Proof of the actual question “The derivative of sinx is cosx” [Osaka University].
Вставка
- Опубліковано 26 жов 2021
- 公式の証明は実はいろんな大学で出題されています。
定義から考えることは数学において非常に重要な考え方なのでしっかり学んでおきましょう！
■STARDY徹底基礎講座
詳細はこちら
stardy.co.jp/
■最強の学習アプリ「ring」
DLはこちらから↓
iOS版
bit.ly/ring-ios
Android版
bit.ly/ring-android
■STARDY公式グッズ
購入はこちらから
suzuri.jp/stardy
■LINE公式はこちら
liff.line.me/2000236188-A86GN...
『神脳・教育界の革命家 河野玄斗』
東大医学部在学中に司法試験に一発合格。頭脳王連覇。
初書籍『シンプルな勉強法』( www.amazon.co.jp/dp/4046023058/ )はタイ語版、繁字体版など世界でも翻訳され、シリーズの累計12万部突破。2020年3月14日には図解版が刊行。
■SNS
河野玄斗： • Video
ルーク(編集等)： / stardy_luke
Stardy公式： / stardyofficial
BGM:カッパエンターテインメント/若林タカツグ
コラボ・案件等のお問い合わせは公式ツイッターのDMまでお願いします。
![[Attention: Reduced points] Good question with a lot of ideas and notes on the number line.](http://i.ytimg.com/vi/DAvhL3IbMy4/mqdefault.jpg)
![Lp. Последняя Реальность #107 РОДНОЙ ДОМ [Финал] • Майнкрафт](http://i.ytimg.com/vi/IK3QKzKUlHM/mqdefault.jpg)
うわっ、4:13のところどう考えても1/cosxじゃなくてcosxでした！すみません！
１分間くらい悩みました。
河野玄斗さんも人間だということが分かってよかったです☺️
まぁ神なんですけれども
っていうドッキリ
ですよねびつくりしました
この前に1/tanxはcosx/sinxだからって口で説明しながらやってたのにいざsinxをかけるとcosxの分子分母が逆になるってよくある変形ミス こーいう時は一応検算で確認して気付くものなんだけど
わかりやすいコスパいい解説をその場で書きながらやるとこういうミスが起きてしまうのは仕方ないんだよねw
初見でも微分の定義に戻れば解けるとても基本的な問題ですね！
これが初見だとすると意味もわからずに微分公式使ってたことになるし結構受験生として不味い気がするけどね…笑
コレマジで気になってた
入試問題になってたのか。解説していただいて嬉しい
阪大の問題は難しいけど面白い問題が結構あるから解いてて楽しい！
公式の証明って難しいけどこの動画で理解出来ました！ありがとうございます！
4:14
1/tan(x)は，cos/sinだと思います（結果は一緒ですが）
円周角を考えると特定の点以外では幾何的に解ける、のが森毅先生の本によく出ていた
基礎が大切ってことですね！！でもむずいな
昨日学校でやったから復習にって思ったらマジでちょうどよかった！！！あざす！
2年前に受験終わってるけど、こういう原理的なものをしっかり覚えまくってたから1発でわかったヨ
ちなみに阪大文系では点と直線の公式の証明が代わりに出ました
元気が出る数学に載ってた
@@user-jy3ks3qb3i あれいいよね
法線ベクトル使えば余裕！
なんか既視感というか、以前UA-camrが言っていたような…
これやったの覚えてるわ。
問題めくって1問目がこれでかなり焦った覚えがある。
ややこしい応用問題ばかり対策してる学生に対しては特に定義や原理だけの問題は上手く「外し」が効いてて良い問題やな
こういう解説ありがたい
高校の数学の先生が就活のときに先に面接だった人がこれを聞かれてたのに自分は好きなおでんの具を聞かれたってエピソード思い出した笑
ライバロリさんの動画から来ました笑
とても分かりやすい説明で理解しやすかったです！！余計なぜあのチャンネルに出演してたのかは謎が深まりましたが…
メッセージ性のある問題ですごく阪大が好きになりました
