Nos - tal - gie 🎵 ! Du coup, ça commence à remonter… 2019, c'était ma deuxième année de UA-cam, c'était encore les tous débuts pour moi. En tout cas, ça fait plaisir de voir des « anciens » passer de temps en temps 😇.
Le "souci" que j'ai eu en regardant cette vidéo (ayant désormais fini ma prépa), c'est que la réponse m'a très vite sauté aux yeux mais sans que je sache l'expliquer très convenablement. Loin de moi l'idée de dire que c'est "évident" ou un quelconque synonyme (notamment pour quelqu'un qui découvre à peine les notions), mais une fois qu'on a pris l'habitude d'intuiter l'injectivité comme "deux points images ne peuvent pas se trouver sur le même plateau horizontal (avoir la même ordonnée)", l'on peut assez vite constater que l'identité fonctionne, mais que si l'on prend une autre application, à un point k tel que f(k) < k, on aura réparti k points sur k-1 valeurs différentes, le principe des tiroirs aidant à conclure. Cela reste visuel, mais je galère à trouver un intermédiaire entre l'énoncé et la réponse directe (à savoir, il me manque un raisonnement compréhensible par une personne qui découvre la notion). Ce que j'admire dans cette vidéo (et d'ailleurs dans la plupart des autres), c'est que pour un docteur en maths tel que vous, cela doit sembler évident à force de manipulations, et pour autant votre capacité à vous mettre à la place d'un élève est tout bonnement impressionnante. Je ne saurais où démarrer à votre place, votre capacité à dégrossir le problème est exceptionnelle. Merci beaucoup pour ces vidéos de qualité.
Merci beaucoup pour ce commentaire très enrichissant 🙏🏻 ! Oui : entre le moment où vous n'aviez pas entendu parler d'injectivité aujourd'hui, il s'est passé « beaucoup de choses » et il peut sembler difficile de faire marche arrière. Cela dit, c'est précisément là où vous devriez essayer de « démarrer à ma place », et c'est ce que je fais au quotidien dans mes cours. Comme si je lançais une machine virtuelle sur mon ordinateur, je lance dans mon cerveau une itération de moi-même au niveau terminale, et j'essaie de lui expliquer les choses avec le moi-même d'aujourd'hui. Ce Oljen_{terminale} se montre volontairement très dubitatif en écoutant Oljen_{actuel} et rejette immédiatement tous les raccourcis que j'essaie de prendre : cela m'amène à décomposer, à exposer des « idées raisonnables », et ainsi de suite. Oui, c'est un métier à part entière 😇.
exercice simple mais très instructif qui permet de mettre en exergue la différence entre récurrence forte et faible. merci pour l'aspect rigoureux et ordonné des éléments logiques dans le développement de l'analyse.' très bonne présentation, comme d'habitude....
Les 95% de la démonstration sont la mise en lumière d'une condition nécessaire : on a considéré une application convenant, et on a montré qu'alors, c'était forcément l'identité. Une autre manière de voir la chose consiste à se dire qu'on a exclu toutes les autres applications de la course, et qu'il ne reste plus qu'une seule application candidate. Il ne reste donc plus qu'à se demander si elle convient, ou pas (et elle convient).
