take R=1, A=πr^2 r upper limit r = R cos 60, r lower limit = 0, /// ∫[π(R cos 60)^2, 0] dA =∫[(R cos 60)^2, 0] π d(r^2), d(r^2)/dr = 2rdr, therefore ∫[(R cos 60)^2, 0] π d(r^2)=∫[R cos 60, 0] π 2rdr, 以trapezoid rule我們以ΔA = 0.1^2π=0.01π square unit (強調面積為square unit(ΔA=πΔr^2)而不是unit x=r)即Δ0.01π有一個點作為密度, 到我們換回微積分定義就會是 點的密度 point density ∝ δA, where δA ∝ δr^2. 小小jacobain就是我們把πΔr^2當成正方體. ////最後就是第一個我有小小錯就係, [當然概率在360度平均分佈, 但係對應長度應該係Chord Length = 2 r sin(theta/2)] 我個人覺得姐.
take R=1, A=πr^2 r upper limit r = R cos 60, r lower limit = 0, /// ∫[π(R cos 60)^2, 0] dA =∫[(R cos 60)^2, 0] π d(r^2), d(r^2)/dr = 2rdr, therefore ∫[(R cos 60)^2, 0] π d(r^2)=∫[R cos 60, 0] π 2rdr, 以trapezoid rule我們以ΔA = 0.1^2π=0.01π square unit (強調面積為square unit(ΔA=πΔr^2)而不是unit x=r)即Δ0.01π有一個點作為密度, 到我們換回微積分定義就會是 點的密度 point density ∝ δA, where δA ∝ δr^2. 小小jacobain就是我們把πΔr^2當成正方體. ////最後就是第一個我有小小錯就係, [當然概率在360度平均分佈, 但係對應長度應該係Chord Length = 2 r sin(theta/2)] 回覆後自己record一下
很有趣，又是一次統計學上因用語粗陋而造成的精密演算結果上渠異，難怪統計學被稱為數學裡的政治學。
得了吧，统计学的基础是采样，这本就不科学：随机，本就表示不可重复，而科学要求可重复。
@@kor-pl3by民科：统计学不科学🤡你的天气预报每天都在预测着天气哦
@@ALEXLI0你們這串討論很需要變成一場正式的辯論。😂🎉❤ 很不錯
@@kor-pl3by 这个可重复一棍子把量子力学拍死，哈哈，薛定谔的猫直接升级成猫仙人
趕快趕快～ 敲碗看你們誰表現比較好～ 很好奇哪一方會勝出～ 該不會是 50% 50% 吧？喔不差點忘了....要先定義，怎麼樣算輸和嬴....
看了一圈留言,好像沒人說一下那個密度怎麼算的
基本上第一個方法,他是在圓周上取兩個端點
我們可以假設這兩個端點角度是a
take R=1, A=πr^2 r upper limit r = R cos 60, r lower limit = 0, /// ∫[π(R cos 60)^2, 0] dA =∫[(R cos 60)^2, 0] π d(r^2), d(r^2)/dr = 2rdr, therefore ∫[(R cos 60)^2, 0] π d(r^2)=∫[R cos 60, 0] π 2rdr, 以trapezoid rule我們以ΔA = 0.1^2π=0.01π square unit (強調面積為square unit(ΔA=πΔr^2)而不是unit x=r)即Δ0.01π有一個點作為密度, 到我們換回微積分定義就會是 點的密度 point density ∝ δA, where δA ∝ δr^2. 小小jacobain就是我們把πΔr^2當成正方體. ////最後就是第一個我有小小錯就係, [當然概率在360度平均分佈, 但係對應長度應該係Chord Length = 2 r sin(theta/2)]
我個人覺得姐.
如果我有錯誤的話指證一下, 我是工薪但是我想去考試. 大家交流交流, 幫助幫助.
我其實沒看懂你的目標想算什麼...
