Если окружность вписана в 4-угольник то a+b=h+c(вторая боковая сторона).Отсюда c²=((a+b)-h)².Из вершины опустим высоту на a.В полученном ∆ c²=h²+(a-b)².В итоге получаем ((a+b)-h)²=h²+(a-b)².Откуда 1/2(a+b)h=ab S=12
Спасибо. Как мне нравится на олимпиадах отсеивать олимпиадников при слове "очевидно". Решать нужно математически! Ведь инвариант как-то придется доказывать. Попробуйте. (хотя он решением и доказан, но найдите другой путь)
@@GeometriaValeriyKazakov это просто решение задачи на мета-уровне. По мне так намного интереснее) А если разбирать "очевидно", то задача имеет либо одно решение, либо бесконечное множество. Но давать задачу без конечного числа решений смысла не имеет, и по названию и условию понятно, что это не так. А значит решение одно и это инвариант по отношению к углу
@@Sergiusz-pq7bc не скажи. Не забывай, что у нас произведение оснований - фиксированное, а значит при смене угла будет меняться высота, а площадь - нет.
@@MagicProG я ничего не забываю. это надо доказать, что площадь равна произведению a на b. ты же изначально вводишь неверную посылку, что трапецию можно заменить квадратом при частном условии, что a=b, но это не так - площадь квадрата и трапеции разные при том же радиусе вписанной окружности.
В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны. Если высота h, то боковая сторона a+b-h. Проводим высоту CK = h, тогда по теореме Пифагора h² + (a-b)² = (a+b-h)² откуда h = 2ab/(a+b). Итого S = (a+b)/2 * 2ab/(a+b) = ab = 12
Проведём радиусы к точкам касания. Трапеция поделена этими радиусами на четыре четырёхугольника. Поменяем местами два верхних, вращая вокруг центра окружности. В результате имеем два равных прямоугольных треугольника со сторонами а и b. Всё))
Совершенно не имеет значения что из себя представляет bCDa. Полуокружность, вписанная в АВbа с диаметром bа (или, альтернативно АВ) может быть только одна. Следовательно, нас интересует только левая половина трапеции. При этом углы ВСD и СDA значения не имеют. При любой комбинации этих углов площадь трапеции (или квадрата) не меняется
Разбиваем трапецию на четыре треугольника отрезками из центра вписанной окружности в вершины. У описанной трапеции сумма боковых сторон равна сумме оснований, откуда получается, что сумма площадей верхнего и нижнего треугольников (при основаниях) равна половине площади трапеции. Повернем верхний треугольник ВОС на 90° вокруг вершины О против часовой стрелки. Угол СОD= 90°, поэтому точка С после поворота окажется на прямой ОD, а точка В совпадет с точкой А. Отрезок ВС станет перпендикулярен основанию АD. Т.е. получим прямоугольный треугольник САD с катетами b и а, площадь которого равна ab/2.
Как вариант ,предлагаю самое нудное решение . Примем сторону малого тр. За X по формуле Герона получим МКС равным два деленное на корень четвёртой степени из трех. Рассмотрим прямоугольный тр.со стороной икс , который является большим катером, а малый катер примем за Y , по условию задачи гипотенуза равна 2Y . По т. Пифагора Y равен два деленное на корень четвёртой степени из трех в кубе , тогда сторона большого тр. равна 3Y . Опять по ф. Герона вычислим площадь , которая равна 3.
Проведем через центр окружности О прямую, перпендикулярную сторонам трапеции AD и ВС. Точки пересечения назовем А1 и В1 соответственно. Из центра О проведем прямую, соединив точку касания, которую назовем М, стороны СD с окружностью. Опустим перпендикуляр из С на AD. Точку пересечения назовем N. -------------------------------------- 1) Теперь мы можем записать А1D=MD=a - R B1C=MC=в - R ND=а - в СN=2R CD=MD+MC=(a - R)+(в - R)=a+в-2R 2) Для ∆-ка CND согласно теореме Пифагора можно записать CN^2+ND^2=CD^2 или 4R^2+(a-в)^2=[(a+в)-2R)]^2 4R^2+a^2-2ав+в^2=(а+в)^2 - 2(а+в)×2R+4R^2 a^2-2ав+в^2=а^2+2aв+в^2 - 2(а+в)×2R ав=(а+в)R Т к. по условию ав=12, то (а+в)R=12 (2.1) 3) Площадь трапеции можно рассчитать по формуле S(ABCD)=(a+в)h/2, где а,в основания трапеции, h - высота, которая в нашем случае h=2R ➡️ S(ABCD)=(a+в)h/2=(a+в)R С учётом (2.1) мы можем записать S(ABCD)=(a+в)h/2=(a+в)R=12 ☑️☑️
ПРЕДЛАГАЮ ЗАДАЧКУ! В окружность вписан квадрат ABCD. На стороне BC взята точка K так, что BK:KC=1:2. Лучь AK пересекает окружность в точке M. Лучь BM пересекает лучь DC в точке F. Найдите CF:FD=?
