When I learned Fourier series forty years ago, I learnt it from a Mathematician, not from an engineer. So, it is just theory without understanding the purpose and the beauty. If these can be use in an algorithm in digital signal processing for purposes like noise cancelling, filtering, then, when an electronic product is produced, then, we can fully appreciate the usefulness.
工程數學就應該如此教! 我當年在台大，工學院的教授各個都知識淵博，但是教起工程數學來一個比一個枯燥無味，讓我寧可翹課去打籃球或撞球也不想上課。現在回想起來，應該是他們知其然而不知其所以然，當年也是硬背公式得到的博士學位。後來在美國從事國防工業，才學到聲納就是用傅立葉轉換來找出敵方潛艦的。海底噪音很多，聲納打出聲波後，收到的回波是由千百種聲波組合成的，艦上電腦以高速傅立葉轉換將這回波抽絲剝繭成千百條單一聲波，與儲存的資料比對，可以看出這一條是海底的泥濘回音，那一條是岩石回音，這一條是鯨魚發出的聲波，那一條是鋼鐵產生的回音，這就是可疑目標，需要注意了! 這是為什麼潛艦的回音資料(聲紋)是最高機密的原因。 盯上後再重複打出聲波，確認鋼鐵目標的距離與方位。電腦性能愈高，取樣分析越完整，速度越快，目標的確定越有把握。這也是為什麼美國不能允許敵對國家擁有高級晶片的原因，戰時這是生死交關的問題。更不用說如果目標是配備核飛彈的敵潛艦，如果抓不到可能自己的國家就要被滅了，但是一旦抓到了，敵國的戰略目標就會被打趴。當年的台大教授如果告訴過我數學不好會亡國，我絕對不會翹課。
你好棒啊~ 居然在從事這麼高科技的行業~
也非常謝謝你的鼓勵~~~
@@HaskaSu 不，閣下作的工作才難，能將複雜的數學概念用程式與動畫深入簡出的表達出來。比起當年我唸書時那些台大教授強多了，他們不是只會拿個千年講義唸經，就是在黑板上抄了又抄，弄得有思考能力的學生一點都沒興趣。傅立葉轉換就是抽絲剝繭術，作為聲音處理可以在深海找出隱藏的潛艦；作為影像處理可以把人體斷層掃描出來的訊號還原成一層一層的影像，腦瘤藏得再深也找得出；作為材料分析則可以還原出各種元素的占比；與魔術也相差不遠。閣下應該去大學教這個抽絲剝繭術。
這影片說明淺顯易懂。這位夥伴的留言，很有共鳴。小弟是農學院畢業生，認同您的看法。不過以前遇到沒有講課沒有內容的老師，我就是蹺課到小小福吃東西，對人生比較有意義，所以我現在跟學生講，我的及格標準你們都知道，翹不翹課室您自己決定。小弟在某領域全美排第一的某學校拿了學歷，加上自己的教書經驗，就知道，當年及現在很多老師，真的沒有深入了解教科書的原理，上台就講，有些人是在應付時間（小弟就是這樣打混的人）。
例如我大四準備研究所時，下課時間找幾個生物化學老師請教，葡萄糖進行厭氧的分解 (glycolysis)，明明沒有氧氣參與，為何可以產生能量。請教教這單元的老師，及另一位，他們的答案我不滿意，後來我想到可能的答案，果然，就在生化教科書第一章。再去請教蘇仲卿老師（幾年前過世），學姐引見時說，學弟來問生化問題，我在門外聽到蘇老師說：生化，我不一定懂。說明完問題，老師一口氣講了三個答案，佩服，我想到一個，以為自己很厲害，蘇老師反射似的說出三個，我的程度，我聽的懂，三個都合理。---另外，第一次上課，我們同學普遍認為蘇老師上的不好，聽不懂，也沒有特色。等我大四重聽生化課（省去補習費），才知道，老師是跨章節幫我們整理資料，是我大三時程度不夠，聽不出來。大師就是大師。
父親成家立業=共業加個別業
畢業後35年才瞭解傅立葉，是玄學業力的計算公式，餘弦是共業，正弦是個別業
總業=共業+別業
這一陣子因工作需要在找傅立葉相關的解說，但真的只有看到你的影片才有一種「啊～ 原來是這樣」的感覺。真的非常感謝你的用心🙏
樓下那個失禮的留言，看起來是沒有找到自己想看的在爆氣。我是一個只學過簡單微積分、線性代數、數統跟計量經濟的文組麻瓜，就是這個影片的受眾，至少給了我能窺探這個知識的管道。知識傳播體系本就存在不同角色，我認為只要能激發興趣，自然會繼續下挖，不用等人投餵，況且數學講解的英文搜尋遍地都是......
