ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ «НА ПАЛЬЦАХ»
Вставка
- Опубліковано 30 лис 2020
- Лекция А.В.Савватеева. НАУЧНЫЙ ЛЕКТОРИЙ В ШКОЛЕ №2107
В лекции я рассказываю об эллиптических кривых и операции сложения
точек на них. Интерес к ним связан с несколькими не похожими друг на
друга задачами:
- Описание всех целочисленных "Шарыгинских" треугольников, у которых
треугольник в основании биссектрис - равнобедренный (а исходный - нет);
- Детская задачка про то, сколько должно быть яблок, бананов и апельсинов
в трёх корзинах, чтобы сумма отношений количеств одного фрукта, делённых
на суммарное количество двух других, равно 4 (или какому-то ещё числу);
- Великая, или последняя теорема Ферма;
- Конструирование криптовалют.
Во всех случаях возникает нетривиальная и очень красивая наука:
вычисление ранга группы рациональных точек на невырожденных
кривых третьего порядка. Получить же решения этих задач без этой
науки невозможно в принципе - в силу размера типичных решений.
Наши ресурсы: alexei_savvateev / aleksey_savvateev / savvatan savvateev.livejournal.com savvateev.xyz
🎯 Поддержать популяризацию математики на Патреоне: / savvateev
![Уравнение, которое меняет взгляд на мир [Veritasium]](/img/n.gif)
Оговорка про гипотезу Каталана! Кто найдёт? :-)))
Сказать какой кадр именно?))
y, t > 1, иначе бесконечно много решений при y=1, или t=1 !
Ответ ниже в комментах)
дядь Лёш, а когда это было снято? Качество видео днище))) 8fps и 720p)) как так-то?🤷♂️😀
Так ещё и фломастеры не пишут.
\\ваш студент из рэш
Мэн оф The планет Earth., Качество достаточное. Меня устраивает. Но я не понял, как структура группы над множеством дробных решений нам хоть в чем-то помогает в решении проблем элиптических кривых. Я даже не понял, какие у этих кривых проблемы.
количество кадров в этом видео можно посчитать только с помощью счета древних русов
Я включил на х2(перешёл с иного видео), поставил на норм. скорость и подумал, что что-то не так с пк. На 1.25 нормально смотрится.
Возможно, фпс проседает потому, что на видеокамере фармят биткоин.
Просто ставите скорость на золотничок и смотрите
Там просто человек часто-часто фотографирует :)
счёт древних шизов...
уважаю людей увлечённых, профессиональных и позитивных как Савватеев, умничка, побольше бы таких и мир станет светлее.
:-)))))))))))))) мы фонарики для мира
23:48 Это были очень сильные, очень богатые и очень щедрые девочки)
С нетерпением ждем продолжения!
это точно!!!!!!! :-))
@@user-rb8ux1no6j А где продолжение?
Расскажите про дифуры. А то я их годами использовал, но так и не понял. Не про f(x)' = f(x) (тут всё понятно) а про что-то более серьезное.
Вы лучший популяризатор математики. Лайк.
МатКачёк просто!
Thank you! You are brilliant!
Отличная лекция, спасибо! Жду продолжения.
нескоро, но будет!!!
Спасибо. Классная лекция.
Кажется, теперь я понял, зачем я изучал 2 года классы Фиттинга на физмате. Затем, чтобы посмотрев эту лекцию, полностью её понять и остаться в восхищении!
:-))))))!!!
Требую продолжения эллиптического банкета!
Класс спасибо!!!
Леша, ты шикарен😊
а я и не знала как соскучилась по вашим урокам, Алексей Владимирович! жгите!👏
Будем!!! Скорее бы оффлайн.
Заинтересовал!!! И заинтриговал :-)
Спасибо, интересный контент. Начало с формулы биткоина - топчик. Актуально
:-))))
Всё таки основная идея Биткойна это подбор хэша с заданными свойствами методом брутфорса. А эллиптические кривые,точнее кривая secp256k1 используется для ECDSA подписи. Сама по себе эта кривая достаточно интересна, так как специально была сконструирована для криптографии.
интересно! И вообще, любопытно видеть, как казалось бы разные вещи, непрерывная и дискретная математика, оказываются связаны таким вот заковыристым образом.
ДАААА!!! Это Волшебство!!!
симпатично ваше всегдашнее приподнятое настроение - признак сильного духа
признак или призрак :-)))?