@@林浩誼-t6z 我說的是, 根據隨機抽點連至中心再垂直畫綫所得到弦長要大於3^0.5的話, 其半徑一定在cos60至cos120, 假設大圓半徑R是1個單位, 那小圓半徑r
@@rayxxkaiser3586 其實還是沒很懂,但看起來應該是對的
反正就是用直角座標(x,y)跟極座標(r,t)
(x,y)的範圍是圓,(r,t)的範圍是[0,1]x[0,2pi]
但算機率時,積分轉換差了座標轉換的|det(jacobian)|,也就是r倍
所以在極座標的[0,1]x[0,2pi]均勻
轉回直角座標就不均勻
你說的對，這就是統計學，採樣方式影響統計結果
可以理解为弦概率 Probability Density Function 需要一个针对取样区间（比如弦中点坐标区间）的测度（measure），然后才能正确地积分出 Cumulative Probability Function
「留作課後習題」這一句話的逼格太高了 大師風範 要是再加上一個「注意到」簡直要飛天了
我有個簡要且精確的解題方案，可惜這邊空位太小寫不下
學會計的路過，我通俗講一下，這個所謂的隨機的弦怎隨機切其實有一個前提，就是下刀點的。
1）下刀點在圓周，從圓周開始切；
2）下刀點在圓內，刀點中圓內任意一點，從那點延伸兩端切
3）下刀點可以溢出圓外，但計算時不計溢出的切法。
不知道這樣對不對，因為我數學只到初三。
還有我覺得第3種是比較真的隨機，1，2都是有條件的隨機。
@@PakKitCHAN-i1h 小学生会认为你对
@@PakKitCHAN-i1h均勻不一定隨機
不太對 你只是把畫面改成下刀點
但下刀點沒辦法很好的解釋這些取樣方法
尤其跟圓內圓外並沒有關係
第二點真要說的話 是因為把圓強制歸納為直線來切分 之後再丟回任意方向才會有這種外疏內密的圖案
0:33這是真的，我作為數學系的學生，講話的時候很多時候都會為了追求嚴謹結果就必須講得很長變得很複雜www
我记得很清楚，我初中时在书上看到了这个悖论，拿去问数学老师，把我给打发走了
因为老师懂得不多😂
要這些老師承認自己不懂很像會要他們的命一樣，真不懂為什麼
@@abtd4792 往坏了想，老师需要维护自己博学的形象来维持自己的威严，方便管教学生，往好了想，老师不一定知道要怎么才能把概率密度这种高级概念塞进连概率论的门都没入的一群初中生的小脑瓜里面
說不會是假的，就算只是小學數學老師，那都是大學畢業且修過教育學程的，更多的是他不知道如何回答你，講了你也不一定記住，就讓時間沖淡一切
很棒的影片
其實當時第一次聽到這個悖論時
就隱約有點想法
覺得是跟隨機的密度不同有關
但沒有辦法往更深的方向走下去
這影片終於幫我把那隱約模糊的想法化為現實了
就是這樣的。連續分佈的東東的概率密度都是帶著微分形式的。座標轉換的時候有一個導數出來。所以在一個座標下的均勻分布未必是另一個座標下的均勻分佈。
套到這個題就是（端點在弧上的均勻分布）不是（中點在半徑上的均勻分布）也不是（中點在園內的均勻分布）。
其实数学家是最说人话的，真正不说人话的是“欧陆哲学家”。
不好意思，一個門外漢路過
