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雖然可以理解最後掃出形狀的面積的極限是零，但完成這整個操作所需要的面積的極限同時趨近無限大，很難想像有甚麼實際的應用
常明確，沒有實際的應用。
现在想不出什么实际的应用，并不代表以后的人就想不出有什么应用。谁都不知道以后
就像1000多年前的祖冲之想象不出算到圆周率小数点后7位有什么大用，现在呢？原来用处很大，当然不是圆周率精确到小数点后一百万位有用，而是至少，计算到小数点后几百万位的算法有用！
施坦钠三角还是有用的
@@k1-8975xd 過去的-1開根號:無用!數學的渣渣現在的i:真香
一旦推到極限，很多現象都不能再用常理來思考了，Gabriel's Horn 就是一個經典的例子。
曹雪芹《红楼梦》第六十二回也有一句经典话：＂大事化小，小事化了。＂小时候一直在思索的一个问题是小事是怎么变成无的呢？推到极限！😊
也可以說，對於極限和無窮，我們只能交給數學推演，不要試圖用自己的思維來理解。Gabriel's Horn也是一個很有意思的話題，以後可以做一期視頻來討論。
@@tessxu8367 这个联想太有创意了。
@tessxu8367 💯
Gabriel's Horn,中學學微積分、數列時, 有收斂之說.從0至∞, plot一個graph, function, 其底下面積有可收斂、或不收斂.凡收斂的, 即Gabriel's Horn等價.
這種有趣的數學思考應該多多分享，太讚啦
谢谢喜歡。
我们研究这些题目其实是要预先设定共识的，这道题其实就有一个共识没有说，而且这是在谬误中经常出现的问题 -- 我们是否容许在一个需要假设实际动作(这里是位移和旋转)的时候，容许不容许用无限的时间换取空间，按照这种面积无限小的解法，完成解法中需要的动作的用时也变成了无限长。
确实，我做这个视频没有想到要那么严谨。数学论文本身是严谨的，视频解说过程不想太枯燥地谈及那么多细节。
如果需要動用無限長的線段, 它應該已經不是COMPACT SET了, 那很多數學上的常識也套用不了.
共识是 极限的定义。 对于任意无穷小的一个大于零的数epsilon 都可以找出一种方法 让划过的面积 小于这个 epsilon 那 就可以证明 这个 最小面积 最后的极限是 0. 在工程中的意义就是 只要确定好工程需要的公差和精度， 就可以找到 对应的实现方法 让划过的面积 小于那个公差/精度， 就可以当作0了。
@@mingway 但是共识不同经常造成误会或者谬误，谬误就不说了到处都是，误会也遍地都是就比如等号上或者无限项那边的括号和前面的zeta能不能省略的问题(所有自然数之和 = -1/12那个)。当共识不全时候就容易出现断章取义。
@@Kazzit_Chang 上过大学 学过高数 就会有这个共识。
好神奇，但看起来，要沿着自身的方向移动无穷远。 我很好奇，如果是在有限的平面，结果会是什么？
在有限的平面可以估算出相应的epsilon。
主題一直在「有限的平面」. (編註: 原來不是)當中「移动无穷远」是一個插場輔助解釋.
有限平面的話 就有有限解 除非....你能捲成圓筒狀.........................(不過這已經違背最初假設)
@@zgxk6246 Epsilon是前設, 並不是後設(相应估算).因應Epsilon而計算出來的叫delta
@@tonybox4496 如果平面有邊界，那你就不能讓線段平移掃過的面積為0。
好奇一問。雖然我理解它每個步驟都可以用趨近零的面積來完成。但是這需要把步驟切割成無窮步。我的問題是：「無窮項」趨近零的合未必是 0。我猜這部份就是文中所提到，他的證明的重點，不過可能就超出科普的範圍了？
該有說清楚的方法，，只是我自己還沒很好掌握。
未讀過數學分析或微積分的, 常常糾結在數學提供的幾個名詞當中, 名詞化為個人常理理解, 然後回頭反對或質疑數學.既然搞不通極限數學, 不理會便是, 今次可行, 直接不考慮無窮步.那麼少看尾半分鐘便成.===影片開頭問的, 結論是：沒有最小面積.（你說任何一個小面積, 都能完成）
@@zgxk6246 其實說得很清楚 如果沒有一個事先舉例 根本無法理解他的觀念 至於大家如何認定無窮趨近0 就是個人數學理解到不到位的問題了
既然各自都有各自必定小於的epsilon，他們的合肯定也小於某個epsilon接下來只要用一般極限的證法就可以寫出來嚕
我想因该跟 1/3 = 0.333... * 3 = 0.999... = 1 差不多证明的吧。而且仅限于正规数学。在非标准分析 和 超现实数 里面有无穷小的概念时，Besicovitch set就不一定是 0 了。Besicovitch set 其实就是一个零 Lebesgue measure set，他并非真的零面积，只是正规数学衡量不了。你可以把它想成是在卡bug
如果想像一個無限大的圓，然後讓這個武士刀沿著切線走個半圓呢？
易得扫过的是一个厚度为√(r²+1/4) - r 的半圆环, r=∞的时候面积也是0
@@ikaros5835 你算错了。。。这个半圆环的厚度是 0.25 pi
这个问题本身有歧义，线段旋转180度是顺一个方向连续旋转还是只算旋转的角度总和，这两个含义区别很大，后一个条件宽松所以才有了0面积这种看似荒谬结论，在前一个条件下要怎么做才转出0面积这个结果。
视频本身没有数学论文严谨
想到那個橫著卡在走廊中間不斷倒車前進動不了的gif
搜尋Austin Powers - 3 point turn
有点像侧方停车的时候不断的打死方向+倒车最后可以倒进基本和车长相等的空隙里
這讓我想起來小時候拿著輪子不能轉向的玩具車，為了要讓輪子緊貼地面不滑動卻讓車子掉頭，只能前後前後前後讓它慢慢地轉
9:45這邊的動畫演示的不好 ，第一個線段靠近第二個線段應該是完全重合，不是像這樣滑過去
我覺得這個問題的關鍵是要證明無限多個無限小的面積相加起來是仍然是無限小，不曉得是不是這樣？
不對吧 你說的這話就和黎曼和的概念不相符了
不是 反例:每個長方形Rₖ的面積為1/klimₖArea(Rₖ)=0首n個Rₖ的面積和為Sₙ=∑ₖ₌₁ⁿ1/klimₙSₙ=+∞
他想說的是對於任何ε>0，存在角度θ以致每次轉動的面積
minS不存在的證明：設ε=minS，留意ε/2∈S，矛盾.
@@pneujai 很好！
一根棍子要使得它的朝向連續可變直到完全掉轉180度它掃過的面積最小是多少呢?分析棍子轉動180度時的運動：操縱棍子的轉動運動可以視覺化為一系列無窮小的旋轉。為了最小化掃過的區域，我們希望操縱桿在轉彎時盡可能地「折回」其路徑。當棒以其尖端描繪半徑盡可能最小的半圓的方式旋轉時，掃過的區域最小。當棍子繞其一端旋轉時就會發生這種情況。當棍子繞一端旋轉時，其尖端將繪製一個半徑等於棍子長度（假設1）的半圓。掃掠面積是具有該半徑的整圓面積的一半。計算：半徑(r)=1全圓面積=πr^2=π(1)^2=π平方最小掃掠面積（半圓）=(1/2)*π*(1)^2=π/2平方答：一根棍子，如果繼續改變方向，直到完全轉動180度，所能掃過的最小面積是π/2平方，大約是1.57平方。
excuse me?
