Вау, рада, что вас нашла) Пытаюсь разобраться с основами математики, но во многих роликах для начинающих пропускаются моменты, которые неочевидны для человека без математического бекграунда. Вы первый объяснил, что "o" и "*" это одно и тоже и обозначает операцию. А ещё только от вас узнала, что "при рассмотрении абстрактных вещей природа объектов не важна" Буду смотреть ваши ролики, спасибо, что реально объясняете основы!💪
" Место пересечения сфер окрасилось в промежуточный пурпурный цвет. У Иво заработала интуиция. Он сосредоточил свои логические способности на чертеже так же, как он делал это при игре в спраут.Это было иллюстрированное представление теории групп с обобщением на булеву алгебру и с цветом как дополнительным параметром. После теории групп начинающему можно было преподавать математику, логику, электронику и другие области знания - не прибегая к речевой форме. Язык можно сам по себе эффективно анализировать этими методами. Одна головоломка решена: у инопланетян было доступное средство общения." - Энтони Пирс "Макроскоп"
С "Макроскопом" можно ознакомится: сюжет интересный, вращается вокруг интеллектуальных возможностей человека. Макроскоп иногда перечитываю, а вот другие книги автора не зацепили.
А операции в таких группах могут быть любыми или только сложение и умножение? У нас на парах есть такое понятие как "бинарные алгебраические операции" (БАО). Честно, не понимаю отличие БАО от просто БО (бинарных операций), и почему к ним не относятся вычитание и деление? Я понимаю, что с двух сторон должны быть однозначно определены числа одинакового множества, но что, если я хочу их определить на множестве целых чисел (Z) или вещественных (R), а не натуральных (N). Множества ж не ограничиваются только исключительно натуральными числами. Да, с точки зрения множества N, вычитание и деление не являются БАО, так как не всегда с двух сторон у нас однозначно определены числа именно на множестве натуральных чисел, но с остальными-то множествами всё работает иначе) (В общем, как Вы поняли, у меня много вопросов, а всего этого нам на парах не рассказывают😔)
Операции в таких группах могут быть любыми. Например, это может быть операция переворота грани кубика Рубика. Вообще, термины «умножение» и «сложение» - это всего лишь названия. Вы просто к ним привыкли. Нет никакого сложения, как и умножения тоже нет. Есть только БАО, у которых есть определённые свойства.
Да, это важно. Но я об этом говорю в видео про полугруппы, а так как группа является полугруппой, то свойство замкнутости наследуется. Но вы правы, надо было упомянуть.
Забыл свободные группы! Это тоже важно знать. Свободная значит мы используем формальные элементы a,b,c,d... которые называют Порождающие либо Генераторы и формируем из них произведения, учитывая тот факт, что некоммутативность абсолютная и вездесущая. Обозначаем ⟨a,b,c,d...⟩. Операция в свободной группе есть просто конкатенация строк. Нейтральный элемент есть пустая строка. Обратный элемент просто удаляет свой порождающий либо строку, конечно, только с одной стороны. Элементы группы представляются как строки из порождающих, и никогда с обратными к ним. Есть теорема, что любая группа может быть представлена, как свободная + дополнительные Cоотношения(relations) через черту в скобках: ⟨a,b,c,d... | r1, r2, r3...⟩, где каждое соотношение rk может быть приведено к виду элемент=e или системе таких тождеств. Часто пишут небольшие функции, если надо сохранить некую формулу для многих элементов. Такое описание произвольной группы называется комбинат`орным представлением группы. Как правило, оно простое для компов и сложное для исследования свойств групп. Простое соотношение может дать невероятно сложную группу. На пример ⟨ a,b,c | a³b²c²=e ⟩. Если я не ошибаюсь, то по числу порождающих группы делятся на конечно- и бесконечно-порождённые. А по соотношениям - конечно/бесконечно-представлеными. Однако, если соотношение задано формулой, на пример ⟨a, b, с | х²=1 ⟩ (т.н. группа Бёрнсайда) х означает - произвольный элемент группы. Однако, группа эта оказывается конечной. И снова - я мог просто записать все тождества для квадратов кажного элемента. И тогда соотношений было бы больше, но тут, кажется, только одно учитывается. Так что точно есть тонкости. Я чаще всего видел соотношения с порождающими и абстрактные функции, просто зависящие от порождающих.
