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视频禁止搬运！有字幕。
老师 ， 如果我养一只猫取名叫薛定谔怎样，老师做一下核反应/堆吧，感觉普罗大众不了解情况
希望李老师多讲些数学历史。当年我读中学时，虽然学了不少解题技巧，但极少接触数学历史。
3+5＝8李老师。你写错了
老师您累了，竟然错了两题
3+5=8 :-)
3+5=7，2*6=3，李老师也有失误的时候，从一开始看你的视频我就打心底佩服，某次睡觉前因为看了您的视频，梦中我受到启发突然明白了什么，那是一个能够改变了世界的启发，总之那个梦很美。醒来之后却又想不起来到底是什么。导致我现在天天看你的视频，希望某天能把梦中的发现带到现实。哈哈
香蕉皮比香蕉大
老師證實了，人經常計算太多難的題目，反而會算錯簡單的。
懂我
这视频早出半年复数证明就没那么无聊了
我也是
但笨的人會說這麼簡單的都會算錯
@@zehaosong7865 时光机穿梭回去当年的半年前
常常都會看老師的視頻.謝謝老師令我對新知識有了興趣
欧拉28岁单目失明，58岁双目失明，但这无阻他继续数学研究。何止牛，简直神！
kok seong khew 写轮眼用多了
证明了太执着于数学会失明😂😂😂😂😂
奧丁轉世
做为李老师的忠实粉丝，我想说李老师你的失误我能吹这一年的牛！
哈哈哈哈
3加5不是等于8吗？
公式裡藏了個隱型的-1?
2×6＝3
第四次數學危機2+5=82×6=3
哈哈哈
优秀的同学！
😂 优秀
李老師是數學家，不是算術家，這些枝節算了吧!
mod 9 的一般加法和乘法构成的整环满足你给出的式子。危机？不存在的...
感谢老师，每次看都能感觉到科学之美，知识之美！
没关系，反正听懂了，支持李老师！
这一期短小却帮助很大，学了这么久数学，没有哪个老师这样系统串联数学中的各种数的概念。谢谢。
李永乐的数学超级扎实。不是一般的教授可比。
非常感谢李老师，学了这么久，第一次弄懂这些概念
负数引入一维的方向，复数引入二维的方向（矢量），quaternion引入时空的方向
对头，就是这个意思，复数包含的信息多了一个维度。
学习了，谢谢老师讲自然数，好久没复习了
欧拉显然是李老师的偶像，这么说没错吧
李老师讲的通俗易懂, 大学课程学的深入。两者结合基础巩固得牢固。 恰好在上复变函数。
哇！好有帮助诶！学了这嘛多年，第一次系统的认识了数。
看，我在发现了谁？ 考研视频up主
我最喜欢的数学家是欧拉 他晚年计算古神星轨道算到活活把眼睛算瞎 他的勤奋和对数学的热爱真的很让人崇敬
老师：3+5=7低情商：老师！你算错了！高情商：老师太累了！学渣：哈哈，这老师水平也不咋地嘛。学霸：哇！四维空间的算法！
我以為是為 e i theda =-1做伏筆theda =-1做伏筆
清楚明瞭👍
欧拉应该是老师最敬佩的人了
Edmund Lim 高斯第二
我聽過一個數學系的朋友說過：只要是對數學有一定程度瞭解的人，都會知道歐拉在數學歷史上都是一個不折不扣的怪物
數學王子:高斯
高斯了解一下
歐拉比高斯成就更大的
欧拉发现的定理之多难以想象，直到今天还在不断整理和出版新的欧拉定理！欧拉对近代数学所作的巨大贡献是无人可比的。 尤其作为一个盲人，能用想象推导出那么多的定理，实乃人类史上最大的天才！
stone stone 歐拉對我最大的貢獻 是搞數學沒用處 因為定理沒完沒了現在每年產出5萬新定理
@@Dumm11111 每年5萬?有那麼多??
@@Dumm11111 為何能這麼多 ?
歐拉恆等式其實被發現的很奇妙 前人利用泰勒展開式的sinx及cosx便能發現跟e有異曲同工之妙 而當他加入了i這調皮的虛數便是歐拉恆等式的基礎了 再帶入sin cos pi弧度量便可得出歐拉恆等式了 說起來也不算複雜 但真的要發現這麼美的等式真是可遇不可求owo
永樂老師，肯定在和朋友聊天時，一定聊得很開。。。太有材了。。。
用数学的语言说：自然数对加法不构成群，于是要扩张，这里是关于加法逆运算进行扩张，于是得到到整数；整数对加法构成阿贝尔群，非零整数对乘法是半群，于是整数构成了一个整环，对乘法不一定存在逆元，于是继续扩张，类似自然数的情况对乘法的逆运算进行扩张，就得到了有理数；有理数对加法构成阿贝尔群，对非零自然数的乘法构成群，于是自然数构成了一个域，利用类似的方法不能继续扩张了。但我们发现两点： 第一，自然数对代数方法不封闭，简单地说有理系数多项式的根不一定是有理数，于是有了代数扩张的概念，把所有有理系数多项式的根作为对有理数的扩张，这个方向的扩张我们得到了实代数数，但有些有理系数多项式的根不在我们目前认知的数的范围内，先按下不表，后面继续讨论第二，自然数对极限运算不封闭，利用这个思路进行扩张（方法有戴德金分划或者是度量空间完备化方法）我们得到了实数--这里的扩张方法不是代数方法而是分析方法--事实上实代数数是实数的一部分，且只是很少的一部分--于是许多人开始研究实数了，可是实数对于代数方法还是不封闭的，第一点中的不封闭问题仍旧存在，形如x^2+1=0的多项式方程仍旧无解，于是就有数学家引入了虚数，单位为i，于是我们从实数域一次代数扩张得到了复数域，到此为止，代数方法终于封闭了。我们在复数域得到了一个不朽的定理：代数学基本定理，任意n次复系数多项式必有n个复根。更进一步的，这些根要么是单独出现的实根，要么是互为共轭的一对复根。至此我们对于数本身的认识终于达到了一个新的高度。
不明觉厉！完全不知所云
@@user-jw6nh3gz5b 不算什么很高深的内容，学过数学分析和高等代数基本这些都能明白
@@mqhu2857 数分和高代与工科高数和线代区别是啥？工科生完全看不懂
@@user-jc6bp9qy6g 高等代数比线性代数多了一些纯带数学的内容，线性代数基本讲到矩阵论为止--行列式、矩阵及其变换、线性方程组、二次型等等这些都算是矩阵论的范畴。高等代数的话会多一般多项式系、一般域上的代数和线性变换之类的内容。两门课都是围绕线性变换展开，高等代数会扩展得更深一些。
@@user-jc6bp9qy6g 至于数学分析和高数的区别，高等数学强调计算，数学分析强调理论，大概是这样。
讲台下面肯定有什么美丽的东西让老师分心了
tark lee 有美女?