不知道我這樣理解對不對：
前面兩種取樣方式，都用了某種簡化，也就是把某些事件看成是相同事件，因此不列入統計概率當中。
例如第一題就把兩個點相對位置相同的視為同一個事件。
第二題是把弦中點和圓心距離相等的視為同一個事件。
而正是因為這樣的「簡化」才導致最終的概率會不同，因此是這些做法導致不同的結果，這個題目本身並沒有瑕疵
因此我認為第三種才是這題的真正解答，其作法是把弦以弦中點代替，用弦中點在圓面積中的分布來計算，應該沒有像前面兩題一樣做了不應該做的事件合併。
不是简化，也没有合并。而是对“均匀”地选一根弦说清楚是怎么个均匀法。第三种方法是说弦的中点在一个面上均匀。第二种方法是弦上所有的点在这个面上均匀。第一种方法是弦的端点在圆周上均匀。如果没有定义清楚均匀是什么，没法说清哪个才是对的。
再打个比方，n个好朋友一起去吃饭，怎么“公平”地分摊账单？第一种方法是把账单平分，每个人分1/n。第二种方法是考虑每个人的收入，富人多摊，穷人少摊。第三种方法是看每个人吃了多少，吃得多的多摊，吃得少的少摊。如果没说清楚“公平”是什么，根本无法判断哪个方法才是对的。
三個方法都有對於旋轉跟軸對稱的適應，也就是在某種均勻條件下是正確的，主要還是對於均勻的解讀。方法一相當於把圓周拉伸為直線隨機取一點與起點（=終點）對應作弦，方法二以相同視角看則近似由中點取隨機距離得對稱兩點作弦，方法三類似將周長擬裁切成不同長度的線段組合隨機抽取後兩端點作弦
@@kaleege 你的舉例一看就懂 感謝!!
超喜歡你的影片，邏輯思維，條理清晰。❤😊
视频质量很好，期待博主更多的科普视频👍
如果有計算過程就更好了: radius r = 1, 1. 角度 AAA Isosceles(60o) Centroid 240>= theta >= 120, 所以P(>3^0.5) = (240-120)/360 ////2. chord弦 bisects the center line or circle, y=rsin(theta), Domain from 0 to pi/2 (180) 2Y>= 3^0.5 at 120>=theta >=60, 但是機率平均分布於X軸, 即是rcos(120)到rcos(60)的範圍, 概率取決於range[rcos(120)=-0.5至rcos(60)=0.5, 中心點是0, 直徑由x軸-1至,所以P(>3^0.5)=|rcos(120)-rcos(60)|/|(-1)-1| ////3. 不知道測試結果為何中空, 但是概率取決於內外圓面積比例容易理解. 第一個概率是以圓周距離決定, 概率在角度1-360中平均分佈,(arc=r*theta); 第二個(先選對稱軸再在這軸直線取點)概率是由-1至1分佈, 數值在0.5至-0.5之間, 但是得出chord的長度是和sin curve正比; 第三個在圓形取點後再取對稱軸,如果平均分佈, 那麼不會中空, 但是結果概率應該就是面積比(Pi*(rcos60)^2/(Pi*r^2)... 我學藝不精, 只是交流, 有錯請指正.