Я когда-то получал неассоциативность, когда пытался апгрейдить числа, добавив элемент, обратный нулю, мистический элемент ▮ (антиноль), что ▮*0=0*▮=1. Но тогда могут существовать элементы типа х▮ и когда я их умножаю на 0 то возникают неприятности х▮*0 = х(▮*0)=х что нормально, но вот если переставить скобки (х▮)*0 то как-бы непонятно.. Тем более, что можно умножать справа: ▮х, и будет так (▮х)*0 что тоже непонятно как вычислить. Если бы х▮=▮х , то возникла бы проблема: (х▮)*0=(▮х)*0 согласно тождеству, но х▮ это произведение х и ▮, так что можно попробовать переставить скобки, и мы получим: х(▮*0) и ▮(х*0), но они не равны!!! х(▮*0)=х*1=х, а ▮(х*0)=▮*0=1 !!! Получилась неассоциативность? - Я думаю, что нет, - мы поломали операцию) Ведь х▮=▮х и вышло, что при умножении х▮ на 0 есть 2 значения. Ладно, тем не менее, без ассоциативности, надо договориться, как расставлять скобки. Я видел статью где вводили неассоциативную структуру из 2 порождающих x, y и соотношениями: xx=y, yy=x, скобки ставили как-то по-хитрому, наверное что бы не ставить их (хх) или (уу) и это оказалось очень богатой структурой! Попробую найти. Тем не менее, если х▮≠▮х то надо соглашение расстановки скобок, на пример, нормируя их направо: ▮*х*0=▮*(х*0), но 0*(▮*х) непонятно как вычислять, даже с коммутативностью х▮=▮х : 0*(▮*х) = 0*(х*▮), ведь хочется поменять скобки, а нельзя. Иногда математики могут такое просто оставить, как и 2√2. А если принять соглашение расставлять скобки что бы "сократить" ▮ и 0 побыстрее, то это уже не похоже на шаблон скобок, мы же *меняем* его по случаю. Это похоже на то, что не все скобки позволено , и не дело в том, что результаты различны - дело в том, что *некоторые из них может и не существуют вообще!* Если ограничивать расставление скобок, то это интерестно: вот *(xy)z* существует, а *x(yz)* уже нет. И вроде как-бы всё равно разные результаты и неассоциативность, но неассоциативность это отношение *(xy)z ≠ x(yz)* . Так что *x(yz)* должен существовать в нашей алгебраической структуре, - а его нет, значит и отношение невозможно "выполнить" , его не существует! И как это назвать? *супер-неассоциативность* или *неполная (не-)ассоциативность*, может *ан-ассоциативность* ? Можно положить, что х▮ и ▮х являются "неразрывными", то есть они всегда входят в произведения сразу в скобках.. и тогда 0*(▮х), 0*(х▮), ((▮х)*0)*1 так и остануться, либо нам надо выбрать чему они будут равны. Можно оставить те случаи, которые я предложил выше, со скобками для самого удобного сокращения. Тогда 0*(▮х)=х, 0*(x▮)=1, (▮x)*0=1, (x▮)*0=x. *Красиво и некоммутативно.* Попробуем вместе. Скобки справа: (▮x)*(0*(0*(▮x)))=(▮x)*(0*х)=1, скобки слева: (((▮x)*0)*0)*(▮х)=0*(▮х)=х. А вот и не повезло! Значит Решено! Я не ставил скобку внутрь (▮х) или (x▮) но ассоциативность не работает! Эту проблему можно решить, если ограничить варианты расстановки скобок, как я выше говорил, но.. это странно и вряд ли будет удобно. На пример, ставить скобки так, что б внутри всегда было одинаковое число 0-ей и ▮-ей.. что бы сворачивать по тождествам вида 0(x▮) как я уже записывал.
@@dushkin_will_explain меня занесло.. хотел удалить, но уже вы видели. Неассоциативность получить на много легче, в тех же логических операциях. Надеюсь вы не читали, да и хорошо.
