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几年前，大一上高数的时候闲来无事用泰勒展开计算exp(i*x)，发现和cos（x）以及sin（x）的形式有点像，就给实部和虚部分别合并同类项然后发现实部形式就是cos（x）的泰勒展开，对应的虚部是sin（x）的泰勒展开。然后顺理成章写出来欧拉公式。当时还激动了一下😂
e^x任何阶导数是自身。e^(Ax)可泰勒展开，其中A是矩阵。i等价于一个特殊二维实矩阵，其作用于矢量使矢量逆时针转直角。通过复数乘法也可直接发现这一点。把e^(ix)泰勒展开后，有不带i的实部级数和，以及带i的虚部级数和，分别定义为cosx和sinx，即e^(ix)=cosx+isinx, 又根据展开式可发现cosx是偶函数，sinx是奇函数，于是e^(-ix)=cosx-isinx，以上两式相乘，得到(cosx)^2+(sinx)^2=1. 此符合勾股定理，故几何上可对应单位圆的两弦。
这一集真的好赞，我刚好在学这方面的数学，正在疑惑为什么欧拉能够忽然冒出这个公式，还打算找资料看看呢，现在不需要了。谢谢妈咪说啊
me too！
宇宙是在复数的范围内构造和运行的，人们最先观察到它的实数侧面，然后，各种迹象显示了实数后面的本质，人们一步步找到了这个复数实质。欧拉公式是这里面的一步。
挺妈咪说，总会得到一些启发，这个视频更是醍醐灌顶的感觉。非常感谢。
讲得真好，作者对数学的理解非常透彻
太赞了！解决了多年困惑。虽然当年学习过了，但是都没有认真思考过。
太赞了 希望能继续更新！！
如果把i看成一個 operator, 那麼，將i每做用兩次在實數上，他的幾何意義就是轉動180度。所以，如果作用一次就是90度。你可以把x,y 看成兩個完全正交的量(投影為零)，所以 1, i 他就是表示兩個互不相關但存在某個空間的量，他們可以透過i做轉換。在物理學上，有一個叫做 Mtasu....(忘了怎拚)的轉換將(-it)->1/T 時間就轉成1/溫度(我應該沒記錯)，可以用來描述非平衡過程的熱耗散，就我的理解(教科書似乎沒這樣教過)這就是時間的不可逆與Entropy的關聯(轉換)。但是，很湊巧的是，為何尤拉公式的底數就是e呢?(為何就不是其他數)?
复数及欧拉公式真的是一个极其有用的工具，配上矩阵表示，可以把一个三页纸的解写成一行。。。简直是逆天！
经常使用，现在总算被科普了理论来源谢谢！
很喜歡這個思路推導過程~~
好像是个描述彈簧的方程式，現在用來描述超弦。。
物理数学都讲得这么好。大神！
复数广泛用于简化向量计算，比如三相交流电的各种计算中，直接把三角函数的几乎无法推导的运算映射到复数空间的简单四则运算。常规上都是为了解决问题去发明工具，而复数，却是现有工具才有需求。不得不佩服这些数学家压根就不是凡人，
你長得真好看！
不错的解释啊！
e^(2*3.14*i)=1- ll(p-1)/p = 1 sum of zero of zeta function. for example p(31)=31*4/15 +(1-4/15)+2=11.
