Найдите наибольший объём конуса
Вставка
- Опубліковано 20 кві 2024
- Найдите наибольший объём конуса, образующая которого равна 3.
Предыдущее видео: • НОВАЯ задача из ЕГЭ пр...
Valery Volkov / valeryvolkov
Наш семейный канал: / @arinablog
Почта: uroki64@mail.ru
Нахождение максимума функции с помощью производной. Спасибо за полезное видео.
V=1/3π*r*r*h, выразим все через высоту V=1/3πh(9-h*h) величина 1/3π постоянная и на максимум не влияеет, значит нас интересует мах h(9-h*h)=9h-h*h*h его производная 9-3h*h, корни y=+-√3 ветви функции обращены вниз, значит исходная функция возрастающая до значения н=√3 , которая соответствует данным задачи (0
можно еще r^2 на 9-h^2 заменять, тогда производную считать проще
По теореме Пифагора х^2 = 9 - h^2, значит надо найти максимум функции h*(9-h^2)= 9h-h^3.
Легче, чем возиться производной всяких корней!
Это общий метод и очень удобный. Главное, уметь находить производные
Да, я также нашла наибольшее значение. Спасибо
Через высоту решать проще. Выкладки проще, ошибиться труднее. А так ответ конечно правильный.
А если вместо h выражать R то будет проще
Большое спасибо за вашу работу для всех нас. Объяснение высший класс.
Спасибо, всё доходчиво, понятно, выбор того способа, который считаете для вас более нужным.
Нажал паузу. И вот, что скажу. С точки зрения алгебры это фигура вращения вокруг оси h. И находится она как интеграл от формулы наклонной пррямой, которой и есть образующая. А по сути интеграл это площадь фигуры ограниченной линиями (в данном случае это треугольник со сторонами 3, х, h). И чем больше площадь этого треугольника, то и напрямую и будет больше объём конуса. А это достигается при условии, что x=h. То есть мы имеем равнобедренный прямоугольник. А у него 3 это гипотенуза. Следовательно x=(3*scrt(2))/2 и h=(3*scrt(2))/2. Т.е. x=h~2,121.
нашел через максимум выражения 1/3пи*(9h-h^3) методом подбора (1,73 высота и 10,88 соответственно объем), спасибо за способ решения через производные.
График G1 квадратного трехчлена y = px2 + qx + r с веще-
ственными коэффициентами пересекает график G2 квад-
ратного трехчлена y = x2 в точках A и B. Касательные в
точках A и B к графику G2 пересекаются в точке C. Ока-
залось, что точка C лежит на графике G1
. Найдите все воз-
можные значения p.
Привет! Какую программу вы пишете на графическом планшете? пожалуйста, скажите мне
Через тригонометрию производная проще. h = 3*sin(a), r = 3*cos(a) и далее ...
получается при максимальном объеме радиус основания и высота относятся как 2:1. Еще бы понять откуда двойка вылезает, может в производной формулы объема из квадрата радиуса?
Нет, отношение равно корню из 2.
@@ValeryVolkov да, корни забыл, но откуда корень из двух берется?
як корень з 2 до 1...
Благодарю за здравое решение.
Сам думал, что угол меж R и l должен быть до предела приближен к развёрнутому, оттого вырастет радиус, а вместе с ним и объём, но не учёл, что высота окажется слишком маленькой, отчего это с лихвой перекроет возрастание радиуса.
Так что мой "способ" годится только для нахождения наибольшей площади основания конуса.
К слову, проверил угол меж R и l через арки. Синус равен корень(3/6) = корень(1/2) = корень из двух пополам. То есть угол равен 45°.
Я бы, для таких как я, которые сразу уже не могут по ответу разобрать, как получился ответ от взятия производной сложной функции, расписать, как он получился)
А так, конечно же спасибо
По определению конуса, наибольший получится поворотом треугольника с наибольшей площадью (его поперечного сечения). А это прямоугольный треугольник, в нашем случае - равнобедренный.