А может ли быть ассоциативность без коммутативности? Почему это не является обязательным условием для группы? Да и вообще, нам в универе не объясняют, может, Вы знаете, каков вообще смысл этих групп, колец, полей, кроме того, чтобы зазубрить их до первого коллоквиума или сессии и забыть? Где практическое применение в жизни? Т.е., сидели как-то математики, им было скучно, не знали, чем себя занять, и решили вдруг классифицировать числа по определённым признакам, выдуманным в их головах... А зачем? А почему именно с такими свойствами? Почему ассоциативность обязательна, а коммутативность - нет? И, самое главное, где это в жизни применить? У нас очень хреновый препод, который тупо диктует быстро лекции, а требует так, как будто мы понимаем) Я зубрить не люблю - я понимать люблю, так что, может, Вы знаете... На Вас последняя надежда))
Всё просто... Однажды на лекции по оптике на меня снизошло озарение о том, что в математических формулах не надо искать никакого смысла, ими надо просто синтаксически манипулировать. И после этого мир и весь тяжёлый матан заиграл совсем иными красками. Поэтому моя рекомендация вам - перестаньте искать смысл в операциях, свойствах и т. д. Да, собрались математики и волюнтаристски (на самом деле, нет - найдите моё видео про математические структуры, в нём рассказано про архитектуру математики) решили создать вот такие вот структуры. И сами структуры (кольца, поля, группы и вот это вот всё) нужны для простых вещей. Например, для кольца можно доказать определённые теоремы. А это значит, что если какая-то конкретная хрень в математике окажется кольцом, то для неё автоматически будут доказаны все теоремы кольца. Всё. Ну а свойства той структуры, которую назвали кольцом, действительно подобрали более или менее случайным образом. И да, ассоциативность без коммутативности быть может.
@@dushkin_will_explain спасибо огромное за пояснения)) Можете, пожалуйста, привести пример ассоциативности без коммутативности в операциях сложения или умножения?
@@dushkin_will_explain искать смысл как-раз стоит, как минимум, потому, что про это спросят на паре) Да и просто интересно: я не люблю зубрить - я люблю понимать, что, для чего и зачем.
@@dushkin_will_explain Поздно 😉 Кстати, как считаете? На основании всего озвученного в ролике, можем мы считать: 6:2(2+1) как: 6 ---------- =1 2(2+1) Потому как 2(2+1) является группой.
@@Mister_Smit_, нет, так как по соглашению о расстановке скобок для операции * (в обычном алгебраическом понимании) это выражение должно быть преобразовано в (6 * 1/2) * (2+1) = 9 a * b * c = (a * b) * c
@@Mister_Smit_, нет, неправильно. Если убрать весь синтаксический сахар, то исходное выражение будет развёрнуто в: 6 * 1/2 * (2+1), что по соглашению о восстановлении скобок преобразуется в то выражение, которое я дал ранее, и его результат = 9.
Вау, рада, что вас нашла) Пытаюсь разобраться с основами математики, но во многих роликах для начинающих пропускаются моменты, которые неочевидны для человека без математического бекграунда.
Вы первый объяснил, что "o" и "*" это одно и тоже и обозначает операцию. А ещё только от вас узнала, что "при рассмотрении абстрактных вещей природа объектов не важна"
Буду смотреть ваши ролики, спасибо, что реально объясняете основы!💪
Такие комментарии для меня на вес золота :)
" Место пересечения сфер окрасилось в промежуточный пурпурный цвет.
У Иво заработала интуиция. Он сосредоточил свои логические способности на чертеже так же, как он делал это при игре в спраут.Это было иллюстрированное представление теории групп с обобщением на булеву алгебру и с цветом как дополнительным параметром. После теории групп начинающему можно было преподавать математику, логику, электронику и другие области знания - не прибегая к речевой форме. Язык можно сам по себе эффективно анализировать этими методами. Одна головоломка решена: у инопланетян было доступное средство общения." - Энтони Пирс "Макроскоп"
Годный автор?