欧拉恒等式表示：示宇宙由本体转变而来。0 表示“本体”，混沌、不存在任何概念，所以为“0”；1 表示“存在”，概念与现象诞生，可感知所以为“1”；e 值为有限的无限不循环小数，表示宇宙由有限与无限两部分内容构成；i 表示：宇宙中包含精神等不可见的存在；π表示：宇宙的基本存在形式为圆周运动。
厉害了
虽然听不懂，但还是觉得很好听。
每集开头听到你报名字浑身起鸡皮疙瘩
讲得好
认识很深刻
每个知识点都学过，每个知识点都忘了，听你的视频，当两边泰勒展开神奇地出来欧拉公式的时候，我不住地卧槽，我一个考研复习不完的废柴萌生了研究数学的冲动。
这个讲的不错
媽咪好帥 戀愛惹>
大帥哥請問能做矩陣&行列式或線性代叔的系列嗎？及程式語言相關嗎您會字源學嗎？
@妈咪说MommyTalk 同求 矩陣&行列式或線性代数 系列视频
懂英文的可以去看3blue1brown的影片，它解釋得挺好的。
Mommytalk数学理解很深啊
從數學系嚴謹的定義來說，對於無求數列是不能做這種運算的，因為要考慮極限問題。但是工程師或者是工程數學常常喜歡這樣惡搞。也不能說惡搞反正答案對就好。數學家考慮是一些特別的情況。比如說歌德的公理系統不完備性。但是大部分的時候我們公理系統用的很高興！這就是數學家和物理學家或工程師的差別… 在嚴謹的數學裡面，他們乾脆就用泰勒展開式來定義exp(ix) 這裡並沒有看出真正的推倒，只是物理學家和工程師不嚴謹的玩弄數學
厉害，感受数学之美。
醍醐灌顶
辛苦了
請問10:05右邊是不是缺了一個1/i，按照鏈鎖律的結果微分取得x的係數放倒數
怕自己看錯不敢評論，翻了下評論果然有(๑╹ω╹๑ )
复数是个工具，定义之后，各种应用，都对了，。。。
太強了
5:10 既然没说一开始的复述z的膜等于1，那么后面的“Cos日+i Sin日”应该整体打个括号，再在前面加个系数，对不？抑或，这个复数z通常都是默认膜为1的？
确实不够严谨，我都是自己前面乘根号a平方加b平方的
膜拜膜拜!请收下我的膝盖
这个很赞
How did cotes derive that measure
解析拓展
这个把我带回到了高中啊。很怀念。
你高中学欧拉公式？
妈咪叔下回讲讲黎曼曲面吧！！
能不能用矢量計算方法歐拉公式? 還是說因爲矢量計算方法是結果，不能反推？
i的计算规则如果我们规定用别的方式会不会就能促进对于量子研究的突破？
爱了爱了
妈咪说是个大神啊，膜拜一下
真的大神，太强了
超級大神好嗎 每部影片都跪著看
翻墙没白翻
liang xu 他在国内有账号的
欧拉恒等式，不是只有上帝才能懂，而是它就是上帝的变身。
顶一下，说的很透彻
虚数i有意义，表示方向，或者旋转。旋转一次变成垂直当前轴90度，再旋转一次，变为反方向-1。
好女婿
１＋ｉｘ對ｘ的積分，是不是寫錯了呢？少除了一個ｉ
The principle of permanence.
per咋写？
厉害了，表示摩拜
1748年，满清的文字狱正搞得如火如荼。
自己不行就怪爹不努力的典范。
@@user-qf9bl4cx3c 你的爹本来就只剩下奴才公公的文化了。
👍👍👍👍👍👍🤝
我以為是Eular-lagrange equation...
看到最后的欧拉公式被推到出来时，震惊了.....
彷彿原子彈降臨你家
所以这么说欧拉其实只是坐了前人的顺风车，伟大的是cotes和taylor
1/(1+ix)的积分应该是ln(1+ix)/i
所以cotes是把i放错边了？
教科书上说虚数i是欧拉发明的，而视频中说，约翰伯努利是在欧拉出生以前就使用了虚数i，到底哪种说法正确？
视频里有说，i是欧拉发明的没错，但是虚数在欧拉之前就有了，只不过一直写成√-1。到了欧拉才把√-1写成i的。
虚数把他看成数就是错误的，虚数不应该叫数，她是一个符号，和加减乘法类似，用于描述平面数学，或周期性函数的描述
歐拉歐拉歐拉...無汰無汰無汰...