take R=1, A=πr^2 r upper limit r = R cos 60, r lower limit = 0, /// ∫[π(R cos 60)^2, 0] dA =∫[(R cos 60)^2, 0] π d(r^2), d(r^2)/dr = 2rdr, therefore ∫[(R cos 60)^2, 0] π d(r^2)=∫[R cos 60, 0] π 2rdr, 以trapezoid rule我們以ΔA = 0.1^2π=0.01π square unit (強調面積為square unit(ΔA=πΔr^2)而不是unit x=r)即Δ0.01π有一個點作為密度, 到我們換回微積分定義就會是 點的密度 point density ∝ δA, where δA ∝ δr^2. 小小jacobain就是我們把πΔr^2當成正方體. ////最後就是第一個我有小小錯就係, [當然概率在360度平均分佈, 但係對應長度應該係Chord Length = 2 r sin(theta/2)]
回覆後自己record一下
不是數學不存在了、而是確定的機率不存在了。這裡的線是沒粗幼的、在某處區域內是有"無限個位置"給一條線所選擇、這就暗示了線的密度處處都是一樣、只有無限跟無限作比較而已、沒有確切的機率。
想到一個方法：能不能用積分的方式直接求弦的長度下去算機率🤔
上帝問米迦勒“你覺得數學家可信嗎？”米迦勒說“誰信他們的鬼話，您說一加一等於三，誰敢說錯！”😄
😂
那是確實線性代數就說明了這一點，5+8=1。
這三種都是用特定條件去取一直線的機率不一樣
那如果是在圓內取隨機一個點且隨機一個角度的過點直線這樣取是不是就分布均勻了
为何学弟你这么优秀😊
小弟只學過一點微積分，沒有學過機率相關的知識，內容十分不嚴謹，只是想提供自己的想法:
第一種:假設隨機取點的到上方頂點的弧長是x，可以用一些三角函數推導出此時弦的中點距離圓心r的關係式r=cos(x/2)
然後隨機取點落在弧長為x的點上的概率與弦中點落在圓周長為2pi*r的圓周上概率是一樣的(大概是因為相對位置的對稱性質)
所以可以列出等式(1/2pi+1/2pi)dx=2pi*rdr*f (f為機率密度)，之所以1/2pi*dx加兩次是因為根據相對位置的對稱性質，隨機取點弧長為x的點在上方頂點的左右是一樣的(都分佈在2pi*r的圓周上)然後對r=cos(x/2)微分，得到dr=sin(x/2)*1/2*dx => dx=2/(1-r^2)^(1/2)dr ，接著帶入上面等式可以得出f=1/(pi^2*r*(1-r^2)^(1/2))。
第二種計算方法與第一種相似，就不再贅述，
作圖很不錯
从弦的定义的角度出发，是否后两种解法是通过构造一种‘类弦‘来计算的？这样来讲后两种方法是否就是错误的？毕竟弦不是‘从圆中间随机取一个点，向两个相反的方向延伸后和圆的两个焦点所形成的线段‘是不是？所以题目表述不存在明显的问题，只是人们的惯性思维没有去质疑Bertrand的方法二和方法三的不严格性罢了
可以试下真随机采样，就是在圆上随机取两个点，不整对称轴中点啥的，直接看大于根号三的概率是多少
這就變成了第一種方法？
追根溯源，人类目前的自然语言漏洞百出，它是社会学产物，而非数学产物，我甚至可以下一个假设：人类要想获得数学上的更进一步提升，只能果断抛弃使用现有的自然语言构建的数学框架，转而针对数学进行语言重构得到全新的人类语言，或者就叫数学语言。我的小说会深入讨论这一点。
痾⋯⋯有沒有可能。數學上的東西已經跟我們講的話是脫節的
你說的東西已經存在，叫做形式語言（Formal language）
扯淡，日常用语与数学用语根本目的是不同的。你若是问朋友想吃什么，没人希望对方回复一篇论文
你提出了另一個主題。
不是已經有了嗎
不知道我理解的對不對, 基本上就是對于題目對於統計母體的定義不夠精確, 所得出不同的答案.
影片裡面有三種方式去詮釋了"圓內的隨機弦"
第一個認為, 真正的隨機在於圓周上面的點都要均勻分布
第三個認為, 弦的中心點應該要均勻分布在園內
最後若是要用第三種"假設方式"去檢測三種採樣, 一定是認為第三種比較合理.
但是若是改用圓周點的均勻分布去檢測, 就會任何第一種比較合理.