拍摄的美女
老师居然按讚了，難道.....是真的😂
-公式-
歐拉公式的最美五個數--e i 兀 1 0？
李老師, 請問可講解 complex number, vector number and polar number 的分別嗎? 以前解問題發現好像3個方法都能解，因讀書時為了應付考試沒去深究。現聽了老師的課，又回想這中學心裏的問題。
感谢老师，大有裨益！
李永乐老师概念极清晰！
學得很辛苦……不知有什麼用……从老師的應用中才知！老師出本應用數學各種單項本就偉大
數學真的很有趣，很慶幸可以學習數學
感謝李老師。
如果在我大學修工程數學(一)的時候有看過李老師的視頻就好了。。。
3+5=7，好的，同学们，我再来算下一道题，2*6=3
Johnson Nevaeh 這是咱兩 超過李師的二次證明
李老师您好，我是一名数学与应用数学专业的学生，本来对数学都不怎么感兴趣，但是自从看了您的视频后，觉得数学的世界很美妙，有必要再做进一步的了解 ，谢谢李老师
這視頻真好，知道了自然數到複數的發展。 李老師能說說為什麼負負得正？或者說＂怎樣給初一學生講負負得正＂。謝謝你！
非常好
😯😯😯今天又是水准啊，我差一点就没看出来哪里出错了呢😂😂😂
老师这节课的结尾语好搞笑，
我真的挺羡慕李老师的，智慧。
這位老師的口條跟系統都相當清楚
老师故意写错的，看看你们有没有认真听课
哈哈哈可以的，专业洗地~
2+2等于掰？
1984
歐拉公式的五個數0,1,phi,i,e分別代表了多個數學課題0:多位數的基礎 沒有0就沒辦法寫出兩或以上位數 比如100,1000 1:最小的正整數 也代表加減乘除的基礎phi:圓形的運算代數i:虛數e:趨近論所誕生的代數
phi？pi？
0也可以說是為了表示「無」而「存在」的矛盾符號
@@earthlibrary Φ
真是精彩！
实数具有完备性，所以欧几里得用尺规作等边三角形的时候，圆规画出的两条弧线必定相交。有理数系是“坑坑洞洞”的，不具有完备性。
最美的公式 尤拉公式 完整展現複變的精髓，兩個無理數和一個虛數呈現出一個自然數
3+5=7 我想到台灣的廣告,,,,,,,,,,,,,,,你累了嗎,,,,哈哈,,
蛮牛？
这是7的意志，那个男人
3+5=7？😂
光波的相位就是欧拉公式，诚如李老师所说“非常有用”
李老师和欧拉都太帅啦！
Please enable English subtitles 🙏🙏🙏🙏🙏🙏
Exactly
老师，你觉得在数学领域Euler和Gauss谁的贡献更大些
坚持学习
謝謝老師講解，小弟如約報到了
专业“黑”李老师👨🏫。李老师，最美欧拉公式里面的π不是指圆周率，而是指正弦函数里面角度π，π=180度。我记得不大清了，不知道我理解的对不对
武汤 你说的对。我理解成π值的代入了。应该理解成弧度代入。谢谢指出。这次没“黑”成
1:46 2×6=3
谢谢老师
李老师的简单算术太可爱了！哈哈
嚴重錯誤3+5=7，應該是8，還是他已經發現了另一數學定律
数学全都还给老师了！ :)捂脸
Thank you UA-cam Recomendation
高中到大学的数学知识基本忘光了，李老师的视频让我有点记忆了。
以前我们念书的时候，最小的自然数是1，现在的教材把0也定义为自然数了，以前的自然数定义为正整数，现在定义为非负整数了
2x6=3 :D
李老师让我重新爱上数学
I don't even know much mandarin but this was interesting to watch好的说明!有意思了
有学识也是另外一种性感啊
沒錯但很可惜 現在絕大多數的人不追求學識而追求電視
這兩者有差嗎???
3+5=7？2*6=3？
It was in my recommendation!
