✓ Векторы. Новая задача в ЕГЭ | Задание 2. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин
Вставка
- Опубліковано 17 тра 2024
- Фильм об Институте iSpring: • Институт iSpring: лиде...
Бесплатня IT-школа для одиннадцатиклассников: ispring.institute/it-school?u...
Как поддержать канал:
Bitcoin: bc1qwzx9t9mz5h5q8sgtz74mdgedxd5wu0g9kq6q5m
Ethereum: 0xAE872DcA8B135cf62Df4B36bE576a2EE64c6066a
Регулярная помощь (Boosty): boosty.to/trushinbv
Регулярная помощь (UA-cam): ua-cam.com/users/trushinbvjoin
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Регулярная помощь (Sponsr): sponsr.ru/trushinbv
Разовая помощь (Ю-money, бывшие Яндекс.Деньги): yoomoney.ru/to/410011017613074
Разовая помощь (PayPal): paypal.me/boristrushin
Разовая помощь (Donation Alerts): www.donationalerts.com/r/bori...
Разовая помощь (Сбер): 2202 2001 0398 5451
В этом учебном году я веду три курса:
✔ «Подготовка к ЕГЭ по профильной математике с 0 до 70 баллов (10-11 класс)»: trushinbv.ru/ege70
Подойдёт и десятиклассникам, которые хотят уже за год до ЕГЭ стабильно решать на 70+, и одиннадцатиклассникам, которые почти ничего не знают, но хотят за год выйти на приличные баллы. На курсе освоим как всю тестовую часть, так и многие задачи из сложной части ЕГЭ.
✔ «Подготовка к ЕГЭ по профильной математике с 60 до 100 баллов (11 класс)»: trushinbv.ru/ege100
Для тех, кто уже знает математику на базовом уровне, и хочет за год освоить её на 90+. Там, в основном, будем учиться решать задания из сложной части ЕГЭ, но залезем немного и в некоторые содержательные задания из тестовой части.
(Если у одиннадцатиклассника есть достаточная мотивация, можно параллельно учиться сразу на двух этих курсах - trushinbv.ru/egepack - их программы согласованы между собой)
✔ «Подготовка к перечневым олимпиадам по математике (10-11 класс)»: trushinbv.ru/olymp
В первую очередь этот курс для одиннадцатиклассников, которые освоили стандартную школьную программу хотя бы на «четыре», и хотят за полгода подготовиться к олимпиадам типа Физтех, Ломоносов, ОММО и ПВГ, чтобы попробовать зацепиться за диплом хотя бы в одной из них.
Кроме того, доступны мои прошлогодние курсы в записи:
✔ «Подготовка к ОГЭ»: trushinbv.ru/oge9
Это запись большого годового курса, который я провел пару лет назад. В этом году у меня не будет новых курсов для 9 класса.
✔ Мини-курсы по отдельным заданиям ЕГЭ:
- Теория вероятности с нуля и до ЕГЭ (Задания 3 и 4): trushinbv.ru/egeTV
- Уравнения и неравенства (Задания 12 и 14): trushinbv.ru/egeAL
- Стереометрия (Задание 13): trushinbv.ru/egeST
- Экономические задачи (Задание 15): trushinbv.ru/egeEC
- Планиметрия (Задание 16): trushinbv.ru/egePL
- Задачи с параметром (Задание 17): trushinbv.ru/egePR
- Теория чисел (Задание 18): trushinbv.ru/egeTC
✔ Мини-курсы по перечневым олимпиадам:
- Олимпиада Физтех: trushinbv.ru/fizteh
- Олимпиада ОММО: trushinbv.ru/ommo
- Олимпиада Ломоносов и ПВГ: trushinbv.ru/lomonosov
Другие курсы Фоксфорда: trushinbv.ru/courses
Репетиторы Фоксфорда: trushinbv.ru/coach
00:00 введение
00:55 направленный отрезок и вектор
04:09 линейные операции с векторами
06:16 везде ли важны баллы егэ?
