【時系列分析①】漸化式と線型代数その1【特性方程式の謎を解く！】
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- Опубліковано 5 вер 2024
- 本動画中での "unirateral shift" は "unilateral shift" の誤りですm(__)m
動画内の誤り一覧 bit.ly/error_asp
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時系列分析シリーズの1本目です！
この動画と次では、漸化式と線型代数について語ります。
この動画が理解できれば、大学1年次の線型代数はOKだと思います！
演習問題’s
演習1 (6:32) V が線形空間であることを示せ
演習2 (7:24) dimV=3 を示せ
演習3 (11:42) s:V→V を示せ （a ∈ V に対して sa ∈ V であることと、 s が線形写像であることを証明してください）
演習4 (18:50) A_s の固有多項式を求めよ
演習5 (23:16) g_2, g_3, g_4 ∈ V を示せ
演習6 (23:16) (g_2 g_3 g_4) が V の基底であることを示せ （一般論だと、 Vandermonde の行列式を計算できればOK）
自分用ですー
a1=f0
a2=f1
a3=f2
a4=9*a3-26*a2+24*a1
=9*f2-26*f1+24*f0
a5=9*a4-26*a3+24*a2
=9(9*f2-26*f1+24*f0)-26*f2+24*f1
=55*f2-210*f1+216*f0
a6=9*a5-26*a4+24*a3
=9(55*f2-210*f1+216*f0)
-26(9*f2-26*f1+24*f0)+24*f2
=285*f2-1214*f1+1320*f0
f0: 1 0 0 24 216 1320
f1: 0 1 0 -26 -210 -1214
f2: 0 0 1 9 55 285
三項間漸化式だ！
たくみさんと貫太郎さんとわたしの三角関係…😍
時系列分析「定常性と反転可能性のチェック」で特性方程式の解を求める〜と出てきたので検索
線形代数を勉強する必要があると再確認させていただきました。
コメントありがとうございます！(^^)
反転可能性の検証は、とある行列の固有値が1より大きいか小さいかを調べると思うのですが、それでうまくいくということが納得できればそれで問題ないかと思います。
一応、数理的な裏側まで理解するときには必要になるので、私はそちらも触りながらやるつもりですが、実用上は特に大事ではない気がします。
参考までに m(__)m
個人的に忘れていた箇所が多くあり参考になります。
いつもありがとうございます🎉
ぜひぜひ、参考にしちゃってください😍
15:02 前のf0,f1,f2で表現。係数が最初の3項になる。 8:00 f0は、1項目1、2項目0、3項目0の場合。f1、f2も同様に考える。f0、f1、f2はどんな値でも取れる。a求めるときは、1項目α、2項目β、3項目γの場合を考える。f04項目のα倍とf14番目のβ倍とf24番目のγ倍の和を使う。
漸化式と線形代数の固有値問題が繋がってたとは……shift operator、有能
時系列分析シリーズすごく楽しみにしています！
あと、ベイズ統計をやったので粒子フィルタによる予測・推定も気になるところです
そういっていただけると嬉しいです🎉
粒子フィルタ、、、勉強しておきます💪😎✌️
今の大学生はこんなわかりやすいのあって羨ましい
俺の時はこ難しい本を眠くなりながら何度も読んだのに・・・
ご視聴コメントありがとうございます😍
嬉しい限りです🎉
斉藤線形代数にも演習でちょこちょこ書いてあったのを思い出します。
コメントありがとうございます！
線型代数のよい問題ですからね😍
はぇ～、ためになりました......😎
コメントありがとうございます😍
そういっていただけるとなによりです！🤩
特性方程式解く時にλでおいた時点でなんか色々察したわ…
あら、そうなのですね😮
私の文化圏ではいつもλで置いてました、、、たぶん😮
いや、ちがうかも😮
慣れって恐ろしいですね🤤
7:13 うーん Vの定義の仕方が気になるんですよね。。。
まず、V={a∈Seq | a_n+3 = 9a_n+2 - 26a_n+1 + 24a_n } の定義で３次元ということが明らかなんですかね。これだと、 a は、 a_n+3 , a_n+2, a_n+1, a_n の４つの成分を含む、４次元とも読める気がしますが。
Ｖを３次元としたいなら、V = { (a_n+2 ∈ Seq, a_n+1 ∈ Seq, a_n ∈ Seq) } というように、3つ成分を書き出しておくのが基本で、そこに、条件を付けたいなら、”|" の右側に、書いていくのが、集合の定義のお作法じゃないですかね。
つまり、 V = { (a_n+2 ∈ Seq, a_n+1 ∈ Seq, a_n ∈ Seq) | a_n+3 = 9a_n+2 - 26a_n+1 + 24a_n }
時系列の世界の慣行的な書き方なのかもしれませんが、動画のような定義の仕方で、本当にVが３次元であることが示せているのか、ちょっと他の方の意見も聞いてみたいですね。
（Alciaさん、間違ってたらごめんね。）
ご視聴コメントありがとうございます！🎉
この記法は時系列の記法というより、数学の記法で、一般的にもちいられているものです。
次元が3となることは記法から明らかというわけではありませんが、動画で説明している通り、始めの3項を指定すると全体が決まるので、3次元であることが分かります。
一度、数学の記法や、次元の定義と計算方法を（記法とは独立に）見てみると良いかもしれません！
2時間近くの格闘の末、ようやく全部理解できた
f0:1,0,0,24,126,1320...というのはf0_1=1, f0_2=0, f0_3=0 の漸化式。(126は過ちで本当216)
このとき、a_n=α f0_n + β f1_n + γ f2_n になることが帰納法で示せる。
ご視聴コメントありがとうございます！
まさに、その通りの理解で良いと思います！ お疲れ様でした！🎉
24は正しくて、126が過ちで正しくは216ではないですかね。つまり f0: 1,0,0, 24, 216, ....