解けた〜こういう問題好き
阪大ってこういう問題好きよな。
わりかし基本的な公式の証明問題よく出す
これ定期考査で出したらその年の阪大で出てラッキーな生徒が受かって喜んでたなぁ。
関数が出てきたときは頭の中にちゃんとグラフがありますか
っていうのが数学にとって重要であることがよくわかる問題ですね！
私もよくグラフは必ず書けって言われましたね
先生に微分の定義をめっちゃ教えられたから導関数を求める方は解けた笑
公式を証明せよ系の問題って難関大学の醍醐味って感じする。
マクローリン展開から挟むのかと思ったけど，綺麗な解法ですね
基礎問題精講でやったことあったからできた
学校の微積分の授業でも、これほど丁寧に教えてくれませんでした。
どうもありがとうございました。
昔阪大の文系でも点と直線の距離の公式の証明出してきたよね。どうしても公式とか定義をどう使いこなすか、に目が行きがちだけど、原理・原則に立ち返って、何故そうなるのかを突き詰めることは大切よね。
東大が定義をちゃんとわかってるのかを問う問題を出すくらいだからね
これだとまるで原理原則に立ち返ると証明出来るから原理原則は大事でしょって話になってるけど
原理原則から公式が証明出来て
その証明した基本公式を用いて問題を解く時も原理原則に立ち返ってやると自然に理解できて問題解きつつ分かるようになるから原理原則に立ち返るのは大事なんだよね
なのに問題の解説って原理原則に基づいて解いたり一貫性のある解説が少ないからみんな理解出来なくて数学嫌いになる
@@gdd1398 だからこそ問題集の解説ではなく予備校などのプロの先生から学ぶ必要があるのでしょうね(武○塾を批判してる訳ではありません)
@@rrrrrrr9610 ホントにそれを除いてそうなりますよね
@@gdd1398 めっちゃいい事言ってると思う
実際定義をしっかりおさえた人の方が問題の難易度が上がった時の対応力が高い
0
授業ってなんの疑いもなく聞ける人に教わるほどほど一発で覚えるよね
めっちゃわかる
斜に構えとると不利
スポーツもそうだよな
勉強はわかった気になるのがあるけどね、
1/tanx
正解にたどり着けさえすればプロセスなんてなんでもいいよ。大きく外れなければ減点もないしね。教科書以外のやり方も見つけれると引き出しが増えて、自分の世界が広がるからこれからやってみてね。
@@user-ju5wm5pm9l
解法が複数あるのはいいことです。しかし自分が言っているのは河野さんのやりかたで証明できる？ということです
cosxとcosx/1間違えたという風に河野さん自身がコメントしていましたよ。証明方法自体は合っていると思います。単位円が最も簡単だから用いられているだけでしょう。私は他の証明方法を知らないので、そもそもこの方法以外があるのかは分かりかねますが。
@@re-pm9pg
本当に証明できますか？
@@user-cx6ep1fb3e ええ。この証明方法は教科書に載っている有名なやり方ですし、阪大の入試でも出ています。少なくとも大学入試レベルならこれで十分だと思います。大学数学レベルで詳しい話になってくると成り立たないとかあるのかもしれませんが、如何せん私は理学部では無いもので詳しいことは分かりませんね。もし間違っていたら申し訳ありません。
物理のテストの振り子の問題でも、振れる角度xは十分小さいからx≒sinxとしてよいって書いてた時があって、その時は意味不明だったけど、そういうことだったのか
今日そこ習いました！
今まで知らんかったのか
ばれた！
@@gdd1398 煽んなよw
男は黙ってマクローリン展開
公式は証明で覚えるのが大事。
うろ覚えで間違うのを防げる。
河野さんに個別指導してもらえたら、めちゃくちゃ楽しく数学できそう
大量のマネーが必要だよ
河野さんがいつも使っている、このメモアプリ？ノートアプリ？みたいなのはどのアプリなんでしょうか？
知っている方いれば教えてほしいです！
似ているのでおすすめのものもあればお願いします！
この過去問解いたことある。
解答見て面白い問題だと思った。
微分の定義をしっかり理解してますか？っていう大阪大学からの問いかけに感じました。
sinx/xの極限が1の証明はテイラー展開でできるやんって思ったら、テイラー展開にはsinxの微分の証明が必要やった。
テイラーの定理を使えないなら、同じようにランダウのオーダような発想をすればいいだけです。
【定理】
数列{a_n},a_n>0が0に収束する狭義単調減少数列ならば,交代級数は収束する.