自己的嘗試超過所有的空想。
自己胡亂的嘗試, 追不上俄數學家已給出的解答.
應該同理 一樣可以是lim 0 不過這的答案意義不大
@@tonybox4496 數學沒有胡亂的嘗試，只有不理解的前設。
我覺得這相當呼應現實對於價格/價值的計算。這好比問說：蓋一棟房子要多少錢？ 你能夠將土地、工錢料錢、貸款成本全部算出來得到一個數字。 但你也可以說：「免費！」因為不考慮時間與所有的人事成本，全部自己做！！包含自己的後代。 土地自己創建國家佔領統治管理，包含一切的開銷都從最源頭的勞動開始；工人自己生；物料自己開採製造包含所有的機械設備；銀行自己開。 那計算出來的成本無限小，當然也可以說是無限大。當這些都做到了，房子當然可以免費送。
感覺只是在鑽規則漏洞平移沒有面積情況下只要移動無限遠那角度就能無限小這樣看實際上就會變成再求無限小情況下，的無限小面積
用無窮大的移動創造無窮小的面積有意義嗎？
沒有
可能你要先想一下數學上的「意義」是什麼意思。數學上的意義可能對一般人有脫節感，但現有的數學系統只要在邏輯上能自洽就行了，有的會發展出新東西，有的可能當下沒什麼用，就乏人問津，都可能很抽象，但天曉得哪天會有什麼實際的應用，這例子太多了。話說回來，要是您指的是這有沒有「實際」上意義的時，你有沒有想過，線段本身所佔有的面積為0這個前提，是不是就很沒有「意義」呢？
完全沒有。
數學史上，很多時候都是先把東西搞出來，然後又過了一個世紀之後才有找到功用。而很多時候則是從來沒有發現用途。但是沒有搞那些東西，我們人類無法發展到今天的地步。
樓主純粹聽不明白數學語言而質問意義. 用無窮大的移動「可以」創造無窮小的面積, 它的字面意思是： 要幾小, 都可以!要直接回答問題, 是：題目要求的最小, 找不到的. (原因如上)明白嗎?
我第一个想到的思路是一个无限大的圆的曲率是0，曲率是0就是直线，武士刀沿直线走就不会增加面积，所以武士刀沿着无限大的圆走半圈就会旋转一百八十度但是不会有面积
这是很好的直觉
可惜这个直觉是错的，其扫过面积是pi/8，和那个凹边三角等效
@@Nanjing-bd9ih 不对吧，线段的两个端点在圆上，让两个点同步沿着圆弧移动，假设圆心到线段的距离（垂线）为d，那么线段走半圈扫过的面积就是PI * (R^2 - d^2) /2。 很明显这个面积的极限是0.
@@vicwang6529 无穷大R^2减无穷大d^2一定等于零？
@@Nanjing-bd9ih 确实是我搞错了，线段长度为L，R^2 - d^2 = （L/2)^2 是固定值。
大一修实分析的时候我就构造出来了测度任意小的，但是没有构造出测度是0的
最基本，outer measure，他是用inf定義的 如果任意小就是0了例如ℚ，他的cover想多小就多小，所以measure zero
無限遠來回所形成的三角形面積：高無窮長底無限小（正值） =1/2x無限大x1/無限大=1/2x♾️/♾️ 都說含有微積分在裡頭了 怎會等於0？ 更不用說再考慮光速極限 與普朗克常數 當你平移第一次後 線就沒有回頭的宇宙時間了
数学,不是物理.数学中可没有什么光速极限,普朗克常数.而物理世界中不会存在的无穷概念,在数学中比比皆是
@ 同意你的說法，只不過 ♾️/♾️ 必趨近0的部份不能下定論。 類似用正方形無限切口證明 拍=4 的paradox!
@@oriholy9817 補充 單一路徑即使趨近無限小，但所有路徑積分後還是無限小…真可能呼？
@@陳嘉興-q8r 涉及无穷当然不能这么简单的令其等于或不等于0呀。至少也得把式子写出来看他的性质再说。不过这跟我说的没啥关系。我只是说数学世界跟物理世界是完全不同的两种东西，不能拿物理中的限制去证明数学中的某些命题。摊手……
数學、物理相通，也很容易讓人混淆
難怪次元斬都是上下畫面拉一下然後什麼事都沒有,對手就涼了
我看到这个问题的的第一个反应是让这个线段的两个端点沿着一个巨大的圆走180度，但不知道怎么把它平移回来。视频后半段刚好给出答案。
有这样的直觉反应就相当不错了。
速度转快一点，趁空气不注意就没有面积了
好办法
這讓我想到二維平面上的空間填充曲線，我就想問問由線段填充滿的區域不會產生面積嗎？
由面 變成線了 三維往二維 往一維再常嘗試進發試試的確可以接近無窮小 面積無限縮 直到無面積
这个和用无限滑轮组不需要用力就拉起一个物品一样。极限的情况下 在数学角度可行。现实中不可能
很好的觀點 但不知道怎麼應用到實際生活 就像是一張紙對折127次 比全宇宙還長一樣
這個題目和實際生活無關
10:16 這個重疊的面積為何會變無限小?
直觀上, 除了無限小外, 並沒有出路, 原因是不斷變小, 但結構上看不出有根本上的抗衡幾何結構.數學角度, 不是懷疑無限小, 而是天秤有兩邊, 走向無限小, 是由無限數目的三角去支持的.一減一加, 最終「面積總和」是否零, 不好說.需附加論證, 影片在@10:33說不糾纏這細節.不過有提出Epsilon, 慬數學分析一科的同學, 基本上都知道這細節.
@@tonybox4496 謝謝回覆。不過大家都知道一直減小不代表會趨近於0，這並不是單純的證明「細節」而是很需要解釋的關鍵，但是影片直接跳過了
@@pointteaboy7113 減小不代表會趨近於0, 是的. 譬如可趨近1/pi^2 之類便遠低於之前的 0.x但既然見到一直減小, 我見到0是候選, 卻「結構上看不出有根本上的抗衡幾何結構」, 所以我說直觀上是0.而嚴格證明方法是用上Epsilon, 在場留言, 極少人提及, 提及的都有瑕疵, 即還未記得清楚它的用法. 所以影片在@10:33說不糾纏這細節, 是合理的.
反而影片說了核心, 卻對武士刀/棍子草草收場.沒有描述「即是如何揮刀」.弄得我錯認有網友滑個大半圓周(半徑無限大)以為是解.如何揮刀, 是劃一個無限大無限多刺無限纖瘦的海膽. 🤓我們討論了無限纖瘦.影片只暗示了刺與刺之間如何劃法.