强烈建议李老师录制小学开始的数学课讲座一直到大学的！！
说明欧拉算命也很准啊。
欧拉知道的太多了，上帝说必须死
玄学家欧拉
欧拉超越了他在世时世界和历史上所有曾经提笔研究数学的人。在欧拉那个时代，他就是最伟大的数学家。
ヨハネの福音書 14:66 イエスはトマスに言われました。「いいですか。わたしが道です。そして真理でもあり、いのちでもあります。わたしを通らなければ、だれ一人、父のところへは行けません。ヨハネの福音書 3:1818 この神の子を信じる者は、永遠の滅びを免れます。しかし信じない者は、神のひとり子を信じなかったので、すでにさばかれているのです。テモテへの手紙Ⅰ 2:5-65-6 その真理とはこうです。神と人間とは、それぞれ別の岸に立っています。そして、人となられたキリスト・イエスがその間に立ち、ご自分のいのちを全人類のために差し出すことによって、両者の橋渡しをされたのです。これこそ、時が至って、神が私たちに示された教えにほかなりません。使徒の働き 4:1212 この方以外には、だれによっても救われません。天下に、人がその名を呼んで救われる名は、ほかにないのです。」ヨハネの福音書 8:12世の光であるイエス12 そのあとで、イエスは人々にお話しになりました。「わたしは世の光です。わたしに従って来れば、暗闇でつまずくことはありません。いのちの光が、あなたがたの進む道を明るく照らすからです。」ヨハネの福音書 8:3232 あなたがたは真理を知り、その真理があなたがたを自由にするのです」と言いました。ヨハネの福音書 17:3Japanese Living Bible3 ただ一人のまことの神であるあなたと、あなたがこの地上にお遣わしになったわたしを知ること、それが永遠のいのちを得る道です。ヨハネの福音書 8:3636 だから、神の子が自由にしてあげたなら、それでほんとうに自由の身になるのです。マルコの福音書 8:3535 自分のいのちを守ることばかりにとらわれている者は、それを失います。わたしと福音とのためにいのちを捨てる者が、いのちを得るのです。ヨハネの福音書 8:5151 よく言っておきましょう。わたしに従う者は、決して死なないのです」と言われました。ヨハネの福音書 11:25-2725 しかし、イエスは言われました。「このわたしが、死人を生き返らせ、もう一度いのちを与えるのです。わたしを信じる者は、たとえほかの人と同じように死んでも、また生きるのです。 26 わたしを信じて永遠のいのちを持っている者は、決して滅びることがありません。このことを信じますか、マルタ。」 27 「はい、先生。あなたこそ、長いあいだ待ち続けてきた神の子キリストだと信じております。」マルコの福音書 8:3636 たとえ全世界を自分のものにしても、いのちを失ったら、何の得があるでしょう。ヨハネの黙示録 21:88 しかし、わたしに従うのをやめるような臆病者、不忠実な者、堕落した者、人殺し、不道徳な者、魔術を行う者、偶像礼拝者、うそをつく者――このような者たちの行き着く先は、火と硫黄が燃えさかる池です。これが第二の死なのです。」ヨハネの手紙Ⅰ 5:2020 また、神の御子が来て、私たちに真の神を知る力を与えてくださったことも知っています。ですから私たちは、神の御子イエス・キリストによって、真実な方のうちにいるのです。この方こそ、真実の神であり、永遠のいのちです。使徒の働き 17:2424 この方は、世界と、その中のすべてのものをお造りになった天地の主です。ですから、人の造った神殿にはお住みになりません。コロサイ人への手紙 2:8Japanese Living Bible8 あのむなしい、だましごとのような哲学によって、だれからも信仰と喜びが奪われないように注意しなさい。あのような哲学はキリストのことばによるものではなく、人間の考えや思いつきから出た、幼稚な考えでしかありません。コロサイ人への手紙 2:1010 ですから、キリストを自分のものとしているなら、すべてを手に入れたことになります。あなたがたはキリストと結びつくことによって神に満たされているのです。キリストは、すべての力を従えた、権威ある、最高の支配者です。ヨハネの手紙Ⅱ 99 キリストの教えからはずれて、それを守ろうとしない者は、神のものではありません。しかしキリストの教えにとどまっている者は、父なる神と御子を自分のうちに持っているのです。ローマ人への手紙 6:2323 罪の支払う報酬は死です。しかし、神が下さる賜物は、私たちの主キリスト・イエスによる永遠のいのちです。ヨハネの福音書 3:1515 わたしを信じる人がみな、永遠のいのちを持つためです。」マルコの福音書 1:1515 「いよいよ来るべき時が来ました。神の国が近づいたのです。みな、悔い改めて、福音を信じなさい。」ヨハネの福音書 3:3636 この方は神の御子なのです。この方に救っていただけると信じる者はだれでも、永遠のいのちを得ます。しかし、この方に従わない者は、天国を見ることができないばかりか、神の怒りがその人の上にとどまるのです。」 ____________________________________
老师说的真好，学校里听不懂来这里就明白了，希望以后多出这样的干货，做中国科普khan！
正在看傅利叶变幻，突然看到手机推送了李老师的这个视频！缘，妙不可言。
感觉欧拉好强,每个视频都有他似的
洋迪子Yang Tee 李永乐才厉害，每个视频都有李永乐
李涛 强啊
其實更扯的是 高斯，重點她活得夠久，發現不少東西
世界三大数学家是吧，老师好像是这么介绍的，说得应该是我们人类世界吧😁😁😁😁
如果我中学是跟着李老师学该有多好啊
我也是。
是啊，如果我数学老师是李老师，可能高考的命运都改变了
天才教授！把课讲得清楚、明了；实用我这个“理科类脑洞贫困户”。👍
李老师，什么时候讲讲混沌数学跟模糊数学想了解了解，谢谢
记得大学的第一节数学课，老师让我们每个人写出你认为最重要的5个数，我写了：1,0，π，i，二分之负一加根号五，然后老师就介绍了欧拉公式。
期待李老师讲讲这个等式的证明过程吧……
当时录了，录到了视频外面去了，没剪出来
泰勒展开
李永乐老师 能發出來嗎?
