(Anneaux) L'anneau Z[X] n'est pas principal

Lien vers mon site: fmaalouf.com
Cette vidéo fait partie d'une série sur les colles, exercices type et grands classiques des concours des grandes écoles. Lien pour la playlist: • Déterminants (10/14): ...

[@FaresMaalouf]

Besoin d'aide en maths?
Visitez mon site: fmaalouf.com

[@abdoulazizndiaye1167]

Un très grand merci.

[@michelmegabacus7894]

Pour montrer que A[X] n'est pas principal lorsque A n'est pas un corps, il est, à mon sens, plus simple et plus puissant de montrer que A[X] ne vérifie pas le théorème de Bachet-Bézout lorsque A n'est pas un corps (plus puissant, car si la principalité implique Bachet-Bézout, il existe des anneaux vérifiant le théorème de Bachet-Bézout mais non principaux).
Soit a un élément non nul non inversible.
a et X sont premiers entre eux (les diviseurs de X sont ±1 et ±X or a ne divise pas X)
Peut on trouver deux polynômes u et v tels que
au + bX = 1 ?
Non. Car le terme constant du second membre est 1 ; le terme constant du premier membre est un multiple de a (donc non inversible).