@@tonybox4496 说得很好！严谨的证明需要看数学论文。
當武士刀設有寬度時，平移就有了面積計算。後者的假設就會使面積走向無限大。
線段寬度為0的假設是前提。
這應該是原子武士原子斬的原理，看來我可以開始修練了
感覺就像我倒車，為了避免佔據空間，不斷來回拉扯。真有趣
有趣，解釋也很清楚！
谢谢
真的不需要糾結什麼無窮遠有興趣可以去看看相關研究這猜想衍生出來的東西在物理領域意外有用
也就是把線段放到無窮遠的地方轉180°再放回來是吧？我還以為是要從高維角度去看，讓線段在三維空間進行旋轉再回到二維，這樣對二維來說，面積為零。
必须在同一平面
这视频做的好好,是怎么做得呢?
我和上面评论的想法一样，也是让线段沿着圆周切线方向运动。但是一个普通的圆就行，不需要半径无穷大。为什么线段沿着圆周切线运动180度扫过的面积不是0？
不是0想像左右有牆夾著刀(线段), 夾著而沒有磨擦, 純粹防止這把刀轉彎.普通圆需要明顯轉彎, 轉彎"侵犯"了牆從而劃出面積!
不是0
只要有了無限，其實很多東西都可以歸零。
好吧 ，題目的定義很模糊…為啥‘連續’旋轉的操作可以參雜平移…？
看來武士沒落是因為不會揮刀
原來如此啊
斯坦納三角尖的曲線是擺線嗎？
怎么感觉和芝诺悖论类似，无穷多个无穷小的积分不一定是0吧
下一阶段，旋转Z轴 加入3D就能更小了是吗？
为了有点实际意义 最好是限制下条件 比如单位线段在半径10的圆内怎么旋转扫过的面积最小
半径10太大方了.
下一个视频讨论的有点实际意义，敬请期待。
有點有趣 假設每次棒子轉2theta並中心點繞半徑為R的圓心移動 則會形成半徑為R+h的圓 兩圓相減就是掃過面積然後R和theta在theta趨近0下其實存在關係R=1/4tan(theta)而h=sqrt（1/4-Rtan(theta)）這裡還不能直接用小角近似去讓R=1/（4theta）得出area近似0因為R其實更精確地描述為1/2=R(sincos+sin)/cos^2 懶得寫theta我最後得到area=(pi/4)*sqrt([(sin^2) * (1-cos)]/[(cos^2)*(cos+1)])因此area=(pi/4)*sqrt([(0+)^2*0+]/[1+1-]) 確實是趨近於零
我感覺哪裡怪怪的，雖然可以說給定一個epsilon都能找到比它小的繼續分割以此得到epsilon極限為0的結論，但是你在推導epsilon極限為0的時候不也是代表小三角形的數量為無限大嗎 ?最後的結論是0 x 無限大，這樣是沒意義的。同樣的思路我可以舉個反例 : 假設我要算半徑為1的圓面積，我說可以把圓分割成每個角度為 a 的披薩型，然後a的極限是0，所以每個小披薩的面積為0，所以圓面積也是0🤣可能還是要看看他是怎麼證明的吧，我總感覺是會收斂到某個值才對
最後部分偷懶了，沒有仔細說明
平行的那个确实可以为0。先走无穷远后，转一个无穷小的角度，再返回，再反转个无穷小的角度，就行了。但180这个不行。如果要类似的搞的话要重复无穷次才能转180度。而且走无穷远这步也就没有意义。在原地转无穷小角度扫过的面积，加上走无穷远这步也没什么不同啊。
我第一时间想到的解是线段以切线的形式沿半圆移动，半圆半径无穷大的时候，产生的面积就是无穷小？不过没有经过仔细数学论证，不敢肯定是不是正确。
你的直觉很正确
@@zgxk6246 我后来仔细想了一下。好像并不正确。无论这个半圆半径多少，线段扫过的面积（视支点的位置不同）是相对固定的。之所以可以有趋向于无限小的解，是因为面积可以被重叠。而我这个解并不存在任何重叠，所以总面积跟原地转是一样的。
贝西科维奇的方法，线段有旋转180°吗？ 好像没有，只有平移。
搞錯重點了 貝西科維奇的重點是在解決三角形的移動軌跡
当然有180度
最后一步有问题啊，没有说明不断减小的极限是0
偷懒了
答案不是零, 只不過「沒有最小」.武士刀旋转扫过, 便是「旋转扫过」, 容許滑動是因為沒有禁止, 所以附加了, 不算犯規.俄羅斯數學家是說明, 對方開出任何細小面積A, 武士可依數學家計算出的軌跡, 從而劃過的面積少於A.Logically沒有最小, 沒有說0.至於數學上取極限而得面積0, 提出的軌跡需要「滑動無限次」, 這從本質上、意義上改變了遊戲.
可以做到0，但是需要更精细的构造逐点收敛的极限集
@@xyh6552 數學上, 0與收敛等價.你留意影片0:20,「我們把它描象為...」武士聽到0很高興, 便問你如何揮刀, 對不起, 你不能教曉他怎麼收敛.揮刀做不到0
不要再糾結“極限”了
无穷个无穷小不一定是无穷小，最后这个证明可能没那么简单
嗯~知道索罗的手为什么还在吗？
看到這個問題時，第一個想到的也是這個。
木棍武士刀在平面上可是有面积的~
很不錯的小型數學解謎😂
谢谢喜欢
平移动线段 时 不算面积么。bug 在于 假设 线段 是不占用 空间的，却还有 长度。这是啥鬼
這樣操作 面積是積分0 to 無限 (epsilon) 怎麼得出0的
同意，没有数学计算的无限积分，说是0我是不信的
我看完之前先评论上。在二维平面内，绝不可能是0.
這只能算是公設吧 跟平行公設裡 兩平行線相交於無限遠處一樣
不一样
所以真实世界没有无穷小，如果真实世界有无穷小，连运动都无法存在，速度都没有意义
不对吧。平行的那个确实可以为0。先走无穷远后，转一个无穷小的角度，再返回，再反转个无穷小的角度，就行了。但180这个不行啊。如果要类似的搞的话要重复无穷次才能转180度。而且走无穷远这部也就没有意义啊。在原地转无穷小角度扫过的面积，加上走无穷远这步也没什么不同啊。
长度为1的线段沿着半径∞的半圆的切线方向运动180度，也可以扫过0面积。
你說的就是廢話
@@ooskomodo7379不是呀,這也是一種解法呀，是個很有趣的角度
这是另一个话题了吧？
並不會，這樣掃出來的面積跟以刀根為軸旋轉180度掃出來的面積一樣如果這麼簡單，怎麼可能拖這麼久才有人解決不難想像這個方式轉一圈掃過的形狀是一個圓環，假設內圈半徑為r，外圈半徑為R，因此面積為pi×(R^2-r^2)而R是兩股長為r, 1的直角三角形的斜邊因此R^2=r^2+1圓環面積為pi，繞半圈就是pi/2，跟直接轉一模一樣
樓主正確. (已編輯, 不正確)俄數學家因為照顧課堂黑板, 要有有效範圍而不跑無限大半圓.他將無限半圓周滑動切成線段長,「每次滑回」.....他轉一次180度, 需要在黑板無限震動/滑動, 完成半圈.無限震動, 與劃一次一個半径∞的半圆等價.樓主揮武士刀揮丟了, 所以仍然是俄數學家勝出.已編輯：樓主不正確, 樓上@sinsn2147 正確, 圓環不同大少, 掃出來的面積不變, 並沒有「漸小」, 純粹漸薄.細思下, 「每次滑出滑回」都須經無限遠, 形成海膽, 與樓主滑圓不等價.