その和をs,部分和を
s_n=a_1-a_2+a_3-a_4+…+(-1)^{n+1}・a_n
とすれば
s_(2n-1)>s>s_2n.
【証明】
s_(2n-1)=a_1-(a_2-a_3)-(a_4-a_5)- … -[a_(2n-2)-a_(2n-1)],
s_2n=(a_1-a_2)+(a_3-a_4)+…+[a_(2n-1)-a_(2n)],
s_(2n-1)-s_2n=a_(2n).
s_1>s_3>s_5>…>s_(2n-1)>…>s_2n>…>s_4>s_2.
n→∞のとき,s_(2n-1)-s_2n=a_(2n)→0だから,数列{s_(2n-1)}{s_2n}はともに収束する.
lim[n→∞]s_(2n-1)=lim[n→∞]s_2n.
よって数列{s_n}も収束して,s=lim[n→∞]s_nとすれば
s_(2n-1) > s > s_2n.■
【命題】
lim[θ→0]sinθ/θ=1.
【証明】
任意のθ∈Cに対し
sinθ = ∑[n=0→∞] {(-1)＾n/(2n+1)!}θ＾(2n+1)
と定義する.
sinθ/θ = ∑[n=0→∞] {(-1)＾n/(2n+1)!}θ＾(2n).
0
素早くわかりやすいと言う
コスパの塊でしかない
めちゃくちゃ、面白かったです！！数3やりたくてたまらなくなりました！！高校卒業したら絶対やる
@ペンギン そうです〜 もともと理系科目好きなので😂
@ペンギン 大学では文理関係なく色々やります笑笑
リベラルアーツなので！！
@ペンギン ありがとうございます！
えらいなー、頑張って日本を支えてくださいね
@@AD-tg6vu 将来が期待できる有能
これができる前提で応用問題出してくるとこもあるから、これは最低限解けるようにしないときつい
良問ですね
一体一でやった時、初見で解けるか！ってなった懐かしい問題
y=sinx とy=xのグラフが原点付近だとほとんど重なってる
高２で微分の定義習った時に片っ端から予習して微分公式の証明を頭に入れたからなんとか解ける
これ普通に学校の授業で教えてもらったよ＼(^o^)／
やっぱり公式を使うには証明してからじゃないとね！
こういう問題の方が計算ミスとかないから助かる
某予備校の先生和積の公式使って証明してたのも凄かったなぁ.....