頻道主解說易懂，有貼近現實的舉例，還附帶動畫和開源 APP，這個工程量居然是為了做個 youtube 影片，簡直不要太佛！已支持~
感謝支持! 已流淚~
看來是經濟系
很精美的動畫解說。不過我有一些小小的意見。
1. Amplitude一般翻為「振幅」而非「震幅」。
2. 在18:00處，將負頻波解釋成cos(-kx)及sin(-kx)，這是錯誤的講法。cos為偶函數，所以cos(-kx)=cos(kx)；同理sin為奇函數，所以sin(-kx)=-sin(kx)；也就是說cos(-kx)及sin(-kx)做為基底，是與cos(kx)及sin(kx)等同的。
再來cos(kx)及sin(kx)本身是完備的，並沒有漏掉任何基底。但我們可以將cos(kx)及sin(kx)重新線性組合成 exp(ikx)=cos(kx)+i sin(kx)及exp(-ikx)=cos(kx)-i sin(kx)。其中的exp(-ikx)才是你所提的負頻波。
是，受教了~ ❤️
很嚴謹的細節！
正頻波及負頻波是引入exp(ikx)及exp(-ikx)當基底才發生的。改用exp來當基底的好處是，相關的微積分公式較為簡潔；壞處是必須使用複數，當然如果本來要處理的f(x)就是複函數就沒有這個問題。
這兩個特點恰巧是本影片沒有強調的地方，所以負頻波的出現就略顯突兀。
@yuan-jiafan9998 其實當初是有意把整個歐拉公式省略，因為似乎能大幅降低這個課題科普的理解障礙。
只是沒想到還是無法照顧到所有觀眾，真是十分抱歉，下次會再加努力。
@@HaskaSu可以理解你的取捨，基本上本片已經把傅立葉變換最最重要的核心說出來了（也許少了週期函數？），再下去就會引入積分，或者是歐拉公式了。
再次強調你已經做得很好了，在解說數學的中文頻道裡，真的是很少看到這麼精美的自製動畫。
同學們不用擔心，就算你沒有學會，全世界每年都還是有幾百萬個工程師學會傅立葉變換成功畢業搶走你的工作了唷！
百萬個工程師學會的是 npm install fourier-transform
他們學好了傅立葉還是要來醫院治療。😂
@@HaskaSu感謝函式庫讚嘆函式庫
很棒喔！
❤❤❤
這是三天前發的影片的升級版，主要是加強了對於負頻波的解釋，以及修改一些節奏太快的部分。
不好意思 我還是不太理解負頻波的定義，為什麼波的旋轉方向會反轉？謝謝
@@JerryDanke 這裏會提到負頻波是因為我們要由不同的波來組合回原始的混合波
而同一個頻率的波，有分正頻和負頻兩種波
並不是一個波要反轉，而是兩種波都要包含進來進行計算
@@HaskaSu 所以可以理解成 在數學上 跟正頻基底正交的還有這個正頻基底的負頻，所以信號會投影在這兩個基底上面？
@@JerryDanke 沒錯! 就是這樣!
好讚 能用這麼淺顯的方式講解足見理解之深 不知不覺就看完了
個人學過Fourier 數學理論和工程方面的應用。這個以科普來說算是不錯，自己都學到一些東西，支持👍
我要感谢你，虽然这样的内容注定不会有歌手或者其他什么热门内容吸引人关注！但是你做的非常宝贵，非常有价值！
這個頻道真神奇，它讓你只需要掌握國中數學就能理解傅立葉轉換⋯ Up主加油👏 祝你早日突破百萬訂閱！
謝謝你的祝福~ 我要多加油嘍~
雖然七早八早被演算法帶來看這個有點莫名但你解釋的真好，回想以前讀書時對傅立葉的認識完全是囫圇吞棗，當時要是有這種資料可以先讀就好了，感謝
這教學太優秀了!從沒有學傅立葉學到這麼透徹的感覺過，醍醐灌頂啊!!謝謝你
謝謝你的讚美！
靠邀 原來你是光暈戰記的作者 我童年最愛的遊戲 結果現在還是太愛打遊戲到快被當了跑來聽你的傅立葉 真是有緣份阿
呵呵！真是太巧了~
希望你這學期順利過關呀！
@@HaskaSu謝謝你! 希望今年碩士順利畢業喇
非常適合當FT的第一堂簡介，讓同學們了解FT的應用，在電子電機工程上FT應用很廣，通訊系統/訊號處理/資料壓縮/控制系統...。
還不錯 很視覺化 幾乎是把我在上課時聽的傅立葉轉換都講完了 而且還蠻清楚的 剪輯也不錯
謝謝支持～～～
@@HaskaSu改天可以講講快速傅立葉變換 比DFT難好多
資訊科技領域常常用到的取樣sampling概念，原來實際是這樣數學原理及實作
時間切的越短，頻率分的越細，越接近原始訊號
這個影片解答我的知其然，而不知其所以然的部分
真棒！！！
最可怕的是，這個數學居然可以取樣及重現不規則的平面圖形，太厲害了！！！
網路上都只找的到零散的教學，感謝你的影片，非常完整，講解的也十分詳細
影片的结构饱满、节奏流畅，有很好的启蒙作用，辛苦了，谢谢！（上海）
太好了! 谢谢你的鼓励!