我想知道这个图形的凸壳最小面积是多少
正三角形 √3/3
太酷了!
哈哈
虽然不知道有什么用，但是实在是太酷了。
是很酷
線段就線段 拿什麼武士刀出來
索隆表示這個他可懂了
理解在做什麼，但這次真的掉SAN了那個三角形分割再重疊的極限值真的是0嗎？
切得夠細，就像一條綫了，想象無綫條綫叠在一起就可以了
或者説越細形狀越接近長方形，自然可以重叠的面積會越多
@@Psyduc 謝謝留言這部分我知道，考慮到證明已經發表，所以也覺得不會錯只不過無限條線以不同的角度重疊，極限值也不一定會是0，也可能趨向某個值切成越多份，雖然重疊面積變多，但「所有三角形的共同重疊面積變小了」極限上，「共同重疊面積」趨向0，而這點也表示三角形分割再重疊的面積應該大於0還沒想到辦法可以理解這部分
@@藍暗黑雖然我沒研究原先論文⋯不過就影片中提到的有一句話是重點:對於任意正的epsilon 能找到一個比epsilon更小的解，因此極限為0
大學微積分極限的概念
所以棍子的長度為零
可是这里的所谓0是严格意义上的0吗还是涉及到极限，毕竟这涉及到最基础的微积分理论和数论如何处理无穷小的相加问题。
可以严格证明为0，证明过程有点繁琐，视频不容易解说
為什麼有胖虎的聲音🤣
現實就沒有0面積的線段 數學是純理論自然不用遵守物理規則
数学于物理不同
俄羅斯數學家降維打擊.
越省面积的移动方式，越费时间😂
任意小跟為零還是不太一樣
空间越宽广，实际用于旋转的面积就可以越小，也是很有趣但是又似乎不出乎意料的结论啊😂
是很有趣
無窮小之亂，就是收斂，可在一個經濟條件下算出最小值，節省成本。無窮大之意義，就是發散，無法算出最小值只能妥協。 用在生活上就是老闆希望員工薪資無限小，產值無窮大。員工則剛好相反，也就是老闆的數值加上負號，兩者之間的拉扯可以在2pi圓型上繞一圈。但是人腦很懶只喜歡算90度的四個整數點。所以現實生活中的平衡點往往落在25% 50% 75% 100%這四個點上。又因為其他組合很扯。所以勞資糾紛。以及夫妻關係。最優解就是利潤50%分配。當然這裡是指數學上的最優解。現實是不能簡化的。
有趣的聯想
是的, 相當扯~ 😄
一遇到數學，我的中文就變差了！
前面说旋转后面说平移
不愧是最沒應用的😂難怪好幾個學到連三門都不會解，只會打結跳針😂
以长度换面积
武士刀粗細為零
无穷小之和可不一定等于零哦
这纯粹诡辩，而不是证明。无数次切割，对扫过面积进行微分，最终却不对其进行积分。
葛這卡bug呢
所以答案是0？也太酷了😮
近似.是「想面積如何小都成」, 蠻酷的說.
inf=0但min不存在
最核心的东西没说明白。旋转的角度无限小但是距离无限远。两个都是无限。怎么面积就是无限小而不是无限大呢？
這是基本數學分析(取極限)的問題，作者有說S < ε此外，距離無限遠的部份是直線，沒有面積
「距离无限远」是一個插場輔助解釋, 答案沒有直接將它應用.答案是「無限震動」.一次震動, 是沿線滑動一個短距離(面積絕對0)、擺動極少角度(面積極少)、滑回起點(附近).
圖在@8:43 顯示清楚明白.「旋转的角度无限小但是距离无限远。两个都是无限」距离无限远, 是的, 反而圖拉在一起方便顯示, 然而並不是「两个(面積)都是无限」, 而是兩個都是有限, 因為三角長度是1.
意义何在？无限和无穷接近在物理模型上都没有意义，仅仅是数学模型中存在可能。位移本身是存在的事实，所谓的为0只是在数学规则内趋近的结果，但无论怎样的趋近在现实模型里都是有结果的，这个结果不为0。
後面已經把這個問題無解化了，如果要用微分極限的概念，那只要讓棍子沿著半徑無限大的圓周上繞圈就等於0了1公尺長的棍子沿著赤道平移一圈通常可以被視為直線運動
因为棍子有粗细，沿棍子戳出去的方向移动也是有扫过面积的。本着来都来了的原则，至少该给个工学上的理论再结题。
其实感觉我也能想出来。 。 。
关注了
看到留言區裡這麼多人開始高談闊論，就知道這部影片做到恰到好處
分四瓣的没看懂
如果加个条件：在有限步骤内完成旋转呢？一个步骤指一次平移或者一次以单点为圆心的旋转。最小面积会不会变成大于0的值？
有種很鑽漏洞的感覺
像真是這樣呃
有個盲點因為就算每次的面積都小於epsilon但因為移動後轉的次數會大於1/epsilon所以直接這樣推論出面積為零是錯誤的
和我一開始想的一樣，最後圖形會像一個海膽，只要刺無限多 面積就無限小
沒有這樣簡單, 這海膽是無限大.這不是一般的收斂圖形.
對應武士刀, 沒是「沒有答案」, 武士刀整天在揮無限遠不消停, 在干嘛????
你這個無窮變換切着切着怎麼就不是對着前面了haha 敵人在你前面了在切上面什麼鬼
真實世界沒有面積為零的線段，問問物理學家看看
這很混淆, 你說什麼呢~你立場是真實世界、或物理, 好.什麼線段?
I dont even know chinese, how the hell did youtube send me here
bug of UA-cam
About the high time to learn some Chinese while enjoying the beauty of maths 👀
Film, subtitle.Msg, translation.BTW, I don't know youtube have your profile, it have your locale
“极限为0”和“等于0”或者你写的“为0”，根本不是一个概念
你針對那一段/幾段?希望你沒有斷章取義.
@@tonybox4496 针对标题，很不想骂你，但你真的…
原來是對著標題發牢騷.我問你那一段/幾段時, 你說標題我便知道.其實UA-cam, 標題不跟內容風格, 這現象是很常見的, 可能是某一種機制的關係.
