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- Опубліковано 4 лют 2016
- L'infini en mathématiques est il vraiment indépassable ? Y a-t-il des infinis plus gros que les autres ? Ou plus petits ?
Venez découvrir l'hôtel de Hilbert, les constructions de Cantor et l'hypothèse du continu.
Écrit et réalisé par David Louapre © Science étonnante
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- "Mais qui a attrapé le bison de Higgs ?"
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Doivent pas pouvoir beaucoup dormir, les clients de l'hôtel de Hilbert. Toujours dérangés par les nouveaux arrivants.
Pour ceux qui sont à l'infini, il faudra un temps infini pour qu'ils soient dérangés. C'est pour ça que je réserve toujours une chambre à l'infini.
Excellent, ce genre d'humour me réconcilie toujours avec moi-même. Merci à j9dz2sf. ;-)
Il faut un temps infinie pour arriver jusqu’à la chambre déjà.
pense au mec on lui dis vas dans la chambre qui à le double de ton numéro, quand je mec est déjà dans la chambre 3 628 800 par exemple mdr la ptite marche
Et moi la chambre zéro :)
J'espère que le gérant de l'hôtel a une infinité d'aspirines pour gérer son affaire ! Très très bonne vidéo sinon, j'en redemande :p
Merci pour cette vidéo. Bien que j'ai étudié toutes ces notions à la fac de Sciences, c'est toujours excellent de le revoir expliqué plus "ludiquement". Vraiment bien !
En réalité, le gérant gagne toujours autant qu'au départ car il a toujours autant de clients : une infinité !
en effet il gagne toujours (Prix de la chambre * cardinal)
L'infini, c'est long , surtout vers la fin (d'après Kafka)
Lol mdr
L'infini n'a aucune fin
@@angeliquegentil2886
merci einstein
Je crois que c'est l'éternité. Mais bon, on va pas chipoter
Oui c’est vrai, c’est quand y’a le truc là... que y’a plus de truc après et tu te fais chier...
Théorème de Gödel: "Si c'est trop compliqué... fuck it"
CoolSprites
@@jethromaloku3136 euhhhhh
Si j’avais eu des profs de maths comme vous, je me serais passionnée pour les maths! Je trouve intéressant de commencer l’abord d’une matière par des questions, pois de chercher des réponses et par là, aborder différents problèmes qui eux-mêmes recréeront de nouvelles questions ... à l’nfini 😉 c’est passionnant. J’aurais aimé avoir un cours de maths créatifs ou qu’en tout cas on m’explique l’histoire, la cause voire les applications de telle ou telle formule. Quand j’écoute vos vidéos, je dois me concentrer et ne peux pas me permettre de faire autre chose en même temps, mais ces quelques minutes passent très vite et ça ouvre l’esprit. Merci pour ce travail!
Les applications des formules c'est a toi de les choisirs dans les exo justement.
5:25
-Mon cerveau: Bon, tu fais ce que tu veux mais moi j'me casse
C sa mec
Spartouze117 "homer simspons "!
je te suis c'est intéressant mais je suis nul en math allons boire un petit jaune plutôt
Rtas Vadum
Tu expliques ça très bien! Continue comme ça, ça fait plaisir de voir des vidéos de bonne qualité traiter de sujets aussi intéressants!
Tu es tellement intéressant. En ces temps de confinement au Québec, j'apprend et j'aime ca
Génial ! Je m'étais souvent posé la question de ces notions d'infini, avec les nombres entiers, pairs et impaires. Merci !
Encore une super vidéo que j'avais "ratée". Il y en a d'autres. Je fais mes mises à jour... Franchement très bien expliqué pour un sujet pas simple; et avec David Louapre : SI !!!
En tous cas j'aurais pigé un truc, si vous tenez à passer une nuit tranquille, sans vous faire déranger toute les minutes par le gérant qui vous demandera de démenager, n'aller pas dans cette hôtel.
On est d'accord.
Moi j'suis tranquille, j'ai réservé la chambre 0 à l'infini.
c'est BLUE HOTEL ?
Une très bonne intro aux notions de théories des ensembles, bravo :)
Excellente vidéo avec de très bonnes explications, félicitations !
Merci infiniment ! Vos explications sont lumineuses. Bravo.
Merci beaucoup. Ce serait super que vous fassiez une suite à cette vidéo où vous abordez l'infini d'un point de vue physique et un autre du point de vue philosophique. En tout cas c'était passionnant bravo.
Philosophiquement parlant ont peut donner une explication. Physiquement c'est impossible
Du coup je saurais quoi répondre à mon fils quand il essaye de me démontrer qu'il m'aime plus que ce que je l'aime. La plupart du temps c'est un concours de "je t'aime à l'infini" "moi pareil mais multiplié par linfini" "idem puissance infini" etc et majoritairement il gagne en terminant par un simple "+1".
Maintenant je pourrais lui dire que ni son +1 ni ses multiplications ne changeront les choses puisqu'il s'agit de la même quantité. Puis je terminerais la discussion en disant que moi j'utilisais les nombres réels et pas les nombres entiers. Et toc! ;p
Excellent !
à ça il pourrait vous répondre qu'il vous aime autant que le cardinal de l'ensemble des parties de R , qui est plus grand que R lui même. et toc :)
mon admiration pour cette chaîne est infinie ;)
Moi je sais compter jusqu'à l'infini
1 , fini
BlackY GFX aaaaaaaaaheuuuuuuuuhiiiiiiiiiiii
Chuck Norris a déjà compté jusqu'à l'infini. Deux fois.
C faut.... Vous avez compter de 1 à fini mais pas l'infini. 😊
@@blackhole9322 t'as pas pigé, je crois. Il voulait dire : 1 (j'ai) fini
@Wissem La star gaming c'est une blague sur Chuck Norris
J'aurais aimé avoir ce prof au Lycée. Continuer Monsieur. Merci pour vos explications mathématiques
"Deux choses sont infinies : l’Univers et la bêtise humaine. Mais, en ce qui concerne l’Univers, je n’en ai pas encore acquis la certitude absolue." A.Einstein
Citation apocryphe !