@@user-rb8ux1no6j каламбуры - это уже верхний уровень, не умею :-)
топовый контент
Вот это энтузиазизм! Завидую по-хорошему.
Класс 👍
:-))) Спасибо!!
Сделайте похожее видео про тополигию пожалуйста.
а можете записать отдельное видео про Шарыгина и других интересных современных (и чуть старше) математиках?
я учился в школе по Шарыгинской геометрии
Да, когда-нибудь, может, сделаем!!! Идея хорошая!
Тут прикольно получилось, что чтобы узнать, почему название именно "эллиптические", хотя никаких эллипсов нет, надо прям реально до самого конца досмотреть 🙂
на хабре есть статья неплохая на эту тему.
Алексей, спасибо
:-)))!
@user-rb8ux1no6j 1:08:45 Касательная: y = -6ix-11i; Решение (-2,i) + (-2,i) = (-32, -181i). Если можете, скажите правильно ли я решил "задание надом"?
Спасибо за лекцию, а когда примерно ждать продолжения?
ХЗ, но нескоро, это точно :-)))
@@user-rb8ux1no6j печально! Очень интересная тема, редко увидишь её со стороны математики
Вот вам пример современных технологий: изображение как будто по кадрам передаётся. Действительно. Через интернет вещание не только зажимает трафик, ещё и кадры пропускает. Экономия. А то скорости на всех не хватит.
Алексей, доброго времени суток!!! На просторах интернета видел задачку про сумму квадратов последовательных натуральных чисел 1^2+2^2+3^2.... Ну так 1^2=1^2, а 1^2+2^2+3^2+...+24^2=70^2. Требуется доказать, что никаких других комбинаций нет. Все это сводится к y^2=1/6(2x^3+3x^2+x), где y и x натуральные. Вроде бы методом секущих никаких других натуральных решений не получается, но я не уверен. По крайней мере эта функция имеет типичный для эллиптической кривой график!!! Может быть это красивая задача, а может быть и г... Огромный привет, Лева
Всем здравствуйте. Подскажите, где найти картинку в стиле Эшэра, где спускаясь всё время поднимаешься. Там было штук 10-15 лестниц. Нигде не могу найти.
ХЗ :-))
супер
:-))))
Здравствуйте, спасибо за лекцию. Скажите пожалуйста, а будет разбор доказательства теоремы Морделла о конечнопорождённости группы рациональных точек эллиптических кривых? Я разобрался с доказательством только для случая, когда два кручение рационально, а общий случай понять не могу, очень был бы рад послушать ваши объяснения)))
ОООО, это мне самому надо разобраться! Но да, надеюсь записать когда-нибудь.
@@user-rb8ux1no6j Там самый сложный момент заключается в понимании групп инерции и пополнении полей. В теории Куммера для эллиптических кривых разобраться довольно просто.
Алексей, не хотите рассказать про работы Александра Гротендика? и вообще у него биография интересная
да!!!! Но мне надо самому в них разобраться!
В теореме Каталана, может быть, имелось в виду x, y, z, t > 1? А то иначе x=2, y=1, z=1, t=1.
На 58 минуте видео сейчас, кажется скоро он все таки ломанёт биток)
:-))))
23:00
Подходит также
2^1 - 1^1 = 1
Может, тогда должно быть ограничение >1 вместо >0? 🤔
18:40 очевидно, что их бесконечно много. Мы же можем просто домножать первое решение на целое число.
неа, иногда у него (первого решения) конечный порядок (произойдёт зацикливание). Всё на деле сложнее, чем кажется!!!
@@user-rb8ux1no6j как так, зацикливание? Допустим, у меня есть решение: 1, 2 и 3 удовлетворяют уравнению, вне контекста, просто какому-то уравнению с 3-мя переменными. Значит 1n, 2n и 3n, где n - натуральное, будут целыми решениями этого уравнения. Да, такое семейство будет тривиальным, и смысла особо рассматривать кратные решения нет, но, формально, их бесконечно много.
А чем принципиально отличается уравнение в видео?
а я думал вы подведете к тому, что поняли доказательство теоремы ферма
Доказательство теоремы Ферма может объяснить только Горчинский, если выйдет продолжение видео с ним)
лет через 10!!!
@@user-rb8ux1no6j Ферма можно доказать на одной странице применив всего одну из модулярных конструкции.
@@irakliomanadze5670 поделитесь доказательством?
Первое: Про эллиптические кривые начинается на 27ой минуте.
Второе: Великолепно!
Третье: Зачем мне это нужно?