С "Макроскопом" можно ознакомится: сюжет интересный, вращается вокруг интеллектуальных возможностей человека. Макроскоп иногда перечитываю, а вот другие книги автора не зацепили.
@@Igril, благодарю. Я посмотрел уже - похоже, что не для меня.
почему так мало подписчиков и просмотров. очень годный контент. продолжайте пожалуйста снимать видео.
Потому что UA-cam что-то мутит.
@@dushkin_will_explain Очень жаль. Надеюсь ситуация измениться. Успехов вам!
@@dushkin_will_explain Есть вопрос может быть не по теме. Вы случайно не тот Душкин, чьих книг много по Хаскелу ?
@@bormanamadeus, да я не расстраиваюсь. Мы продолжаем работу.
В какой то момент видимо стрельнет. Главное стабильно выдавать контент.
А операции в таких группах могут быть любыми или только сложение и умножение?
У нас на парах есть такое понятие как "бинарные алгебраические операции" (БАО). Честно, не понимаю отличие БАО от просто БО (бинарных операций), и почему к ним не относятся вычитание и деление? Я понимаю, что с двух сторон должны быть однозначно определены числа одинакового множества, но что, если я хочу их определить на множестве целых чисел (Z) или вещественных (R), а не натуральных (N). Множества ж не ограничиваются только исключительно натуральными числами. Да, с точки зрения множества N, вычитание и деление не являются БАО, так как не всегда с двух сторон у нас однозначно определены числа именно на множестве натуральных чисел, но с остальными-то множествами всё работает иначе) (В общем, как Вы поняли, у меня много вопросов, а всего этого нам на парах не рассказывают😔)
Операции в таких группах могут быть любыми. Например, это может быть операция переворота грани кубика Рубика. Вообще, термины «умножение» и «сложение» - это всего лишь названия. Вы просто к ним привыкли. Нет никакого сложения, как и умножения тоже нет. Есть только БАО, у которых есть определённые свойства.
Ваще-то есть еще одно свойство - групповая операция не выводит за пределы группы. Замкнутость то бишь.
Да, это важно. Но я об этом говорю в видео про полугруппы, а так как группа является полугруппой, то свойство замкнутости наследуется. Но вы правы, надо было упомянуть.
А например, операции поворотов? Ведь в них так же порядок выполнения важен
Да, это хороший пример.
неассоциативная операция это деление например
Да, мне уже указали на это. И вычитание.
Забыл свободные группы! Это тоже важно знать. Свободная значит мы используем формальные элементы a,b,c,d... которые называют Порождающие либо Генераторы и формируем из них произведения, учитывая тот факт, что некоммутативность абсолютная и вездесущая. Обозначаем ⟨a,b,c,d...⟩. Операция в свободной группе есть просто конкатенация строк. Нейтральный элемент есть пустая строка. Обратный элемент просто удаляет свой порождающий либо строку, конечно, только с одной стороны.
Элементы группы представляются как строки из порождающих, и никогда с обратными к ним.
Есть теорема, что любая группа может быть представлена, как свободная + дополнительные Cоотношения(relations) через черту в скобках: ⟨a,b,c,d... | r1, r2, r3...⟩, где каждое соотношение rk может быть приведено к виду элемент=e или системе таких тождеств. Часто пишут небольшие функции, если надо сохранить некую формулу для многих элементов. Такое описание произвольной группы называется комбинат`орным представлением группы. Как правило, оно простое для компов и сложное для исследования свойств групп. Простое соотношение может дать невероятно сложную группу. На пример ⟨ a,b,c | a³b²c²=e ⟩.
Если я не ошибаюсь, то по числу порождающих группы делятся на конечно- и бесконечно-порождённые. А по соотношениям - конечно/бесконечно-представлеными.
Однако, если соотношение задано формулой, на пример ⟨a, b, с | х²=1 ⟩ (т.н. группа Бёрнсайда) х означает - произвольный элемент группы. Однако, группа эта оказывается конечной. И снова - я мог просто записать все тождества для квадратов кажного элемента. И тогда соотношений было бы больше, но тут, кажется, только одно учитывается. Так что точно есть тонкости. Я чаще всего видел соотношения с порождающими и абстрактные функции, просто зависящие от порождающих.