應該是錄製完之後發覺內容過於沉悶，對於非數學愛好者來說，證明的過程是很冗長的；畢竟李老師這個視頻應該是有製作團隊，所以剪輯出比較對應大眾口味的內容。(畢竟李老師也要點擊率阿XDDDD)
这个证明并不复杂的，用到的泰勒公式展开和微分方程都是大学高等数学的内容，有兴趣的话自学一下也完全可以
1712年，英国数学家Roger Cotes（1662－1716）在研究螺旋线的弧长的时候，似乎是第一个发现与Euler方程等价的公式：ln(sinq+icosq)=iq只需要将公式两边做为e的幂，就能够得到Euler公式，但很明显，Cotes从未做过这样的变换。并且，Cotes在1716年就与世长辞，还来不及发表他在这个领域的大部分研究成果。
幂指数经历过一次次的扩展。有理指数是对整数指数幂开根运算扩展出来的；无理数指数是通过确界扩展出来的；而复指数呢，则是通过实级数向复数扩展推出来的。
又来抢头牌了
原來數學這麼美
承上启下，总结到位
今天李老师讲了虚数开方的问题，下次有机会的话能不能请李老师讲一讲九章算经里手动开平方和开立方的方法呢？期待，李老师请继续加油💪
Rhoderick Zhu 哈哈，对中国古人的方法更想多了解一些
这期内容非常好 可惜有的人只会纠结于3+5等于多少
Reck1ess s 3+5你不觉得很科幻吗？曾经《三体》的作者一一一一介绍一一一一解答一一一一回复
你忽视了2*6=3
欧拉：人挡杀人 佛挡杀佛
doli99 sjyiao 我的一生无怨无悔
前面是费马。。欧拉跑了
前面有辆车，刹车
高中时代论证过的题，时隔近20年还是那么有趣👍
支持
我也想问问题：为什么记忆宫殿可以记住很多东西？李老师是如何记住这嘛多知识的？
Sailing Infante 我也想知道
興趣推動
老师都是要备课的
要是上学那会听课也是迫不及待的感觉，估计就考上清华了
Breaker King 真正认真过的人才知道清华确实不好考😂
我高中的数学老师也姓李，他是奥赛金牌教练，但他在讲“数系的扩充与复数的引入”的时候并没有您讲得好，感觉那个时候更多的是应对考试，高考。
老師可以講解一下 傅里叶变换 嗎？ Fourier transfermation？
3+5＝7
失误
老师你这相当于罚失点球
哈哈，李老师这12码点球打飞机了！
1:45 2x6=3 一邊說話一邊寫字容易失誤 😄
手抖了
李老师能不能讲讲全体自然数之和等于-1/12，以及拓展
可以考虑
的确有，但还是希望以李老师的思路再拓展一下
张超 ua-cam.com/video/OXV43tm2BnI/v-deo.html
亞修 驚呆了我 🤯
王泓翔 哈哈
李老师，能不能讲讲二维傅里叶是怎么回事，谢谢
复数，使得用一个数表示平面上的点成为可能。那是否存在一个j，和i配合以后，使得一个数表示立体空间里的点呢？这样在很多计算中可以很大程度的简化
估计也是熬夜看球了，呵呵
别笑了，只有大牛才能算错这种题，你们算的错吗？你们算不错。
您好李老师，很喜欢你的知识视频。如果有时间，可不可以讲一讲传销后面的数学知识。像USANA,黑茶，它们的奖金制度与营销模式。和最早的“庞氏骗局”有何区别。非常感谢！
厉害😄
视频禁止搬运！
有字幕。
老师 ， 如果我养一只猫取名叫薛定谔怎样，老师做一下核反应/堆吧，感觉普罗大众不了解情况
希望李老师多讲些数学历史。当年我读中学时，虽然学了不少解题技巧，但极少接触数学历史。
3+5＝8李老师。你写错了
老师您累了，竟然错了两题
3+5=8 :-)
3+5=7，2*6=3，李老师也有失误的时候，从一开始看你的视频我就打心底佩服，某次睡觉前因为看了您的视频，梦中我受到启发突然明白了什么，那是一个能够改变了世界的启发，总之那个梦很美。醒来之后却又想不起来到底是什么。导致我现在天天看你的视频，希望某天能把梦中的发现带到现实。哈哈
香蕉皮比香蕉大
老師證實了，人經常計算太多難的題目，反而會算錯簡單的。
懂我
这视频早出半年复数证明就没那么无聊了
我也是
但笨的人會說這麼簡單的都會算錯
@@zehaosong7865 时光机穿梭回去当年的半年前
常常都會看老師的視頻.
謝謝老師令我對新知識有了興趣
欧拉28岁单目失明，58岁双目失明，但这无阻他继续数学研究。何止牛，简直神！
kok seong khew 写轮眼用多了
证明了太执着于数学会失明😂😂😂😂😂
奧丁轉世
做为李老师的忠实粉丝，我想说李老师你的失误我能吹这一年的牛！
哈哈哈哈
3加5不是等于8吗？
公式裡藏了個隱型的-1?
2×6＝3
第四次數學危機
2+5=8
2×6=3
哈哈哈
优秀的同学！
😂 优秀
李老師是數學家，不是算術家，這些枝節算了吧!
mod 9 的一般加法和乘法构成的整环满足你给出的式子。危机？不存在的...