无限接近于零就是数学意义上的等于零。0.99999...循环=1
@georiashang1120 多学点数学再出来丢人吧…小学奥数就不要拿来说了…0.99的循环就是1，和极限没有关系
雖然可以理解最後掃出形狀的面積的極限是零，但完成這整個操作所需要的面積的極限同時趨近無限大，很難想像有甚麼實際的應用
常明確，沒有實際的應用。
现在想不出什么实际的应用，并不代表以后的人就想不出有什么应用。
谁都不知道以后
就像1000多年前的祖冲之想象不出算到圆周率小数点后7位有什么大用，现在呢？原来用处很大，当然不是圆周率精确到小数点后一百万位有用，而是至少，计算到小数点后几百万位的算法有用！
施坦钠三角还是有用的
@@k1-8975xd 過去的-1開根號:無用!數學的渣渣
現在的i:真香
一旦推到極限，很多現象都不能再用常理來思考了，Gabriel's Horn 就是一個經典的例子。
曹雪芹《红楼梦》第六十二回也有一句经典话：＂大事化小，小事化了。＂小时候一直在思索的一个问题是小事是怎么变成无的呢？推到极限！😊
也可以說，對於極限和無窮，我們只能交給數學推演，不要試圖用自己的思維來理解。
Gabriel's Horn也是一個很有意思的話題，以後可以做一期視頻來討論。
@@tessxu8367 这个联想太有创意了。
@tessxu8367 💯
Gabriel's Horn,
中學學微積分、數列時, 有收斂之說.
從0至∞, plot一個graph, function, 其底下面積有可收斂、或不收斂.
凡收斂的, 即Gabriel's Horn等價.
這種有趣的數學思考應該多多分享，太讚啦
谢谢喜歡。
我们研究这些题目其实是要预先设定共识的，这道题其实就有一个共识没有说，而且这是在谬误中经常出现的问题 -- 我们是否容许在一个需要假设实际动作(这里是位移和旋转)的时候，容许不容许用无限的时间换取空间，按照这种面积无限小的解法，完成解法中需要的动作的用时也变成了无限长。
确实，我做这个视频没有想到要那么严谨。数学论文本身是严谨的，视频解说过程不想太枯燥地谈及那么多细节。
如果需要動用無限長的線段, 它應該已經不是COMPACT SET了, 那很多數學上的常識也套用不了.
共识是 极限的定义。 对于任意无穷小的一个大于零的数epsilon 都可以找出一种方法 让划过的面积 小于这个 epsilon 那 就可以证明 这个 最小面积 最后的极限是 0. 在工程中的意义就是 只要确定好工程需要的公差和精度， 就可以找到 对应的实现方法 让划过的面积 小于那个公差/精度， 就可以当作0了。
@@mingway 但是共识不同经常造成误会或者谬误，谬误就不说了到处都是，误会也遍地都是就比如等号上或者无限项那边的括号和前面的zeta能不能省略的问题(所有自然数之和 = -1/12那个)。当共识不全时候就容易出现断章取义。
@@Kazzit_Chang 上过大学 学过高数 就会有这个共识。
好神奇，但看起来，要沿着自身的方向移动无穷远。 我很好奇，如果是在有限的平面，结果会是什么？
在有限的平面可以估算出相应的epsilon。
主題一直在「有限的平面」. (編註: 原來不是)
當中「移动无穷远」是一個插場輔助解釋.
有限平面的話 就有有限解 除非....你能捲成圓筒狀.........................(不過這已經違背最初假設)
@@zgxk6246 Epsilon是前設, 並不是後設(相应估算).
因應Epsilon而計算出來的叫delta
@@tonybox4496 如果平面有邊界，那你就不能讓線段平移掃過的面積為0。
好奇一問。雖然我理解它每個步驟都可以用趨近零的面積來完成。
但是這需要把步驟切割成無窮步。我的問題是：「無窮項」趨近零的合未必是 0。
我猜這部份就是文中所提到，他的證明的重點，不過可能就超出科普的範圍了？
該有說清楚的方法，，只是我自己還沒很好掌握。
未讀過數學分析或微積分的, 常常糾結在數學提供的幾個名詞當中, 名詞化為個人常理理解, 然後回頭反對或質疑數學.
既然搞不通極限數學, 不理會便是, 今次可行, 直接不考慮無窮步.
那麼少看尾半分鐘便成.
===
影片開頭問的, 結論是：沒有最小面積.
（你說任何一個小面積, 都能完成）
@@zgxk6246 其實說得很清楚 如果沒有一個事先舉例 根本無法理解他的觀念 至於大家如何認定無窮趨近0 就是個人數學理解到不到位的問題了
既然各自都有各自必定小於的epsilon，他們的合肯定也小於某個epsilon
接下來只要用一般極限的證法就可以寫出來嚕
我想因该跟 1/3 = 0.333... * 3 = 0.999... = 1 差不多证明的吧。而且仅限于正规数学。在非标准分析 和 超现实数 里面有无穷小的概念时，Besicovitch set就不一定是 0 了。Besicovitch set 其实就是一个零 Lebesgue measure set，他并非真的零面积，只是正规数学衡量不了。你可以把它想成是在卡bug
如果想像一個無限大的圓，然後讓這個武士刀沿著切線走個半圓呢？
易得扫过的是一个厚度为√(r²+1/4) - r 的半圆环, r=∞的时候面积也是0
@@ikaros5835 你算错了。。。这个半圆环的厚度是 0.25 pi
这个问题本身有歧义，线段旋转180度是顺一个方向连续旋转还是只算旋转的角度总和，这两个含义区别很大，后一个条件宽松所以才有了0面积这种看似荒谬结论，在前一个条件下要怎么做才转出0面积这个结果。
视频本身没有数学论文严谨
想到那個橫著卡在走廊中間不斷倒車前進動不了的gif
搜尋Austin Powers - 3 point turn
有点像侧方停车的时候不断的打死方向+倒车最后可以倒进基本和车长相等的空隙里
這讓我想起來小時候拿著輪子不能轉向的玩具車，為了要讓輪子緊貼地面不滑動卻讓車子掉頭，只能前後前後前後讓它慢慢地轉
9:45這邊的動畫演示的不好 ，第一個線段靠近第二個線段應該是完全重合，不是像這樣滑過去
我覺得這個問題的關鍵是要證明無限多個無限小的面積相加起來是仍然是無限小，不曉得是不是這樣？
不對吧 你說的這話就和黎曼和的概念不相符了
不是 反例:
每個長方形Rₖ的面積為1/k
limₖArea(Rₖ)=0
首n個Rₖ的面積和為Sₙ=∑ₖ₌₁ⁿ1/k
limₙSₙ=+∞
他想說的是
對於任何ε>0，存在角度θ以致每次轉動的面積
minS不存在的證明：
設ε=minS，留意ε/2∈S，矛盾.
@@pneujai 很好！
一根棍子要使得它的朝向連續可變直到完全掉轉180度它掃過的面積最小是多少呢?
分析棍子轉動180度時的運動：
操縱棍子的轉動運動可以視覺化為一系列無窮小的旋轉。
為了最小化掃過的區域，我們希望操縱桿在轉彎時盡可能地「折回」其路徑。
當棒以其尖端描繪半徑盡可能最小的半圓的方式旋轉時，掃過的區域最小。
當棍子繞其一端旋轉時就會發生這種情況。
當棍子繞一端旋轉時，其尖端將繪製一個半徑等於棍子長度（假設1）的半圓。
掃掠面積是具有該半徑的整圓面積的一半。
計算：
半徑(r)=1
全圓面積=πr^2=π(1)^2=π平方
最小掃掠面積（半圓）=(1/2)*π*(1)^2=π/2平方
答：
一根棍子，如果繼續改變方向，直到完全轉動180度，所能掃過的最小面積是π/2平方，大約是1.57平方。
excuse me?