Начнем с американского жульничества: Поскольку углы не заданы, примем их за 90°. Площадь квадрата со стороной √12 равна 12 Ответ:12 Upd Рисуем квадрат. "лишний" треугольник равен "откусанному" по катету , прямому и двум остром углам. Площадь трапеции равна поощади квадрата
Прежде чем чего- то сторить, хорошо бы подумать. Из условия следует, что площадь однозначно определяется произведением ab. Следовательно, можно взять a=b. Тогда получается квадрат, описанный вокруг окружности со сторонами корень квадратный из12 с площадью 12. Правда, неплохо бы доказать, что произведение ab однозначно определяет площадь.( Что и сделано в приведенном решении)
Действительно, из условия ничего не слудует, это решающий для себя сам додумывает. А если бы было написано a+b=12, то что тогда следовало бы? Вот если бы были даны ответы на выбор и сказано, что один верный. Тогда квадрат - сила!
Получил 12. Смотрим Решал по другому. Из т С опустим перпендикуляр к в, запишем т.Пифагора для получившегося треугольника h²+ (b-a)²=c². В описанной трапеции сумма оснований равна сумме боковых сторон, запишем a+b=c+h. Возведем второе уравнение в квадрат и вычтем из первого. Получим ab=h(h+c)/2, с учётом второго уравнения справа - площадь трапеции.
решение для 7 класса: трапеция из треугольников и квадратов, изображенных на 1:30 видео преобразовывается в прямоугольник a на b (диагональ этого прямоугольника делит его на 2 треугольника, каждый из которых состоит из квадрата и еще двух треугольников - маленького и большого). доказывается из подобия всех треугольников и равенства одного из катетов радиусу.
То-то и оно! Гоняйте ферматистов. Кошмар просто. У всех инвариант. Придется посторить ролик с треугольником 6, 10 и r=2. Точно придется. Не буду прикреплять, бесполезно.
А можно после того как провели ОК и доказвли равенство треугольников сказать что сумма заштрихованных треугольников, равна площади оставшихся. Раз справа у нас два квадрата равной площади слева, и две равной площади справа. То можно предположить что справа тоже квадраты.
@@GeometriaValeriyKazakov дальше проводим радиус горизонтальный из точки О в право. И перпендикулярную этому радиусу прямую пересекающую основания трапеции. И доказываем равенство треугольников с двух сторон от этой прямой. Тем самым превращаем трапецию в квадрат.
Если окружность вписана в 4-угольник то a+b=h+c(вторая боковая сторона).Отсюда c²=((a+b)-h)².Из вершины опустим высоту на a.В полученном ∆ c²=h²+(a-b)².В итоге получаем ((a+b)-h)²=h²+(a-b)².Откуда 1/2(a+b)h=ab S=12
да.
Шикарно
Красивое алгебраическое решение. Большое Спасибо.
В задаче нет угла, а значит очевидно, что это инвариант, а значит можно представить, что трапеция - это квадрат, где a = b = h, значит площадь 12.
Спасибо. Как мне нравится на олимпиадах отсеивать олимпиадников при слове "очевидно". Решать нужно математически! Ведь инвариант как-то придется доказывать. Попробуйте. (хотя он решением и доказан, но найдите другой путь)
@@GeometriaValeriyKazakov это просто решение задачи на мета-уровне. По мне так намного интереснее)
А если разбирать "очевидно", то задача имеет либо одно решение, либо бесконечное множество. Но давать задачу без конечного числа решений смысла не имеет, и по названию и условию понятно, что это не так. А значит решение одно и это инвариант по отношению к углу
площадь в данном случае меняется если меняется угол при основании, так что это никаким инвариантом быть не может
@@Sergiusz-pq7bc не скажи. Не забывай, что у нас произведение оснований - фиксированное, а значит при смене угла будет меняться высота, а площадь - нет.