:-))))
чтобы знать и понимать больше других, нормис
Мне кажется, или в формулировке теоремы Каталана стоит потребовать x,y,z,t > 1, тк единичка портит данное утверждение?
конечно :-))) Это оговорка !!!
@@user-rb8ux1no6j
Да ничего, отличная лекция, как раз моего уровня, когда с одной стороны что-то новое, а с другой вроде догоняешь повествование. А то с лекциями для Савватеева по алгебре вообще не успеваешь. Но ничего, на досуге посижу с теорией групп, узнаю про все непонятные слова и вернусь и к ним)
Подскажите, что за замену надо совершить, чтобы перейти к y^2=x^3 - 7x + 32?
не помню!! Но мы налажали в статье, неправильную замену указали !!! :-)))
Количество фотонов во вселенной более 4*10^84, количество прочих элементарных частиц тоже больше 10^80.
Здравствуйте, а вы в Новосибирске выступали?, я не смог попасть на лекцию приехал в назначенное время и дату по адресу который был указан, а именно Нгту и в итоге меня не пустил сторож сказал ничего не знает про вашу лекцию и то что вы приехали
Ёкарный бабай !!! Блин..... Да, выступал !!! Я даже не знаю, что тут сказать... ПРОСТИТЕ!!! Но что я мог поделать????
В гипотезе Каталана все числа больше единицы, конечно, а не нуля
да, конечно :-))))))) Спасибо!! Надеюсь, все поймут, что это оговорочка!
А в каких школах Вы читаете лекции?
Алексей, а как насчет сделать онлайн курс по всей математике биткойна? Там очень много интересного.
Ага, только я сам должен сперва разобраться !!!!!
@@user-rb8ux1no6j
✋🏼 как оно? пока не дошли руки?)
👍👍👍👍👏👏👏👏
59:38 "Суммой двух точек является третья" - вот мои мозги и расплавились
просто это принятый человеком метод сложения ну или удвоения))))просто человек определил, что складывать мы будем-так!!! ну или сам процесс манипуляций с точкой на кривой, человек обозвал--СЛОЖЕНИЕМ!!! Мог бы обозвать и каким ни будь другим словом)))) это и вызывает коллизию в мозгу)))---два одинаковых слова, обозначающих абсолютно разные манипуляции с числами!!!
@@dmitriivinogradov290
4:01 не знаешь, имеется в виду деление на р нацело?
@@manOfPlanetEarth разумеется. Деление по модулю (остаток от деления) - это про деление нацело
@@user-vx2kh1wf9v
деление по модулю - это деление по модулю! а нацело - это нацело🤦♂️
нацело - это когда остаток ноль, а не когда по модулю. ты настрочил, а толку ноль: по делу ничего не сказал. по делу я сейчас говорю.
Я заворожен, математика это Ваше.
Алексей у меня вопрос: С какой литературы нужно начать, для изучения Эллиптических кривых
С конечных полей, ну короче Аэрленд Роузен!
Спасибо большое
@@user-rb8ux1no6j
о, а у вас как раз вышли четыре лекции про конечные поля. это ж те самые?))
Сколько стоит посещение лекции данного популязатора науки?
нисколько. Почти все лекции - бесплатные. Но сейчас этот драный локаут, и лекций очных почти нет. Вот только вернулся из Новосиба и Барнаула, там выступал! Вход, естественно, был открытый.
@user-rb8ux1no6j Я просто оставлю вопросы тут, которые волнуют. Вопросов больше, чем ответов.
1. В чем природа эллиптических кривых?
2. Почему там работает аддитивность (речь не про доказательство, а про суть происходящего)? Это не может быть совпадением. Ньютон из физики дошел, но сложно найти оригиналы работ.
3. Почему так получилось, что топологическое представление кривых изоморфно поверхности тора?
ECC на самом деле пока слабо используется, в отличие от RSA. Например, AWS машины пока не поддерживают эллиптическую криптографию.
объяснение .... ,ax,z 1 кривой не должна совподать by,tn на пи2 в квадрате минус на её квадрат...
тот случай, когда решил разобраться в методах генерации ssh-ключей... с эллиптическими кривыми... а тут..... алгебра, геометрия, тригонометрия, планеметрия, матанализ... боже
До торов, торических улзов и гомологии Хованова дойдём?
Досмотрел просто потому, что очень ждал этой лекции. Но смотреть было ужасно тяжело из-за качества видео. Было ведь столько улучшений в плане подачи за последнее время. Почему опять упало кач-во?