Version alternative : "Deux choses sont infinies: L'univers et l'essai gratuit de Winrar. Mais, en ce qui concerne l'Univers, je n'ai pas encore acquis la certitude absolue."
@@yanisdark6311 La légende raconte qu'en 2050 winrar sera payant.
Dis à Einstein d'aller voir ma vidéo, il saura que l'univers est bel et bien infini 😆
Tout dépend qu qu'est-ce qu ont appel la bêtise humaine
Merci pour cette approche de l'infini en mathématiques : simple à comprendre, amusante et pédagogique :-)
Très intéressant, clair et bien expliqué. Merci et félicitations.
Sincèrement tu déchires.
Tu as une façon très admirable d'expliquer les Maths.
Ca ne tiens qu'à moi mais tu devrais songer à explique ta façon de faire aux prof. Ils auraient beaucoup à apprendre.
Juste une petite remarque, ça aurait été sympa en conclusion de donner des utilisations de ce que tu explique dans la vie de tous les jours...
Bon courage pour la suite et bravo !!!!
Pour répondre à ceux qui ne comprennent pas "comment un infini peut être plus grand qu'un autre", il faut bien comprendre qu'en réalité, la "grandeur" dont on parle n'est pas celle de l'infini et, qu'en plus, quand on parle d'infini, on ne parle pas d'un infini "tout seul", mais celui d'un ensemble ! Cette nuance est importante.
Je vais donner un exemple plus parlant. Imaginez que vous voulez classer les couleurs ! Une notion intuitive, ce serait par exemple de les classer selon l'arc-en-ciel, par exemple, selon la manière dont ils sont mis dessus.
Et si on veut pousser plus loin, on peut se donner une notion de "grandeur" en disant que rouge est plus petit que jaune qui est plus petit que vert qui est plus petit que bleu parce que comme on a classer les couleurs, on peut se donner une notion d'ordre en les regardant de gauche à droite.
C'est complètement arbitraire ! Si je vous dis que "rouge est plus grand que bleu", vous allez me regarder bizarrement.
En fait, mathématiquement, ce qu'on a fait avec les infinis, c'est classifier les grandeurs des ensembles ! On aura des infinis de plusieurs ensembles. Pour différencier les ensembles infinis, on a décidé de regarder les fonctions bijectives entre elles, c'est arbitraire.
Ensuite, sur des ensembles "finis", comme on peut classer les ensembles entre eux et les ordonner, on a décidé de reprendre cette notion d'ordre sur les ensembles infinis.
C'est tout. C'est, dans un sens, un moyen purement arbitraire de les différencier. Ce sera ensuite utile en mathématique parce qu'un ensemble infini dénombrable possède des propriétés intéressantes que ne possède pas un ensemble infini indénombrable.
Mais notez bien, on parle des ENSEMBLES infinis. Pas de l'infini lui-même ! Ce qu'on fait, c'est ordonner les ensembles infinis, pas l'infini ! Cette notion d'ordre qu'on a inventé ne peut se comprendre que si on a un ensemble en tête !
En résumé : Un infini n'est pas "plus grand" qu'un autre au sens de la "grandeur" que nous avons tous vous et moi. Les mathématiciens se sont créé une autre manière d'ordonner les objets et ils se trouvent qu'en l'étendant à des ensembles infinis, cela permet de les ordonner ! Mais l'infini, lui, reste toujours la même.
+Ainex Merci pour l'explication, cela me semble plus clair. Comme quoi il ne faut vraiment pas confondre l'infini mathématique et le concept d'infini en philosophie...
+Ainex : en fait les mathématiciens ont créé les ordinaux, qui sont une généralisation des nombres, et on peut les "comparer". Et beaucoup sont infinis, mais les entiers naturels sont des ordinaux. Et non, on n'a pas "repris" la classification des nombres pour les ensembles, c'est l'inverse, on utilise la classification des ensembles pour ordonner les nombres entiers.
Tu utilises la notion d'infini philosophique signifiant "pas de fin", qui n'est pas bien définie. Au sens continu, pour aller de chez toi au boulot, yu passes par une infinité de points, pourtant ça ne te semble pas infini.
David Sbabo
"Tu utilises la notion d'infini philosophique signifiant "pas de fin", qui n'est pas bien définie."
Euh... Non. Je ne comprends même pas comment tu as pu comprendre ça de mon message.
J'utilise la définition de infini comme étant "pas fini". Où fini a une notion mathématique liée à une relation d'ordre.
Considérer qu'un ensemble est plus petit ou égal à un autre ensemble s'il existe une application injective de l'une à l'autre, c'est une relation d'ordre.
Ainex : pas fini = qui n'a pas de fin. Mais passons vu que que tu définis infini comme "opposé de fini", j'écoute ta définition de "fini". Car la notion de "fini" est une notion mathématique liée à la théorie des ensembles, un ensemble est "fini" s'il est en bijection avec un naturel. Un naturel est, par définition, un ensemble. O est le vide, 1 est l'unique ensemble ne contenant que 0, 2 est l'unique ensemble ne contenant que 0 et 1 et ainsi de suite.
Les mathématiques sont construites "à l'envers", tu apprends ce qu'est un ordre avant d'apprendre que les injections forment une relation d'ordre, alors que la première relation d'ordre a été construite via les injections, elles-mêmes définies via l'appartenance :p
David Sbabo
Non, "pas fini", ce n'est pas "pas de fin". C'est deux notions qui entendent deux choses différentes.
La définition mathématique pour une propriété finie, par exemple, c'est lorsqu'on peut borner la propriété par d'autres via le critère d'ordre.
Par exemple, pour x naturel. On dit qu'il est fini s'il existe M, un nombre naturel tel qu'il est plus grand que x.
Ce qui implique, notamment, la définition analytique d'une suite qui converge vers l'infini :
La suite An tend vers l'infini si pour M naturel, M n'est pas plus petit que x ".
