@@bmw123ckrealmente eso no te dice que el 3 sea un máximo simplemente q se puede alcanzar. Para ver el máximo habría q derivar y ver dónde están los máximos (de igual forma vas a llegar a que el máximo es 3)
Hola Mates Mike Extra, me gustó mucho tu video, eres un matemático que respeto mucho; desde hace mucho he tratado de comunicarme contigo apenas subieras video, pero siempre pasaba algo y no podía😢, pero aprovechando que hay pocos comentarios trataré que veas este comentario. Mucha gracias por todo 😊, Mates Mike.
Hey mike hace unos dias vi un video de un estadounidense haviendo un tier list de simbolos matemáticls, pero solo se basaba si era bonito y un poco util, deberias de hacer uno considerando ka funcionalidad de cada simbolo
5:27 Me hizo acordar a la regla mnemotecnica para los signos de las funciones trigonometricas (que al igual que SOH-CAH-TOA siempre viene bien cuando no recordamos o nos da fiaca hacer la grafica, ja). (P)rimer cuadrante (P)ositivas todas. (S)egundo cuadrante (S)en es positiva. (T)ercer cuadrante (T)an es positiva. (C)uarto cuadrante (C)os es positiva.
El nombre del canal es referencia a Yoshis Island pq More Monkey Madness es el Extra 3 de YI More Monkey Madness = MMM Tiene Extra y el canal tambien 👍 Tiene un 3 y el canal tambien 🧠🧠🧠
Hola Mike! Dentro de tu solución te tomas varios teoremas y variables que el problema no te pide. Entiendo que quieras usar lo de (a+b)/2 >= sqrt(ab) pero te estás tomando muchas libertades al usar este teorema. ¿Lo podrías explicar mejor? Gracias y saludos desde Valencia.
Buen video mike, pero cometiste un error, el intervalo superior es abierto, puesto que no hay ningun caso donde sin^2(x) y cos^2(x) sean 1 a la vez. El intervalo se puede reducir aun mas y el limete superior no es 4, de hecho se puede demostrar que es 3, y se da para casos kpi/2, el intervalo correcto sería [2sqrt2;3]
Yo vi a simple vista que sen²x y cos²x tenían que ser iguales y ambos tenían que ser igual a 1/2 para que al sacar factor común 2½(1+1)= 2√2 :v Se qué esta mal hacerlo sin el procedimiento pero este estaba fácil xd
cuando iba en secundaria /media. Usaba este metodo. Pero me preguntaba como se llegaria a esto?, para demostrarlo. No es mal metodo, ya que te ayuda a recuperar información sin desgastar la memoria, a veces la uso en la universidad para evitar estudiar tanto
Tengo una duda, no se si el peocedimiento está bien, a la ecuación del inicio le aplico a todos los terminos log, después bajas todos los exponentes, o sea, el cosx, sinx y el 3/2, después dividis ambos ladas de la ecuación por log(2), (basicamente te queda 1), y la ecuación sería: cosx + senx = 3/2, siento que me dio algo diferente que a mike, pero no me doy cuenta que, o si en realidad esta bien, gracias!!
Nop, no es el único posible, te lo dice la propia desigualdad aritmético-geométrica, la igualdad se cumple si y solo si son iguales, si son distintos (que es en la mayoría de números) te da mayor que 2raiz(2). El verdadero cote es [2raiz(2);3], en ese rango vive a
Puede que yo esté equivocado en algo, pero creo tener un contraejemplo que demuestra que la ultima desigualdad no es cierta (corregidme si me equivoco): supongo n=3, a1=100,a2=0,1 y a3=0,1 (a3*a2*a1=1).Calculemos: (1+0,1)^2 +(1+0,1)^3=(1,1)^5=1,61051 , que es menor (no mayor, como indicas) que 3^3=27. ¿Dónde está el error?