все вопросы к школе 2107, перевожу стрелки :-))))
Алексей Владимирович, почему можно утверждать, что суммой двух точек является та самая третья, отраженная по вертикали?
По определению
Математика норм тема.
:-))
Наконец-то я узнал, почему эллиптические кривые называются эллиптическими!
эллиптические вычисления в биткойне ограничиваются 256 битами. те знаков в двоичной системе счисления 256, а в десятичной 80.
ага, уже смотрю и изучаю :-))
@@user-rb8ux1no6j было бы интересно раскрыть тему сложности вычислений. Почему 256 бит эллиптической подписи соответствуют 1500 бит в криптосистеме эльгамаля или rsa, которые основаны на сложности вычисления дискретного логарифма.
И еще есть интересная тема доказательство без разглашения. И как это организовать на эллиптических кривых
@@user-rb8ux1no6j и хочу обратить внимание, что Bitcoin самая неинтересная криптоплатформа. Etherium гораздо более интересная и современная в этом плане.(возможно чтото более новое появилось). Причем среди разработчиков этой платформы немало соотечественников.
Кстати, кроме вычисления подписи, в этих системах важную роль играют алгоритмы консенсуса. Proof-of-work, proof-of-stake, и их помесь, Алгоритм византийских генералов. С точки зрения теории игр, это интереснее думаю.
@@assad-
о, похоже вы старожил на этом канале) Не в курсе, у Алексея есть плейлист по криптографии? Просто похоже, что их (плейлистов) сотни) Я пролистал и не увидел, теперь надо именно внимательно читать.
@@manOfPlanetEarth не видел такого у Алексея
Я ещё не посмотрел ,но по-любому если Савватеев говорит про что-то "на пальцах" , то это по-любому как всегда ничего непонятно
ну, не скажите :-))) Лучше смотрите!
В начале транс звучал. Надо же
В следующей лекции Савватеев играючи находит хэш битка цветными фломастерами..
На хабре есть статья где оценивается хершейт человека и листка бумаги))
хехе, нет, скорее, будет ещё больше математики!
Ну если найден минимальный треугольник с целочисленными сторонами, то сделать из него бесконечное множество бОльших, простым домножение его сторон на натуральные числа - разве не очевидное свидетельство бесконечного ряда? Это нужно доказывать?
интервал 11
Лекция Imperial college London про эллиптические кривве по моему лучше...
Здесь другие задачи. Там - чтобы слушатель понял, как пользоваться, здесь про "привет, элиптические кривые - это круто. Хочешь разбираться? Просто каждый день по часу изуч..."
Записано с дерганьем. Наверное кодировали в другую частоту.
на скорости 1,75 пох
17:20 у этого треугольника угол 104.080227
ага!! по памяти примерно так. Верю :-))
Как Пуанкаре догадался именно так складывать?
Он был гений.
присоединяюсь. Он был гений!
Лёша, я же тебе рассказывал, что основное действие на серверах майнинга биткоина -- это решение целочисленного неравенства методом подбора. А эллиптические кривые там не для подбора коэффициентов, а для одноразовой проверки правильности цифровой подписи
я уже забыл :-))))))))))). Мне хотелось к математике поскорее перейти!!! :-))
о, похоже вы старожил на этом канале) Не в курсе, у Алексея есть плейлист по криптографии? Просто похоже, что их (плейлистов) сотни)) Я пролистал и не увидел, теперь надо именно внимательно читать. Заодно и у вас интересуюсь.
@@user-rb8ux1no6j
А вам, Алексей, благодарность за умеренный артистизм☝🏼 Так куда интересней смотреть🙂
Все же перед тем как объяснять, что такое группа, нужно сказать, что такое полугруппа и моноид, а то так сходу теряешься.
4:01 не знаешь, имеется в виду деление на р именно нацело?
@@manOfPlanetEarth , да, остаток от деления должен быть 0
кажется, что Алексея следует снимать со скоростью не ниже 60, или даже 120 кадров в секунду, а то он движется так быстро, что начинает мерцать
продолжаю , расстоновка цифр от 0 идо 9-ки, на плоскости закиньте интервал 11,
Как реагируют на одни и те же ситуации ученые разных наук? Например, загорелась корзина для бумаг в гостиничном номере.
Физик-прикладник: Выбегает из номера, хватает со стены огнетушитель, тушит пожар.
Физик-теоретик: Садится за стол, минуту что-то считает, берет стакан воды, льет в нужное место и через некоторое время пожар сам прекращается.