Merci pour cette vidéo, je trouve ce nouveau format très instructif. C'est un excellent complément à la formation sur les exercices ! J'ai essayé de moduler la difficulté en transformant l'énoncé : "Déterminer toutes les applications injectives de IR+ dans IR+ telles que pour tout x, f(x) =< x". Je ne sais pas trop où j'ai mis les pieds, n'étant qu'un bricoleur. Mais si on restreint l'ensemble de départ à IR+ \ [0,1], n'y a-t-il pas déjà une infinité d'application satisfaisant cette condition, à savoir les fonctions polynomiales d'exposant rationnel compris dans ]0, 1] ? En somme, l'infinité des applications x I---> x^a, avec a un réel compris dans ]0, 1] et x appartenant à IR+ \ [0, 1] convient-elle ? En tout cas, vous savez toujours susciter la curiosité de qui la désire ! Bien à vous,
Vos compétences en bricolage vous ont déjà permis de pressentir l'essentiel : il y en a beaucoup trop pour qu'on se donne pour mission de les compter. En effet, en suivant votre idée, on pourrait déjà considérer toutes les fonctions du type x → x^a, et cela pour tout a ∈ ]0,1]. On observera la courbe représentative de ces fonctions concaves, on constatera leur injectivité, qu'on pourra démontrer par la suite, ainsi que leur bijectivité, d'ailleurs. Ensuite, pour pourrait imaginer complexifier un peu la chose en considérant une fonction définie avec des petits tronçons : pour tout couple de réels (a,b) ∈ ]0,1]², on pourrait considérer la fonction f qui à x associe x^a si x ∈ [0,1] et x^b si x ∈ [1, +∞[. Là encore, on aurait des fonctions injectives de IR+ dans IR+, et même bijectives là encore. Mais toutes ces fonctions sont continues ! Or, on pourrait aussi imaginer faire un nombre quelconque de tronçons et « laisser des trous » entre (tracer des courbes au crayon est plus simple que d'imaginer des expressions analytiques)… et on réalise ainsi qu'il y a beaucoup, beaucoup, beaucoup d'injections de IR+ dans lui-même vérifiant f(x) ≤ x. Au plaisir !
Salu S'il vous plaît, pouvez-vous réaliser un ou plusieurs épisodes sur la fonction zeta de Riemann et la distribution des nombres premiers ?! J'aimerais suivre votre manière spéciale de traiter cette fonction : définition prolongement ces zéros triviaux et non triviaux et.... Et bien sûr si vous avez possible mes salutations
Salutations ! Pour l'instant, je ne prévois pas de traiter des sujets aussi complexes (à double titre 😏) dans un futur immédiat, mais j'ose espérer que j'y viendrai un jour. Au plaisir !
On est d'accord que f(1) qui est égal à 1 est aussi plus petit que 2, 3, 4, etc ? Et non pas est inférieur à 0. Parce que c'est cette condition qui est première. L'injectivité ne venant qu'en ajout de la première. Si on peut exprimer les choses de cette manière.
Il est possible que ma langue ait fourché quelque part 🤔. Pour clarifier la situation : la collection d'inégalités que l'on souhaite pour f contient, en particulier, l'inégalité f(1) ≤ 1. Ainsi, f(1) étant un entier naturel, cela ne laisse que deux possibilités : f(1) = 0 ou f(1) = 1. Cela dit, la première possibilité est exclue, puisque sinon, on aurait f(1) = 0 = f(0), ce qui contredirait l'injectivité de f. Il ne reste donc plus qu'une possibilité : f(1) = 1 👨🏻🏫.
@@oljenmaths Imaginons maintenant le même exercice mais sans l'injectivité. Quelles seraient alors les valeurs candidates pour f(n) ≤ n ? Car c'est au niveau de ma compréhension qu'entre en jeu un fort doute. Non pas que vous l'auriez induit....car vos explications sont assurément très claires. C'est plutôt dans mon raisonnement qu'il y a cette mésinterprétation ou interlopie.
J'ai repris l'exercice sur un tableau et c'est beaucoup plus lumineux à présent. Merci pour cette exigence qu'il y a chez vous d'une grande subtilité. De plus, ce nouveau format est très aidant. Merci donc. À vous suivre....
Bonjour professeur, J'ai lu dans un ouvrage de mathématique que l'on ne devrait pas écrire pour la propriété P(n): "P(n) =" ... , mais : "P(n) :" ... Qu'en pensez-vous? Merci
Salutations ! Honnêtement, c'est une subtilité sémantique qui me dépasse. Cela ne veut pas dire qu'il ne faut pas y accorder d'importance, mais disons, qu'elle ne me semble pas faire obstacle à l'élaboration de mathématiques correctes… Lorsque j'écris A = « Le ciel est bleu », il me semble faire comprendre, de manière univoque, que j'associe la notation A à la chaîne de caractères « Le ciel est bleu », chaîne de caractères à laquelle je peux accorder une valeur de l'ensemble {Vrai, Faux}. Peut-être me trompé-je 🤔? Je ne sais 😇.