自己的嘗試超過所有的空想。
自己胡亂的嘗試, 追不上俄數學家已給出的解答.
應該同理 一樣可以是lim 0 不過這的答案意義不大
@@tonybox4496 數學沒有胡亂的嘗試，只有不理解的前設。
我覺得這相當呼應現實對於價格/價值的計算。這好比問說：蓋一棟房子要多少錢？ 你能夠將土地、工錢料錢、貸款成本全部算出來得到一個數字。 但你也可以說：「免費！」因為不考慮時間與所有的人事成本，全部自己做！！包含自己的後代。 土地自己創建國家佔領統治管理，包含一切的開銷都從最源頭的勞動開始；工人自己生；物料自己開採製造包含所有的機械設備；銀行自己開。 那計算出來的成本無限小，當然也可以說是無限大。當這些都做到了，房子當然可以免費送。
感覺只是在鑽規則漏洞
平移沒有面積情況下
只要移動無限遠
那角度就能無限小
這樣看實際上就會變成再求無限小情況下，的無限小面積
用無窮大的移動創造無窮小的面積有意義嗎？
沒有
可能你要先想一下數學上的「意義」是什麼意思。
數學上的意義可能對一般人有脫節感，但現有的數學系統只要在邏輯上能自洽就行了，有的會發展出新東西，有的可能當下沒什麼用，就乏人問津，都可能很抽象，但天曉得哪天會有什麼實際的應用，這例子太多了。
話說回來，要是您指的是這有沒有「實際」上意義的時，你有沒有想過，線段本身所佔有的面積為0這個前提，是不是就很沒有「意義」呢？
完全沒有。
數學史上，很多時候都是先把東西搞出來，然後又過了一個世紀之後才有找到功用。
而很多時候則是從來沒有發現用途。但是沒有搞那些東西，我們人類無法發展到今天的地步。
樓主純粹聽不明白數學語言而質問意義.
用無窮大的移動「可以」創造無窮小的面積, 它的字面意思是： 要幾小, 都可以!
要直接回答問題, 是：題目要求的最小, 找不到的. (原因如上)
明白嗎?
我第一个想到的思路是一个无限大的圆的曲率是0，曲率是0就是直线，武士刀沿直线走就不会增加面积，所以武士刀沿着无限大的圆走半圈就会旋转一百八十度但是不会有面积
这是很好的直觉
可惜这个直觉是错的，其扫过面积是pi/8，和那个凹边三角等效
@@Nanjing-bd9ih 不对吧，线段的两个端点在圆上，让两个点同步沿着圆弧移动，假设圆心到线段的距离（垂线）为d，那么线段走半圈扫过的面积就是PI * (R^2 - d^2) /2。 很明显这个面积的极限是0.
@@vicwang6529 无穷大R^2减无穷大d^2一定等于零？
@@Nanjing-bd9ih 确实是我搞错了，线段长度为L，R^2 - d^2 = （L/2)^2 是固定值。
大一修实分析的时候我就构造出来了测度任意小的，但是没有构造出测度是0的
最基本，outer measure，他是用inf定義的 如果任意小就是0了
例如ℚ，他的cover想多小就多小，所以measure zero
無限遠來回所形成的三角形面積：高無窮長底無限小（正值） =1/2x無限大x1/無限大=1/2x♾️/♾️ 都說含有微積分在裡頭了 怎會等於0？ 更不用說再考慮光速極限 與普朗克常數 當你平移第一次後 線就沒有回頭的宇宙時間了
数学,不是物理.数学中可没有什么光速极限,普朗克常数.而物理世界中不会存在的无穷概念,在数学中比比皆是
@ 同意你的說法，只不過 ♾️/♾️ 必趨近0的部份不能下定論。 類似用正方形無限切口證明 拍=4 的paradox!
@@oriholy9817 補充 單一路徑即使趨近無限小，但所有路徑積分後還是無限小…真可能呼？
@@陳嘉興-q8r 涉及无穷当然不能这么简单的令其等于或不等于0呀。至少也得把式子写出来看他的性质再说。不过这跟我说的没啥关系。我只是说数学世界跟物理世界是完全不同的两种东西，不能拿物理中的限制去证明数学中的某些命题。摊手……
数學、物理相通，也很容易讓人混淆
難怪次元斬都是上下畫面拉一下然後什麼事都沒有,對手就涼了
我看到这个问题的的第一个反应是让这个线段的两个端点沿着一个巨大的圆走180度，但不知道怎么把它平移回来。视频后半段刚好给出答案。
有这样的直觉反应就相当不错了。
速度转快一点，趁空气不注意就没有面积了
好办法
這讓我想到二維平面上的空間填充曲線，我就想問問由線段填充滿的區域不會產生面積嗎？
由面 變成線了
三維往二維 往一維再常嘗試進發試試
的確可以接近無窮小 面積無限縮 直到無面積
这个和用无限滑轮组不需要用力就拉起一个物品一样。极限的情况下 在数学角度可行。现实中不可能
很好的觀點 但不知道怎麼應用到實際生活 就像是一張紙對折127次 比全宇宙還長一樣
這個題目和實際生活無關
10:16 這個重疊的面積為何會變無限小?
直觀上, 除了無限小外, 並沒有出路, 原因是不斷變小, 但結構上看不出有根本上的抗衡幾何結構.
數學角度, 不是懷疑無限小, 而是天秤有兩邊, 走向無限小, 是由無限數目的三角去支持的.
一減一加, 最終「面積總和」是否零, 不好說.
需附加論證, 影片在@10:33說不糾纏這細節.
不過有提出Epsilon, 慬數學分析一科的同學, 基本上都知道這細節.
@@tonybox4496 謝謝回覆。不過大家都知道一直減小不代表會趨近於0，這並不是單純的證明「細節」而是很需要解釋的關鍵，但是影片直接跳過了
@@pointteaboy7113 減小不代表會趨近於0, 是的. 譬如可趨近1/pi^2 之類便遠低於之前的 0.x
但既然見到一直減小, 我見到0是候選, 卻「結構上看不出有根本上的抗衡幾何結構」, 所以我說直觀上是0.
而嚴格證明方法是用上Epsilon, 在場留言, 極少人提及, 提及的都有瑕疵, 即還未記得清楚它的用法. 所以影片在@10:33說不糾纏這細節, 是合理的.
反而影片說了核心, 卻對武士刀/棍子草草收場.
沒有描述「即是如何揮刀」.
弄得我錯認有網友滑個大半圓周(半徑無限大)以為是解.
如何揮刀, 是劃一個無限大無限多刺無限纖瘦的海膽. 🤓
我們討論了無限纖瘦.
影片只暗示了刺與刺之間如何劃法.