あ、そうですね！直しました！
ほんとだ、、、訂正ありがとうございます！
数値をちゃんと見ていませんでした、失礼いたしました🙇♀️🙇♀️🙇♀️
固有ベクトルがV空間なのは、対角化してみると分かるんですかね。あとそもそもAも基底がf~f2ですし。意味不明なこと言ってたらすみません
ご視聴コメントありがとうございます！
すみません、ご質問の意味がよくわかりませんでした。
固有ベクトルが V の元である事がよくわからないということでしょうか？
A や基底のことも良くわかりませんでした。どういったご質問でしょうか？
お教えいただけますと助かります。よろしくお願いします！
固有値、数列、漸化式…結構応用の方を使っている筈ですが基本の部分は忘れがちですね。
ちょっと思ったのですが、応用的な分野についての講義は予定されてございますか。
例えばGoogleのページランクだとか、産業製品の欠損に寄与する要素の主成分分析であるとか。
応用もそのうちやる予定です！
主成分、因子分析は、企画を練っております😎
pagerank もリストに加えておきます！ありがとうございます！🎉
15:30 の「sの基底～」の記述は「Vの基底～」の間違いではないでしょうか？
線形代数が使いこなせていないため自分が間違っていたら申し訳ありません。
そうですね！
Vの基底でした！！／(^o^)＼
ありがとうございます！😍
数列f0f1f2の意味するところを理解するのにかなり時間がかかってしまった
あと14:57からの変形もつらかった
ご視聴ありがとうございます！
ちょっとハードな動画ですが、なんとかついてきていただいてうれしい限りです！
とても分かりやすかったです。有難う御座います。視聴継続させていただこうと思います。
時系列分析のおすすめのテキストなどありますか…？
ぜひぜひ！
楽しんでいただけると嬉しいです😍
時系列は、おすすめするほどあれこれ読んではいませんが、私が読んだものでよかったのは、概要欄の上の2つの
現場ですぐ使える時系列データ分析 ~データサイエンティストのための基礎知識~ : amzn.to/2xeqCnW
経済・ファイナンスデータの計量時系列分析 (統計ライブラリー) : amzn.to/2xb0cnf
なんかはいいとおもいます！😍
@@AIcia_Solid 有難う御座います…!
特性方程式！！
今回の数Bのテスト範囲が特性方程式でしたw
線形代数全然わかりませんがどうしてそうなるのかが知りたいので見させていただきます。
コメントありがとうございます🎉
線型代数バリバリの内容でしたが、いかがでしたか？😇
楽しい分野なので、いつか是非やってみてください！(^o^)
大学で習っている線形代数を初めて有効利用出来た、楽しかったです！！
2つ質問があります。
1.
13:18 あたりの遠くのものを調べるという事がいまいちピンときませんでした。計算で数列のk番目の数を計算するという認識であっていますか？
2.
