[TMiC] 7. Zbiory mierzalne w sensie Lebesgue'a

Cześć i czołem!
W dzisiejszym nagraniu opowiemy jakie zbiory należą do sigma-algebry zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a.
Pokażemy, że iloczyny kartezjańskie domkniętych przedziałów oraz wszystkie zbiory miary zewnętrznej zero spełniają warunek Caratheodory'ego.
Przedyskutujemy, jaka jest relacja między przywołaną sigma-algebrą a rodziną zbiorów Borelowskich.
Przy okazji pokażemy, dlaczego nierówności z 'dowolnie małym epsilonem większym od zera' faktycznie działają nawet po odrzuceniu epsilona.
Zapraszamy!
Literatura:
"Podstawy analizy matematycznej"
autor: Walter Rudin
"Wstęp do teorii mnogości i topologii"
autor: Kazimierz Kuratowski
"Measure Theory"
autor: David Fremlin

[@Drzonson]

Dzień dobry, przybywam za zachętą Dr Szewko. Pozdrawiam.

[@montero6674]

Ja też .

[@wojtekj8897]

I ja rowniez. Na szczescie na codzien wystarczy ze potrafie doliczyc do 10. Fajny kanal!

[@scottish_cafe]

Dzień dobry! Dr Szewko zrobił dziś tutaj niezwykły ruch! Mam nadzieję, że znajdą Państwo coś dla siebie na tym kanale. Jak nie teraz, to z czasem. Proszę śmiało pytać, proponować tematy. Jesteśmy do usług. Pozdrawiamy!

[@Drzonson]

@@scottish_cafe Bardzo Ciekawy kanał. Niemniej jednak próba zrozumienia czegokolwiek wymaga 100% skupienia oraz pauzowania co chwilę i cofania. To nie jest pitu pitu do posłuchania przy myciu garów, przynajmniej przy moim raczej niskim poziomie inteligencji.

[@scottish_cafe]

​@@Drzonson Ja bym tu raczej postawił kropkę zaraz po 'To nie jest pitu pitu do posłuchania przy myciu garów'.
Swoją drogą, muszę przyznać, że też trochę taka jest idea tego kanału. Do 'mycia garów' (bardzo podoba mi się to określenie i chyba wprowadzę je do swojego słownika :D ) jest dużo innych kanałów o 'pop nauce'. O dowodach, twierdzeniach, teoriach matematycznych - bardzo niewiele.
Co do wiecznego pauzowania i cofania - dokładnie tak wygląda czytanie dowodów matematycznych. Czasem człowiek zatrzyma się na jednej linijce na kilka dni, aż nie przetrawi. Najgorzej jeszcze jak autor poprzedzi ją zdaniem 'jak czytelnik może łatwo zauważyć to...'.
Też muszę wskazać, że skok w teorię miary bez wcześniejszego przejścia przez początek analizy jest trudne.
Gwarantuje, że jak zamkniemy ten wątek, przejdziemy do o wiele prostszych rzeczy.
Serdecznie pozdrawiam!

[@peperonin6114]

Subik z polecenia Dr. Szewko, a widzę że nie ja jedyny 👍

[@scottish_cafe]

Będąc szczerym... około 900 osób zrobiło to samo :D Dr Szewko staje się 'influencerem'. Oby w tym Kraju najwięcej takich.

[@kacperdeleska2488]

Dzień dobry, przybywam od Dr Szewko, z prośbą o wytłumaczenie toerii pola :) Gradient rotacja dywergencja to tematy bliskie elektrykom.
Pozdrawiam

[@scottish_cafe]

Fantastyczny pomysł! Dopisuję do listy tematów.
Potrzebujemy tylko trochę analizy i algebry ale jak już zbudujemy cały aparat pojęciowy to bez wątpienia opiszemy trochę teorii pola wraz z operatorami różniczkowymi.
Zagadnienia potrzebne, ciekawe, wdzięczne w wizualizacji i przy okazji nie najłatwiejsze jeśli chce się faktycznie je dobrze zrozumieć. Idealne.
serdecznie pozdrawiam!

[@Anife69]

Heja jestem nowy w takiej dziwnej dla mnie lekko abstrakcyjnej matematyce bo jestem dopiero w 1 klasie technikum, ale dosyć bardzo interesuje się takimi głupotami. Chciałbym ci tylko powiedzieć żeee naprawde super są twoje filmiki, są dobrze wykonane jakościowo, oraz merytorycznie. Szkoda że masz tak mało odbiorców, ale to raczej przez trudność materiałów tutaj pokazywanych. Chętnie wykorzystam twoją serie z liczb zespolonych bo jest to jedna z rzeczy, które chciałbym się nauczyć (nie wiem po co, ale po prostu), dlatego chciałbym ci powiedzieć proszę rób swoje materiały dalej bo jak dobrze pójdzie i dożyje to bardzo chętnie wykorzystam je podczas studiów :). I tak przyszłościowo jeśli będziesz kiedyś planował robić jakieś wprowadzenie do algebry liniowej to jestem za :).