妈咪说有没哪期是关于复数的实际应用讲解的？当年学复数最开始最大疑问就是复数拿来干啥……后来学交流电路分析硬生生的用进去了才知道……
就冲这个视频关注点赞
I like MommyTalk's Per-.
第二个线索哥们就开始蒙圈了
原來 i 是根號-1阿我有一隻 根號-1電話13 pro
复数是平面向量，如果是三维向量该用什么数表示
那就得用到张量来表示了。
11分30秒处的根号-1为什么从右去了左。。这个。。妈咪叔你不能含糊带过啊。。。
Zhenyao 两边同时除以根号负一
因為你智商太低
12:10 lolll
比李永乐讲的好，真的！！！
李永乐就是一坨屎
看了你对“妈咪叔”的解释，不以为然，任然觉得这就是理工男（maybe）的恶趣味
听不懂
不是专业的看来就是讲不好啊。 建议真正热爱数学的还是看正规点的， 不要看完科普就以为懂了， 看了懂跟真的懂差的还挺远。
解释一下a+bi为何能表示成sin(s)+icons(s)?我理解的sin和cos都是小于1的数,a，b不可 能一直小于1吧？
@台灣水電工阿俠 可是我说的这部分表达的就是实部呀
把一个复数想象成向量，画在复平面内，那么它就可以表示为两个向量(向量a和i*向量b)的和。如果把这个向量与x轴的夹角表示进去，那么a向量就是模*cos（s），向量b就是模*sin（s），所以这个向量可以表示为cos（s）+i*sin（s）
我也觉得后面应该加模长系数r
应该是直角坐标系到极坐标转换得来的 具体你可以看ua-cam.com/video/uX4nSmwkY9c/v-deo.html 这个视频很详细讲解了
他漏掉了 1/|a+bi|，简洁表示
數學是型式邏輯再沒矛盾 也只在系統內運行所以其證明沒意義這即Gödel Theorem
这就像螺丝不会像原子弹那样爆炸，那也不能说螺丝对于原子弹来说没有意义。原子弹事实需要庞大的基础工业，数学在其他学科的意义也是差不多的，每一个基础定理都是构建完善系统的一部分，越来越复杂的基础部件构建了越来越复杂的系统。被证明过基础定理是一个复杂庞大可靠的逻辑系统必须要有的。
Pleja terra 你的腦筋一流 可喜可賀不過 你還沒看穿 事物也還沒看穿「科學」⋯尤其 生物學與人的學問最難這些沒有一輩子 甚至好幾輩子工夫不成我個人經歷 人事的最深最深
Pleja terra Gödel 定理的第二定理 是說證明沒有意義 因為證明只能在系統內運行系統之外就行不通了所以出現許多領域不同 遊戲規則就完全不同 甚至是彼此矛盾 科學嚴格來說 只是經驗過程 不是最終真象好了 謝謝你 用心回覆 不過俺回覆僅至於此
我怎么觉得妈咪叔如果出生在欧拉的时代也能推导出欧拉公式啊。。。
太over
北斗の拳、オラオラオラァ
羊+牛=?羊+牛=羊+牛+鹿哈哈哈!量子力學佛經裡有媽咪叔 =理工學院+藝術學院哈哈哈!
講多了,歐拉當時得到此公式,是兩端用泰勒級數展開相等而得的!!