@@oljenmaths Merci professeur pour votre réponse de laquelle je retiens que la subtilité en question "ne semble pas faire obstacle à l'élaboration de mathématiques correctes". Néanmoins j'ai cherché dans la littérature mathématique dont je dispose, et il apparait que la notation "P(n) : "..." que l'on y trouve est la contraction de la phrase: "Soit P(n) la proposition: "...", ou " soit la proposition P(n): "...". selon le MPSI de Nicholas Nguyen éditions Ellipses et le MPSI de Claude Deschamps éditions Dunod. La notation simplifiée en question apparait également dans le corrigé du Concours général (freemaths.fr) de 2023 ainsi que dans Principes de la rédaction mathématique de Paul Milan P.373. Parmi d'autres. Il me semble que les correcteurs étant si pointilleux de nos jours qu'il faut se méfier. Merci de nouveau pour vos videos que j'apprécie énormément (lorsque je peux les suivre 😅)
Merci pour cette vidéo au top et vraiment super les temps pour réfléchir ,sinon j ai toujours un problème a comprendre pourquoi dans la récurrence forte on se permet de supposer Pn vrai pour k appart [0,n] alors qu l’on a juste vérifier pour n=0 . Si quelqu un peux m éclairer .merci
Merci 😇! En fait, il suffit d'imaginer qu'on grimpe aux barreaux d'un échelle, mais pas un par un. → Pour grimper sur P(1), on s'appuie sur P(0) (qu'on a vérifié au préalable). → Pour grimper sur P(2), on peut désormais s'appuyer, et on s'appuie sur P(0) et P(1). → Pour grimper sur P(3), on peut désormais s'appuyer sur, etc. L'idée, c'est que dans la récurrence simple, j'oublie un peu tous les P(k) démontrés pour ne retenir que le barreau précédent. Dans une récurrence forte, je garde toutes les informations en mémoire pour m'en servir à loisir 👨🏻🏫.
Je pense pas que l'ancien format soit complètement remplacé par celui ci Mais comme il doit demander 10 fois plus de temps de préparation ce format doit permettre en plus de la valeur pédagogique très différente des autres format de maintenir un rythme de publication plus soutenu
@@AllemandInstable C'est exactement ça 😉. Une émission « en finesse » se prépare dans l'ombre, dans la discrétion la plus absolue 🕵🏻♂! Et en attendant, je peux publier ce genre de vidéos ; on a le beurre, et l'argent du beurre 😏.
![[EXO#3] Injective ? Surjective ? Les deux ? (Exercice)](http://i.ytimg.com/vi/tNM0gLE6tyI/mqdefault.jpg)
![[EXO#3] Injective ? Surjective ? Les deux ? (Exercice)](/img/tr.png)
![[EXO#5] Cette équation permet-elle d'accélérer un cours d'espagnol ? (Exercice)](http://i.ytimg.com/vi/SqmzLm091L0/mqdefault.jpg)
![[KDJ#11] Un exercice pour sécher tes amis en pleine digestion !](/img/n.gif)
La petite synthèse à la fin est un bon exemple qui exhibe l'équivalence entre le principe de récurrence simple et de récurrence forte ; magistrale !
Excellent format posé et détaillé....l'évolution de votre chaine est remarquable depuis que je l'ai découvert en 2020 bonne continuation mister oljen
Merci pour le retour encourageant sur ce prototype 😇! Bonne continuation de même !
J'aime bcp ce format très détaillé et très posé !
Merci pour le retour Instable 😉!
C'est un bon exemple qui illustre parfaitement le raisonnement par récurrence.
J'admire votre chaine et j'avoue que j'apprends énormément de ce que vous présentez et expliquez. Bonne continuation.
Merci beaucoup pour ce retour chaleureux 😇!
J'ai découvert ta chaîne durant ma L2, en 2019...
Tu n'as fait que t'améliorer bg
Nos - tal - gie 🎵 ! Du coup, ça commence à remonter… 2019, c'était ma deuxième année de UA-cam, c'était encore les tous débuts pour moi. En tout cas, ça fait plaisir de voir des « anciens » passer de temps en temps 😇.