Ne pas confondre avec le terme "pas de fin". Car par exemple, la suite "(-1)^n" est clairement une suite qui n'a pas de fin mais qui ne converge pas vers l'infini.
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Sinon RIEN dans mon message n'interdit la définition via la théorie des ensembles des nombres. Peut-être que tu as mal compris mes propos, mais je parle bien de comparer l'infini qui n'a pas de sens.
Par contre, comparer des ENSEMBLES infinis, ça a un sens.
J'ai l'impression que tu cherches à me contredire sans que tu n'aies bien compris ce que j'ai dit.
Peut-être serait-il mieux que tu me cites les passages dans mon texte initial où tu n'es pas d'accord et je t'expliquerai ce que je voulais entendre. Nous sommes peut-être d'accords sur le fonds mais c'est juste un quiproquo.
Quel phénomène ! D'une clarté.
Chapeau bas
La croissance infinie dans un monde fini, c'est pas impossible ! Mais il faut surmonter quelques contraintes... La preuve dans cette nouvelle vidéo : ua-cam.com/video/9cazm0313p8/v-deo.html
"Une infinité de vaisseau spatiaux, contenants une infinité de bateaux, contenants une infinité de bus, contenants une infinité de personnes."
Ils m'étonneront toujours ces chinois. :v
Pourtant c'est facile
(Je suis chinois)
Pourquoi chinois?
Fais attention ou pépito aka granolax va venir cher toi pour te forcer à jouer à des jeux pourries!
Ca fait juste N ^ 3
Sujet passionnant mais complexe... mais pas impossible à expliquer: je suis en 3ème et j'ai compris globalement de quoi il en retournait
Continue ainsi: tu as un super sens de pédagogie!
salut, cela fait 7 ans, cela m'interesserai juste de savoir quelle étude tu fais mtn, juste par curiosité lol
J'ai regardé quelques une de tes vidéos, elles sont très intéressantes, donc ptits pouces bleu et abonné +1 !
Continue comme ça, c'est top !
Bravo! C'est clair, ludique, du beau boulot!
Ca ne va pas être évident pour servir les petit-déjeuners à l'heure.
Regis BIGOT Personnel infini 😆
Au moins cet hôtel emploie une infinité de personnes !
Merci el Jj !
Merveilleux d’intelligence et de bienveillance pour les béotiens que nous pouvons être.
Infini, vide,néant..
Théorie des ensembles...inter..
Oh c'est loin déjà.
Passionnant et plus perceptible aujourd'hui.
Merci pour cette vidéo.
J'espère que tu reparleras du théorème de Gödel, ta vidéo est claire et concise c'est génial !!
En cours d'écriture !
@ScienceEtonnante
Waw, ton commentaire a 6 mois et la vidéo sur le théorème de Gödel en a 4 et il y a même eu d'autres vidéos que celle-là entre-temps :o Comme quoi, ça prend du temps à faire, ces vidéos ^^ Ou plutôt, c'est avant tout la préparation de ces vidéos qui prend du temps.
Excellente vidéo!! j'aime ton approche de la science c'est très intéressant de t'entendre parler et en plus tu explique super bien. Je ne peut que te féliciter!!
Tes vidéos sont vachement cool ! :)
Tu gagnes un abonné !
Celles et ceux qui ont réussi à suivre jusqu'au bout sans broncher: BRAVO
Perso, j'ai lâché à partir du moment où les gens doivent prendre leur place dans les chambres à nombre premier (7:56); mais il est tellement passionné qu'il m'en laisse bouche bée. Quel prof!
5:08
42 ! Je le savais !
+Alexis Bouillaud Ah bah je suis pas seul :)
+Alexis Bouillaud Infini= 42 puissance 42 je l'ai toujours dit !
il en sait trop !
J'ai perdu.
Ah merde j'ai perdu
L'idée des bus de personnes pour imager N² c'est de toi ? Parce que c'est vraiment bien trouvé ! Sinon géniales tes vidéos, je pense que tu pourrais être un excellent prof de fac.
Très marrant l'analogie analytique super vidéo qui est extrêmement simplifiée qui permet de reprendre des concepts parfois trop abstrait
je suis vraiment nulle en math mais la façons dont tu expliques est tellement bien que j'arrive a comprendre merci :)
J'ai un mal de tête épouvantable. Je crois que je vais annuler ma réservation à l'hôtel Hilbert. De toutes façons, ils ont toujours de la place :)
Ok, je m'apprêtais à crier au scandale parce qu'une vidéo de la chaîne de El JJ traite sensiblement du même sujet. Mais bon, on m'a devancé (dans la description et à 14:34)
Sinon, très bonne vidéo, comme d'habitude ! C'est toujours un plaisir à écouter, merci beaucoup !
+qallouet Je ne pense pas (pour ma part) que traiter d'un sujet "déjà traité" soit "un scandale"...mais par ailleurs j'aime beaucoup les vidéos et le blog d'El JJ que je suis depuis des années !
Je me suis exprimé avec maladresse : lorsque je dis "crier au scandale", c’est uniquement parce qu’une vidéo, faite par un autre youtubeur, est complémentaire à celle-ci, et que ça aurait été dommage de ne pas la citer, pour ceux désireux d’approfondir le sujet.
Le sujet traité est sensiblement le même dans les deux vidéos, mais la manière de l’expliquer, ainsi que la vidéo dans son ensemble sont totalement différents, ce qui permet aux gens un peu perdus comme moi de mieux comprendre lorsque l’explication est donnée une deuxième fois, et d’une manière différente.
*Désolé pour la méprise, mon commentaire se voulait plus élogieux et ironique* (« crier au scandale » était hyperbolique) *que méchant ou critique* :)
Bonne continuation, et merci encore pour tes vidéos, qui sont superbement bien réalisées !
Intéressant, clair et concis, merci beaucoup!!