08:19 скалярное произведение
16:02 векторы на координатной плоскости
21:05 скалярное произведение через координаты
26:09 задачи на длину вектора
30:12 задачи на скалярное произведение
33:29 задачи на угол между векторами
37:20 завершение
Магазин мерча: trushinbv.ru/shop
Книжка от Трушина: trushinbv.ru/book
вКонтакте: ege_trushin
TikTok: / trushinbv
Twitter: / trushinbv
Instagram: / trushinbv
Telegram: t.me/trushinbv
Facebook: / trushinbv
UA-cam: / trushinbv
Личный сайт: TrushinBV.ru
Реклама. АНО ВО «РУМТ», ИНН 1215144727. erid: 2SDnjek4WfA
С годами хорошеете) Спасибо большое за то, что объясняете КАК прийти к решению, а не множите шаблоны!
как же я обожаю таких учителей: все рассказывают, объясняют, стремятся сделать так, чтобы ученик понял все от и до, а не просто заучил схему решения только ради егэ, после сдачи сразу все забыв.
Обязательно про вектора и координаты в 3D. Расстояния между скрещивающимися, до плоскости, между плоскостями. Если векторы не ортогональны (в равностороннем тр-ке, пирамиде) и т.п.
Огромное спасибо вам😍
спасибо, это именно то, что мне было нужно❣
благодарю, Борис!
Ещё есть задачи на разложение векторов, там есть коэффициенты разложения и т.д
Было бы интересно посмотреть как решаются такие задачи
Спасибо
СПАСИБО ВАМ
наконец-то векторы добрались до ЕГЭ.
Спасибо огромное. Как просто
конечно, интересно, поговорить более содержательно про векторы
Больше про векторы
Всегда было интересно послушать про физический и геометрический смысл скалярного произведения векторов =)
Супер
Круто!
Спасибо вам Борис) Теперь мне будут меньше говорить, что я необразован, т.к. говорю, что направленный отрезок и вектор это на одно и тоже
Про тензоры и тензорное исчесление. В физике очень пригодилось бы (тензор проводимости, тензор показателя преломления).
Можно больше про векторы ❤
Косинус в конце еще и как косинус разности найти можно было, если мы умеем в тригонометрию
Здравствуйте, Борис Викторович!
Я ваш ученик и одновременно коллега из Казахстана😊.
Как можно с вами связаться? У вас есть групповые занятия для преподавателей или курсы для повышения квалификации?
Очень хотел бы у вас учиться и иметь возможность получать обратную связь😢
Заранее благодарен!
Ах, какое же приятное скалярное произведение в декартовых координатах🤓
Помнится в универе не только с такими системами координат работали, там скалярные произведения слегка интереснее😁
пользуясь случаем, напишу-ка я что-ли тут “•”-произведение для любых координат
(u) • (v) = ∑ uⁱ vᵢ = ∑ uᵢ vⁱ
где
(u), (v) - векторы,
qⁱ - координаты (независимые параметры, уникально описывающие положение),
(r) = 𝑓(qⁱ) - вектор положения (иногда также называемый “вектором радиуса”) точки, функция от координат,
(b)ᵢ = ∂(r)/∂qⁱ - локальный касательный базис,
δⁱⱼ = 1 если i=j, иначе 0 - символ Kronecker’а,
(d)ⁱ: (d)ⁱ • (b)ⱼ = δⁱⱼ - взаимный кокасательный базис (“кобазис”),
(u) = ∑ uⁱ (b)ᵢ = ∑ uᵢ (d)ⁱ - представление вектора (u) линейной комбинацией векторов базиса и кобазиса,
uⁱ и uᵢ - коэффициенты разложения вектора (u) по базису и кобазису, они же компоненты вектора (u), контравариантные uⁱ и ковариантные uᵢ
прикольно спустя 32 года после окончания школы обновить знания ))
Даааа, давайте в 3д пожалуйста
Ждём 3d векторы)
пожалуйста снимите видео о том откуда взялось формуле Тейлора
Про это есть тонна информации, можете посмотреть разложение в ряд Тейлора в нуле на канале Wild Mathing, нужно что-то построже - открываете любой учебник по матану или гуглите, там и там про это прекрасно написано. Также есть англоязычный канал 3b1b, если владеете английским, можете посмотреть соответствующие видео.
Борис Викторович,
объясните такую вещь про векторы в физике. Если у нас есть сила приложенная к материальной точке, то мы эту силу должны обозначить вектором с концом в этой точке.
Если нарисовать этот же вектор в другой части пространства, то это не имеет физического смысла. Должны ли в этом случае уточнить, что это фиксированный вектор, что по сути тоже самое, что и направленный отрезок?