@@oljenmaths j'ai obtenu ma l2, ma licence et mon Master grâce à ton taff 💪
@@heyy989 Wow, superbe ! Profite bien de ces belles études pour t'offrir une belle vie 😇!
très intéressant !!!
Merci pour cette vidéo
Très sympa, comme d'habitude 👍
Magnifique.
J'ai beaucoup aimé la résolution de cet exercice. Ça fait vraiment plaisir de voir que la chaîne a repris son activité ! :)
Merci 😇! J'espère tenir la distance, cette année. Je travaille chaque jour pour ça, en tout cas 😉.
Le "souci" que j'ai eu en regardant cette vidéo (ayant désormais fini ma prépa), c'est que la réponse m'a très vite sauté aux yeux mais sans que je sache l'expliquer très convenablement. Loin de moi l'idée de dire que c'est "évident" ou un quelconque synonyme (notamment pour quelqu'un qui découvre à peine les notions), mais une fois qu'on a pris l'habitude d'intuiter l'injectivité comme "deux points images ne peuvent pas se trouver sur le même plateau horizontal (avoir la même ordonnée)", l'on peut assez vite constater que l'identité fonctionne, mais que si l'on prend une autre application, à un point k tel que f(k) < k, on aura réparti k points sur k-1 valeurs différentes, le principe des tiroirs aidant à conclure. Cela reste visuel, mais je galère à trouver un intermédiaire entre l'énoncé et la réponse directe (à savoir, il me manque un raisonnement compréhensible par une personne qui découvre la notion).
Ce que j'admire dans cette vidéo (et d'ailleurs dans la plupart des autres), c'est que pour un docteur en maths tel que vous, cela doit sembler évident à force de manipulations, et pour autant votre capacité à vous mettre à la place d'un élève est tout bonnement impressionnante. Je ne saurais où démarrer à votre place, votre capacité à dégrossir le problème est exceptionnelle. Merci beaucoup pour ces vidéos de qualité.
Merci beaucoup pour ce commentaire très enrichissant 🙏🏻 !
Oui : entre le moment où vous n'aviez pas entendu parler d'injectivité aujourd'hui, il s'est passé « beaucoup de choses » et il peut sembler difficile de faire marche arrière. Cela dit, c'est précisément là où vous devriez essayer de « démarrer à ma place », et c'est ce que je fais au quotidien dans mes cours.
Comme si je lançais une machine virtuelle sur mon ordinateur, je lance dans mon cerveau une itération de moi-même au niveau terminale, et j'essaie de lui expliquer les choses avec le moi-même d'aujourd'hui. Ce Oljen_{terminale} se montre volontairement très dubitatif en écoutant Oljen_{actuel} et rejette immédiatement tous les raccourcis que j'essaie de prendre : cela m'amène à décomposer, à exposer des « idées raisonnables », et ainsi de suite.
Oui, c'est un métier à part entière 😇.
exercice simple mais très instructif qui permet de mettre en exergue la différence entre récurrence forte et faible. merci pour l'aspect rigoureux et ordonné des éléments logiques dans le développement de l'analyse.' très bonne présentation, comme d'habitude....
Merci beaucoup 🙏🏻!
Pourquoi est-ce que vos émissions sont passées des "Maths en finesse" aux "Maths en puissance" ?🤔
C'est juste un autre type de vidéo, une autre série, et je me suis dit qu'une autre appellation serait peut-être appropriée 😉.
@@oljenmaths Allez-vous refaire des vidéos comme avant ?
super
Comment est-ce que vous démontrer qu'il n'existe aucune autres application qui satisfasse ces conditions ?🤔
Les 95% de la démonstration sont la mise en lumière d'une condition nécessaire : on a considéré une application convenant, et on a montré qu'alors, c'était forcément l'identité. Une autre manière de voir la chose consiste à se dire qu'on a exclu toutes les autres applications de la course, et qu'il ne reste plus qu'une seule application candidate. Il ne reste donc plus qu'à se demander si elle convient, ou pas (et elle convient).
@@oljenmaths Allez-vous refaire des émissions des séries (convergentes) déjà existantes ?