Vidéo très intéressante et ta chaîne l'est d'autant plus, mrccccc
Bonjour, je veux te poser une question sur l'hôtel d'hilbert mais je suis loin d'être mathématicienne mais d'un point de vu logique si toutes les chambres sont occupés jusqu'à l'infini je ne voit pas comment faire bouger tout le monde d'une chambre car pour chaque chambre occupée sa voisine sera aussi occupée jusqu'à l'infini, à moins de construire une chambre mais même pas puisqu'il y en a déjà une infinité, Désolée je doit être idiote mais à moins d'un parti pris qu'il y aura toujours une chambre en plus de l'infini, je ne visualise pas. as tu un moyen de mieux visualiser ou c juste un parti pris ou bien c foutu pour moi ? merci
+Veronique Hernandez
Ta question est loin d'être bête. L’image de l'"hôtel de Hilbert" fait partie de ses tentatives de rendre des concepts complexes plus simples, mais ce n'est pas toujours une réussite. Plutôt que des images, il vaut mieux parfois revenir aux formalismes mathématiques. De toute façon, (je vais paraître bête en disant cela) l'hôtel de Hilbert n'existe pas en vrai et les conceptions qui nous semblent logique pour la vie réelle ne le sont pas forcement ici.
Deux choses préalables pour comprendre :
- l'infini n'est pas un nombre ! c'est une "taille" d'ensemble, un cardinal. L'infni qui, dans la vidéo, est notée ∞, est définie comme "la taille de l'ensemble N" (des entiers naturels).
- pour comparer les tailles de deux ensembles on utilise des bijections, surjections et injections. Bon, c'est des mots barbares,... et c'est effectivement pas forcement simple, alors j'insiste pas là-dessus.
Bon, je vais quand même essayer de t'expliquer cette histoire d’hôtel de Hilbert :
Avant l'arrivée du client, toutes les chambres sont occupées. La méthode pour caser le nouveau client est la suivante : le client de la chambre n°x va dans la chambre n°(x+1), et ce, pour tous x, numéros de chambres. Cette méthode est une bonne méthode si :
- elle libère une chambre : c'est le cas, personne ne va en chambre n°0, elle est donc libre ;
- chaque client est relogé : c'est le cas, on a oublié personne ;
- chaque client est relogé seul : c'est le cas, puisque si plusieurs clients se retrouve dans la même chambre n°y, ça voudrait dire qu'ils étaient déjà ensemble dans la chambre n°(y-1) ;
Donc la méthode marche.
Il n'y a pas besoin de construire une nouvelle chambre. Où alors, il faudrait me dire pour quel client ? Certes, chaque client qui change de chambre oblige son voisin à déménager aussi et donc, on ne fait que décaler le problème au client suivant, mais quitte à considérer des hôtel impossible avec un nombre de chambre infini, on peut admettre qu'on a besoin d'un nombre infini d'étape pour libérer la chambre.
J’espère t'avoir éclairée. :)
B. COLY
+Benoît Coly merci beaucoup d'avoir pris la peine de me répondre, voilà pourquoi la vidéo commence par dire qu'il y a plusieurs définitions de l'infini (celle du mathématicien , du philosophe...) encore merci.
Merci pour ta réponse car moi aussi comme Véronique je trouvais la démonstration intéressante certes mais pas du tout logique🤔 et ce pour les mêmes raisons😁. Mais comme dirait Véronique nous ne sommes pas du tout mathématiciennes😢et en ce qui me concerne j'étais nul en maths, mais bon la curiosité aidant j'ai tout de même regardé cette vidéo en espérant comprendre, apprendre et découvrir des notions juste pour ma culture perso😉
Il faut savoir qu'il y a des contradictions, quand on dit "toutes occupée " ce n'est pas compatible avec l'infini. C'est de là où vient l'amalgame. L'infini est un domaine divin, car il n'est pas compréhensible, on n'arrive pas vraiment de l'imaginer. Une infinité de chambres toutes occupées n'est pas définie. Le mot "toutes" décrit un ensemble fini et non infini. Voilà ma modeste contribution.
Pour faire un calcul, il faut d'abord s'arrêter. Mais si on s'arrête on perd la notion de l'infini. C'est de là que vient la contradiction. J'essaye de dire la même chose mais autrement. Intuitivent j'arrive à voir la contradiction dans les dires de Hilber à propos de son hôtel, mais je ne sais pas si je me suis bien exprimé. Si tu n'as tjrs pas compris, c'est pas grave, tu peux vivre tranquillement en ignorant ces bizzarerie qui n'ont aucne utilité sauf pour tordre l'imagination et les cerveau. Je suis sûr que même les savants ne voient pas ce que ça veut dire réellement. Pour terminer, je voulais dire qu'il n y a pas que l'infini qui est mystérieux mais aussi le zéro. Le zéro a un sens que pour décrire l'absence de qques choses. Par contre le zéro devient mystérieux comme l'infini quand on le quantifie ç à d une quantité physique qui est égale à zéro ça n'a aucun sens, un truc existe mais il est absent en même temps. Et désolé Veronique si je t'ai embrouillée, mais le sujet me passionne réellement pour souligner les bizareries et les contradictions que l'être humain a mis en mettant ces notions
Très bonne vulgarisation
mercii, j'avais un travail de recherche là dessus, à remettre dans 3 heures. Tu me sauve la vie!
Trop sympa ! J ai hâte que votre vidéo sur le théorème de goeddel sorte...
Très interessant comme d'habitude.
Par contre, je plains l'hôtelier. Il doit avoir une patience et un temps infini :-)
Coucou ! En tant que matheux, il y a un truc qui me pose problème avec ta définition de l'infini, c'est que pour définir ce qu'est l'infini, tu utilises l'ensemble des entiers qui est déjà défini comme infini, ça se mord la queue !
La véritable définition de l'infini passe d'abord par les ensembles finis. Un ensemble infini est un ensemble qui n'est pas fini (ouais c'est nul comme définition) et on a une définition intrinsèque des ensemble fini qui n'utilise pas les entiers naturels. En effet un ensemble fini n'admet pas de bijection entre lui et l'un de ses sous ensemble strict.