When I learned Fourier series forty years ago, I learnt it from a Mathematician, not from an engineer. So, it is just theory without understanding the purpose and the beauty. If these can be use in an algorithm in digital signal processing for purposes like noise cancelling, filtering, then, when an electronic product is produced, then, we can fully appreciate the usefulness.
解說得很不錯，通常教授們這種前情提要的理論，也就是需要知道我們稍等之後要學甚麼的都是輕描淡寫講過而已，而非利用非常生活化以及能夠想像得到的例子來舉例，因為許多的理論基礎通常都是為了解決我們當下想知道的問題而已，因此我是覺得必須要知道我們要學習的理論或是公式的物理意義之後才學習數學的部分，通常物理意義都可以用很通俗的講法去解釋他。而太多老師都選擇只教計算的部分，因為考試會考，但最後就只是成為會考試的人而已。
原本只是想學一下傅立葉變換，點進去看到網頁標題才發現是童年夥伴小哈片刻
真是美麗的不期而遇呀~
本身學工程的，受教了!
之前看工程相關影片都是大陸的，沒想到台灣也有人出品如此精美的動畫!
還有App模擬，實在太用心了!
這是我看過最神的動畫解說
謝謝你的讚美~~~
頭香一波
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剛剛學信號與系統時是很難理解FFT的
實在太過於抽像和複雜了 但凡數學基礎不太好的都每頭問號
但再多做一些練習和實驗之後對FFT有更深入的了解
其實信號處理挺有趣的LOL
建議下次可以出影片說說拉普拉斯變換和Z變換
研究所有修過 “隨機數據分析” ，就是用F.T.為分析工具，將時序列資料先轉換至頻譜上，再作進一步的相關分析。
強者...Respect!
把 Fourier Transform講的好像很簡單一樣。給個讚！
講解的超好!!! 真希望自己大學時候有看到這影片，當時真的只是無腦在算數而已，現在有種恍然大悟的感覺。非常感謝
看完之後覺得跟統計學上的迴歸分析建模非常相似，只是改由三角函數替代解釋變數，cosin(0)就是常數項。
最近正好在查找傅立葉轉換的資料，就看到這部影片了，對我幫助很大！
感謝老師講解，學習音頻信號協議時想瞭解下聲音信號這方面知識，您的課程由淺入深講，不知不覺就看完了，有些不過癮！！哈哈哈
真希望十年前的我就找到這個影片
謝謝！
謝謝你的支持！感動！
好強大的動畫和深刻理解能力，給您一個讚
Thanks!
Thank you for watching and for your kind support.
大約8：15開始，缺了各諧波的相角，只提到振幅a1, a2...相角的重要性是在時間軸的對齊
相角的說明在 19:05 之後有提到，因為螺旋波的相角是由sin/cos共同支持的，所以個別看cos或sin會以為沒有相角。
謝謝。影片對Fourier Transform 的解釋非常清楚。但並未解釋 FFT。FFT 是 Fast Fourier Transform。關鍵是“FAST"。
謝謝您做了這麼棒的影片，我是文組的，但也能看懂80%，😂
太棒了!!!
