на теории чисел
не очень понял, откуда мы взяли что 2а и 2б делится на с?
Если два числа делятся на третье, то сумма и разность этих двух чисел также будут делиться на третье. Первое число - (a+b), второе - (a-b). Их сумма и разность - это 2a и 2b, так что они также делятся на c.
Я не математик) Но думаю с программой 7-го класса справился бы) У меня есть одна идея, так как у нас "а-в" кратно "с", то значит у "а" и у "в" одинаковые остатки после деления на "с". Но у нас и "а+в" кратно "с". А такое возможно только если в остатке "0" или "с/2". Если "0", то из первого уравнения понятно, что "а=-в". А если в остатке "с/2", то прорешав первое уравнение и сократив обе части на "с в квадрате" получится, что нечетное равно четному, а такого очевидно быть не может) Могу конечно и ошибаться, но вроде так
"Но у нас и "а+в" кратно "с"" -- нет у нас этого. Нам это нужно доказать )
@@trushinbv Так Вы же доказали на 5:40) Я просто предложил свою концовку, как альтернативу рассуждениям о четности)
Если а*б=с^2, то очевидно, что а=с, иначе б не разделится на с.
От сюда(а*б=-с^2), с учётом знаков б=-а. Или а+б=0.
Если а плюс б делится на ц, и а плюс б равно нулю. Но ноль не делится на ц?!
Ноль на всё делитсч
Я хочу до конца осознать логику правил записи неизвестных значений. Если я в условие закладываю неизвестное с отрицательным значением , корректно ли будет с моей стороны не указать на это в условиях? Например у меня в уравнении должно быть -A*B=-C² , имею ли я право проигнорировать это , и вместо этого , сделать другую запись в условии, A*B=-C² , или с моей стороны , писать такие условия , будет безграмотно и не корректно? Или тут такое правило.. да как Бог надушу положит , хочешь указывай на отрицательность значения , хочешь нет.. И так и так правильно?
А как доказать, что a^2 | b^2 => a | b? Не используя факториальности Z? Это вообще верно в любой области целостности, я что-то не пойму сходу.
Ниже есть длительная дискуссия на эту тему. Факториальность не требуется. а^2=kb^2 => k=(a/b)^2, k=r^2. r=p/q, но если (p,q)=1, то и (p^2,q^2)=1 => q=1 и r- целое. (a-rb)(a+rb)=0
А как доказать это "если (p,q)=1, то и (p^2,q^2)=1" без ОТА?
@@trushinbv, это доказательство есть у Виноградова, Основы теории чисел, ещё до введения простых. Стр.11 в издании 52 года. В ТеХ я бы повторил, а здесь не очень удобно.
@@casht100 Вероятно вы имеете в виду следующее: (p, q) = 1 => up + vq = 1 для некоторых u и v. Возведём последнее равенство в 3-ю степень, получим u'p^2 + v'q^2 = 1. Ваше доказательство работает без факториальности, согласен, но существование нод, все же нужно. А если без нод? Что-то мне подсказывает, что в общем случае, для произвольной области целостности это не так.
Ну, конечно! Возьмём Q[x, y, z] / (x^2 - y^2*z). Это целостное кольцо, в нем x не делится на y, а вот квадраты делятся.
Вроде ещё проще получилось. Или ошибся?
Рассмотрим ab = −c². Если модули a и b разные (т.е. не равны c), то один из модулей меньше c (c/k), а другой больше (kc). Больший (kc) точно кратен c, а меньший точно нет (т.к. он меньше c), а раз это верно для модулей, то и для самих чисел a и b - одно кратно, другое нет. Но ведь (a−b) кратно c. Противоречие. Значит, модули таки одинаковые, т.е. a=−b=c.
4•9=6^2
Ни 4, ни 9 не делятся на 6
@@trushinbv А, точно, не обязательно ж моё k будет целым...
Так вы оказывается магистр кликбейтных наук
Не, я только "магистр прикладной математики и физики" и "кандидат физико-математических наук". Кликбейтам не обучен (
6:10 не понял, почему?
Возьмём 3 и 1. Ни одно, ни другое двум не кратно, однако и их сумма, и их разность ещё как пополам делятся нацело.
Откуда утверждение про 2а кратно с?