@@oljenmaths Clair, net, précis. (merci Oljen)
@@smartcircles1988 Oui, complètement. En ce début d'année, je teste seulement quelques prototypes.
Merci pour cette vidéo, je trouve ce nouveau format très instructif. C'est un excellent complément à la formation sur les exercices !
J'ai essayé de moduler la difficulté en transformant l'énoncé :
"Déterminer toutes les applications injectives de IR+ dans IR+ telles que pour tout x, f(x) =< x".
Je ne sais pas trop où j'ai mis les pieds, n'étant qu'un bricoleur. Mais si on restreint l'ensemble de départ à IR+ \ [0,1], n'y a-t-il pas déjà une infinité d'application satisfaisant cette condition, à savoir les fonctions polynomiales d'exposant rationnel compris dans ]0, 1] ?
En somme, l'infinité des applications x I---> x^a, avec a un réel compris dans ]0, 1] et x appartenant à IR+ \ [0, 1] convient-elle ?
En tout cas, vous savez toujours susciter la curiosité de qui la désire !
Bien à vous,
Vos compétences en bricolage vous ont déjà permis de pressentir l'essentiel : il y en a beaucoup trop pour qu'on se donne pour mission de les compter.
En effet, en suivant votre idée, on pourrait déjà considérer toutes les fonctions du type x → x^a, et cela pour tout a ∈ ]0,1]. On observera la courbe représentative de ces fonctions concaves, on constatera leur injectivité, qu'on pourra démontrer par la suite, ainsi que leur bijectivité, d'ailleurs.
Ensuite, pour pourrait imaginer complexifier un peu la chose en considérant une fonction définie avec des petits tronçons : pour tout couple de réels (a,b) ∈ ]0,1]², on pourrait considérer la fonction f qui à x associe x^a si x ∈ [0,1] et x^b si x ∈ [1, +∞[. Là encore, on aurait des fonctions injectives de IR+ dans IR+, et même bijectives là encore.
Mais toutes ces fonctions sont continues ! Or, on pourrait aussi imaginer faire un nombre quelconque de tronçons et « laisser des trous » entre (tracer des courbes au crayon est plus simple que d'imaginer des expressions analytiques)… et on réalise ainsi qu'il y a beaucoup, beaucoup, beaucoup d'injections de IR+ dans lui-même vérifiant f(x) ≤ x.
Au plaisir !
@@oljenmaths Merci beaucoup pour cette réponse détaillée !
Salu
S'il vous plaît, pouvez-vous réaliser un ou plusieurs épisodes sur la fonction zeta de Riemann et la distribution des nombres premiers ?!
J'aimerais suivre votre manière spéciale de traiter cette fonction : définition prolongement ces zéros triviaux et non triviaux et....
Et bien sûr si vous avez possible
mes salutations
Salutations ! Pour l'instant, je ne prévois pas de traiter des sujets aussi complexes (à double titre 😏) dans un futur immédiat, mais j'ose espérer que j'y viendrai un jour. Au plaisir !
@@oljenmaths merci beaucoup mon cher
On est d'accord que f(1) qui est égal à 1 est aussi plus petit que 2, 3, 4, etc ? Et non pas est inférieur à 0. Parce que c'est cette condition qui est première. L'injectivité ne venant qu'en ajout de la première. Si on peut exprimer les choses de cette manière.
Il est possible que ma langue ait fourché quelque part 🤔.
Pour clarifier la situation : la collection d'inégalités que l'on souhaite pour f contient, en particulier, l'inégalité f(1) ≤ 1. Ainsi, f(1) étant un entier naturel, cela ne laisse que deux possibilités : f(1) = 0 ou f(1) = 1. Cela dit, la première possibilité est exclue, puisque sinon, on aurait f(1) = 0 = f(0), ce qui contredirait l'injectivité de f. Il ne reste donc plus qu'une possibilité : f(1) = 1 👨🏻🏫.