sinx/xは偶関数なのでxが正の側を考えれば十分 と行く方法もありそう
一対一対応の演習はそうでしたね
この年受験してたので懐かしい気持ちになりました。
ロピタルをつかっていた人もちらほらいた印象ですが結局点は貰えていたんだろうか…
ロピタルの定理を使うと循環論法の形になって
論理的に証明が成立しません。
ロピタルの 初手で d (sinx)/dx を求める必要がある。
定義より sin x の導関数を求めようとすると Lim[h-->0] sin(h)/h が出てきて…
あらら？よく考えたらこれは 最初の問題 そのもの Lim[x-->0] sin(x)/x と全く同じ形式じゃん！
という訳で循環になります。
状況としては「魔王を倒すための聖剣が魔王の玉座の下にある」って感じッスね。
@@Tomohiko_JPN_1868 面積で求めても循環論法じゃない？
@@Tomohiko_JPN_1868
正確には、大学数学科一回生以上だったら、普通は三角関数はべき級数で定義するので、ロピタルを使えます。ただし、「杉浦光夫先生の「解析入門Ⅰ」」を知っている前提になります。べき級数の項別微分ができることの証明が必要ですので、これができないと困ります。
もしくは、正弦関数の逆関数から正弦関数を定義してやる 「黒田成俊先生の「微分積分」」を知っている前提になります。逆関数から定義するときは、逆関数定理を知っていることになるので、なおさら技巧的になります。
@@user-zg2xm2my2c
正確には、面積で求めても循環論法ではない。
解析的に円周率を定義して三角関数をべき級数で定義していれば、全く問題はない。
ただし、べき級数で定義した定義と三角関数の古典的導入法（単位円による定義）が等しいかどうかを確認する作業が生じるので、少々面倒ではある。
マクローリン展開してxで約分して1、じゃダメですか
大阪大学は、時々こう言った定義を証明させる問題を出してくる。
文系数学でも、「点と直線の距離」の公式の証明を出してきた。
循環回避は一応しておかないとね
これは微分の定義で和積の公式でいけるんですねええ
角x ラジアンの扇型(半径=1)の面積がx/2であるのはどこから出てくるんでしょうか？ 半径1の円な面積が ¥pi (円周率)に等しいことは使えません。円の面積は小学校で教えられますが、もちろん証明はありません。高校で積分を使って一応証明らしきものをしますが、そのとき置換積分で 問題の極限の式 を使うことになりませんか？循環論法に落ちいります。例えば曲線の長さを定義することから始めるなどしないと----
余裕じゃねえかって思ったけど本番で出てきたら驚きですね…
マセマ数学の元気が出る数学iiiでまんま同じ問題があった気がする
一体一対応の演習にあるよね
最初、なぜ単位円とかからまどろっこしいやり方するのか分からず、マクローリン展開から証明すればすぐじゃんと思ったけど、sinxのマクローリン展開の前提として(sinx)’ = cosxを使っているから、マクローリン展開使えないのか！と気づいて、また一つ勉強になった
解説わかりやすすぎ
まだ動画でて11秒なんだけど……
@@sorobotic2543 わかりやすいのは当たり前だから見なくてもわかるということ()
@@haluponn なるほど🤔
合成関数の微分のやつとかもやった方がいい
後半は前半がわかっていれば、よくある導関数導出の問題。むしろ前半のほうが難しい。
思考力どうこうじゃなくてこういう証明なんだと暗記しておくレベルの話。
(02:00) めっちゃ早口で長文失礼します！
関数を図示して「連続関数の微分は速度」って
理解しておいて速度をベクトルで図示すると、いろいろ思い出せて便利よね。
例えば、 オイラーの公式 の e^(iπ) = -1
これを完全に忘れたり、知らない時の対処法。
複素平面上でf(x) = e^(ix) の図を書き点をプロットして、導関数を求めて点と速度(ベクトル)を描く。
f(x) = e^(ix) について導関数は f'(x) = i e^(ix)
「 x = 0 とすると f(0) = e^0 = 1 , 虚部は0 となり消えてくれる。 点(1,0) を打つ。