感谢老师，每次看都能感觉到科学之美，知识之美！
没关系，反正听懂了，支持李老师！
这一期短小却帮助很大，学了这么久数学，没有哪个老师这样系统串联数学中的各种数的概念。谢谢。
李永乐的数学超级扎实。不是一般的教授可比。
非常感谢李老师，学了这么久，第一次弄懂这些概念
负数引入一维的方向，复数引入二维的方向（矢量），quaternion引入时空的方向
对头，就是这个意思，复数包含的信息多了一个维度。
学习了，谢谢老师讲自然数，好久没复习了
欧拉显然是李老师的偶像，这么说没错吧
李老师讲的通俗易懂, 大学课程学的深入。两者结合基础巩固得牢固。 恰好在上复变函数。
哇！好有帮助诶！学了这嘛多年，第一次系统的认识了数。
看，我在发现了谁？ 考研视频up主
我最喜欢的数学家是欧拉 他晚年计算古神星轨道算到活活把眼睛算瞎 他的勤奋和对数学的热爱真的很让人崇敬
老师：3+5=7
低情商：老师！你算错了！
高情商：老师太累了！
学渣：哈哈，这老师水平也不咋地嘛。
学霸：哇！四维空间的算法！
我以為是為 e i theda =-1做伏筆theda =-1做伏筆
清楚明瞭👍
欧拉应该是老师最敬佩的人了
Edmund Lim 高斯第二
我聽過一個數學系的朋友說過：只要是對數學有一定程度瞭解的人，都會知道歐拉在數學歷史上都是一個不折不扣的怪物
數學王子:高斯
高斯了解一下
歐拉比高斯成就更大的
欧拉发现的定理之多难以想象，直到今天还在不断整理和出版新的欧拉定理！欧拉对近代数学所作的巨大贡献是无人可比的。 尤其作为一个盲人，能用想象推导出那么多的定理，实乃人类史上最大的天才！
stone stone
歐拉對我最大的貢獻 是
搞數學沒用處 因為定理沒完沒了
現在每年產出5萬新定理
@@Dumm11111 每年5萬?有那麼多??
@@Dumm11111 為何能這麼多 ?
歐拉恆等式其實被發現的很奇妙 前人利用泰勒展開式的sinx及cosx便能發現跟e有異曲同工之妙 而當他加入了i這調皮的虛數便是歐拉恆等式的基礎了 再帶入sin cos pi弧度量便可得出歐拉恆等式了 說起來也不算複雜 但真的要發現這麼美的等式真是可遇不可求owo
永樂老師，肯定在和朋友聊天時，一定聊得很開。。。太有材了。。。
用数学的语言说：
自然数对加法不构成群，于是要扩张，这里是关于加法逆运算进行扩张，于是得到到整数；
整数对加法构成阿贝尔群，非零整数对乘法是半群，于是整数构成了一个整环，对乘法不一定存在逆元，于是继续扩张，类似自然数的情况对乘法的逆运算进行扩张，就得到了有理数；
有理数对加法构成阿贝尔群，对非零自然数的乘法构成群，于是自然数构成了一个域，利用类似的方法不能继续扩张了。
但我们发现两点： 第一，自然数对代数方法不封闭，简单地说有理系数多项式的根不一定是有理数，于是有了代数扩张的概念，把所有有理系数多项式的根作为对有理数的扩张，这个方向的扩张我们得到了实代数数，但有些有理系数多项式的根不在我们目前认知的数的范围内，先按下不表，后面继续讨论
第二，自然数对极限运算不封闭，利用这个思路进行扩张（方法有戴德金分划或者是度量空间完备化方法）我们得到了实数--这里的扩张方法不是代数方法而是分析方法--事实上实代数数是实数的一部分，且只是很少的一部分--于是许多人开始研究实数了，可是实数对于代数方法还是不封闭的，第一点中的不封闭问题仍旧存在，形如x^2+1=0的多项式方程仍旧无解，于是就有数学家引入了虚数，单位为i，于是我们从实数域一次代数扩张得到了复数域，到此为止，代数方法终于封闭了。
我们在复数域得到了一个不朽的定理：代数学基本定理，任意n次复系数多项式必有n个复根。更进一步的，这些根要么是单独出现的实根，要么是互为共轭的一对复根。至此我们对于数本身的认识终于达到了一个新的高度。
不明觉厉！完全不知所云
@@user-jw6nh3gz5b 不算什么很高深的内容，学过数学分析和高等代数基本这些都能明白
@@mqhu2857 数分和高代与工科高数和线代区别是啥？工科生完全看不懂
@@user-jc6bp9qy6g 高等代数比线性代数多了一些纯带数学的内容，线性代数基本讲到矩阵论为止--行列式、矩阵及其变换、线性方程组、二次型等等这些都算是矩阵论的范畴。高等代数的话会多一般多项式系、一般域上的代数和线性变换之类的内容。两门课都是围绕线性变换展开，高等代数会扩展得更深一些。
@@user-jc6bp9qy6g 至于数学分析和高数的区别，高等数学强调计算，数学分析强调理论，大概是这样。
讲台下面肯定有什么美丽的东西让老师分心了
tark lee 有美女?