@@MagicProG я ничего не забываю. это надо доказать, что площадь равна произведению a на b. ты же изначально вводишь неверную посылку, что трапецию можно заменить квадратом при частном условии, что a=b, но это не так - площадь квадрата и трапеции разные при том же радиусе вписанной окружности.
В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны. Если высота h, то боковая сторона a+b-h. Проводим высоту CK = h, тогда по теореме Пифагора
h² + (a-b)² = (a+b-h)²
откуда h = 2ab/(a+b). Итого S = (a+b)/2 * 2ab/(a+b) = ab = 12
супер!
👍
@@user-hb2pi6zu1n
Я тоже так решала
Браво учитель!!! Спасибо большое!!! Очень красивое решение.❤❤❤❤❤
И вам спасибо.
Проведём радиусы к точкам касания. Трапеция поделена этими радиусами на четыре четырёхугольника. Поменяем местами два верхних, вращая вокруг центра окружности. В результате имеем два равных прямоугольных треугольника со сторонами а и b. Всё))
Ваше решение лучшее👍Я опоздал на 16 мин😢
Спасибо.Идея замечательная. Отмечу вас в следующем ролике!
Гениально! Я решал пифагором, как и большинство( Как раз сейчас ребенок в 9 классе, свойство описанных четырехугольников есть в учебнике.
Совершенно не имеет значения что из себя представляет bCDa.
Полуокружность, вписанная в АВbа с диаметром bа (или, альтернативно АВ) может быть только одна.
Следовательно, нас интересует только левая половина трапеции.
При этом углы ВСD и СDA значения не имеют. При любой комбинации этих углов площадь трапеции (или квадрата) не меняется
Спасибо.
Разбиваем трапецию на четыре треугольника отрезками из центра вписанной окружности в вершины.
У описанной трапеции сумма боковых сторон равна сумме оснований, откуда получается, что сумма площадей верхнего и нижнего треугольников (при основаниях) равна половине площади трапеции.
Повернем верхний треугольник ВОС на 90° вокруг вершины О против часовой стрелки.
Угол СОD= 90°, поэтому точка С после поворота окажется на прямой ОD, а точка В совпадет с точкой А.
Отрезок ВС станет перпендикулярен основанию АD.
Т.е. получим прямоугольный треугольник САD с катетами b и а, площадь которого равна ab/2.
Спасибо.
Как вариант ,предлагаю самое нудное решение . Примем сторону малого тр. За X по формуле Герона получим МКС равным два деленное на корень четвёртой степени из трех. Рассмотрим прямоугольный тр.со стороной икс , который является большим катером, а малый катер примем за Y , по условию задачи гипотенуза равна 2Y . По т. Пифагора Y равен два деленное на корень четвёртой степени из трех в кубе , тогда сторона большого тр. равна 3Y . Опять по ф. Герона вычислим площадь , которая равна 3.
Отлично. главное свое.
Так ответ без решений понятный.
Спасибо. Тут как кому. Большинству непонятный точно, так как эта формула редко встречается.
Проведем через центр окружности О прямую, перпендикулярную сторонам трапеции AD и ВС. Точки пересечения назовем А1 и В1 соответственно.
Из центра О проведем прямую, соединив точку касания, которую назовем М, стороны СD с окружностью.
Опустим перпендикуляр из С на AD. Точку пересечения назовем N.
--------------------------------------
1) Теперь мы можем записать
А1D=MD=a - R
B1C=MC=в - R
ND=а - в
СN=2R
CD=MD+MC=(a - R)+(в - R)=a+в-2R
2) Для ∆-ка CND согласно теореме Пифагора можно записать
CN^2+ND^2=CD^2 или
4R^2+(a-в)^2=[(a+в)-2R)]^2
4R^2+a^2-2ав+в^2=(а+в)^2 - 2(а+в)×2R+4R^2
a^2-2ав+в^2=а^2+2aв+в^2 - 2(а+в)×2R
ав=(а+в)R
Т к. по условию ав=12, то (а+в)R=12 (2.1)
3) Площадь трапеции можно рассчитать по формуле
S(ABCD)=(a+в)h/2,
где а,в основания трапеции, h - высота, которая в нашем случае h=2R ➡️
S(ABCD)=(a+в)h/2=(a+в)R
С учётом (2.1) мы можем записать
S(ABCD)=(a+в)h/2=(a+в)R=12 ☑️☑️
Спасибо.