數學本身很美甚至無暇純淨，但拿來解釋美學領域譬如美術與音樂，兩者的美感就消失殆盡。因此美感還是純粹直覺感受就好，每個人都能有自己不同的感受，沒有標準答案，所以可以盡情發揮。但理解數學在分析美感的作用後，會給創作論述一個簡潔的邏輯基礎，而不只是作者自說自話，所以欣賞數學與欣賞美學一樣重要。
謝謝您，看了這段影片真的比較瞭解。
我高中時自認為是絕對的理工生，事實上大學聯考時物理及化學也是超高標的分數，直到大二學到工程數學後才知道自己錯的離譜，就是傅立葉把我的自信壓在地上摩擦的😂
傅立葉真的讓人又愛又恨啊~
傅立葉嚴格來說是正統工程數學喔，物理只是應用它的運算來解釋電訊的組成分析，你高3如果三角函數沒打好基礎，基本上不用玩傅立葉
很清楚，加上動畫非常棒！
介绍的非常好，学习到了。谢谢
😀
請問向量與分量關係的概念要看什麼理論？
再者11:14空間和維度不是同一個概念，與其說傅立葉是用其他空間的向量分析頻率，更如同在其他維度的向量分析頻率，因為空間是指三維，但維度是泛指所有向量角度
對~是維度，不是空間~~
@HaskaSu 那分量的概念我不懂，你能說明嗎？
@酸我的都是車力巨人 你是指為何內積可以求分量長度嗎？
@HaskaSu 不是分量為何用內積求，而是請教分量是指什麼？因為我沒學過分量
@@酸我的都是車力巨人 可能只是用語不同。
影片中的分量，指的是一個向量可以由一組不同的向量組合而成，這些用來組合的向量就是原本向量的分量。
超讚🎉 好棒的影片 已訂閱
您好，谢谢您的精彩视频，我有一个问题请问：针对一个随机的杂讯，如果拆解成正弦波的组合，由于每个正弦波在最后都完成了自己的周期，并同时开始新的周期，因此如果向后延申，是否预测出来的的还是以前这个杂讯的重复，而不可能预测出不同的形态？因为你视频中讲到可以根据拆解的正弦波预测的时候，没有提到预测的未来只是杂讯的重复。谢谢！😀
你說的沒錯，後面延伸的都是重覆整個週期的波形。
影片中說的預測，是在訊號只會重覆的條件下所作的預測。如果說的讓你誤會，那真的是不好意思~ 請見諒~
介紹很仔細，表示觀念很清楚，以前學得很徹底
受教了，突然通了一大半，谢谢！
我覺得你真的厲害
最通俗的一个例子就是钢琴的和弦，弹135和弦的时候，你的3根手指把3个频率波的合成为一个，傅立叶变换就是反过来，当你听到这个合成波的时候，分辨出是135和弦。这本事一般学钢琴的都会。大脑竟然内置了傅立叶变换，神奇吧？
清楚多了, 謝謝你!
現在大一 我們老師只跟我們說：傅立葉說這世界的所有東西都是由sin cos組成，我只想說：蛤？
啊哈~ 這不正像是弦理論，所有東西都是波動模型，都可以用波函式來描述~
這影片做得很用心！
將這些觀念做簡化是有很有意義的工作 希望以後還有更多影片XD
想問負頻波為什麼會出現？
我可以理解波的數學模型上就是會需要負頻波來表達，但想問你會如何理解負的頻率這件事XD
如果要用定義去想的話，負頻其實是不存在的，因為單位時間內不會有負的發生次數。
所以一般我們要理解負頻的概念，就是讓時間往負的方向走就對了。
就像我們玩樂高，有一個非對稱的方塊，就會存在一模一樣但是是鏡射過來的方塊，他們雖然看起來很像，但卻是無法彼此取代的。
正負頻也是一樣，你想像一下把正頻畫在一張紙上，然後再把紙翻過來就會變成負頻。所以他們其實就是存在一個鏡射的關係，我們用"正"/"負"去稱呼他們，只是為了配合數學模型而已。
太神了
好棒👍，才一分鐘我就開始打哈欠🥱了😂
我是設計成三分鐘可睡著~
睡醒記得按讚~
朽木不可雕也
想問說 3:41 為什麼從三維的角度頻率投影過去會像是螺旋波呀？
超級有幫助的影片！！感謝
波的數學模型(前人發現的)就是一個繞圈圈的圓周運動。一般我們是在二維平面上看這個繞圈運動，是個動畫。
如果把時間當成第三個軸，把繞圈運動的數學模型在三維中畫出來，就會是一個靜態的螺旋形狀~
神!!