拍摄的美女
老师居然按讚了，難道.....是真的😂
-公式-
歐拉公式的最美五個數--e i 兀 1 0？
李老師, 請問可講解 complex number, vector number and polar number 的分別嗎? 以前解問題發現好像3個方法都能解，因讀書時為了應付考試沒去深究。現聽了老師的課，又回想這中學心裏的問題。
感谢老师，大有裨益！
李永乐老师概念极清晰！
學得很辛苦……不知有什麼用……从老師的應用中才知！老師出本應用數學各種單項本就偉大
數學真的很有趣，很慶幸可以學習數學
感謝李老師。
如果在我大學修工程數學(一)的時候有看過李老師的視頻就好了。。。
3+5=7，好的，同学们，我再来算下一道题，2*6=3
Johnson Nevaeh
這是咱兩 超過李師的二次證明
李老师您好，我是一名数学与应用数学专业的学生，本来对数学都不怎么感兴趣，但是自从看了您的视频后，觉得数学的世界很美妙，有必要再做进一步的了解 ，谢谢李老师
這視頻真好，知道了自然數到複數的發展。 李老師能說說為什麼負負得正？或者說＂怎樣給初一學生講負負得正＂。謝謝你！
非常好
😯😯😯今天又是水准啊，我差一点就没看出来哪里出错了呢😂😂😂
老师这节课的结尾语好搞笑，
我真的挺羡慕李老师的，智慧。
這位老師的口條跟系統都相當清楚
老师故意写错的，看看你们有没有认真听课
哈哈哈可以的，专业洗地~
2+2等于掰？
1984
歐拉公式的五個數0,1,phi,i,e分別代表了多個數學課題
0:多位數的基礎 沒有0就沒辦法寫出兩或以上位數 比如100,1000
1:最小的正整數 也代表加減乘除的基礎
phi:圓形的運算代數
i:虛數
e:趨近論所誕生的代數
phi？pi？
0也可以說是為了表示「無」而「存在」的矛盾符號
@@earthlibrary Φ
真是精彩！
实数具有完备性，所以欧几里得用尺规作等边三角形的时候，圆规画出的两条弧线必定相交。有理数系是“坑坑洞洞”的，不具有完备性。
最美的公式 尤拉公式 完整展現複變的精髓，兩個無理數和一個虛數呈現出一個自然數
3+5=7 我想到台灣的廣告,,,,,,,,,,,,,,,你累了嗎,,,,哈哈,,
蛮牛？
这是7的意志，那个男人
3+5=7？😂
光波的相位就是欧拉公式，诚如李老师所说“非常有用”
李老师和欧拉都太帅啦！
Please enable English subtitles 🙏🙏🙏🙏🙏🙏
Exactly
老师，你觉得在数学领域Euler和Gauss谁的贡献更大些
坚持学习
謝謝老師講解，小弟如約報到了
专业“黑”李老师👨🏫。李老师，最美欧拉公式里面的π不是指圆周率，而是指正弦函数里面角度π，π=180度。我记得不大清了，不知道我理解的对不对
武汤 你说的对。我理解成π值的代入了。应该理解成弧度代入。谢谢指出。这次没“黑”成
1:46 2×6=3
谢谢老师
李老师的简单算术太可爱了！哈哈
嚴重錯誤3+5=7，應該是8，還是他已經發現了另一數學定律
数学全都还给老师了！ :)捂脸
Thank you UA-cam Recomendation
高中到大学的数学知识基本忘光了，李老师的视频让我有点记忆了。
以前我们念书的时候，最小的自然数是1，现在的教材把0也定义为自然数了，以前的自然数定义为正整数，现在定义为非负整数了
2x6=3 :D
李老师让我重新爱上数学
I don't even know much mandarin but this was interesting to watch
好的说明!有意思了
有学识也是另外一种性感啊
沒錯
但很可惜 現在絕大多數的人不追求學識而追求電視
這兩者有差嗎???
3+5=7？2*6=3？
It was in my recommendation!
强烈建议李老师录制小学开始的数学课讲座一直到大学的！！
说明欧拉算命也很准啊。
欧拉知道的太多了，上帝说必须死
玄学家欧拉
欧拉超越了他在世时世界和历史上所有曾经提笔研究数学的人。在欧拉那个时代，他就是最伟大的数学家。
ヨハネの福音書 14:6
6 イエスはトマスに言われました。「いいですか。わたしが道です。そして真理でもあり、いのちでもあります。わたしを通らなければ、だれ一人、父のところへは行けません。
ヨハネの福音書 3:18
18 この神の子を信じる者は、永遠の滅びを免れます。しかし信じない者は、神のひとり子を信じなかったので、すでにさばかれているのです。
テモテへの手紙Ⅰ 2:5-6
5-6 その真理とはこうです。神と人間とは、それぞれ別の岸に立っています。そして、人となられたキリスト・イエスがその間に立ち、ご自分のいのちを全人類のために差し出すことによって、両者の橋渡しをされたのです。これこそ、時が至って、神が私たちに示された教えにほかなりません。
使徒の働き 4:12
12 この方以外には、だれによっても救われません。天下に、人がその名を呼んで救われる名は、ほかにないのです。」
ヨハネの福音書 8:12
世の光であるイエス
12 そのあとで、イエスは人々にお話しになりました。「わたしは世の光です。わたしに従って来れば、暗闇でつまずくことはありません。いのちの光が、あなたがたの進む道を明るく照らすからです。」
ヨハネの福音書 8:32
32 あなたがたは真理を知り、その真理があなたがたを自由にするのです」と言いました。
ヨハネの福音書 17:3
Japanese Living Bible
3 ただ一人のまことの神であるあなたと、あなたがこの地上にお遣わしになったわたしを知ること、それが永遠のいのちを得る道です。
ヨハネの福音書 8:36
36 だから、神の子が自由にしてあげたなら、それでほんとうに自由の身になるのです。
マルコの福音書 8:35
35 自分のいのちを守ることばかりにとらわれている者は、それを失います。わたしと福音とのためにいのちを捨てる者が、いのちを得るのです。
ヨハネの福音書 8:51
51 よく言っておきましょう。わたしに従う者は、決して死なないのです」と言われました。
ヨハネの福音書 11:25-27
