[TMiC] 8. Moc i miara zbioru liczb wymiernych i niewymiernych.

Cześć i czołem!
W dzisiejszy odcinku wyjaśniamy różnicę między różnymi wielkościami nieskończonymi. Tłumaczymy, czym jest zbiór mocy 'alef 0' oraz 'continuum'. Udowadniamy, że liczb wymiernych jest przeliczalnie wiele, natomiast liczb niewymiernych - zdecydowanie więcej.
Aby to pokazać, najpierw wprowadzamy pojęcie równoliczności. Tłumaczymy, czym jest bijekcja, czym suriekcja a czym iniekcja.
Na samym końcu pokazujemy, jaką miarę Lebesgue'a ma zbiór liczb wymiernych, jaką niewymiernych, a jaka zbiór liczb rzeczywistych.
Zapraszamy!
Literatura:
"Podstawy analizy matematycznej"
autor: Walter Rudin
"Wstęp do teorii mnogości i topologii"
autor: Kazimierz Kuratowski
"Measure Theory"
autor: David Fremlin

[@mathteacher6053]

Skąd wiemy, że w dowodzie nieprzeliczalności zbioru liczb niewymiernych, ta liczba, którą bierzemy na początku (0,199707...) jest na pewno niewymierna?
Zazwyczaj bierze się do tego dowodu liczby rzeczywiste i pokazuje ich nieprzeliczalność (a nawet przedziału [0,1]).

[@scottish_cafe]

Hej! Super pytanie! Faktycznie, dobrze byłoby dodać jeszcze subtelny krok upewniający nas, że kończymy z liczbą niewymierną. Oczywiście, tak jak Pan zauważa, to rozumowanie działa świetnie, gdy mówimy o liczbach rzeczywistych. Wtedy jednak kończymy z dowodem, że rzeczywistych jest niepoliczalnie wiele, a nie niewymiernych. Dodać wtedy musielibyśmy jeszcze, dlaczego alef_0 wymiernych + jakaś nieskończoność niewymiernych = continuum rzeczywistych => continuum niewymiernych (w pewnym sensie to też zostało pokazane w odcinku). Aby pozostać przy metodzie pokazanej w nagraniu dodałbym następujący krok: Mamy już naszą liczbę z cyfr po przekątnej - nazwijmy ją n. Nie wiemy o niej czy jest Q czy R\Q. Wybierzmy dowolną, ulubioną liczbę niewymierną i weźmy to, co ma po przecinku (ten ogon nazwijmy k). Teraz porównuję ją z n - cyfra po cyfrze. Jeśli nie zgadzają się ich kolejne cyfry, jestem szczęśliwy i idę dalej. Jeśli się zgadzają na m-tej pozycji do k dodaje lub odejmuje 10^(-m) (a więc liczbę wymierną). Dzięki tej operacji zmieniam m-tą cyfrę liczby k o +/- 1 (wymieram +/- 1 tak, by przez przypadek nie wpłynąć na cyfry sąsiadujące z m). Rezultatem jest dalej liczba niewymierna (bo niewymierna +/- wymierna = niewymierna). Kontynuując taki proces, kończę z niewymiernym k', które spełnia wymagania dowodu.
Raz jeszcze dziękuję za tę uwagę! Proszę oglądać dalej odcinki uważnie, Pana komentarze są nieocenione :)
Pozdrawiam!

[@mathteacher6053]

@@scottish_cafe Mogę się mylić, ale nadal nie jestem przekonany, czy to będzie działać. Po kolei:
- mamy jakąś liczbę, która nie wiemy, czy jest wymierna, czy nie. Jeśli jest niewymierna (0,199707...) to powiedzmy, że istnieje klarowna zamiana cyfra po cyfrze na inną, by zachowała się niewymierność i otrzymana liczba jest niewymierna i na pewno nie ma jej w wypisanym ciągu. OK>
- jeśli ta liczba (0,199707...) okazałaby się wymierna, to zgodnie z procedurą, którą Pan proponuje jako naprawczą, mam pomyśleć sobie ulubioną liczbę niewymierną k. Na pewno jest ona w wypisanym ciągu, bo z założenia są tam wszystkie liczby niewymierne. Następnie procedura nakazuje w pewnych miejscach zmienić cyfrę tej liczby (dodanie lub odjęcie 10^{-m}). Zgadzam się z tym, że otrzymana w tej konstrukcji nowa liczba k' jest liczbą niewymierną. Pytanie tylko, skąd wiemy, że liczby k' nie ma na naszej wypisanej liście?
Pozdrawiam serdecznie i życzę "produkcji" kolejnych materiałów, które ogląda się bardzo dobrze.
Z poważaniem,
Piotr

[@scottish_cafe]