有點硬,不好理解
大学数学
别的好理解，泰勒展开这么牛比是怎么来的
对原函数求导，二阶导…
讲的挺好，字写的挺丑😁😁
你用鼠标写，还写不到这么好呢。
李希蜃 这明显不是用鼠标写的，active pen 了解一下
这说话风格像极了罗辑思维的罗振宇…
罗振宇理科思维基本为零
罗振宇一文科生有个屁的逻辑思维
我建议不要语音快进，是凡愿意看这个视频的人都应该不是浮躁的人，就我本人而言尽管我听不懂但是我只当是一种知识熏陶。
太麻烦了，欧拉是把ex展开为级数为cos和sin的交替符号级数。两个一加互相抵消就得到欧拉公式
视频根本就没抓住当时历史发展脉络和欧拉的真实思维，正因为如此，欧拉公式讲起来显得神秘！1、为啥需要欧拉公式？有了欧拉公式，任何一个实数的复数指数次方就可以计算了：把复指数分成实部和虚部分别计算相乘即可。所以欧拉公式的提出是基于实际数学计算需要，不神秘！2、欧拉是如何得到这个公式的？在虚数i提出之后，数学界的一项重要任务就是把各种函数定义解析拓展到复数域。加减乘除类函数，包括复数的整数指数类函数都容易拓展。复指数幂次、对数如何拓展？方法就是通过泰勒级数把这些函数转换为（基于加减乘除的）多项式，再拓展。这样欧拉公式就出来了。核心背景清楚了，理解就不复杂，理论也就不神秘了。
欧拉是在解微分方程时发现这个公式的
建议换频道名，给人感觉像奶嘴男，影响订阅，内容还是不错的. 已经有个李老师了，可以加个小什么老师.
哥们劝你回头，你说的都没问题，但是感觉在这么研究下去，你会神经了，包括看的我。还有看你的解说我还是不错的，但是我的脑袋快要炸了，怎么说呢！触发了很多的思考包括逻辑的思考，历史的思考，为什么，为什么 ，我艹还是为什么，很多以前很多没有深思的东西，因为你的节目触发了。就像电影讲一句话，数学才是上帝的手稿，当然我是不信西方上帝的言论。希望你做更多的节目，挺你！
一本正经的胡说八道
貌似主播英语不太好 😂
呃，你觉得每天拿这些破公式出来证明别人不懂很快乐很有意思么？
没有这些破公式，图像识别，语音识别，信号分析都无法做，因为周期变化的这样一种现象最终可以通过欧拉公式变成用实数去描述。说人话就是没有这些破方程，自动驾驶，人工智能的机器人，人与小爱同学对话，警察叔叔用摄像头做面部识别自动识别坏蛋全部都不可能
你每天沙雕一样不学无术还见不得别人学习好传授知识到这来撒野有意思么？
有人能听得懂的啊
沒這些公式你能在這發言？？
@@user-nv1hd7dq7w 我不认为在这里发言很重要。科学教徒们正在用病毒和核武毁灭世界。
几年前，大一上高数的时候闲来无事用泰勒展开计算exp(i*x)，发现和cos（x）以及sin（x）的形式有点像，就给实部和虚部分别合并同类项然后发现实部形式就是cos（x）的泰勒展开，对应的虚部是sin（x）的泰勒展开。然后顺理成章写出来欧拉公式。当时还激动了一下😂
e^x任何阶导数是自身。e^(Ax)可泰勒展开，其中A是矩阵。i等价于一个特殊二维实矩阵，其作用于矢量使矢量逆时针转直角。通过复数乘法也可直接发现这一点。把e^(ix)泰勒展开后，有不带i的实部级数和，以及带i的虚部级数和，分别定义为cosx和sinx，即e^(ix)=cosx+isinx, 又根据展开式可发现cosx是偶函数，sinx是奇函数，于是e^(-ix)=cosx-isinx，以上两式相乘，得到(cosx)^2+(sinx)^2=1. 此符合勾股定理，故几何上可对应单位圆的两弦。
这一集真的好赞，我刚好在学这方面的数学，正在疑惑为什么欧拉能够忽然冒出这个公式，还打算找资料看看呢，现在不需要了。谢谢妈咪说啊
me too！
宇宙是在复数的范围内构造和运行的，人们最先观察到它的实数侧面，然后，各种迹象显示了实数后面的本质，人们一步步找到了这个复数实质。欧拉公式是这里面的一步。
挺妈咪说，总会得到一些启发，这个视频更是醍醐灌顶的感觉。非常感谢。
讲得真好，作者对数学的理解非常透彻
太赞了！解决了多年困惑。虽然当年学习过了，但是都没有认真思考过。
太赞了 希望能继续更新！！
如果把i看成一個 operator, 那麼，將i每做用兩次在實數上，他的幾何意義就是轉動180度。所以，如果作用一次就是90度。你可以把x,y 看成兩個完全正交的量(投影為零)，所以 1, i 他就是表示兩個互不相關但存在某個空間的量，他們可以透過i做轉換。在物理學上，有一個叫做 Mtasu....(忘了怎拚)的轉換將(-it)->1/T 時間就轉成1/溫度(我應該沒記錯)，可以用來描述非平衡過程的熱耗散，就我的理解(教科書似乎沒這樣教過)這就是時間的不可逆與Entropy的關聯(轉換)。但是，很湊巧的是，為何尤拉公式的底數就是e呢?(為何就不是其他數)?