15:15 においてのsの行列表示はf0,f1,f2が単位行列だから表現行列があの形になっているという認識で間違ってませんか？
特に2個目の表現行列の導出がわかりませんでした、手計算で確かめ実際に計算は成立しているのですが、どのような考え方で係数が決まるのかがわかりませんでした。
ご教授いただければ幸いです。
そういっていただけると何よりです😍
「遠くのものを調べる」は、k番目を調べることです(^^)
行列表示についてです。
あの漸化式を満たす数列は、頭の3項が一致すれば、残りの全ても一致します。
頭の3項を一致させるには、まさに、f_0, f_1, f_2 が単位行列的なので、あの数値になったという感じです。
いかがでしょう？😋
いつもありがとうございます。
15:12 の「なので」の下の３式はどのように導出されるのでしょうか？初歩的な部分かもしれませんが教えて下さい。
s f_0 と 24f_2 や、
s f_1 と f_0 -26 f_2 などは、
初めの3項が同じになります。
4項間漸化式で初めの3項が一致すれば、残りのすべても一致するので、この等号が得られます。
いかがでしょう？😋
ぜひ初めの3項がどうなるかを計算してみてください！
@@AIcia_Solid ありがとうございます。理解できました！！！
固有値なんだから、等比数列になるのは当然という感じがして、直観と合っていて、却って意外な感じがしません。逆に、基底の一次結合で表せて当然で、演習6が難しいです。
演習6は、その、一次結合で表せるということそのものを証明する問題です。
基底であることを用いるのではなく、基底であることそのものを証明するのです。
応援しています！
わからなかったら聞いてください～！(^o^)
kernelを見ればよさそうかなと思っています。実は、kernel,detとか、基底とか、線形空間の定義とか、知らない言葉がいっぱい出てきますが、その都度ネットで調べられるので、本当に便利です。
ありがとうございます！
時系列分析のおすすめの本はありますか？たくさん読みたいです
あ、他の方が既に質問されてましたね。ありがとうございます。読みます！
ご質問ありがとうございます！
あとで概要欄にも足しておきます😋
よく見たら概要欄にはもう書いてありました😋
確認いただけると嬉しいです！
126と-216になるのがわからない〜
漸化式に代入したらなります！
たとえば、 f_0 なら、第四項を計算すると、
9 * 24 - 26 * 0 + 24 * 0 = 216
とか、そんなかんじです🎉
バカでごめんなさい🙇♂️
f_0の第四項って126じゃないんですか？
あ、、、😮
f_0 の第四項は 216 みたいです。
計算間違えていたようです、すみません、、、🙇♀️💦
ご指摘いただきありがとうございます！🎉
Aicia Solid Project あーーーーーー
返信ありがとうございます。
こちらこそ、ご指摘いただきありがとうございます！🙇♀️🎉
高校2で隣接三項間漸化式特性方程式の導出含め習ったが普通は習わないのか！？
そうなんですね！すごい！
ちなみに、その時はどんな感じで導出していたのですか？？😍
Aicia Solid Project
(表記が荒いのは許して)
an+2-xan+1=y(an+1-xan)
と変形できるようなxとyを探します。
この動画の場合は
x+y=5
xy=6
なので連立方程式を解けば良くてここで二次関数の解放との関連性がなんとなくでてきます。
xとyは(2.3)と(2.3)の2通りの変形ができます。
an+2-3an+1=2(an+1-3an)
an+2-2an+1=3(an+1-2an)
等比級数なので
an+1-3an=2^n)a1-3a0=2^n(-1)
an+1-2an=3^n)a1-2a0=3^(1)
下式-上式で
an=3^n+2^nになります。
下半分は要らなかったかもですが等比級数の形に変形する際に2次方程式を使うというのを何となく習うんじゃないでしょうか？私はこう習いました。
返信が無かったから頑張って書いたけど二つ下に似たようなコメあった😢
コメントありがとうございます🎉
私のマスターもそれで習ってました！
ただ、やや天下りなところが少し気になっていまして、、、。
等比数列が自然に出てくるのも線型代数の魅力かと思い、紹介してみました！😎
Sの表現行列が、動画内のように記載されるのはなぜですか？
Asの転置行列であれば、シフトされた基底がAs_t(f_0, f_1, f_2)_t で表現できると思うのですが。（行列式を考えるのであれば、転置でも同じことなので問題ないということでしょうか？）
行列あるあるの転置が紛らわしい場所ですが、動画内の表記で正しいと思います。
1 f_0 + 0 f_1 + 0 f_2 の行き先が、 0 f_0 + 0 f_1 + 24 f_2 なので、
0, 0, 24 は第1列に縦に並ぶのであっていると思います。
いかがでしょうか？
@@AIcia_Solid ご返信ありがとうございます。ご指摘いただいた点をもとに解決できました。
対角化できない場合どうなるのですか？
さすが、鋭いですね😎
固有値被ると対角化できないのですが、その時のお話は、いまのところやらない予定でした😇
（次の動画で触れはする予定です）
需要があれば作ります！／(^o^)＼
別の方からも同じ質問いただいたので、動画作ることにしました😎✌️
なぜsの固有ベクトルがsaなのでしょうか？
あまり正しくなさそうな主張ですね🤔🤔🤔
どこら辺で私がそう言っていたか分かりますか？
@@AIcia_Solid 19:40あたりからです。「saが固有値２の固有ベクトルであるってことは～...」とあるのですが、私の解釈が間違っているのかもしれません。
たしかにそう言っていますね！ありがとうございます！
それは、「a が固有値2の……」の言い間違えです！🙇♀️🙇♀️🙇♀️
ただ、こんかいは、一般に、 a が s の固有値であることと、 sa が s の固有値であることは同値なので、結果的に同じ意味でした😋
@@AIcia_Solidなるほど、ありがとうございます！少し遡ってShift operatorの説明を見直したら納得しました！
ま…まだわかる
ついてきてくださいね！😍🏃♀️💨
ん？unilateralでは？(not unirateral)
そうなんです😭😭😭😭😭
（概要欄にも書いてあります／(^o^)＼）