@@tonybox4496 说得很好！严谨的证明需要看数学论文。
當武士刀設有寬度時，平移就有了面積計算。後者的假設就會使面積走向無限大。
線段寬度為0的假設是前提。
這應該是原子武士原子斬的原理，看來我可以開始修練了
感覺就像我倒車，為了避免佔據空間，不斷來回拉扯。真有趣
有趣，解釋也很清楚！
谢谢
真的不需要糾結什麼無窮遠
有興趣可以去看看相關研究
這猜想衍生出來的東西在物理領域意外有用
也就是把線段放到無窮遠的地方轉180°再放回來是吧？
我還以為是要從高維角度去看，讓線段在三維空間進行旋轉再回到二維，這樣對二維來說，面積為零。
必须在同一平面
这视频做的好好,是怎么做得呢?
我和上面评论的想法一样，也是让线段沿着圆周切线方向运动。但是一个普通的圆就行，不需要半径无穷大。
为什么线段沿着圆周切线运动180度扫过的面积不是0？
不是0
想像左右有牆夾著刀(线段), 夾著而沒有磨擦, 純粹防止這把刀轉彎.
普通圆需要明顯轉彎, 轉彎"侵犯"了牆從而劃出面積!
不是0
只要有了無限，其實很多東西都可以歸零。
好吧 ，題目的定義很模糊…
為啥‘連續’旋轉的操作可以參雜平移…？
看來武士沒落是因為不會揮刀
原來如此啊
斯坦納三角尖的曲線是擺線嗎？
怎么感觉和芝诺悖论类似，无穷多个无穷小的积分不一定是0吧
下一阶段，旋转Z轴 加入3D就能更小了是吗？
为了有点实际意义 最好是限制下条件 比如单位线段在半径10的圆内怎么旋转扫过的面积最小
半径10太大方了.
下一个视频讨论的有点实际意义，敬请期待。
有點有趣 假設每次棒子轉2theta並中心點繞半徑為R的圓心移動 則會形成半徑為R+h的圓 兩圓相減就是掃過面積
然後R和theta在theta趨近0下其實存在關係R=1/4tan(theta)
而h=sqrt（1/4-Rtan(theta)）
這裡還不能直接用小角近似去讓R=1/（4theta）得出area近似0
因為R其實更精確地描述為1/2=R(sincos+sin)/cos^2 懶得寫theta
我最後得到area=(pi/4)*sqrt([(sin^2) * (1-cos)]/[(cos^2)*(cos+1)])
因此area=(pi/4)*sqrt([(0+)^2*0+]/[1+1-]) 確實是趨近於零
我感覺哪裡怪怪的，
雖然可以說給定一個epsilon都能找到比它小的繼續分割以此得到epsilon極限為0的結論，
但是你在推導epsilon極限為0的時候不也是代表小三角形的數量為無限大嗎 ?
最後的結論是0 x 無限大，這樣是沒意義的。
同樣的思路我可以舉個反例 :
假設我要算半徑為1的圓面積，我說可以把圓分割成每個角度為 a 的披薩型，
然後a的極限是0，所以每個小披薩的面積為0，所以圓面積也是0🤣
可能還是要看看他是怎麼證明的吧，我總感覺是會收斂到某個值才對
最後部分偷懶了，沒有仔細說明
平行的那个确实可以为0。先走无穷远后，转一个无穷小的角度，再返回，再反转个无穷小的角度，就行了。但180这个不行。如果要类似的搞的话要重复无穷次才能转180度。而且走无穷远这步也就没有意义。在原地转无穷小角度扫过的面积，加上走无穷远这步也没什么不同啊。
我第一时间想到的解是线段以切线的形式沿半圆移动，半圆半径无穷大的时候，产生的面积就是无穷小？不过没有经过仔细数学论证，不敢肯定是不是正确。
你的直觉很正确
@@zgxk6246 我后来仔细想了一下。好像并不正确。无论这个半圆半径多少，线段扫过的面积（视支点的位置不同）是相对固定的。之所以可以有趋向于无限小的解，是因为面积可以被重叠。而我这个解并不存在任何重叠，所以总面积跟原地转是一样的。
贝西科维奇的方法，线段有旋转180°吗？ 好像没有，只有平移。
搞錯重點了 貝西科維奇的重點是在解決三角形的移動軌跡
当然有180度
最后一步有问题啊，没有说明不断减小的极限是0
偷懒了
答案不是零, 只不過「沒有最小」.
武士刀旋转扫过, 便是「旋转扫过」, 容許滑動是因為沒有禁止, 所以附加了, 不算犯規.
俄羅斯數學家是說明, 對方開出任何細小面積A, 武士可依數學家計算出的軌跡, 從而劃過的面積少於A.
Logically沒有最小, 沒有說0.
至於數學上取極限而得面積0, 提出的軌跡需要「滑動無限次」, 這從本質上、意義上改變了遊戲.
可以做到0，但是需要更精细的构造逐点收敛的极限集
@@xyh6552 數學上, 0與收敛等價.
你留意影片0:20,「我們把它描象為...」
武士聽到0很高興, 便問你如何揮刀, 對不起, 你不能教曉他怎麼收敛.
揮刀做不到0
不要再糾結“極限”了
无穷个无穷小不一定是无穷小，最后这个证明可能没那么简单
嗯~知道索罗的手为什么还在吗？
看到這個問題時，第一個想到的也是這個。
木棍武士刀在平面上可是有面积的~
很不錯的小型數學解謎😂
谢谢喜欢
平移动线段 时 不算面积么。bug 在于 假设 线段 是不占用 空间的，却还有 长度。这是啥鬼
這樣操作 面積是積分0 to 無限 (epsilon) 怎麼得出0的
同意，没有数学计算的无限积分，说是0我是不信的
我看完之前先评论上。在二维平面内，绝不可能是0.
這只能算是公設吧 跟平行公設裡 兩平行線相交於無限遠處一樣
不一样
所以真实世界没有无穷小，如果真实世界有无穷小，连运动都无法存在，速度都没有意义
不对吧。平行的那个确实可以为0。先走无穷远后，转一个无穷小的角度，再返回，再反转个无穷小的角度，就行了。但180这个不行啊。如果要类似的搞的话要重复无穷次才能转180度。而且走无穷远这部也就没有意义啊。在原地转无穷小角度扫过的面积，加上走无穷远这步也没什么不同啊。
长度为1的线段沿着半径∞的半圆的切线方向运动180度，也可以扫过0面积。
你說的就是廢話
@@ooskomodo7379不是呀,這也是一種解法呀，是個很有趣的角度
这是另一个话题了吧？
並不會，這樣掃出來的面積跟以刀根為軸旋轉180度掃出來的面積一樣
如果這麼簡單，怎麼可能拖這麼久才有人解決
不難想像這個方式轉一圈掃過的形狀是一個圓環，假設內圈半徑為r，外圈半徑為R，因此面積為pi×(R^2-r^2)
而R是兩股長為r, 1的直角三角形的斜邊因此R^2=r^2+1
圓環面積為pi，繞半圈就是pi/2，跟直接轉一模一樣
樓主正確. (已編輯, 不正確)
俄數學家因為照顧課堂黑板, 要有有效範圍而不跑無限大半圓.