雖然我的直覺告訴我第二個機率比較合理... :))
第一第二的假設都是錯的，沒有考慮弧會影響概率，因爲弧不是綫性的，或者說不是直綫性的。用直綫性來思維肯定會得出錯誤結論。
但是直觀感覺第一種方法很正確欸😂
我只知道當我只想好好的應用生活中會發生的情況時的數學就好
還有國小教育也不要搞
例如7×4或4×7這種交換率問題
奇怪的少寫單位算錯之類
前者可能提早學交換率知道兩者等價
後者那個那個叫雞蛋裡挑骨頭
別把小朋友學得數學搞得像高等數學一樣根本莫名其妙
Bertrand's Paradox (with 3blue1brown) - Numberphile
ua-cam.com/video/mZBwsm6B280/v-deo.htmlsi=bG-ToI7IHrHZ7Huo
ua-cam.com/video/pJyKM-7IgAU/v-deo.htmlsi=KT7O8VmMi8hXNWMC
我觉得课后习题的答案是（重叠）
證明了我是豬腦的本質，啊哈，老師，當年我看你凝視黑板算數學，就像在談愛情那樣，這看法可能是真實的描述歐，數學跟愛情都很詩對吧！😂🎉❤
第二种概率是错的，因为你研究弦的两端在圆周上的分布就会发现不是平均分布。第三种更是错的离谱，最典型的就是中点在圆心时对应的不是一根弦，而是无数根弦，你却只算做了一跟弦。
中點+斜率不就是一根弦了
只要隨機取樣器用的演算法夠力，那兩個機率密度同樣平均的玩意乘起來也應該平均
否。條件不一樣，得出來的結論不一樣這是很正常的
雖然看似很像，且理論正確，但三者題目是不同的，所以也只有第一個是對的，因為只有它符合初始條件
弔詭嗎？三門選擇也是這樣，正確機率到底是1/3還是1/2，按條件去做驗證就知道了，何必吵。所以第二和第三個都是不同的命題，得出的結論當然不同
你以為數學只有數學嗎
不 它還包含國文
工程師 我們宣告一個整數草; 再宣告一隻整數的綿羊=1.......
出现无限的情况时，数学家以外的人直觉都是有问题的
好奇問一下，第一種方法中，如果我假設一個A集合包含0到2所有數字，然後找大於根號3的機率，再把它乘2，也會是三分之一嗎?🤔
不太懂你的意思,你是要說類似這種原理嗎
0~2隨機取一個數,>1的機率是1/2
但如果我把他看成0~4隨機取一個數開根號
那>1的機率就會變成1/4
雖然按照你說的 0,1,2取>1應該是1/3。
但是我說的是0到2之間的所有數字，不僅僅是包含自然數，還有所有小數，然後找出其中>1.732的比例，再乘2。
@@kelpneko 為了方便，以下簡稱第一個點的位置為A，跟A差180度的點為B
第一種方法選到長度接近0的弦機率較低，接近2的機率較高，因為如果我們將第二個點以等速率v從A滑動到B，那麼它和A的相對速率會在A附近最快（大約是v，因為它的移動方向幾乎直接遠離A），在B附近最慢（大約是0，因為它的移動方向幾乎和朝向A的方向垂直），所以它會有更長的時間存在於弦長偏大的位置
如果我們將AB弧切一半，就會發現第二個點有一半的機會會跟A的距離大於根號2，這也顯示了第一種方法並不是在0到2之間隨機取一個自然數這麼簡單
每种方法的domain不一样，概率当然不一样了。
很認真的看完後還是完全聽不懂😂😂😂😂😂
這就像表面上，考上大學，人人平等，，，
事實，都市生大於鄉村，軍公教子弟大於農民孩子，有錢人孩子大於貧窮兒。
還有天賦 天才能用很少的時間達到你花一輩子才能達到的高度
完全不對
因為你在改變三個不同檢測方式的時候就已經改變檢測的分母
很明顯第二個測法需要測的範圍小於第一個
雖然都是隨機，但是縮小隨機範圍本來就會改變答案
跟你文字敘述的範圍不一致
他不是在測整個圓
第二就錯了很明顯，因為點分佈在直徑上的密度不同
1/4➕1/2➕1/3再除以三😂其实只比1/3多一点点
这类问题我在二十岁以前能看到就好了…
那如果把所有實驗做到趨近無限次，答案會完全一樣嗎？還是其實還是不一樣呢？
不会 因为先验条件假设决定了条件概率
SIGMA AF 😭😭🙏🏻🙏🏻🔥🔥🔥
完美的火锅模型哈哈
重點是均勻
想到一個假設題的定義
已知最大的數：葛利恆數
他的幾何做題描述，每個字都是中文，但組合起來到底在講啥？
哈哈哈！有趣。
那麼有沒有這種可能，把這三種採樣方法要採用哪一種的概率也考慮進去，結果就是(1/2+1/3+1/4)/3=13/36呢?