Mike, está mal la demostración de la cota superior, osea, sí, es correcto qye a tiene que ser menor o igual que 4, pero no todo a menor o igual que 4 y mayor o igual que 2raiz(2) nos da solución, si hacés la cuadrática llegás que en realidad el tope de máximo es con a=3, osea que todos los a que nos dan solución viven en el intervalo [2raiz(2);3]
Hola, Mike al Cubo (ay, no me acostumbro al nuevo nombre 😅), felicidades por el vídeo; propongo otra solución aún más rápida. Multiplicamos ambos lados de la ecuación por raiz de 2, simplificando queda 2^(sin^2 x + 1/2) + 2^(cos^2 x + 1/2) = 2 + 2 Ya se “ve” rápidamente que la igualdad se cumple para todo sin^2 x=1/2 y cos^2 x=1/2 Lo que sucede en todos los ángulos en que los “catetos” son iguales entre sí, 45, 135, 225 y 315 grados. Me habría ganado medio puntillo en el examen? Estoy medio dormido todavía y tal vez le falte alguna formalidad 🥱🥱 Ah sí, he supuesto que la ecuación 2^x + 2^y = 2+2 solo se cumple para x=1 y y=1 pero me voy otra vez a la cama porque hoy tengo día libre y en Galicia hay lluvia al Cubo, 🌧️^3
Mmm..., no falta el termino a_1? para demostrar que es cierta esa desigualdad, o sea en vez de (1+a_2)^2*...*(1+a_n)^n > n^n deberia ser (1+a_1)*(1+a_2)^2*...*(1+a_n)^n > n^n? Porq aqui tengo un contraejemplo a la desigualdad que se deberia demostrar: Si: a_1*a_2*a_3 = 1 Siendo a_1, a_2, a_3 > 0 a_1 = 1000 a_2 = sqrt(1/1000) a_3 = sqrt(1/1000) Entonces: (1+sqrt(1/1000))^2*(1+sqrt(1/1000))^3 > 3^3? 1.168 no es mayor a 27
@@MatesMikeExtra Aqui tengo una posible solución: Empezamos por el enunciado que dice lo siguiente: a_i > 0 para todo i perteneciente a los números naturales, n>=2 a_1*a_2*...*a_n = 1 Demostrar que: (1+a_1)*(1+a_2)^2*...*(1+a_n)^n >= n^n Considera la siguiente serie de desigualdades: (1 + a_1) > 1^1*a_1 (1 + a_2)^2*1^1 >= 2^2*a_2 (1 + a_3)^3*2^2 >= 3^3*a_3 ... (1 + a_n)^n*(n-1)^(n-1) >= n^n*a_n Si todas las desigualdades son ciertas, el producto de todas las operaciones del lado izquierdo del >= deben seguir siendo >= a todas las operaciones del lado derecho del >=, quedando el siguiente resultado: Recordemos que (1+a_1) es mayor estricto para todo a_1>0 -> (1+a_1) > a_1, esto implica que la siguiente desigualdad sea mayor estricto. (1 + a_1) * (1 + a_2)^2*1^1 * (1 + a_3)^3*2^2 * ... * (1 + a_n)^n*(n-1)^(n-1) > 1^1*a_1 * 2^2*a_2 * 3^3*a_3 * ... * n^n*a_n Al ser todo un producto podemos dividir ambos lados por todos los exponentes del estilo i^i de la siguiente forma: (1 + a_1) * (1 + a_2)^2 * (1 + a_3)^3 * ... * (1 + a_n)^n > 1^1*a_1 * 2^2*a_2 * 3^3*a_3 * ... * n^n*a_n / (1^1*2^2 * ... *(n-1)^(n-1)) Reordenando los terminos de i^i*a_i de la siguiente forma vemos que se pueden cancelar los i^i entre los otros i^i: (1 + a_1) * (1 + a_2)^2 * (1 + a_3)^3 * ... * (1 + a_n)^n > (a_1*a_2 * a_3 * ... *a_n) * (1^1*2^2*3^3*...*n^n) / (1^1*2^2 * ... *(n-1)^(n-1)) De forma que podemos cancelar cada termino con su respectivo quedando el siguiente resultado: (1 + a_1) * (1 + a_2)^2 * (1 + a_3)^3 * ... * (1 + a_n)^n > (a_1 * a_2 * a_3 * ... * a_n)*n^n Como podemos notar, el producto de (a_1*a_2*....