[@scottish_cafe]

Hej! Dokładnie w Twoim wieku zacząłem interesować się matematyką. Powiem więcej, to wtedy właśnie na tym kanale pojawiły się pierwsze nagrania (które teraz są już całe szczęście ukryte :D )! Proszę przeżyć i dożyć studiów. Nie ważne, jaki kierunek wybierzesz, znajomość matematyki i umiejętność logicznego myślenie otwiera bardzo wiele dróg, a bez wątpienia żadnej nie zamyka. Gdyby coś było niejasne we wprowadzeniu do liczb zespolonych, proszę dać znać - bardzo chętnie uzupełnię, dopowiem, wyjaśnię. Algebra liniowa będzie. Pewne za około miesiąc pojawi się pierwszy odcinek. Trzeba tylko zamknąć wprowadzenie do teorii miary (Ci liczący na płynne przejście później do teorii całki mogą nie być zadowoleni :D ). Pozdrawiam serdecznie!

[@Anife69]

@@scottish_cafe Jejciu dziękuje za tą odpowiedź czekam na dalsze filmiki i powodzenia w rozwoju kanału !!

[@kamilstankiewicz2531]

Ha ha, odcinki robią się coraz dłuższe :) W kontekście komentarza wyżej o algebrze liniowej boję się że nie zdążymy do tego czasu pokazać podstawowych twierdzeń dla całki Lebesgue'a :/
Pytanie odnoście tego odcinka: Jestem ciekawy czy da się zapisać w jakiś sensowny sposób przykład zbioru mierzalnego w sensie Lebesgue'a, a nieborelowskiego.
Pytanie na przyszłość: W którym miejscu psuje się ta cała nasza ładna teoria jeżeli w naszych definicjach np. sigma algebry czy miary byśmy założyli zamiast sum przeliczalnych sumy nieprzeliczalne?
Pozdrawiam, dziękuję za odcinek.

[@scottish_cafe]

Dzień dobry! Właśnie trendu coraz dłuższych odcinków się obawiam. Niestety, najlepiej trafiające do statystycznego widza odcinki powinny raczej oscylować w okolicach godziny lekcyjnej, a nie zegarowej :D
Co do twierdzeń o całce Lebesgue'a to faktycznie, raczej o nią bardziej zahaczymy. Zobaczymy, ile da się powiedzieć w ramach jednego odcinka na ten temat.
Trochę uchylając rąbka tajemnicy, jest pomysł na zrobienie odcinka o jeszcze jednej wariacji na temat całek. Takiej to całeczce, która może posłużyć do zdefiniowania miary Lebesgue'a. Wtedy, zamiast iść z definicjami: miara zewnętrza -> miara -> całka, szlibyśmy dokładnie w odwrotnej kolejności. Problem z tym tylko taki, że trzeba nieco opowiedzieć wcześniej o analizie funkcjonalnej.
Co do zbioru nieborelowskiego, a mierzalnego - chciałbym zrobić o tym osobny odcinek, choć wymagać będzie to od nas nieco wiedzy o liczbach kardynalnych.
Wprowadzeniem do niego będzie nagranie o zbiorze Cantora, które już wkrótce.
Zwykle to jego podzbiorów używa się do zbudowania czegoś mierzalnego, acz nieborelowskiego.
Co do 'sensownego zapisu' takiego zbioru to obawiam się, że może być ciężko. Rodzina Borelowska jest na tyle duża i pokrywająca w zasadzie wszystkie zbiory, z jakimi spotykamy się 'na co dzień', że wszystko, co od niej odstaje jest dość dużą abstrakcją.
I już ostatnia rzecz co do nieprzeliczalnych sum. Gdybyśmy w definicji miary poszli w tę stronę, musielibyśmy najpierw wyjaśnić, co to znaczy dodawać liczby, których jest nieprzeliczalnie wiele (w definicji mamy równość miary na sumie zbiorów vs sumy na miarach, więc z prawej strony równości mamy 'szereg' po indeksach ze zbioru nieprzeliczalnego). Z tego co pamiętam, to taka suma zawsze jest nieskończona (zakładając, że sumujemy wartości nieujemne - jak w przypadku miary), chyba że jedynie przeliczalnie wiele elementów jest niezerowych, więc wracamy do punktu wyjścia z dodawaniem przeliczalnie wielu liczb, bo w innym wypadku mamy zagwarantowaną nieskończoność. W sumie kolejny super pomysł na odcinek by pokazać, że tak faktycznie jest :D
Tak dużo dobrych tematów, tak mało czasu.
Pozdrawiam bardzo serdecznie!

[@kamilstankiewicz2531]

@@scottish_cafe Dziękuję bardzo za wyczerpującą odpowiedź, czekam na kolejne odcinki!

[@kamilstankiewicz2531]

@@scottish_cafe Znalazłem przed chwilą w necie krótki dowód na to, że suma nieprzeliczalnie wielu dodatnich liczb jest nieskończona, dosyć szybki dowód w kilku linijkach.