Нет, совсем не так
@@user-mu7zw7kj9l ну а как ещё? Нет, я понимаю, что у кого-то и 5+7 это не то же самое, что 6+6...🤭
в нашем случае объем будет равен произведению площади упомянутого вами треугольника на длину окружности, описанной его центром масс при повороте. это справедливо для любого объема, полученного несамопересекающимся движением плоской фигуры (емнип)
@@kara6as то есть максимальным объёмом треугольника, как я и сказал. При сужении угла уменьшается и площадь, и окружность. При расширении длина окружности увеличивается, но площадь уменьшается. Т. е. рассматриваем только второй, спорный, случай. При увеличении основания на условную единицу
▫R²=h₂²+(r+1)²;
▫R²=h₁²+r².
Решаем систему, считаем изменение высоты:
▫h₁=√(R²-(r+1)²);
▫h₂=√(R²-r²);
▫Δh=h₂-h₁=√(R²-r²)-√(R²-(r+1)²)>0 (уменьшается);
Изменение длины окружности Δl=l₂-l₁=2π(r+1)-2πr=2π(r-r-1)=2π>0 (увеличивается).
Изменение объёма.
▫ΔV=ΔS*Δl;
▫ΔS=Δh(r+1);
▫ΔV=Δh(r+1)Δl, отрицателен должен быть один либо все три множителя;
▫r+1>0, Δh>0, Δl
Проще, если высоту обозначить через х, тогда удобнее брать производную.
Можно взять за базу угол между
образующей и радиусом .Найти
угол и соответственно радиус с
высотой
можно выразить всё через угол между образующей и высотой. Но не уверен, что там очень простое дифференцирование. Надо, в общем, брать ручку, бумагу и составлять функцию.
R=3cos(x); h=3sin(x)
V=1/3*π*R^2*h=9π*cos(x)^2*sin(x)
dV/dx=9π*(-2cos(x)sin(x)*sin(x)+cos(x)^2*cos(x))=0
2sin(x)^2=cos(x)^2
tg(x)=1/√2
x=arctg(1/√2)
А также особые случаи sin(x)=0, cos(x)=0. Но они явно неинтересны.
Как давно это было
Это общая формула при известной образующей? Высота всегда корень из образующей, а радиус корень из двух образующих?
Нет.
"Обозначим радиус через "x". Нет, "х" мало, пусть будет "z"
Почему такие границы у радиуса? Типа проекц. всегда не больше проецируемого отрезка (как здесь)?
Это не вполне очевидно. с первого взгляда, наверное ))
навіть в пісні з "пригод Електроніка" це можна дізнатись. Там такі строки є:
А нам говорят, что катет
Короче гипотенузы
@@pro100SOm Ну, да. Но не сказано, какой это конус, тень - все же, бывает больше объекта )))
@@benduolo в шкільному курсі конус проходять, як "тіло обертання" :))) не треба ускладнювати :)
тим паче, що в умові є "твірна", а вона сенс має тільки для "прямого кругового конуса"... який власне з прямокутного трикутничка і народився :)
А что делать если ничего почти не понял, но выглядин прикольно? Гипотеза Пуанкаре конечно посильнее, но мир не может быть одновременно бесконечным и конечным.
Что значит "наибольший объем"?
Берём всевозможные конусы с l=3 и смотрим, кто из них наибольший.
@@A_Ivler У этих конусов всегда будет равный объём
А вот и нет X и h же переменные!
@@ouTube20 Нет, всё зависит от радиуса. √(9-r²) меняется же.
Лайк👍!
А нахіба стріляти собі в ногу? Якщо виразити не h(r), а навпаки: r(h), то отримаємо простіший вираз: S(h) = pi (9 - h^2) h / 3. Де 0 < h < 3.
S'(h) = pi (3 - h^2)
звідки отримуємо h_0 = sqrt(3)
зростає/спадає нам не цікаво, бо очевидно, що у крайніх точках S(0) = S(3) = 0, а у проміжній -- ні. Тобто це і є гарантовано максимум
Наконец- то, хотя вру - это уже очередное нормальное видео.
Задача несложная, а решение получилось некрасивое - муторное и трудоемкое. Зачем по dR дифференцировать, когда и в формуле объема конуса, и в теореме Пифагора есть R^2? Квадрат радиуса в формуле объема следует подменить на 9-h^2, а дифференцировать полученное выражение по dh, в этом случае решение получится простое, короткое и быстрое.