その点上での 速度は f'(0) = i e^0 = + i これがその点での速度。
点(1,0) から i軸の真上方向 +i の矢印を描く」
x をちょっとずつ増加させ上の作業を繰り返すと、点は左回りの単位円、「速度の矢印」は左上方向に徐々に傾いていく。
90度をこえると今度は左下方向へ傾いていく。
こうやって、180度まで、360度まで考えると 左巻きの1つの台風のような図が描ける。
e^(iπ) の値については、 x = π の時の点を見れば良くて、
それは 点(-1,0) (虚部がきれいに消えてくれる)
よって e^(iπ) = -1 、点(-1,0) を打つ。
そこでの速度は i e^(iπ) 、 これは上の式 e^(iπ) = -1 より、 i e^(iπ) = -i すなわち、真下の矢印。
「導関数 = 速度」を f(x) = e^(ix) に適用することで、
左巻きの台風のような図が書けるので点の位置と点の速度が完全に分かる。
文系と理系だと理解の仕方が違うので、昔は解けたけど中年になってからだと、全くわからないんだよね文系は。
タイトルだけでやろうとしたら無理で焦ったけど、阪大でも誘導があって少し安心した笑
これ模試で余った時間に証明できるのか疑問に思ってやってみたことあったなあ
なんかめちゃくちゃ気持ちいい問題やな
懐かしいです！
文系なんですけどsin(x)/xの極限って不定形の確認してからロピタル使ったらダメなんですか
追記:よく考えたら完全な循環論法でした…。
ロピタルでもいいが、その議論をするには大学数学科一回生程度の適正能力がないと議論できません。
三角関数をべき級数で定義するか、三角関数の正弦関数を逆三角関数から逆関数定理を使って定義することになります。
ここまで議論できれば、ロピタルを使っても良いです。
リングノートとルーズリーフ、普通のノートで、塾の先生にリングは使うな！と言われたのですが、どちらを使った方が勉強の効率が上がるなどあったら教えて下さい！
河野さんが使用されていた、ノートや、ノートの書き方も教えてほしいです！
和積の公式でh/2=h’ならもうちょっとだけ美しくなるのかな？
面積を使うと循環論法だから辺の長さで考えるといいって言われた。その際、sinx
言うほど図から明らかか？
マクローリン展開して終了
@@user-fr9gf4cw8x マクローリン展開って微分三角関数の微分使うんちゃうん？
大学受験終わったのになんか見にきてしまうなー
実際の東大模試受けて欲しいです。
数3勉強したくなった
丸暗記では絶対証明できない問題好き！
正直阪大の中では簡単な問題だと思うけど、数学を学ぶ上で定義が重要だってことだよね。
理系としてこういう問題はとても面白くて興味をそそられる。
序盤の説明
1/cosxくsinx/xく1
という部分がありますが
cosxくsinx/xく1
なのではないでしょうか？
この証明で、いつも疑問に思うんだけど・・・。 sin x < x は自明だけれど、x
面積評価の舞台が単位円なので問題ないと思います。グネグネした曲線であれば証明する必要がありそうですが。
面積の大小関係と外周の大小関係が一致しない例は多い。この場合も、曲線部分を自由に繋ぐと、簡単に大小関係を反転させることができる。そのため、『円弧は、こういう条件があるので短い』と条件を言及する必要があると思います。どんな条件なら良いのか？ その条件が難しいです。また、その証明もかなり面倒そうなんだけど。違うかな？
これはものすごく簡単な点取問題！！
先公がこれの証明は大学数学使わないときちんと証明できないって言ってたけどそこを教えてくれぇ！
｢limsinx/x 循環論法｣で調べるといいよ
sinxの極限の問題はロピタルの定理使って、後半の方はsinx のマクローリン展開を微分してcosxと一致しますねぇっていう証明じゃだめかな？(だめです)
4:14 ここって1/cosxじゃなくてcosxですかね？
cosx/sinxにsinxかけてるから
私もそう思ってコメ欄見てた。
でもほとんど誰も突っ込んでないので自分が間違ってんのかなぁと不安になってた。同志がいてよかったけど、どうなんだろう。誰か教えてくれないかなぁ。