他將無限半圓周滑動切成線段長,「每次滑回」.....
他轉一次180度, 需要在黑板無限震動/滑動, 完成半圈.
無限震動, 與劃一次一個半径∞的半圆等價.
樓主揮武士刀揮丟了, 所以仍然是俄數學家勝出.
已編輯：樓主不正確, 樓上@sinsn2147 正確, 圓環不同大少, 掃出來的面積不變, 並沒有「漸小」, 純粹漸薄.
細思下, 「每次滑出滑回」都須經無限遠, 形成海膽, 與樓主滑圓不等價.
我想知道这个图形的凸壳最小面积是多少
正三角形 √3/3
太酷了!
哈哈
虽然不知道有什么用，但是实在是太酷了。
是很酷
線段就線段 拿什麼武士刀出來
索隆表示這個他可懂了
理解在做什麼，但這次真的掉SAN了
那個三角形分割再重疊的極限值真的是0嗎？
切得夠細，就像一條綫了，想象無綫條綫叠在一起就可以了
或者説越細形狀越接近長方形，自然可以重叠的面積會越多
@@Psyduc 謝謝留言
這部分我知道，考慮到證明已經發表，所以也覺得不會錯
只不過無限條線以不同的角度重疊，極限值也不一定會是0，也可能趨向某個值
切成越多份，雖然重疊面積變多，但「所有三角形的共同重疊面積變小了」
極限上，「共同重疊面積」趨向0，而這點也表示三角形分割再重疊的面積應該大於0
還沒想到辦法可以理解這部分
@@藍暗黑雖然我沒研究原先論文⋯不過就影片中提到的有一句話是重點:
對於任意正的epsilon 能找到一個比epsilon更小的解，因此極限為0
大學微積分極限的概念
所以
棍子的長度為零
可是这里的所谓0是严格意义上的0吗还是涉及到极限，毕竟这涉及到最基础的微积分理论和数论如何处理无穷小的相加问题。
可以严格证明为0，证明过程有点繁琐，视频不容易解说
為什麼有胖虎的聲音🤣
現實就沒有0面積的線段 數學是純理論自然不用遵守物理規則
数学于物理不同
俄羅斯數學家降維打擊.
越省面积的移动方式，越费时间😂
任意小跟為零還是不太一樣
空间越宽广，实际用于旋转的面积就可以越小，也是很有趣但是又似乎不出乎意料的结论啊😂
是很有趣
無窮小之亂，就是收斂，可在一個經濟條件下算出最小值，節省成本。無窮大之意義，就是發散，無法算出最小值只能妥協。 用在生活上就是老闆希望員工薪資無限小，產值無窮大。員工則剛好相反，也就是老闆的數值加上負號，兩者之間的拉扯可以在2pi圓型上繞一圈。但是人腦很懶只喜歡算90度的四個整數點。所以現實生活中的平衡點往往落在25% 50% 75% 100%這四個點上。又因為其他組合很扯。所以勞資糾紛。以及夫妻關係。最優解就是利潤50%分配。當然這裡是指數學上的最優解。現實是不能簡化的。
有趣的聯想
是的, 相當扯~ 😄
一遇到數學，我的中文就變差了！
前面说旋转后面说平移
不愧是最沒應用的😂
難怪好幾個學到連三門都不會解，只會打結跳針😂
以长度换面积
武士刀粗細為零
无穷小之和可不一定等于零哦
这纯粹诡辩，而不是证明。
无数次切割，对扫过面积进行微分，
最终却不对其进行积分。
葛這卡bug呢
所以答案是0？
也太酷了😮
近似.
是「想面積如何小都成」, 蠻酷的說.
inf=0但min不存在
最核心的东西没说明白。旋转的角度无限小但是距离无限远。两个都是无限。怎么面积就是无限小而不是无限大呢？
這是基本數學分析(取極限)的問題，作者有說S < ε
此外，距離無限遠的部份是直線，沒有面積
「距离无限远」是一個插場輔助解釋, 答案沒有直接將它應用.
答案是「無限震動」.
一次震動, 是沿線滑動一個短距離(面積絕對0)、擺動極少角度(面積極少)、滑回起點(附近).
圖在@8:43 顯示清楚明白.
「旋转的角度无限小但是距离无限远。两个都是无限」
距离无限远, 是的, 反而圖拉在一起方便顯示, 然而並不是「两个(面積)都是无限」, 而是兩個都是有限, 因為三角長度是1.
意义何在？无限和无穷接近在物理模型上都没有意义，仅仅是数学模型中存在可能。位移本身是存在的事实，所谓的为0只是在数学规则内趋近的结果，但无论怎样的趋近在现实模型里都是有结果的，这个结果不为0。
後面已經把這個問題無解化了，如果要用微分極限的概念，那只要讓棍子沿著半徑無限大的圓周上繞圈就等於0了
1公尺長的棍子沿著赤道平移一圈通常可以被視為直線運動
因为棍子有粗细，沿棍子戳出去的方向移动也是有扫过面积的。本着来都来了的原则，至少该给个工学上的理论再结题。
其实感觉我也能想出来。 。 。
关注了
看到留言區裡這麼多人開始高談闊論，就知道這部影片做到恰到好處
分四瓣的没看懂
如果加个条件：在有限步骤内完成旋转呢？一个步骤指一次平移或者一次以单点为圆心的旋转。最小面积会不会变成大于0的值？
有種很鑽漏洞的感覺
像真是這樣呃
有個盲點
因為就算每次的面積都小於epsilon
但因為移動後轉的次數會大於1/epsilon
所以直接這樣推論出面積為零是錯誤的
和我一開始想的一樣，最後圖形會像一個海膽，只要刺無限多 面積就無限小
沒有這樣簡單, 這海膽是無限大.
這不是一般的收斂圖形.
對應武士刀, 沒是「沒有答案」,
武士刀整天在揮無限遠不消停, 在干嘛????
你這個無窮變換切着切着怎麼就不是對着前面了haha 敵人在你前面了在切上面什麼鬼
真實世界沒有面積為零的線段，問問物理學家看看
這很混淆, 你說什麼呢~
你立場是真實世界、或物理, 好.
什麼線段?
I dont even know chinese, how the hell did youtube send me here
bug of UA-cam
About the high time to learn some Chinese while enjoying the beauty of maths 👀
Film, subtitle.
Msg, translation.
BTW, I don't know youtube have your profile, it have your locale
“极限为0”和“等于0”或者你写的“为0”，根本不是一个概念
你針對那一段/幾段?
希望你沒有斷章取義.
@@tonybox4496 针对标题，很不想骂你，但你真的…
原來是對著標題發牢騷.
我問你那一段/幾段時, 你說標題我便知道.
其實UA-cam, 標題不跟內容風格, 這現象是很常見的, 可能是某一種機制的關係.
无限接近于零就是数学意义上的等于零。
0.99999...循环=1
@georiashang1120 多学点数学再出来丢人吧…小学奥数就不要拿来说了…0.99的循环就是1，和极限没有关系