Математик: Выбегает из номера, видит висящий на стене огнетушитель, радостно кричит "Ура, решение существует!", и забегает обратно.
Это к вопросу о том, что якобы некрасиво, когда доказано существование какого-либо объекта, но в явном виде объект не представлен
:-)))))))) отличный анекдот !!!!
Биткоин не взломать )
Пытался доказать коммутативность, ничего не получилось, снял с паузы и Савватеев говорит, что это очень сложно :))
ООООчень!!!!
n11(sd между нами ..
Ясно, Саватеев никогда уже не обратит внимание на качество видео своих ...
Осталось только с Хованский стрим, хотя ой
Главное, чтобы было видно то, что написано на доске. Звук здесь, на удивление, нормальный.
А (0;1) почему не решение?
0^2=1^3-1
Потому что неравенство 0 < 0 неверно.
Эллиптические кривые на пальцах - это криминалистические узоры.
несложная попытка расстоновка цифр от 0 до
Что надо понимать, чтобы понимать эту лекцию? Учусь в 11 классе, мозги плавятся. :/
ttps://facebook.com/photo?fbid=5206523606039349&set=g.2647342705549387 Здесь утверждают что нашли закономерность простых чисел ,Алексей посмотрите что за геометрия там показана ?
Алексей! Вы несете науку в массы? Мы тупые :-) В том смысле, что вы сразу в бой, а нам надо "что это", "с чем это едят" и т.д. По итогам лекции ни хрена не понятно. Почему кривые эллиптические, а не, скажем, кубические? Что мы ищем и зачем? При чем тут простые числа? Как это всё практически используется, скажем в TLS elliptic curves?
Вы чо не смотрите что заливаете?
нет, конечно. Вы в иной реальности. Я записываю много часов в день в сумме, на всех каналах и встречах. Вы издеваетесь? Сами записывайтесь, если не нравится.
@@user-rb8ux1no6j зачем на здравую критику, реагировать как недотёпа. В следующий раз будьте внимательней!
_1(+(a+b здесь обычно..
В Савватееве все прекрасно, кроме этого уродского значка для бесконечности! Интересно, откуда такое написание.
n._ZSN,на нашем языке несвязно...
отвратное объяснение. так он пусть своим дружкам профессорам рассказывает. это не преподавание а пересказ на уровне "я все сложное легко понимаю а вы соображайте как хотите"
На каких пальцах блин, ничерта нипанятна
пальцы запутанные :-))
Нужно просто на одной руке иметь не менее 12 обычных пальцев и столько же комплексных. Тогда все просто.
"е - это специальное число, поэтому я его не пишу в многочлене."
но пишу g и c.
гениально.
В математике ни g, ни c не зарезервированы за чем-то
@@pavelpavel3773 да неужели? Ускорение свободного падения и скорость света можно уже любыми буквами обозначать? А может ты не встречал числа в формате 1,0е-10 , где е, внезапно, не имеет ничего общего со "специальным числом"?
@@Achmd Ускорение свободного падения и скорость света в вакууме - физические величины, хотя и записанные на языке математики
@@pavelpavel3773 так что там с записью числа 1,0е-10 ? тоже физические величины? зарезервированная константа?
а как же прочие математические константы, типа μ - константа Рамануджана-Солднера или λ - постоянная Голомба-Дикмана или тау - 2п? Почему их он спокойно использует в уравнениях?
@@Achmd Ни разу не видел, чтобы запись степеней 10 использовалась где-то. Разве что в калькуляторе, но это по причине устройства интерфейса калькулятора. А прочие перечисленные константы слишком специфические и редко когда возникают. Хотя всё это, конечно, условности
и тут сексизм
Невозможно слушать. Всё время в голове мысль: «Лектор - запутинец».
Чел, не очень понятно, что ты вообще написал
@@bluepen2637 , вижу, вы недавно из деревни.
@@akaPekh очень жаль, что сразу переходите на личности. Просто не понятен смысл слова "запутинец"
@@bluepen2637 , вы зря начали с обращения на «ты» и с фамильярного «чел». Такой заход обычно не приводит к тому, что собеседник разъяснит сказанное.
ЗапУтинец это тот, кто за Путина.
@@akaPekh ну про "ты" надо понимать всё-таки что интернет это неформальная среда. А про "запутинца" - не надо мешать математику с политикой
Ленивый лектор, который не желает готовиться. Проблему надо обозначать до того, как описывать ее решение.