25 しかし、イエスは言われました。「このわたしが、死人を生き返らせ、もう一度いのちを与えるのです。わたしを信じる者は、たとえほかの人と同じように死んでも、また生きるのです。 26 わたしを信じて永遠のいのちを持っている者は、決して滅びることがありません。このことを信じますか、マルタ。」 27 「はい、先生。あなたこそ、長いあいだ待ち続けてきた神の子キリストだと信じております。」
マルコの福音書 8:36
36 たとえ全世界を自分のものにしても、いのちを失ったら、何の得があるでしょう。
ヨハネの黙示録 21:8
8 しかし、わたしに従うのをやめるような臆病者、不忠実な者、堕落した者、人殺し、不道徳な者、魔術を行う者、偶像礼拝者、うそをつく者――このような者たちの行き着く先は、火と硫黄が燃えさかる池です。これが第二の死なのです。」
ヨハネの手紙Ⅰ 5:20
20 また、神の御子が来て、私たちに真の神を知る力を与えてくださったことも知っています。ですから私たちは、神の御子イエス・キリストによって、真実な方のうちにいるのです。この方こそ、真実の神であり、永遠のいのちです。
使徒の働き 17:24
24 この方は、世界と、その中のすべてのものをお造りになった天地の主です。ですから、人の造った神殿にはお住みになりません。
コロサイ人への手紙 2:8
Japanese Living Bible
8 あのむなしい、だましごとのような哲学によって、だれからも信仰と喜びが奪われないように注意しなさい。あのような哲学はキリストのことばによるものではなく、人間の考えや思いつきから出た、幼稚な考えでしかありません。
コロサイ人への手紙 2:10
10 ですから、キリストを自分のものとしているなら、すべてを手に入れたことになります。あなたがたはキリストと結びつくことによって神に満たされているのです。キリストは、すべての力を従えた、権威ある、最高の支配者です。
ヨハネの手紙Ⅱ 9
9 キリストの教えからはずれて、それを守ろうとしない者は、神のものではありません。しかしキリストの教えにとどまっている者は、父なる神と御子を自分のうちに持っているのです。
ローマ人への手紙 6:23
23 罪の支払う報酬は死です。しかし、神が下さる賜物は、私たちの主キリスト・イエスによる永遠のいのちです。
ヨハネの福音書 3:15
15 わたしを信じる人がみな、永遠のいのちを持つためです。」
マルコの福音書 1:15
15 「いよいよ来るべき時が来ました。神の国が近づいたのです。みな、悔い改めて、福音を信じなさい。」
ヨハネの福音書 3:36
36 この方は神の御子なのです。この方に救っていただけると信じる者はだれでも、永遠のいのちを得ます。しかし、この方に従わない者は、天国を見ることができないばかりか、神の怒りがその人の上にとどまるのです。」 ____________________________________
老师说的真好，学校里听不懂来这里就明白了，希望以后多出这样的干货，做中国科普khan！
正在看傅利叶变幻，突然看到手机推送了李老师的这个视频！缘，妙不可言。
感觉欧拉好强,每个视频都有他似的
洋迪子Yang Tee 李永乐才厉害，每个视频都有李永乐
李涛 强啊
其實更扯的是 高斯，重點她活得夠久，發現不少東西
世界三大数学家是吧，老师好像是这么介绍的，说得应该是我们人类世界吧😁😁😁😁
如果我中学是跟着李老师学该有多好啊
我也是。
是啊，如果我数学老师是李老师，可能高考的命运都改变了
天才教授！把课讲得清楚、明了；实用我这个“理科类脑洞贫困户”。👍
李老师，什么时候讲讲混沌数学跟模糊数学想了解了解，谢谢
记得大学的第一节数学课，老师让我们每个人写出你认为最重要的5个数，我写了：1,0，π，i，二分之负一加根号五，然后老师就介绍了欧拉公式。
期待李老师讲讲这个等式的证明过程吧……
当时录了，录到了视频外面去了，没剪出来
泰勒展开
李永乐老师 能發出來嗎?
應該是錄製完之後發覺內容過於沉悶，對於非數學愛好者來說，證明的過程是很冗長的；畢竟李老師這個視頻應該是有製作團隊，所以剪輯出比較對應大眾口味的內容。
(畢竟李老師也要點擊率阿XDDDD)
这个证明并不复杂的，用到的泰勒公式展开和微分方程都是大学高等数学的内容，有兴趣的话自学一下也完全可以
1712年，英国数学家Roger Cotes（1662－1716）在研究螺旋线的弧长的时候，似乎是第一个发现与Euler方程等价的公式：
ln(sinq+icosq)=iq
只需要将公式两边做为e的幂，就能够得到Euler公式，但很明显，Cotes从未做过这样的变换。并且，Cotes在1716年就与世长辞，还来不及发表他在这个领域的大部分研究成果。
ヨハネの福音書 14:6
6 イエスはトマスに言われました。「いいですか。わたしが道です。そして真理でもあり、いのちでもあります。わたしを通らなければ、だれ一人、父のところへは行けません。
ヨハネの福音書 3:18
18 この神の子を信じる者は、永遠の滅びを免れます。しかし信じない者は、神のひとり子を信じなかったので、すでにさばかれているのです。
テモテへの手紙Ⅰ 2:5-6
5-6 その真理とはこうです。神と人間とは、それぞれ別の岸に立っています。そして、人となられたキリスト・イエスがその間に立ち、ご自分のいのちを全人類のために差し出すことによって、両者の橋渡しをされたのです。これこそ、時が至って、神が私たちに示された教えにほかなりません。
使徒の働き 4:12
12 この方以外には、だれによっても救われません。天下に、人がその名を呼んで救われる名は、ほかにないのです。」
ヨハネの福音書 8:12
世の光であるイエス
12 そのあとで、イエスは人々にお話しになりました。「わたしは世の光です。わたしに従って来れば、暗闇でつまずくことはありません。いのちの光が、あなたがたの進む道を明るく照らすからです。」
ヨハネの福音書 8:32
32 あなたがたは真理を知り、その真理があなたがたを自由にするのです」と言いました。