と思ったら、すぐ下に本人の訂正があった。
微分って、点での傾きを出せるから8カ所くらいに代入したら証明になったりするのかな
阪大すげぇ問題出してきた
広瀬和之の授業受けてりゃこんな公式の証明なんてちょっろい
河合塾マナビスでその人の講座受けたわ、積分の発展編とか、やっぱすごい人だな
あの先生は偉大、、、
スタディサプリみたいな感じで、視聴できるんですか？
広瀬和之さんの「受かる計算数Ⅲ」はお世話になりました
何故微分するとπ/2 rad位相が進むのかと思っていた、演算によるこじつけだったんですね
はさみうちの原理を使う前の1/tanxから1/cosxって何をしてそうなったのですか
高３です。Cosh-1/h求める所なんですけど0に関わる極限で、部分的にそれぞれ極限を出して掛け算しても大丈夫ですか？
そのままでは不定形なんで半角の公式の逆使うなりして変形しないと求まりませんよー
詳しい証明は大学でやると思うけど教科書に
f(x)→α, g(x)→β (x→a)に収束するとき
f(x)g(x)→αβ (x→a)となる。みたいな事が書かれてると思います。
つまり今回はsinh/h→1, sinh/(1+cosh)→0となるから極限値は1×0=0となります。極限値が存在する時にしか積を取れないのでそこに注意してください。
@@kneighbor6066 なるほど。ありがとうございます！
阪大にしては珍しい知識問題ですね
面積比較からはさみうちなんて普通に考えてて出てくる発想じゃない笑
教科書に載ってる証明だけどね
極限、はさみうちはセットやから割と思いつかなくもない…思いつける自信が無いw
「阪大にしては珍しい」と思うのなら、難関大学の過去問解いてるってことですよね？
だとしたら「面積比較からはさみうち」って割とよく出る発想かと…
@@user-jc4rl9ts5s 確かに面積比較という考え方はよく使いますが、よくある区分求積の考え方から長方形や台形とグラフの面積の大小比較をするのではないので、誘導も無しに「扇形を書いて三角形で挟めばはさみうちが上手くいく」ということが見抜けている人でないと解けないかと。
たったけぴーさんが言うように必ず教科書に書いてある証明なので、そういうところにも気を配って数学を勉強してるかどうかを阪大は見てるのだと思いますけどね
sinの定義をマクローリン展開で与えると、
収束半径が∞になる事を示し
1/x、d/dxを項別に実行するだけで簡単証明出来そうですね。
表題で三角関数定義は与えてないので、
悪用します。
マクローリン展開の剰余項の収束を見る事で、
d/dxの線形演算を項別に実行しても良い事を示せば良いかな。
注意点が多いので
普通に幾何的な解法の方が簡単か?
sinxを微分したらcosxになるっていうことを知ってる文系の人ってどれくらいいるんだろな
t＝−xておけば0くxくπ/2を示せれば終わりの問題や
とりあえず教科書に載ってる公式は全部証明してみようネッ！
@wakatteないTV 長文おつ
9:07 一瞬双曲線関数に見えたw
ほんまやw
5:43 正の方から0に近づける時は1って何で言える？あくまで0
cosxを傾きとする一次関数のグラフと、sinxを傾きとする一次関数のグラフが直交することを示すのはどう？
和積公式のほうがスピーディー
2013年に別大学受けたけど、京大っぽいというか、阪大らしくない感じにびっくりした。
円の面積を求めるときに三角関数の微積を使ってると思うので、角度がx radの半径1の扇形の面積がx/2というのを使って三角関数の導関数を証明するのは、論理が循環してないですかね？
円の面積の半径による微小変化を考えれば三角関数を使わずに円の面積を積分で求められます
なるほどですね。ありがとうございます。モヤモヤがスッキリしました。
10日で極めるシリーズでこの問題出ててびっくりした記憶ある
今回の阪大のものや、東大の有名問題、円周率＞3.05を証明しろ、もそうですが。
公式や「常識」について証明する問題に触れると、頭の思考回路が締め直される感じがしますよ。
当方は文系なので、limと三角関数の融合については、見た覚えがありませんが興味深かったです。
循環論法な気がします