Точно!
12:45 там токо положительные действительные числа должны быть.
Да
А вот и весь плейлист по линейной алгебре: ua-cam.com/video/PB4YoeALD7U/v-deo.html
Конечно же, вы всегда можете обратиться к нам за консультациями.
И, кроме того, вы всегда можете написать мне в ТГ: @rdushkin
Изображение с доски: disk.yandex.ru/i/9flwT4JeZkIVBQ
Я когда-то получал неассоциативность, когда пытался апгрейдить числа, добавив элемент, обратный нулю, мистический элемент ▮ (антиноль), что ▮*0=0*▮=1.
Но тогда могут существовать элементы типа х▮ и когда я их умножаю на 0 то возникают неприятности х▮*0 = х(▮*0)=х что нормально, но вот если переставить скобки
(х▮)*0 то как-бы непонятно.. Тем более, что можно умножать справа: ▮х, и будет так (▮х)*0 что тоже непонятно как вычислить. Если бы х▮=▮х , то возникла бы проблема:
(х▮)*0=(▮х)*0 согласно тождеству, но х▮ это произведение х и ▮, так что можно попробовать переставить скобки, и мы получим: х(▮*0) и ▮(х*0), но они не равны!!!
х(▮*0)=х*1=х, а ▮(х*0)=▮*0=1 !!! Получилась неассоциативность? - Я думаю, что нет, - мы поломали операцию) Ведь х▮=▮х и вышло, что при умножении х▮ на 0 есть 2 значения.
Ладно, тем не менее, без ассоциативности, надо договориться, как расставлять скобки. Я видел статью где вводили неассоциативную структуру из 2 порождающих x, y и соотношениями: xx=y, yy=x, скобки ставили как-то по-хитрому, наверное что бы не ставить их (хх) или (уу) и это оказалось очень богатой структурой! Попробую найти.
Тем не менее, если х▮≠▮х то надо соглашение расстановки скобок, на пример, нормируя их направо: ▮*х*0=▮*(х*0), но 0*(▮*х) непонятно как вычислять, даже с коммутативностью х▮=▮х : 0*(▮*х) = 0*(х*▮), ведь хочется поменять скобки, а нельзя. Иногда математики могут такое просто оставить, как и 2√2.
А если принять соглашение расставлять скобки что бы "сократить" ▮ и 0 побыстрее, то это уже не похоже на шаблон скобок, мы же *меняем* его по случаю. Это похоже на то, что не все скобки позволено , и не дело в том, что результаты различны - дело в том, что *некоторые из них может и не существуют вообще!*
Если ограничивать расставление скобок, то это интерестно: вот *(xy)z* существует, а *x(yz)* уже нет. И вроде как-бы всё равно разные результаты и неассоциативность, но неассоциативность это отношение *(xy)z ≠ x(yz)* . Так что *x(yz)* должен существовать в нашей алгебраической структуре, - а его нет, значит и отношение невозможно "выполнить" , его не существует! И как это назвать? *супер-неассоциативность* или *неполная (не-)ассоциативность*, может *ан-ассоциативность* ?
Можно положить, что х▮ и ▮х являются "неразрывными", то есть они всегда входят в произведения сразу в скобках.. и тогда 0*(▮х), 0*(х▮), ((▮х)*0)*1 так и остануться, либо нам надо выбрать чему они будут равны. Можно оставить те случаи, которые я предложил выше, со скобками для самого удобного сокращения.
Тогда 0*(▮х)=х, 0*(x▮)=1, (▮x)*0=1, (x▮)*0=x. *Красиво и некоммутативно.* Попробуем вместе. Скобки справа: (▮x)*(0*(0*(▮x)))=(▮x)*(0*х)=1, скобки слева:
(((▮x)*0)*0)*(▮х)=0*(▮х)=х. А вот и не повезло! Значит Решено! Я не ставил скобку внутрь (▮х) или (x▮) но ассоциативность не работает!