Ушли от 12 квадратных, пришли к 12 квадратными - "Сизифов труд" получается 😊
Спасибо.
ПРЕДЛАГАЮ ЗАДАЧКУ!
В окружность вписан квадрат ABCD. На стороне BC взята точка K так, что BK:KC=1:2. Лучь AK пересекает окружность в точке M. Лучь BM пересекает лучь DC в точке F. Найдите CF:FD=?
Спасибо. Это зрителям. У нас тайминг.
Начнем с американского жульничества:
Поскольку углы не заданы, примем их за 90°. Площадь квадрата со стороной √12 равна 12
Ответ:12
Upd
Рисуем квадрат. "лишний" треугольник равен "откусанному" по катету , прямому и двум остром углам. Площадь трапеции равна поощади квадрата
Поясните, пожалуйста, насчёт равенства треугольников.
@@viktorviktor5820
Ну да, не равны, да и хрен с ними -- ишшо чонить придумаю
НЕ, нужно решать математически. Сейчас прикреплю в коммент ролик!
@@GeometriaValeriyKazakov
Нет, не надо. Завтра вечером чесслово решу!
Прежде чем чего- то сторить, хорошо бы подумать. Из условия следует, что площадь однозначно определяется произведением ab. Следовательно, можно взять a=b. Тогда получается квадрат, описанный вокруг окружности со сторонами корень квадратный из12 с площадью 12. Правда, неплохо бы доказать, что произведение ab однозначно определяет площадь.( Что и сделано в приведенном решении)
Большое спасибо, а то спасу нет от ферматистов.
Действительно, из условия ничего не слудует, это решающий для себя сам додумывает. А если бы было написано a+b=12, то что тогда следовало бы? Вот если бы были даны ответы на выбор и сказано, что один верный. Тогда квадрат - сила!
из условия не следует, что площадь однозначно определяется произведением, задача может и не иметь решения, так что доказывать в любом случае надо
Конечно. Спасибо.@@Sergiusz-pq7bc
Получил 12. Смотрим
Решал по другому. Из т С опустим перпендикуляр к в, запишем т.Пифагора для получившегося треугольника h²+ (b-a)²=c². В описанной трапеции сумма оснований равна сумме боковых сторон, запишем a+b=c+h. Возведем второе уравнение в квадрат и вычтем из первого. Получим ab=h(h+c)/2, с учётом второго уравнения справа - площадь трапеции.
Спасибо. Пифагором можно хорошо докрутить
Алгебра, Пифагор и свойство сторон описанного четырехугольника и 12 в кармане!
@@user-tk5uz4jd6l
решение для 7 класса: трапеция из треугольников и квадратов, изображенных на 1:30 видео преобразовывается в прямоугольник a на b (диагональ этого прямоугольника делит его на 2 треугольника, каждый из которых состоит из квадрата и еще двух треугольников - маленького и большого). доказывается из подобия всех треугольников и равенства одного из катетов радиусу.
Спасибо.
Это у Вас - то не хватает?! Ха-ха!
Своим решением похвастать не могу, оно, увы, полностью совпало с Вашим.
То-то и оно! Гоняйте ферматистов. Кошмар просто. У всех инвариант. Придется посторить ролик с треугольником 6, 10 и r=2. Точно придется. Не буду прикреплять, бесполезно.
Решил за секунду даже без формулы Пика, ведь он написал ответ в начале
Спасибо.
После r = ab/(a+b) следует S= r(a+b)= ab=12
Да, можно и так. Но по общей для трапеции - лучше все-таки.
А можно после того как провели ОК и доказвли равенство треугольников сказать что сумма заштрихованных треугольников, равна площади оставшихся.
Раз справа у нас два квадрата равной площади слева, и две равной площади справа. То можно предположить что справа тоже квадраты.
Спасибо. Идеи есть. НО ... не обязательно квдартаы. a=3,b=4: a=2,b=6 и т.д. все прокатывает. ab - инвариант. Но это нужно доказать (как я и сделал)
@@GeometriaValeriyKazakov дальше проводим радиус горизонтальный из точки О в право. И перпендикулярную этому радиусу прямую пересекающую основания трапеции. И доказываем равенство треугольников с двух сторон от этой прямой. Тем самым превращаем трапецию в квадрат.