@@mathteacher6053 Dobrze mieć osobę, która zadaje mądre pytania. Tylko tak człowiek może sprawdzić czy faktycznie wie, czy tylko mu się wydaje, że wie :) Zobaczy po której stronie barykady obecnie stoję. Mamy liczbę n = 0,1997076... (dodałem celowo dalej 6), mamy też jakąś k. Dla przykucia uwagi weźmy ogon pi, tj k=0.1415926... Teraz porównuję je cyfra po cyfrze i jeśli się nie zgadzają, to się cieszę, jeśli się zgadzają to zaczynam się bawić w dodawanie/ odejmowanie. Już pierwsza cyfra się zgadza, zatem do k dodam lub odejmę 10^(-1). Mogę zrobić co chcę, bo żadna z tych operacji nie zmieni mi innej cyfry liczb k, aniżeli pierwszej po przecinku, zatem dodam. Mamy k := k + 0.1 = 0.2415926... Kolejna cyfra z k to 4 która jest różna od kolejnej liczby z n wynoszącej 9. Idę dalej z tym procesem. Najbliższa pozycja na której ponownie zgadzają się cyfry to siódma. Tam k ma cyfrę 6, tak jak i n, zatem znowu zmieniam k := k + 10^(-7) = 0.2415927.. itd. Na 'końcu' tego procesu mam nowe k, które różni się na każdej pozycji po przecinku z n. Jednakże oznacza to, że k różni się na pierwszej pozycji po przecinku z pierwszą liczbą z naszej hipotetycznej listy liczb niewymiernych z uwagi na to, jak n zostało skonstruowane. To samo jest prawdziwe dla drugiej liczby z naszej listy - jej drugą cyfrą po przecinku było przecież 9, a my zadbaliśmy o to, by k nie mało na 2 pozycji cyfry 9 (ma 4). To samo jest prawdziwe dla każdej liczby z naszej listy i odpowiadającej jej cyfry w naszej skonstruowanej k.
Gdybyśmy założyli, że naze nowe, zmodyfikowane k jest gdzieś na naszej liście, to oznaczałoby że istnieje przypisana jej pozycja na tejże liście - niech to będzie p. Ale przecież z naszej konstrukcji, k na pozycji p po przecinku ma inną cyfrę niż liczba znajdująca się na p-tej pozycji, na p-tym miejscu po przecinku - sprzeczność.
Ten argument jest analogiczny jak w przypadku dowodu dla liczb rzeczywistych, gdzie 'zmieniamy jak chcemy' cyfry w liczbie zbudowanej z przekątnych. Tutaj zaczynamy od liczby niewymiernej k, która stanowi dla nas pomost pomiędzy przekątną n (co do której nie mamy pojęcia jaka jest), by skończyć na liczbie dalej będącej niewymierną.
Serdecznie pozdrawiam!

[@mathteacher6053]

@@scottish_cafe Dziękuję za odpowiedź i podtrzymanie naszej dyskusji. Moja „niewiara” jest chyba jednak nadal zbyt duża i wciąż coś mi nie gra w tym dowodzie i nie mogę go z czystym sumieniem przełknąć.
Z tym co Pan pisze w powyższym komentarzu się zgadzam ale… podejrzany dla mnie jest fragment o dodawaniu/odejmowaniu 10^{-m}. Prawdą jest, że sumą dwóch liczb wymiernych jest liczba wymierna, tak samo jak prawdą jest, że sumą liczby wymiernej i niewymiernej jest liczba niewymierna. I indukcyjnie można to przedłużyć na dowolną skończoną liczbę tych liczb. Ale… naszych zmian (+/-), tam gdzie się cyfry powtarzają może być nieskończenie wiele. A to rodzi mały problem, bo suma nieskończenie wielu liczb wymiernych wcale nie musi być wymierna np. 1+1/4+1/9+1/16+…=\pi^2/6. Tak więc nadal nie mam pewności, czy otrzymana liczba po zmianach również będzie niewymierna.
Pozdrawiam

[@kamilstankiewicz2531]

Dzięki za odcinek. Czekam na nieprzeliczalny zbiór miary 0 ;)

[@scottish_cafe]

Już w nadchodzącym odcinku!!

[@pandamix]

Wspaniały film i kanał - żałuję, że nie mam na tyle czasu żeby obejrzeć wszystkie 😢

[@scottish_cafe]

Hej! Bardzo dziękuję za komentarz! Nagrania nie uciekną, także proszę się nie spieszyć :D

[@cavendischw5885]

Szewkowcy wszystkich krajów łączcie się :) :) :0

[@scottish_cafe]

Zachęcam i zapraszam! Mam wrażenie, że w tym momencie większość gości tego kanału to właśnie wspomniani 'Szewkowcy' :D Muszę przyznać, jest mi niezmiernie miło z tego powodu. Pozdrawiam!