Пока вас сила интересует как вектор, то неважно где вы её нарисуете. Если вы ищете момент силы, например, и вам становится важна точка приложения, то сила - это уже не просто вектор, а пара - вектор плюс точка. По сути, да, это просто фиксированный направленный отрезок
Тензоры бы так же понятно разложить. 😊
че в них не понятного, берешь и тензорно умножаешь
вектор это изменение координат, даже точнее, изменение чего-то (не только движение самого пространства) по координатам
а то, что вы называете как-то типа "устремлённый кусок" это набор из двух объектов- вектора и точки, я помню была "теория приложенных векторов" в одной книге про механику, там каждый такой "приложенный" состоял из двух векторов (с заранее выбранным "началом отсчёта", сиречь тоже фиксированной точкой пространства)
А если не введена система координат, то и векторов нет? )
@@trushinbv без координат нет даже размерности пространства, и основываться на таких терминах как "(абстрактное) направление" без координат- невозможно, фраза “вектор имеет направление” без координат немыслима, как и “угол между”
update :
а между прочим, такое вот 9:15 определение “•”-продукта чревато вопросом “а что такое косинус угла между?🤔” и петлёй в определениях :D
@@trushinbv иногда бывает и так, что вектором называют что-то совсем не привязанное к пространству+времени, нечто существующее только в воображении, для такого продукта вечно сияющего чистого разума достаточно линейности в смысле сложения и умножения на скаляр, но тогда ни о каком "направлении" речи быть не может до тех пор, пока не будет выбран базис (а это опять же координаты, пусть даже внепространственные)
любой объект (v), представимый как линейная комбинация других объектов (b)ᵢ того же класса со скалярными коэффициентами vⁱ
(v) = vⁱ(b)ᵢ*
и есть разложение по базису (с определёнными требованиями к набору (b)ᵢ ), так что линейность совершенно эквивалентна (может быть "тогда и только тогда") существованию базиса
* суммирование по Einstein’у
Т.е. мы просто вводим формулу скалярного произведения не объяснив что это такое и зачем нужно. 🤔 Ни в школе такого подхода не понимал ни сейчас
а как ещё (поме́рЯть? поме́рИть?...) находить расстояния и углы?
Чтобы посчитать работу силы. По определению, работа силы F на перемещении r равна скалярному произведению векторов F и r. Дело в том, что таким образом, домножая на cos угла между векторами, мы считаем проекцию вектора перемещения на линию действия силы. Для вычисления работы это и нужно, перемещение именно на линии дейстия силы
@@overheaven7160 это я знаю из курса физики. Но это это нихрена не объясняет почему так и какими опытами к этому пришли. Например абсолютно не понятно почему сила Лоренца не совершает никакой работы, но при этом явно меняет направление электрона
@@Metal_dead ну, центростремительная сила (когда штука движется по кругу), тоже не работает*, а направление меняет- это тоже не понятно?
* dW = F • ds = 0 из-за перпендикулярности центростремительного (“нормального”) ускорения и малого перемещения ds
@@vadiquemyself отличный пример когда непонятно
Это школьники еще не знают про вектороное произведение, вот там прикольно
🙄 это студенты ещё не знают про объёмометрический трёхвалентный и по любым двум индексам антисимметричный тензор имени Tullio Levi-Civita, вот там
a × b = (±) a • ³E • b
@@vadiquemyself наверно это не все студенты проходят. Мы же тут не на мехмате все😂
Скалярное произведение то в круглых скобках, то в треугольных скобках, то в просто точкой обозначают..
точкой намного чаще, эта операция даже называется dot product, то есть "точка-произведение"
и че
Всё таки не понятно, почему в учебниках вводят действия над векторами (сложение, вычитание и т.д) и не имея каких либо оснований, применяют эти абстрактные введения в доказательстве свойств некоторых фигур (трапеция например).
объекты вполне определяются набором действий (операций) с ними и свойствами этих операций, ну вот как ты скажешь, что такое -ладно, пока пусть без кватернионов- действительное число
Объясните пожалуйста, с чего мы взяли, что векторы можно применять в доказательствах теорем? Доказательства должны же быть строгими. Таким образом, я могу ввести какую угодно абстрактную вещь, ввести действия над этой вещью, и применять эту вещь в любых доказательствах. Пожалуйста, скажите мне где я ошибаюсь, меня уже не один день колышит этот вопрос.