Et ensuite on peut définir les entiers et retrouver les propriétés que tu as décrites. :)
Catalyst Tomorrow hhhhhh
Et dire que je me posais depuis toujours la question de savoir d’où vient le symbole de l’infini, c’est tout à fait comme vous le dites “ ça se mord vraiment la queue”
Oh punaise... :)
L'ensemble des entiers n'est pas défini comme infini, il est défini par récurrence et l'infini en est une conséquence
Je sais que ca fait longtemps que ce commentaire est la, mais j'aimerais apporter 1-2 précisions.Tout d'abord, une manière de définir N va comme ceci: un ensemble "inductif" est définis comme un ensemble contenant l'ensemble vide et si x est dedans, alors l'union de x et du singleton {x} est dedans. L'existence d'un tel ensemble est garantis par l'axiome de l'infini. N est ensuite définis ainsi (l'ensemble I est l'ensemble inductif existant) :
N = {x dans I | si J est inductif, alors x dans J} (l'intersection de tout les ensembles inductifs)
Cette ensemble existe par l'axiome de compréhension (qui stipule que l'ensemble dont les elements viennent d'un autre ensemble et qui satisfont une propriété existe, ici la propriété est: pour tout J, si J est inductif, alors x est dans J). Il y a d'autre manière équivalente de procéder.
Il est facile de vérifier que l'ensemble obtenus est inductif, et qu'il est contenus dans tout autre ensemble inductif. Il est egalement facile de verifier que cet ensemble satisfait l'axiome de l'induction (Si X est un sous-ensemble de N, qu'il contient "0" (ici définit comme l'ensemble vide) et que si n est dans X, alors n+1 est dans X (n+1 ici est definit comme l'union de n et du singleton {n}), alors X=N) et les autres axiomes de Peano. Il a donc bien les propriéter de N.
On peut ensuite soit définir les opérations usuelles sur N récursivement, ou bien utiliser les propriéter des ensembles pour définir ces opérations avec celle-ci. Parmi les opérations usuelles, j'inclus l'ordre des nombres naturelles, < et
Merci pour ce genre de videos car ça m'aide beaucoup a m'en dormir la nuit 😁
Moi, c'est tout le contraire : j'en perds littéralement mon sommeil !.. 😁👍
enfin j'ai trouvé un mathématicien, physicien à la auteur de mes attentes. non en réalité je m'ennuie au lycée, et surtout en physique, je me cultive à côté sinon cela ne me sert à rien. j'adore ce youtubeur, il nous apprend des choses super intéressantes et simple à comprendre.
Et mtn tu fais quoi ?
Punaise, si seulement David Louapre avait été mon prof de math, quand on a commencé avec ces "satanés" Espaces Vectoriels....
Pour une fois j'ai rien compris mais j'ai mis "j'aime" quand même pour me la péter ^^
Bonjour! Je fais mon grand oral de mathématiques, sur l'infini. Votre vidéo m'aide énormément! Merci beaucoup !
bien expliqué, bon son, débit de parole assez rapide (je déteste quand c'est lent) et ça fait réfléchir sur la notion d'infini. Merci, j'aime beaucoup.
GG au gérant de l'hôtel!😂
Super vidéo je me demandais souvent si l'infini = l'infini + 1 mais je savais pas comment me le prouver
+monsuper01 cela est du au fait que l'inf n'est pas un nombre c'est un concept dit toi que compter sans s’arrêter à partir de 2 ou compter sans s'arreter à partir de 1 revient au même :)
Très bonne question. Simple et efficace. Entre l'infini et l'infini +1, je vois un décalage dans le temps. Juste un léger décalage. De manière "intuitive", ça me permet de raisonner. (Mon hémisphère droit vient aider mon hémisphère gauche).
monsuper01 M
En fait le truc c'est simplement que "1", "2", "3" etc, ce ne sont rien d'autre que des appellations. On donne un nom aux valeurs pour pouvoir en parler et tout, mais ce n'est pas parce qu'on a appelé une chambre (pour revenir sur l'exemple de l'hôtel) "1" que le nombre "1" est la valeur qui y correspond. D'ailleurs, dans la vidéo la première chambre porte le numéro "0", donc la chambre 0 est en réalité la chambre 1, la chambre 1 est en réalité la chambre 2, etc, c'est juste qu'on les a appelées comme ça. Et du coup, si on commence à la place avec la chambre -1, ben ça ne change rien parce que la chambre qu'on appelle "-1" c'est la première chambre, donc c'est en réalité toujours la chambre 1 par rapport à sa valeur, c'est uniquement le nom de la chambre qui te dira que ce n'est pas la "chambre 1" ;)
Je sais pas si c'est très clair, mais en tout cas avant ça ne l'était pas vu qu'il n'y avait pas à proprement parler d'explications par rapport à ça (ça restait dit de façon implicite) ^^ Peut-être que ce n'est pas facile à comprendre pour tout le monde en tout cas, je sais pas. Peut-être que ce n'est pas facile pour tout le monde parce que je dirais que ça nécessite de penser d'une autre façon que celle dont les gens ont généralement l'habitude. Mais du coup je ne sais pas trop comment je pourrais me montrer plus clair ^^ (en tout cas pour le moment)
Selon moi ! LA MEILLEUR chaîne de vulgarisation sur youtube ! ( bien sur que e-penser n'es pas loin dans ma liste, mais j'ai par foi du mal a comprendre Bruce, alors que la je comprend absolument tout ! je pense que c'est grâce au schéma )
Trop cool la vidéo, continue comme ça !
02:30 - Erreur : On ne peut décaler d'une chambre chaque occupant car il n'y a PAS// de chambre libre par hypothèse, quelque soit l'ordre de la chambre considérée.
Si, si :)
Non il a raison.
Il n'y a effectivement plus de chambres libres.