坐等大神解答。但我感觉会有重复的概率,又要排除😂
而且三種採樣方法怎麼可能直接加起來除以三
@@james_tu欸
@@james_tu對歐
@@james_tu「現在有三種取得弦的方法，而採取任一種方法是隨機的」
數學就是用來描述科學的語言
三種機率有什麼了不起的！！！我們班上考機率考卷的時候可以寫出十幾種答案😂
這不是數學，是催眠影片。
好有3B1B的感觉！
精美動畫 舒服了
遊戲王玩家表示認同
量子力學、原子物理
基础不牢，地动山摇！ 这么说只有第三种考虑模式才是符合题意的均匀分布
圆自生都不是均匀--点在中间少外围多，何来均匀分布。
為什麼看完這部片了還是能得下出這樣的結論？
0:30 数学家也不够准确。应该再加上由这三个人看上去黑色。因为颜色是主观感受。“均匀”也是。
黑色是用光線定義的，不是單純的主觀感受，當然用眼睛看會有些許差異。例如一條3公分的線，有的人目測是2.5公分，有的人目測是3.5公分。均勻也是同樣道理。
那就把颜色和均匀直接定义这只羊反射阳光的光谱图
@@zyu2820 你是懂我意思的
@@Bfs_OAO 只要不是单一种色，均匀就有可比性。
難怪AI有時候都會亂講話，肯定是沒有把定義說明清楚。
谢谢，听不懂😅
見人說人話，見鬼說鬼話，見數學當然說數學話！
說實在的，看完影片就會發現不能算是抄襲3blue1brown，他們就只是在講述一模一樣的事。數學中，事實就是事實，正如前面的人說的，我的1+1=2和你的1+1=2一樣就說我抄你或你抄我。再怎麼樣，我們都不是發現這個悖論的人，根本沒有資格去說誰抄襲誰。否則這麼說的話，全世界的老師介紹的定理都是一樣的，他們不也是互相抄襲嗎？
有抄袭3b1b的争议吗？
@daoyoultr6056 沒，只是剛才有個人在留言區大吵大鬧。
無限除無限
要什麼有什麼
按照这种思路，没有任何一件事情可以完全地定义准确，比如实数按照现在的定义方式就能完全覆盖吗？那么数学的根基是不是就不存在了？
公設就是數學系統的根基
那么视频中的悖论难道不是根据公理定义推导出来的？
不是，裡面充滿了很多想當然地自然語言說法，所以才會得出三個不同的結果
你说错了，这是一个著名的悖论，关于实数同样存在问题，你可以在网上找找资料
@@everliving 數學界早就解決了這些問題
影片中的問題解決方法就是嚴格的定義什麼是機率模型
機率模型包括樣本空間跟機率密度函數,就像影片最後給的那樣
均勻隨機就是機率密度函數=1/樣本空間總測度的意思
而悖論的問題就是他沒定義樣本空間
也就是你要用圓周角度,極座標,還是xy座標來定義弦的選取
所以題意不清,就沒有辦法討論均勻隨機
其實類似的問題還有隨機選一個正整數
這個也是基本上沒有一個可接受的樣本空間定義
至於實數,你可以去查實數建構
雖然有很多套定義,但可以證明他們是等價的,用哪套都有一樣的結果
他們依賴於有理數的定義,而有理數用自然數去定義
自然數用ZFC集合公理去定義
安安!!!!!!!!!!!!!!!!!