@@user-ot1zg4sk9b “ввести какую-то абстрактную штуку, действия над ней, и использовать их для доказательств”- вот собственно именно этим математика и занимается 😏😌
А трапеция по-вашему не абстрактная вещь? Или вы видели когда-нибудь трапецию в жизни? Математика вообще абстрактная штука так-то. 😀
трапеция для меня более наглядна чем векторы. Да и вообще вся евклидовая геометрия для меня намного наглядней чем векторы.
а куда делась рубрика Трушин опять куда-то идёт?
В ютубе больше нет "сюжетов" (
Я пытался возродить здесь - www.youtube.com/@trushinshorts - но что-то не пошло
векторы - одна из моих любимых тем, может что то олимпиадное?
Мне нравится определение, говорящее, что вектор - это набор чисел. На плоскости, вектор это пара чисел
а почему пара? что это за числа такие?
координата: (x, y), БВ так и определил в декартовых
@@rmnmlv9328 у него точно было 22:14 что-то бо́льшее, чем просто два числа, “е” там какие-то с индексами....🤔
@@vadiquemyself e1 и e2 это базисные векторы двумерного пространства (1,0) и (0,1), с их помощью можно записать любой вектор, что, собственно, и было сделано: v1=(a,b)=e1*a+e2*b=(a,0)+(0,b)
Важное уточнение: упорядоченный набор чисел.
вы купили новый микрофон!!! 😍
Ему уже года три )
Топ 10 невероятных моментов в жизни:
1 место. Увидеть Бориса Трушина без хвостика
-Всё что имеет начало имеет и конец
-Луч имеет начало, но не имеет конца
Простите за то, что немного лезу вглубь и усложняю жизнь тем, кому скоро сдавать экзамен) Но на самом деле, либо не совсем понятна сама суть вектора, либо не ясно само существо формулы.
Поясняю: когда мы говорим про умножение, то мы говорим о замене нескольких слагаемых одним действием, и в случае с числами всё ясно, но как можно умножить друг на друга НАПРАВЛЕННЫЕ отрезки? И что в итоге получится (что будет обозначать полученное значение)? Отсюда же смежный с последним вопрос: зачем нам умножать НАПРАВЛЕННЫЕ отрезки друг на друга, почему в этом действии фигурирует косинус?
умножаются не куски прямых, и умножаются в совсем другом смысле нежели числа
геометрически, скалярное произведение (“•”-продукт) определяет **расстояния** и **углы** - метрику, это произведение на самом деле первичнее расстояний и углов, и вводить такое произведение через расстояния и углы - не очень (мягко говоря) корректно
Скалярное произведение Q(v,w) = -- это (числовая) функция от двух векторов, устроенная чуть более сложным образом, чем просто угол между векторами.
Произведением оно называется потому, что со сложением векторов связано правилом = + + + , что напоминает дистрибутивный закон (правило раскрытия скобок) для обычных чисел. Для функции "угол между векторами" такой точной связи со сложением не получается, и именно поэтому работают со скалярным произведением.
Скалярное произведение можно определить через длины векторов
= 1/2 (|v|^2 + |w|^2 - |v-w|^2)
-- составляем треугольник из векторов v, w и v-w. То есть эта штука определена сразу, как только определено расстояние на плоскости.
Свойства линейности/дистрибутивности проверяются (достаточно проверить для базисных векторов), и связь с косинусом угла становится очевидна: записанное сверху соотношение и есть теорема косинусов! Видно также, что скалярное произведение с самим собой это квадрат длины.
Борис, у Савватеева вышло видео 27 декабря, он там, среди прочих, разбирает задачку про пятиугольник и линейку (кажется вторая или третья по счету). Он там упоминает вас. Интересно посмотреть ваше решение данной задачи!
P.S. Накидайте лайков, чтобы БВ увидел)
в самом начале, 4:30-4:40 есть объяснение простыми словами, но к этому простому месту возникают вопросы (с точки зрения именно этого объяснения):
Что такое направление у вектора ?
Почему умножение вектора на 2, удваивается его длина, а не направление или и то и другое?
Пожалуйста объясните, не понял почему там координаты по иску умножаются на координаты по игреку. Откуда это взялось в координатной форме скалярного произведения. Заранее благодарен
А где вы такое увидели?
@@trushinbv 23:43 вынесение общего множителя
@@sanyaborsch5791так это мы просто «скобки раскрыли». И эти слагаемые в итоге обнулятся
@@trushinbv скобки раскрыли у координаты точки?