Mais qu'importe. Le décalge n'embetera que la dernière personne décalée.
Heureusement pour nous le décalage sera sans fin!
@akanegally
Si on peut décaler les gens, et non ça n'embêtera pas non plus la dernière personne. Il y a une infinité de chambre. Ce n'est pas une valeur, c'est un concept. Faut pas penser comme dans la vie réelle, sinon normal que la logique nous échappe ;)
Il n'y a pas de "dernière personne" et toutes les chambres sont prises d'un bout à l'autre, sauf qu'il n'y a pas de bout. Il y a une contradiction entre l'hypothèse et ce que l'on veut faire ensuite : si l'on dit que toute les chambres sont pleines au départ et que l'on part aussi de l'hypothèse qu'elles sont en nombre infini, alors il n'y a pas de "dernier", par hypothèse, donc c'est déjà une contradiction, et du fait que l'on part d'une contradiction, après on peut dire une bêtise puisque le faux, dans la plupart des Logiques peut impliquer aussi bien le Vrai que le Faux. Le problème est ici un problème que l'on rencontre trop souvent dans les sciences : le fait que cela paraît abscond donne du crédit, surtout si on y rattache des noms reconnus, et ainsi on continue à écouter des bêtises à longueur de décennies :/ À mon humble avis ;-)
@Didier
Le problème dans ton raisonnement, c'est que tu appliques l'infinité au nombre de chambres, mais pas au nombre de places occupées. Il n'y a pas de "dernière personne" ni de "dernière chambre". Tu réfléchis trop par rapport à la réalité, dire "toutes les chambres sont occupées" n'implique aucunement une notion de fin, c'est la vie qu'on connait qui en implique une. Sauf que là, justement, on sort de ce dont on a l'habitude de constater dans la vie de tous les jours ;) C'est abstrait, et c'est ça qui peut rendre ça abscons, mais au final ça ne l'est pas tellement (→ abscons), il suffit juste d'arriver à penser correctement à tout ça (ce qui n'est pas forcément facile, je te l'accorde), et après c'est bon ^^
PS : "on continue à écouter des bêtises à longueur de décennies"
Par contre il faut bien avouer que ça, c'est parfois vrai ^^ On a déjà vu pas mal de fois la communauté scientifique avoir beaucoup de mal à accepter que quelque chose qu'on avait cru vrai depuis longtemps était, en réalité, faux. Exemple classique, la croyance que la Terre était plate quand il a été prouvé qu'en fait elle était ronde.
je ne comprends pas la métaphore de l'hotel. On dit qu'il y a un nombre infini de chambres. Et que dans chaque chambre il y a une personne. Ce qui veut donc dire qu'il n'y a pas de chambre vide.
comment ensuite on peut demander aux gens de changer de chambre puisque aucune d'elle n'est vide?
soit il y a de la place et donc le nombre de personnes présente n'est pas l'infini, soit il n'y a pas de place et on ne peut pas en rajouter.
Ben si, toute les chambres sont pleine et il y en a une infinité, donc si on demande à tout le monde de décaler d'une chambre alors la 1er sera vide.
Ca ne serait pas possible si il y avait un nombre finis de chambre, car le dernier se retrouve à la rue, mais avec un nombre infinie de chambre, il n'y a pas de dernière chambre, donc on peut toujours décaler.
C'est vrai, que c'est un peu dure à se représenter, mais c'est surement parce qu'un hôtel avec une infinité de chambre, ça n'existe pas, du moins dans notre univers connu.
oui j'ai bien compris, mais il ne dit pas que ça:
Il dit, TOUTES LES CHAMBRES SONT OCCUPÉES! donc si elles sont toutes occupées, par définition il n'y en a pas de vide. tu ne peux pas avoir toutes les chambres d'occupées et décaler d'une place. c'est impossible.
C'est un peu le probleme des maths qui parfois tentent de trouver des illustrations qui ne collent pas. en l'occurence, même si je comprends le principe et la démonstration, la métaphore ne colle pas.
c'est le même problème quand on dit il y a des infinis plus grands que d'autres. l'infini est une notion philosophique, elle n'a pas de fin, donc comment quelque chose qui n'a pas de fin peut etre plus petit qu'autre chose qui n'a pas de fin?? ca n'a pas de sens
Si on peut, avec l'infinie on ne manque jamais de rien.
michel lambin
T'as l'air d'avoir du mal à comprendre ce qu'il dit, et pourtant c'est simple. Toi tu focalises sur l'infinité des chambres, ça t'empêche de saisir la remarque évidente de Nooba. Il te dit que oui, il n'a pas de mal à admettre cette idée abstraite d'infinité de chambre ( que tu sembles tout content d'avoir découvert et croit être l'un des rares à comprendre ), mais il te rappelle que la métaphore de l'hôtel suppose aussi que TOUTES les chambres sont pleines !! donc, aucune n'est libre ! c'est pas compliqué pourtant !
C'etait génial! Merci bcp
le temps manque cruellement à toutes ces équations... pour notre dimension en tout cas...
super vidéo !!!!
Du coup il existe plus de nombre réel entre 0 et 1 que de nombres entier de -l'infini à l'infini
Ça semble assez irréel pour mon cerveau
y'en à pas autant justement?
+monsuper01 il y en a plus en effet. Sa fonction x -> artan(Pi*(x-1/2)) est une fonction bijective de de ]0;1[ dans R. C'est à dire tu peux associer grace à cette fonction tout reel un et un seul x appartenant à ]0;1[ . donc card ( ]0;1[ ) = card (R) = Ω > card ( Z) = ∞
+monsuper01 | Il y a effectivement plus de réels compris entre 0 et 1 qu'il y a d'entiers naturels dans l'ensemble N. :)
+Tom De l'empire d'imhotep
MonSuper01 a raison.
Le truc c'est qu'entre deux réels, même très proches, tu as toujours une infinité de nombres alors qu'entre deux entiers aussi éloignés soient-ils, il y en a un nombre qu'on peut compter, donc vraiment beaucoup moins.