ヨハネの福音書 17:3
Japanese Living Bible
3 ただ一人のまことの神であるあなたと、あなたがこの地上にお遣わしになったわたしを知ること、それが永遠のいのちを得る道です。
ヨハネの福音書 8:36
36 だから、神の子が自由にしてあげたなら、それでほんとうに自由の身になるのです。
マルコの福音書 8:35
35 自分のいのちを守ることばかりにとらわれている者は、それを失います。わたしと福音とのためにいのちを捨てる者が、いのちを得るのです。
ヨハネの福音書 8:51
51 よく言っておきましょう。わたしに従う者は、決して死なないのです」と言われました。
ヨハネの福音書 11:25-27
25 しかし、イエスは言われました。「このわたしが、死人を生き返らせ、もう一度いのちを与えるのです。わたしを信じる者は、たとえほかの人と同じように死んでも、また生きるのです。 26 わたしを信じて永遠のいのちを持っている者は、決して滅びることがありません。このことを信じますか、マルタ。」 27 「はい、先生。あなたこそ、長いあいだ待ち続けてきた神の子キリストだと信じております。」
マルコの福音書 8:36
36 たとえ全世界を自分のものにしても、いのちを失ったら、何の得があるでしょう。
ヨハネの黙示録 21:8
8 しかし、わたしに従うのをやめるような臆病者、不忠実な者、堕落した者、人殺し、不道徳な者、魔術を行う者、偶像礼拝者、うそをつく者――このような者たちの行き着く先は、火と硫黄が燃えさかる池です。これが第二の死なのです。」
ヨハネの手紙Ⅰ 5:20
20 また、神の御子が来て、私たちに真の神を知る力を与えてくださったことも知っています。ですから私たちは、神の御子イエス・キリストによって、真実な方のうちにいるのです。この方こそ、真実の神であり、永遠のいのちです。
使徒の働き 17:24
24 この方は、世界と、その中のすべてのものをお造りになった天地の主です。ですから、人の造った神殿にはお住みになりません。
コロサイ人への手紙 2:8
Japanese Living Bible
8 あのむなしい、だましごとのような哲学によって、だれからも信仰と喜びが奪われないように注意しなさい。あのような哲学はキリストのことばによるものではなく、人間の考えや思いつきから出た、幼稚な考えでしかありません。
コロサイ人への手紙 2:10
10 ですから、キリストを自分のものとしているなら、すべてを手に入れたことになります。あなたがたはキリストと結びつくことによって神に満たされているのです。キリストは、すべての力を従えた、権威ある、最高の支配者です。
ヨハネの手紙Ⅱ 9
9 キリストの教えからはずれて、それを守ろうとしない者は、神のものではありません。しかしキリストの教えにとどまっている者は、父なる神と御子を自分のうちに持っているのです。
ローマ人への手紙 6:23
23 罪の支払う報酬は死です。しかし、神が下さる賜物は、私たちの主キリスト・イエスによる永遠のいのちです。
ヨハネの福音書 3:15
15 わたしを信じる人がみな、永遠のいのちを持つためです。」
マルコの福音書 1:15
15 「いよいよ来るべき時が来ました。神の国が近づいたのです。みな、悔い改めて、福音を信じなさい。」
ヨハネの福音書 3:36
36 この方は神の御子なのです。この方に救っていただけると信じる者はだれでも、永遠のいのちを得ます。しかし、この方に従わない者は、天国を見ることができないばかりか、神の怒りがその人の上にとどまるのです。」 ____________________________________
幂指数经历过一次次的扩展。有理指数是对整数指数幂开根运算扩展出来的；无理数指数是通过确界扩展出来的；而复指数呢，则是通过实级数向复数扩展推出来的。
又来抢头牌了
原來數學這麼美
承上启下，总结到位
今天李老师讲了虚数开方的问题，下次有机会的话能不能请李老师讲一讲九章算经里手动开平方和开立方的方法呢？期待，李老师请继续加油💪
Rhoderick Zhu 哈哈，对中国古人的方法更想多了解一些
这期内容非常好 可惜有的人只会纠结于3+5等于多少
Reck1ess s 3+5你不觉得很科幻吗？曾经《三体》的作者一一一一介绍一一一一解答一一一一回复
你忽视了2*6=3
欧拉：人挡杀人 佛挡杀佛
doli99 sjyiao 我的一生无怨无悔
前面是费马。。欧拉跑了
前面有辆车，刹车
高中时代论证过的题，时隔近20年还是那么有趣👍
支持
我也想问问题：为什么记忆宫殿可以记住很多东西？李老师是如何记住这嘛多知识的？
Sailing Infante 我也想知道
興趣推動
老师都是要备课的
要是上学那会听课也是迫不及待的感觉，估计就考上清华了
Breaker King 真正认真过的人才知道清华确实不好考😂
我高中的数学老师也姓李，他是奥赛金牌教练，但他在讲“数系的扩充与复数的引入”的时候并没有您讲得好，感觉那个时候更多的是应对考试，高考。
老師可以講解一下 傅里叶变换 嗎？ Fourier transfermation？
3+5＝7
失误
老师你这相当于罚失点球
哈哈，李老师这12码点球打飞机了！
1:45 2x6=3 一邊說話一邊寫字容易失誤 😄
手抖了
李老师能不能讲讲全体自然数之和等于-1/12，以及拓展
可以考虑
的确有，但还是希望以李老师的思路再拓展一下
张超 ua-cam.com/video/OXV43tm2BnI/v-deo.html
亞修 驚呆了我 🤯
王泓翔 哈哈
李老师，能不能讲讲二维傅里叶是怎么回事，谢谢
复数，使得用一个数表示平面上的点成为可能。那是否存在一个j，和i配合以后，使得一个数表示立体空间里的点呢？这样在很多计算中可以很大程度的简化
估计也是熬夜看球了，呵呵
别笑了，只有大牛才能算错这种题，你们算的错吗？你们算不错。
您好李老师，很喜欢你的知识视频。如果有时间，可不可以讲一讲传销后面的数学知识。像USANA,黑茶，它们的奖金制度与营销模式。和最早的“庞氏骗局”有何区别。非常感谢！
厉害😄