*a_n) = 1 por la definición del enunciado: (1 + a_1) * (1 + a_2)^2 * (1 + a_3)^3 * ... * (1 + a_n)^n > (1)*n^n Llegando a la conclusión que la desigualdad que se nos plantea es cierta. Pero para ello, tendremos que demostrar que las siguientes desigualdades sean correctas para todo n: (1 + a_1) >= 1^1*a_1 (para el primer ejemplo es trivial) es cierto para a_1 > 0 (1 + a_2)^2*1^1 >= 2^2*a_2 (para el segundo ejemplo nos quedaría algo así (1-a_2)^2 >= 0 también es cierto para todo a_2 > 0 siendo igual en a_2=1 (1 + a_3)^3*2^2 >= 3^3*a_3 (para el tercer caso nos quedaría algo así (1-2a_3)^2*(a_3+4) >= 0 también es cierto para a_3 > 0 siendo igual en a_3=1/2 porque a_3 se nos impone que debe ser > 0 ... (1 + a_n)^n*(n-1)^(n-1) >= n^n*a_n (para el caso n necesitaremos plantearlo de otra manera) Sean las funciones: f(x) = (n-1)^(n-1)*(1+x)^n g(x) = x*n^n h(x) = ((n-1)ln(n-1) + n*ln(1+x)) i(x) = (n*ln(n)+ln(x)) Podemos justificar que: h(x)>=i(x) f(x)>=g(x) Esto es cierto, porque ln(x) i e^x son funciones monótonas crecientes. Esto nos ayudará a resolver las inecuaciones con sus derivadas. Queremos demostrar que h(x) >= i(x) para x>0 Miremos que vale para un x arbitrariamente pequeño positivo. lim x->0+ h(x) ==> ((n-1)ln(n-1) + n*ln(1+0)) = (n-1)ln(n-1) lim x->0+ i(x) ==> (n*ln(n)+ln(0)) = -inf Con lo cuál, h(0+) >= i(0+). Si en algun punto, esta desigualdad deja de ser cierta, significa que primero se deberán cruzar (seràn iguales en ese punto) y a partir de ese punto i(x) crecerá más rápido que h(x). Busquemos en sus derivadas los puntos de corte, esto nos revelará que en algunos puntos las funciones crecen unas más rápidas que la otras, buscar los intervalos (0,x_0), (x_0,x_1), ... (x_(i-1),x_i),(x_i,+inf) donde x_i es el punto de corte i, y comprobar para dichos intervalos que la desigualdad h(x)>=i(x) sigue cumpliéndose. Derivemos las funciones h(x) y i(x): h'(x) = n/(1+x) i'(x) = 1/x Busquemos todos los puntos de corte: n/(1+x) = 1/x xn/(1+x) = 1 xn = 1+x x(n-1) = 1 x = 1/(n-1) Únicamente aparece un punto de corte, dándonos los siguientes intervalos: (0,1/(n-1)) y (1/(n-1),+inf) Sustituyamos en h(x) y i(x) el valor x = 1/(n-1) y comprobemos que la inecuación sigue siendo cierta: h(1/(n-1)) >= i(1/(n-1)) (n-1)ln(n-1) + n*ln(1+1/(n-1)) >= n*ln(n)+ln(1/(n-1)) (n-1)ln(n-1) + n*ln(n)-n*ln(n-1) >= n*ln(n)-ln(n-1) (n-1)ln(n-1) + -n*ln(n-1) >= -ln(n-1) (n-1)ln(n-1) + (1-n)ln(n-1) >= 0 (n-1 + 1-n)ln(n-1) >= 0 0 >= 0 cierto, esto significa q son tangentes en ese punto h(x) con i(x) Si esto es cierto, entonces en el intervalo [1/(n-1),+inf) si el pendiente de h(x) a.k.a. h'(x) >= el pendiente de i(x) a.k.a. i'(x) entonces demostraremos para el caso n, las inecuaciones son correctas. h'(x) >= i'(x) n/(1+x) >= 1/x xn/(1+x) >= 1 xn >= 1+x x(n-1) >= 1 x >= 1/(n-1) Efectivamente es cierto a partir de ese punto (1/(n-1)) en adelante.