Pierre Swing dac c'est assez abstrait x)
y a un truc que je n'ai pas compris dans l'hotel de hilbert il est suppose etre totalement occupe alors si on demande a chaque client de partir a la chambre d'a cote (dans le premier cas ) la chambre doit etre occupe deja non ? puisque l'hotel est deja totalement occupe ? est que quelqu un pourrait m'eclaircir un peu ? merci!
Je veux bien t'expliquer ...
1° tu dois comprendre que cette histoire d'hôtel est très mal choisie pour aborder le sujet et ne fait que le rendre plus confus voire impossible à concevoir.
2° le nombre de chambres n'est pas infini, il est en fait *INDEFINI* (cela signifie qu'on ne peut pas l'exprimer, cela signifie aussi qu'on ne peut pas le connaitre avec certitude et cela signifie qu'on ne sait pas s'il a une limite ou non).
3° le nombre de client est malheureusement lui aussi *INDEFINI*.
4° il en résulte qu'on ne peut pas savoir si le nombre de clients initial occupe toutes les chambres.
5° on peut essayer de trouver la limite du nombre de chambres en y insérant des clients et en les décalant, mais cela ne nous dira qu'une seule chose : que le nombre de chambre est réellement limité, mais ce nombre sera toujours *INDEFINISSABLE*.
Tu auras certainement compris tout seul : l'erreur dans le raisonnement vient de l'utilisation abusive du mot "infini" pour un ensemble, et dis-toi bien que les mathématiciens sérieux le savent parfaitement, mais continuent d'utiliser ce mot alors que le terme 'indéfini" résoudrait tous les soucis de compréhension immédiatement (deux nombres indéfinis sont parfaitement comparables, tandis que deux nombres infinis c'est une impossibilité totale).
Une partie des mathématiciens se prend pour une élite et veut à tout prix rendre une discipline qui devrait être très simple autant que possible incompréhensible à la personne moyenne, et c'est bien dommage !
Heureusement il y a d'autres mathématiciens qui ont tout fait pour arranger les choses, exemple, je te conseille la lecture de René Guénon, _Principe du calcul infinitésimal_ disponible en PDF sur le net ! Bonne lecture !
Euh ... sans pseudo je vais vous appeler et excusez moi o1.o5 yo ..! Vous tentez de nier l' infini ?
je suis d'accord
merci
moi aussi j' ai pas compris le type de la dernière chambre est passé ou......
Bonjour, merci toujours de super vidéo !!
j'adore le lien vers "El jj"
Merci pour ces vidéos de qualité ;)
Merci pour votre aimable façon d'expliquer.
Hicham Hanafi de Fès /Maroc /
Professeur des mathématiques.
"L'ensemble des entiers plus grands que -1, c'est à dire -1, 0, 1..."
Comprends pas.
bonsoir! et merci pour vos vidéos! une petite chose me chiffonne : si l ' hôtel de Hilbert est complet à l'arrivée du nouveau client , il est complet jusqu'à l'infini , donc aucun client ne peut se déplacer d'une chambre puisqu'elle est occupée par un client qui ne peut pas non plus se déplacer ????
vraiment super, ça change de certaines bêtises qu'on voit passer sut yt, merci :)
toujours très bien faite tes vidéo ,et les explications sont souvent accessible au non initié ,mais alors la ! je patauge !! trop compliqué pour mon p'tit cerveau
Oui, mais alors, et le parking pour garer tout ça ? :D
Jesterlefou c'est le parking de hilbert il est fait par le même architecture
Le gérant de l'hôtel doit se faire des couilles en or avec tous ces clients.
Eru88Iluvatar Ptdrr
Non, parce que ça lui coute une fortune en entretient. Imagine le jour où il faut laver les draps....
Il les fait tourner dans une infinité de machines qu'il paye avec l'infinité de pièces d'or qu'il possède. L'infini c'est long, surtout vers la fin !
Le pire c'est que même si tu paye 1 euro seulement, il se fait vraiment des couilles en or
Super, il y a des années que je fait un petit cours sur l’infini et l’approche est exactement la même !!
Superbe vidéo comme d'hab ! :)
Moi à la fin de cette vidéo : 🤯
42 !
j'écris jamais de commentaire mais la gg magnifique la vidéo. ^^
Je connaissais déjà les démonstrations habituels mais l'hôtel machin chose est très cool aussi pour démontrer.
Belle pédagogie !
Merci... infiniment :)
je ne dirais qu'une chose : -1/12 ;)
+Frid964-Synisis J'ai jamais réussi à vraiment comprendre ce truc là, et ça me coûte une boite de doliprane à chaque fois :(
+Frid964-Synisis la soit disant démonstration est logiquement fausse. elle requiert des opérations qu'on effectue sur des séries alors qu'elle s'applique sur des sommes. Pourtant le résultat physique est bien vrai (jusqu'a preuve du contraire ;) )
Mindfuck, mais pourtant résultat effectivement utile
+mmlol07 En réalité ce résultat est juste lorsque l'on se place dans le bon cadre un cadre sur les séries plus général que ce que l'on utilise habituellement. Dans ce cadre on perd la commutativité de la somme notamment donc il faut pas faire n'importe quoi c'est tout :)
+Frid964-Synisis J'avais un peu écrit sur le sujet
sciencetonnante.wordpress.com/2014/01/20/le-scandale-des-series-divergentes/
sciencetonnante.wordpress.com/2015/09/11/leffet-casimir-et-le-retour-de-12345-112/
j'ai mal a la tête la.....
Ouah j'ai rien compris de plus clair 💪💪👍👍👌👌 continue comme ça !!!!
Toujours aussi interressants 👌
9:46 infinitéception
ok je sors
C'est du n'importe quoi ! :-D
Si l'hotel possédant une infinité de chambres et que toutes sont remplies, alors elles sont remplies par l'infini (autant de chambres que de personnes) parce que c'est ça capacité !