Эту проблему можно решить, если ограничить варианты расстановки скобок, как я выше говорил, но.. это странно и вряд ли будет удобно. На пример, ставить скобки так, что б внутри всегда было одинаковое число 0-ей и ▮-ей.. что бы сворачивать по тождествам вида 0(x▮) как я уже записывал.
Для чего это?
@@dushkin_will_explain меня занесло.. хотел удалить, но уже вы видели. Неассоциативность получить на много легче, в тех же логических операциях.
Надеюсь вы не читали, да и хорошо.
А может ли быть ассоциативность без коммутативности? Почему это не является обязательным условием для группы?
Да и вообще, нам в универе не объясняют, может, Вы знаете, каков вообще смысл этих групп, колец, полей, кроме того, чтобы зазубрить их до первого коллоквиума или сессии и забыть? Где практическое применение в жизни?
Т.е., сидели как-то математики, им было скучно, не знали, чем себя занять, и решили вдруг классифицировать числа по определённым признакам, выдуманным в их головах... А зачем? А почему именно с такими свойствами? Почему ассоциативность обязательна, а коммутативность - нет? И, самое главное, где это в жизни применить?
У нас очень хреновый препод, который тупо диктует быстро лекции, а требует так, как будто мы понимаем) Я зубрить не люблю - я понимать люблю, так что, может, Вы знаете... На Вас последняя надежда))
Всё просто...
Однажды на лекции по оптике на меня снизошло озарение о том, что в математических формулах не надо искать никакого смысла, ими надо просто синтаксически манипулировать. И после этого мир и весь тяжёлый матан заиграл совсем иными красками.
Поэтому моя рекомендация вам - перестаньте искать смысл в операциях, свойствах и т. д. Да, собрались математики и волюнтаристски (на самом деле, нет - найдите моё видео про математические структуры, в нём рассказано про архитектуру математики) решили создать вот такие вот структуры. И сами структуры (кольца, поля, группы и вот это вот всё) нужны для простых вещей. Например, для кольца можно доказать определённые теоремы. А это значит, что если какая-то конкретная хрень в математике окажется кольцом, то для неё автоматически будут доказаны все теоремы кольца. Всё.
Ну а свойства той структуры, которую назвали кольцом, действительно подобрали более или менее случайным образом.
И да, ассоциативность без коммутативности быть может.
@@dushkin_will_explain спасибо огромное за пояснения))
Можете, пожалуйста, привести пример ассоциативности без коммутативности в операциях сложения или умножения?
@@dushkin_will_explain искать смысл как-раз стоит, как минимум, потому, что про это спросят на паре) Да и просто интересно: я не люблю зубрить - я люблю понимать, что, для чего и зачем.
@@KitaYapa, по-моему, для кватернионов умножение ассоциативно, но антикоммутативно, но перепроверьте.
@@dushkin_will_explain ахах, такого мы ещё не проходили))
Из школьной математики пример неассоциативного умножения это векторное произведение.
Благодарю, отличный пример. Не совсем школьная математика, конечно :)
Просили придумать =))) пожалуйста.
Сначала штаны снять, потом в туалет сходить.
Сначала в туалет сходить, потом штаны снять.
Отлично. Только на практике не проверяйте.
@@dushkin_will_explain Поздно 😉
Кстати, как считаете? На основании всего озвученного в ролике, можем мы считать: 6:2(2+1) как:
6
---------- =1
2(2+1)
Потому как 2(2+1) является группой.
@@Mister_Smit_, нет, так как по соглашению о расстановке скобок для операции * (в обычном алгебраическом понимании) это выражение должно быть преобразовано в (6 * 1/2) * (2+1) = 9
a * b * c = (a * b) * c
@@dushkin_will_explain
Следовательно Вы считаете что:
6:2х=6:2*х=6х:2
6 6 6х
-- = --- х = -----
2х 2 2
Правильно я Вас понял?
@@Mister_Smit_, нет, неправильно. Если убрать весь синтаксический сахар, то исходное выражение будет развёрнуто в: 6 * 1/2 * (2+1), что по соглашению о восстановлении скобок преобразуется в то выражение, которое я дал ранее, и его результат = 9.