@@sanyaborsch5791у скалярного произведения
23:36 А что дает нам право так "раскрывать скобки"? Мы ведь определили скалярное произведение векторов a и b как число, равное произведению
модулей a и b на косинус угла между ними. Как одно следует из другого?
Так мы же специально все свойства линейности доказали
@@trushinbv Ага, увидел. Наверное, перемотал вместе с рекламой )))
Борис, вопрос такой: игральная кость подбрасывается 1000 раз, какоыа вероятность того, что числа, которые не меньше 5 (5 и 6) выпадут ровно 300 раз? Как это посчитать?)
🫸 овсянка
👉 поридж
🫸 общежитие
👉 ко-ливинг
Разве можно писать координаты вектора в круглых скобках?
А можно как-то по-другому?
@@DictoDictov в фигурных
@@DictoDictovда, лучше всего суммой (линейной комбинацией), например
a = 2i - 1j + 0k
В фигурных точно не стоит. Так множество из вдух чисел записывают, когда их порядок не важен
@@trushinbv я видимо спутал с записью коэффициентов перед векторами i и j
Не тяжело
Здравствуйте! А почему скалярное произведение определяется именно таким образом?
Интересно, какой смысл имеет скалярное произведение векторов?
Саня Булкин
Не понимаю, почему в школе нельзя пару-тройку уроков уделить линейным пространствам, чтобы у детей отпадали вопросы на тему того, что такое вектор, почему направленный отрезок - это не вектор, а класс эквивалентности и т. д.
напомнить, для чего существуют школы?
подсказка : вовсе не для того, чтобы просто так дать тебе информацию ("знания") и способы применения этой информации ("умения"), которые ты мог бы сам использовать для себя как захочешь
@@vadiquemyself, можно ещё тогда подсказку, для чего они существуют?
@@user-fb9mm8vv3hесли простыми словами, то чтобы было как можно больше тех, кто бы делал "грязную" и тяжёлую (во всех смыслах) работу как можно дешевле
Если вы начнете детям пытаться объяснять, что такое линейное пространство, то вопросов не только не станет меньше, их станет больше раз в 10. Не говоря уже о том, что понадобится явно не пара-тройка уроков, чтобы все разжевать.
@@vadiquemyself школа школе рознь. в моей как-то успели пройти и вектора, и пределы и тд. в школах надо по 8 часов математики в неделю минимум, а не вот это все, что сейчас есть
векторов не существует
Так и чисел не существует. Кто бы спорил )
@@trushinbvэто правда
а ложка? is a spoon there?
Как?? а векторного произведения не будет? ?? тфу -тфу-тфу.))
Пока всё в 2D )
@@trushinbv в 2D всё же очень любопытно, как там описываются повороты (а определение поворота эквивалентно определению угла, между прочим ;)
Похоже, что через 5-10 лет в ЕГЭ интегральчики будут и диффуры. 😂
Почему? Тема векторов есть в учебниках за 9 класс, а диффуров нет даже в 11)
@@mechanicalmaiden3944 диффуров нет, а интегралы-то есть. А там от интегралов до простейших дифферов рукой подать. Было бы желание. А желание на расширение и тем самым усложнение программы, видимо, есть. Вон уж целый новый математический предмет ввели.
А существуют криволинейные векторы?
Чёрный кот перешёл вам дорогу,но потом развернклся и прошёл обратно. Он удвоил саоё проклятие или оьменил?? Если кот векторный то отменил, а если скалярнвй, то кдвоил))
Здравствуйте, есть задачка.
Есть предмет А, схожий с предметом В на 99%
А также предмет А схож с предметом С на 99%
Определите степень схожести предметов В и С....
Посчитали?... А теперь новая вводная
Предметы В и С это папа и мама, предмет А - это их ребенок. Степень схожести определяется по ДНК???
Профильним уровнем даже не пахнет
Да, в профиле в первой части задачи обычно проще )
Тут на канале levitov chess вышло видео по комбинаторике.
Как рассматриваете идею возобновить рубрику "В интернете опять кто-тот не прав" [или прав] ????🥸🤓😄😵💫
А так же, если вы в курсе статистических вкладок В.Б. Крамника [в контексте борьбы с читерством], может сделать видео по этой теме?😮😊
Супер