数学考试目的不是教育，而是为了选拔合适人才继续深造，没这天赋的应该趁早退出。
工程數學？
看饿了
抄襲得很好
Bertrand's Paradox (with 3blue1brown) - Numberphile
ua-cam.com/video/mZBwsm6B280/v-deo.html
不就是建模不一樣嘛。。
當世上所有的政治家都是由數學家擔任時，世界大概就和平了
所以隨機取一根弦他大於根號3的機率到底是多少
你倒是看视频啊😅😅
@@liumavrick 看了阿，但終究有一個答案吧，三個表達都只是條件不同下的機率，我想問的是""真正隨機取一根弦，大於根號3的機率""到底是多少
@@colalin0321 如果要符合随机的原意，或许是第三种吧
@@colalin0321 那問題就又回到了什麼叫做「真正隨機選一根弦」，這個問題沒有一個真正的答案，因為缺少了一個關鍵的條件，即機率密度，就像是
x+2y=3
求x=?
如果把影片問題比喻做上面這個問題，那麼機率密度就像是上面的y一樣，是個未知數，所以無法解答
@@colalin0321 你隨機的定義是甚麼
我比較好奇的是，為何演算的結果是"0.47"、"0.332"、"0.248"，
無論是1/2、1/3、1/4三者的脫出律(不合格)總是一致多於理想中的合格律一些?
是不是我們人類對自然分布的了解有盲區不合格的機率其實比人類了解的機率還要高些?
而既然是隨機分布為何不合格率不是少一些?
或許我對數學了解不深，也或許數學家認為這微不足道或毫無意義.....
影片為了演示方便所以採樣只有1000根,我認為可以解釋為樣本數不足,實驗結果同時比理論值小只是巧合
樣本不夠多而已，之後會趨於理論的
第一個實驗 p=1/3，在2:29 有出現 p=0.5
大膽假設後面還有"小心求證"。
频率频率接近概率
因為1000次採樣的接近級數是log 1000 = 3，再√3 ≈ 1.732，就是說實際準確的位數只有小數點後的第一位數，做到1000000次就能精確到小數點第3位了 😀
第三種方法也是錯覺，點的密度不均勻所以邏輯錯誤。答案只有第一種
数学的问题是：明明概念都是有默认条件的，而数学家非要扩展到任何情况。结果就是得把条件说全了。而有些条件就是生搬硬造的。像这题，非要在一个非均匀上找均匀，结果找到多个所谓的均匀。
明明明明
怎麼把別人的優點說成是問題了，工具就是拿來用的，要是能用在很多東西上，那總比只能用在一個地方上的強。
你能不能舉一個生搬硬造的例子？
蛤???
党说什么是真的，什么就是真的
沙发？
1
这都是别人玩烂的东西了
哥德巴赫猜想還沒被玩爛，你玩出結果了沒有？
讲了等于没讲。这个悖论真正揭示的，是观察者不同会导致数学结论不同。如果只把问题归结为“数学描述的精确性”问题，在下个路口等着的，则是哥德尔不完备定理。
數學裡面哪有觀察者，量子科普看多了？這的確是問題描述不夠精確的問題，因為問題中沒有明確指出概率密度的選擇是什麼，而且語句中也無法imply一個唯一的概率密度。
@ 没有观察者？那能学者是谁？所学者是何物？
@@kydenprompt超好笑，什麼觀察者不同？明明就是定義不同
數學命題裡面哪裡有引用“觀察者”的前提條件了？現實中可能有“觀察者”，但數學裡面可以沒有。
@@MH-sf6jz 没有观察者，谁施设的命题？“前提条件”所属的数学模型，是谁在建模？
虽然我是数学学渣，但从一开始我就觉得这仨并不是“同一个事件”……