复数及欧拉公式真的是一个极其有用的工具，配上矩阵表示，可以把一个三页纸的解写成一行。。。简直是逆天！
经常使用，现在总算被科普了理论来源谢谢！
很喜歡這個思路推導過程~~
好像是个描述彈簧的方程式，現在用來描述超弦。。
物理数学都讲得这么好。大神！
复数广泛用于简化向量计算，比如三相交流电的各种计算中，直接把三角函数的几乎无法推导的运算映射到复数空间的简单四则运算。常规上都是为了解决问题去发明工具，而复数，却是现有工具才有需求。不得不佩服这些数学家压根就不是凡人，
你長得真好看！
不错的解释啊！
e^(2*3.14*i)=1- ll(p-1)/p = 1 sum of zero of zeta function. for example p(31)=31*4/15 +(1-4/15)+2=11.
欧拉恒等式表示：示宇宙由本体转变而来。
0 表示“本体”，混沌、不存在任何概念，所以为“0”；
1 表示“存在”，概念与现象诞生，可感知所以为“1”；
e 值为有限的无限不循环小数，表示宇宙由有限与无限两部分内容构成；
i 表示：宇宙中包含精神等不可见的存在；
π表示：宇宙的基本存在形式为圆周运动。
厉害了
虽然听不懂，但还是觉得很好听。
每集开头听到你报名字浑身起鸡皮疙瘩
讲得好
认识很深刻
每个知识点都学过，每个知识点都忘了，听你的视频，当两边泰勒展开神奇地出来欧拉公式的时候，我不住地卧槽，我一个考研复习不完的废柴萌生了研究数学的冲动。
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厉害，感受数学之美。
醍醐灌顶
辛苦了
請問10:05右邊是不是缺了一個1/i，按照鏈鎖律的結果微分取得x的係數放倒數
怕自己看錯不敢評論，翻了下評論果然有(๑╹ω╹๑ )
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太強了
5:10 既然没说一开始的复述z的膜等于1，那么后面的“Cos日+i Sin日”应该整体打个括号，再在前面加个系数，对不？抑或，这个复数z通常都是默认膜为1的？
确实不够严谨，我都是自己前面乘根号a平方加b平方的
膜拜膜拜!请收下我的膝盖
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妈咪叔下回讲讲黎曼曲面吧！！
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好女婿
１＋ｉｘ對ｘ的積分，是不是寫錯了呢？少除了一個ｉ
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厉害了，表示摩拜
1748年，满清的文字狱正搞得如火如荼。
自己不行就怪爹不努力的典范。
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👍👍👍👍👍👍🤝
我以為是Eular-lagrange equation...
看到最后的欧拉公式被推到出来时，震惊了.....
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所以这么说欧拉其实只是坐了前人的顺风车，伟大的是cotes和taylor
1/(1+ix)的积分应该是ln(1+ix)/i
所以cotes是把i放错边了？
教科书上说虚数i是欧拉发明的，而视频中说，约翰伯努利是在欧拉出生以前就使用了虚数i，到底哪种说法正确？
视频里有说，i是欧拉发明的没错，但是虚数在欧拉之前就有了，只不过一直写成√-1。到了欧拉才把√-1写成i的。
虚数把他看成数就是错误的，虚数不应该叫数，她是一个符号，和加减乘法类似，用于描述平面数学，或周期性函数的描述
歐拉歐拉歐拉...無汰無汰無汰...