Or si on arrive à faire ne serait-ce qu'une place supplémentaire, alors l'énoncé du problème est faux parce que toutes les chambres n'étaient pas toutes remplies.
En effet, si l'infini n'arrive pas à remplir l'infini qui le fera ? l'infini +1 ? Alors dans ce cas l'infini dont on parlait en premier lieu n'était pas l'infini mais l'infini+1, puisque si il y a plénitude (totalement rempli) il a y égalité entre contenant et contenu.
Cependant l'infini n'étant pas fini on peut y ajouter l'infini.... à l'infini.
On tourne donc en boucle (lemniscate... merci pour l'info) et dans ce cas ce problème est faux dans son son énoncé et dans sa solution.
Aaah les mathématiques.
SentinelleInfo mon cerveau à cramé
merci pour votre exemple c’est bien ce que j’avais compris dés le début
Non. Ton raisonnement est faux car il part du postulat que l'infini est limité malgré tout (infini +1 serait plus grand que infini).
en fait tout depend du systeme d axiome dans lequel tu te trouves
et comme un systeme n est jamais complet ou parfait il y aura toujours des imperfection a la limite
pour ca qu on peut aboutir a des calculs genre somme infinie egale a une fraction finie et negative
le calcul sur les infinis est a manier avec d immense precaution surtout quand on veut parler de resultats a la limite et c est pour ca qu il faut se mefier de notions aussi simple que la commutativite ou la distributivite quand on parle d infini
l infini reel n est pas accessible a notre comprehension (d ou d ailleur l indecidabilite de l hypothese du continu)
exemple tu prends tous les entiers entre 0 et 1 qui seraient infiniment plus nombreux que les entiers tu les multiplient tous par 1 suivi d une infinite de 0 (donc un nombre entier) tu recul ainsi la virgule a l infini ce qui donne de quasi entier appartenant donc a l ensemble des entiers et donc denombrables car tu arrives en gros a decompter les entiers mais en partant de la "fin"
en fait le gros soucis dans tout raisonnement sur la taille des infinis c est les bijections trouvees entre 2 ensembles qui posent deja un probleme sur les infinis sorti du systeme d axiomes dans lequel on se trouve
exemple simple la reversibilite si on peut compter logiquement on peut decompter dans le cas d une bijection par exemple or comment on decompte l ensemble des entiers par exemple ?
C'est vraiment instructif et ça invite à réfléchir
merci pour toutes tes vidéos
Pfff … Ta vidéo n'est même pas infinie ! 😉
je comprends pas l'utilité de toutes ces démonstrations, cela ne sert a rien, puisque qu'on peut résumer cela par: l'infinie par définition est infinie ... donc il n'y a pas d'infinie plus gros qu'un autre.
C'est juste que le langage est trop biaisé. la théorisation en mathématique mélangé avec le langage humain amène a des absurdités.
la comparaison avec un hôtel est fausse, puisque par définition une infinité de chambre ne peuvent être "complètes"..
le concepte d'infinie est sujet a beaucoup d'erreurs si on essaye de mathématiser la chose
+anonamous less Ben si la preuve, ca depend comment tu comptes l'infini. Et la comparaison avec l'hotel est une experience de pensée, on sait très bien que dans la vraie vie, on peut jamais remplir un infini, mais justement pour illustrer les demonstrations avec autre chose que des sigma, on se permet certaines choses, l'hotel est juste un moyen de faire comprendre des concepts pas très familiers
+anonamous less Faudrait-il déjà comprendre avant de prétendre que cela ne sert à rien...
Dire "un infini est plus gros qu'un autre infini" n'a pas de sens même en mathématiques tout comme en français.
Cela découle d'une incompréhension de la théorie.
Ce qui serait d'avantage vraie c'est plutôt de comprendre que décrire un ensemble en disant juste "il est infini" n'est pas suffisant pour décrire ses propriétés et qu'il a fallu différencier ces ensembles.
On peut chercher à travailler sur des ensembles infinis "dénombrables" et des ensembles infinis indénombrables et que l'un et l'autre sont différents. Il ne faut pas retirer le mot "ensemble" de la phrase ! On travaille avant tout sur un ensemble et les propriétés sont surtout sur l'ensemble, pas sur l'infini.
Ainex encore un effet de langage, un "ensemble" ne change pas la donne, un ensemble infinie par rapport a un autre sera toujours la même chose, car l'infinie par définition ne se termine jamais donc aucun infinie n'est plus grand qu'un autre, et aucun "ensemble" infinie n'est plus grand qu'un autre, indépendamment de ce dont il est constitué.
+Tesser4ct il n'y a pas 36 façons de compter l'infinie, l'infinie ne se termine jamais, il n'y a donc aucune façon de le compter, l'erreur vient de la, compter l'infinie revient a changer sa nature et dont le considérer comme finie.
+anonamous less je tiens a préciser que j'adore ces videos, et que je critique avec tout le respect que je lui dois
Merci beaucoup ; David a répondu à deux questions que je me posais au sujet de la création de|R, donc de l'existence des irrationnels, et de l'existence de l'ensemble intermédiaire de l'hypothèse du continu. Je suis allé étrenner GeoGebra faire des courbes paramétrées, style r=cos2x, pour faire des lemniscates - j'ai obtenu des trèfles et cercles ; cela me suffit pour admettre la faisabilité. Merci David pour les questions et affirmations générées par cette vidéo et par mes souvenirs de prépa.
Merci beaucoup tu nous donnent le Résumé de tout avec une Simulation excellente. qui sais quelqu'un de nos élèves prouvera un jour des miracles
Super vidéo. Bon, je connaissais déjà le sujet et j'avais adoré quand j'avais appris ça en prépa : les cardinaux transfini. On note les différents infinis aleph1, aleph2 etc. R est en fait N a la puissance N.
Bravo pour la méthode et le côté ludique
Excellent comme toujours
Je me suis donné le vertige en regardant cette vidéo à 3h du mat... (fort intéressante cela dit!)