最大的收穫第一是螺旋波的三維形象，以後再體悟別的
我如果20年前有看到這個，我就不會被物理系退學了🥹
咦咦~ 小我十歲~
現在電力公司也是利用傅立葉分析對電力品質進行分析研究!!包括諧波電流與諧波電壓
最清楚的解釋，沒有之一
很直观！
讲得太好了！！！
好酷！！！！！
簡直不要太棒了 感謝演算法帶我到這裡
我把我交易的方法教給你，你把完整的大盤傅立葉轉換各種參數意義教給我，我們兩個聯手，搞定當沖的勝率，您覺得如何??
目瞪口呆！
很有趣~感謝分享！
what if the signal is trending upwards or downwards?
Very good point, and that's where Laplace transform comes in.
敲碗Laplace transform 👍
這個真的需要
太神的解說了，還用函式畫出來…
講道理當然非常好，要求我吃下53兆美元債務倒閉了嗎？23兆美元實際獲利錢呢？
呵呵，這是什麼梗嗎？
7:12 就是這些人讓我熬夜的嗎？🤬
😂
太讚了！
牛
所以有絕對音感的人自帶傅立葉轉換濾波器嗎？
可能都是外星人~
作曲家４８４腦子內建傅立葉轉換呀！
演算法推給了我這部影片
想說頻道名稱好熟悉，結果真的是小哈啊?!
真的是小哈！只是慢慢變成老哈了~
所以 SVG 向量圖就是用傅立葉在記錄資料？
呵呵，有點像，但不一樣，因為svg是藝術家直接畫出來，裏面是已經混合好的波。
我們可以用傅立葉去分析它就是了~
小時候在學都不知道自己在學什麼，考試20分大概就是屌打一堆同學了
小哈可以更新光暈嗎
可以~
@@HaskaSu 謝謝🙏
頻率(1X)的分量長度除n，算的結果是每個時間分的段頻率分量"均值"，這樣的理解對嗎，大神
嗯，感覺很對~
除了清晰的解釋，還寫了個程式輔助了解，太強大了。
當初是怕觀眾們以為我只是會耍嘴砲的Utuber，所以我的影片都會固定搭配一個自製小app
現在變成這個頻道的特色了~
標題是Fast F T, 但影片只談FT 沒談到FFT? 難道在sampling再求內積 那部份就是快速FT?
不是，對不起沒講到FFT，我錯了，我不該蹭這名字，我去面壁思過。
讚讚讚。 世界真奇妙
相見恨晚啊！
演算法告訴要學傅立葉變化了是吧?
演算法正在挑選下個世代的科學家~
请问用的什么软件？
請問是指哪方面的軟件?
@@HaskaSuanimation
@@peacefuldragon1831 Adobe Animate
FFT是快速傅里叶变换
對，我蹭了FFT，對不起，下次再教~
我以前超討厭傅立葉轉換...真的整節課叫獸都在教著獸語，完全沒有告知可以用在哪些地方極有趣的點，而讓學生很有興趣去鑽研，整節課我都如坐針氈...痛苦阿.但必修又不能不學...只能死背.
以前教育也沒有這麼生動的圖文解說，可以一看再看.
膝蓋
娃，請您拿來分析大盤走勢，裡面的一些重要參數，就可以拿來當沖，或是短時間內的交易
呵呵，我們人類還沒走完一個整個週期哩~ 所以沒辦法拿來預測這個唷~
@@HaskaSu 不是要預測啦，光是知道參數的變化，就能拿來運用了，每個小震波是有參數的，不用說到傅立葉，我光自己的統計，都能蠻準確的知道當沖時一小波大約走幾點
@@vajrachou408 厲害厲害! 你是這方面的大師~
我是股市小白，只有賠錢的份 :~
大學唸電機系必修信號與系統學這個被當了兩次，從此不想走電信組
能在大學找到興趣與專長最重要。加油！
為什麼會有0.5倍的女朋友
可能才剛交往
😄
壞了，頭好癢，感覺要長腦子了
恭喜恭喜，這下要換頂帽子了~
好難~~感覺就像是另外一個世界。
它難到是另外一個世界~
可以簡化失去意義，這些簡單的觀念其實用心看都會懂，花時間在現在的大學生研究生基本是不必要的
好的～
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其實可以不要舉白話例子，因為很白癡，將數學可以好好講數學
對不起，受教了～
你先把中文學好吧 😞
白話不好嗎？ 你不知道一般人看那些教授說的很複雜自己卻聽不懂…學習就中斷了…這個還可以讓人聯想有共鳴 老師原本就是解惑…你都照搬原文 不解釋 誰有時間理解？ 凡人無法了解天才 只能天才白話解釋 才知道 所以知識傳遞…