@@oljenmaths Imaginons maintenant le même exercice mais sans l'injectivité. Quelles seraient alors les valeurs candidates pour f(n) ≤ n ? Car c'est au niveau de ma compréhension qu'entre en jeu un fort doute. Non pas que vous l'auriez induit....car vos explications sont assurément très claires. C'est plutôt dans mon raisonnement qu'il y a cette mésinterprétation ou interlopie.
J'ai repris l'exercice sur un tableau et c'est beaucoup plus lumineux à présent. Merci pour cette exigence qu'il y a chez vous d'une grande subtilité. De plus, ce nouveau format est très aidant. Merci donc. À vous suivre....
Bonjour professeur,
J'ai lu dans un ouvrage de mathématique que l'on ne devrait pas écrire pour la propriété P(n): "P(n) =" ... , mais : "P(n) :" ...
Qu'en pensez-vous?
Merci
Salutations ! Honnêtement, c'est une subtilité sémantique qui me dépasse. Cela ne veut pas dire qu'il ne faut pas y accorder d'importance, mais disons, qu'elle ne me semble pas faire obstacle à l'élaboration de mathématiques correctes… Lorsque j'écris A = « Le ciel est bleu », il me semble faire comprendre, de manière univoque, que j'associe la notation A à la chaîne de caractères « Le ciel est bleu », chaîne de caractères à laquelle je peux accorder une valeur de l'ensemble {Vrai, Faux}. Peut-être me trompé-je 🤔? Je ne sais 😇.
@@oljenmaths Merci professeur pour votre réponse de laquelle je retiens que la subtilité en question "ne semble pas faire obstacle à l'élaboration de mathématiques correctes".
Néanmoins j'ai cherché dans la littérature mathématique dont je dispose, et il apparait que la notation "P(n) : "..." que l'on y trouve est la contraction de la phrase: "Soit P(n) la proposition: "...", ou " soit la proposition P(n): "...". selon le MPSI de Nicholas Nguyen éditions Ellipses et le MPSI de Claude Deschamps éditions Dunod.
La notation simplifiée en question apparait également dans le corrigé du Concours général (freemaths.fr) de 2023 ainsi que dans Principes de la rédaction mathématique de Paul Milan P.373. Parmi d'autres.
Il me semble que les correcteurs étant si pointilleux de nos jours qu'il faut se méfier.
Merci de nouveau pour vos videos que j'apprécie énormément (lorsque je peux les suivre 😅)
Édifiant
Merci pour cette vidéo au top et vraiment super les temps pour réfléchir ,sinon j ai toujours un problème a comprendre pourquoi dans la récurrence forte on se permet de supposer Pn vrai pour k appart [0,n] alors qu l’on a juste vérifier pour n=0 . Si quelqu un peux m éclairer .merci
Merci 😇! En fait, il suffit d'imaginer qu'on grimpe aux barreaux d'un échelle, mais pas un par un.
→ Pour grimper sur P(1), on s'appuie sur P(0) (qu'on a vérifié au préalable).
→ Pour grimper sur P(2), on peut désormais s'appuyer, et on s'appuie sur P(0) et P(1).
→ Pour grimper sur P(3), on peut désormais s'appuyer sur, etc.
L'idée, c'est que dans la récurrence simple, j'oublie un peu tous les P(k) démontrés pour ne retenir que le barreau précédent. Dans une récurrence forte, je garde toutes les informations en mémoire pour m'en servir à loisir 👨🏻🏫.
@@oljenmaths Merci 🙏
Je crois préférer l’ancien style de vidéos. 🌀🌀 🌙🌙 💔💔 🤍🤍
Moi de même 😉!
Je pense pas que l'ancien format soit complètement remplacé par celui ci
Mais comme il doit demander 10 fois plus de temps de préparation ce format doit permettre en plus de la valeur pédagogique très différente des autres format de maintenir un rythme de publication plus soutenu
@@AllemandInstable C'est exactement ça 😉. Une émission « en finesse » se prépare dans l'ombre, dans la discrétion la plus absolue 🕵🏻♂! Et en attendant, je peux publier ce genre de vidéos ; on a le beurre, et l'argent du beurre 😏.
deboussolé par l'application identité, hmph 🥲. a part ça très bonne vidéo comme d'habitude et j'aime aussi le nouveau format