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解释一下a+bi为何能表示成sin(s)+icons(s)?我理解的sin和cos都是小于1的数,a，b不可 能一直小于1吧？
@台灣水電工阿俠 可是我说的这部分表达的就是实部呀
把一个复数想象成向量，画在复平面内，那么它就可以表示为两个向量(向量a和i*向量b)的和。如果把这个向量与x轴的夹角表示进去，那么a向量就是模*cos（s），向量b就是模*sin（s），所以这个向量可以表示为cos（s）+i*sin（s）
我也觉得后面应该加模长系数r
应该是直角坐标系到极坐标转换得来的 具体你可以看ua-cam.com/video/uX4nSmwkY9c/v-deo.html 这个视频很详细
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他漏掉了 1/|a+bi|，简洁表示
數學是型式邏輯
再沒矛盾 也只在系統內運行
所以其證明沒意義
這即Gödel Theorem
这就像螺丝不会像原子弹那样爆炸，那也不能说螺丝对于原子弹来说没有意义。原子弹事实需要庞大的基础工业，数学在其他学科的意义也是差不多的，每一个基础定理都是构建完善系统的一部分，越来越复杂的基础部件构建了越来越复杂的系统。被证明过基础定理是一个复杂庞大可靠的逻辑系统必须要有的。
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也還沒看穿「科學」⋯
尤其 生物學與人的學問最難
這些沒有一輩子 甚至好幾輩子工夫不成
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Pleja terra
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證明沒有意義 因為證明只能在系統內運行
系統之外就行不通了
所以出現許多領域不同 遊戲規則就完全不同 甚至是彼此
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北斗の拳、オラオラオラァ
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羊+牛=羊+牛+鹿
哈哈哈!
量子力學佛經裡有
媽咪叔 =理工學院+藝術學院
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講多了,歐拉當時得到此公式,是兩端用泰勒級數展開相等而得的!!
有點硬,不好理解
大学数学
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太麻烦了，欧拉是把ex展开为级数为cos和sin的交替符号级数。两个一加互相抵消就得到欧拉公式
视频根本就没抓住当时历史发展脉络和欧拉的真实思维，正因为如此，欧拉公式讲起来显得神秘！1、为啥需要欧拉公式？有了欧拉公式，任何一个实数的复数指数次方就可以计算了：把复指数分成实部和虚部分别计算相乘即可。所以欧拉公式的提出是基于实际数学计算需要，不神秘！2、欧拉是如何得到这个公式的？在虚数i提出之后，数学界的一项重要任务就是把各种函数定义解析拓展到复数域。加减乘除类函数，包括复数的整数指数类函数都容易拓展。复指数幂次、对数如何拓展？方法就是通过泰勒级数把这些函数转换为（基于加减乘除的）多项式，再拓展。这样欧拉公式就出来了。核心背景清楚了，理解就不复杂，理论也就不神秘了。
欧拉是在解微分方程时发现这个公式的
建议换频道名，给人感觉像奶嘴男，影响订阅，内容还是不错的. 已经有个李老师了，可以加个小什么老师.
哥们劝你回头，你说的都没问题，但是感觉在这么研究下去，你会神经了，包括看的我。还有看你的解说我还是不错的，但是我的脑袋快要炸了，怎么说呢！触发了很多的思考包括逻辑的思考，历史的思考，为什么，为什么 ，我艹还是为什么，很多以前很多没有深思的东西，因为你的节目触发了。就像电影讲一句话，数学才是上帝的手稿，当然我是不信西方上帝的言论。希望你做更多的节目，挺你！
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呃，你觉得每天拿这些破公式出来证明别人不懂很快乐很有意思么？
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有人能听得懂的啊
沒這些公式你能在這發言？？
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