Lo resolví en 30 segundos, me dio pi/4. Pero lo hice más rápido, dije a= seno^2, después b=2^a, resolví la cuadrática en b, me quedó b=raíz de dos, eso implica a=1/2, entonces x=asín(1/√2)=π/4
![Lp. Сердце Вселенной #60 РОЖДЕНИЕ ЛОЛОЛОШКИ [Финал] • Майнкрафт](http://i.ytimg.com/vi/YoR0pAV9FVQ/mqdefault.jpg)
!Muy interesante el vídeo! Un único apunte, y es que el intervalo en el que existen soluciones, realmente tiene como cota superior 3, no 4.
True, tienes razón. Lo que quería transmitir es que con un cálculo sencillo demuestras que fuera del [2sqrt2,4] no hay nada.
Como saldría que es 3 la cota superior?@@MatesMikeExtra
@@thiago_2422 esto sale de que cuando sin(x)=1 => cos(x)=0, con lo que 2^1+2^0 = 3
@@MatesMikeExtra nada "Real" por supuesto
@@bmw123ckrealmente eso no te dice que el 3 sea un máximo simplemente q se puede alcanzar.
Para ver el máximo habría q derivar y ver dónde están los máximos (de igual forma vas a llegar a que el máximo es 3)
Mike en cualquier momento cambias el nombre del canal a Mike Desigualdad Aritmetico-Geometrica
Me encanta ver en uso la desigualdad aritmetico-geomètrica!! Me parece taaaan elegante!
Hola Mates Mike Extra, me gustó mucho tu video, eres un matemático que respeto mucho; desde hace mucho he tratado de comunicarme contigo apenas subieras video, pero siempre pasaba algo y no podía😢, pero aprovechando que hay pocos comentarios trataré que veas este comentario.
Mucha gracias por todo 😊, Mates Mike.
Disfruto muchos estos videos, gracias Mike! ❤
Hola, amigo M^3 ¿puedo tomar este ejercicio y resolverlo de forma diferente en mi canal? buen contenido.
Me encanta cómo estás teniendo este orden en los vídeos.
el intérvalo 😎
7:29
Es que soy valenciano, se me va jaja
8:35
Los números complejos: ¿y nosotros qué Mike acaso somos invisibles?
Hey mike hace unos dias vi un video de un estadounidense haviendo un tier list de simbolos matemáticls, pero solo se basaba si era bonito y un poco util, deberias de hacer uno considerando ka funcionalidad de cada simbolo
Cuando dices no puedes resolverla... pero en los reales😅... Y en los complejos 😮
Una pregunta, que usas para digitalizar lo que escribes? 🫣
excelente video maravilloso
5:27 Me hizo acordar a la regla mnemotecnica para los signos de las funciones trigonometricas (que al igual que SOH-CAH-TOA siempre viene bien cuando no recordamos o nos da fiaca hacer la grafica, ja).
(P)rimer cuadrante (P)ositivas todas.
(S)egundo cuadrante (S)en es positiva.
(T)ercer cuadrante (T)an es positiva.
(C)uarto cuadrante (C)os es positiva.
¡Hermoso video! ¿Esa fue la solución que usaste cuando lo resolviste en la dase local de olimpiada de mattemáticas? Saludos desde Chile
Nop! Usé el método que comentaba al principio
El nombre del canal es referencia a Yoshis Island pq
More Monkey Madness es el Extra 3 de YI
More Monkey Madness = MMM
Tiene Extra y el canal tambien 👍
Tiene un 3 y el canal tambien 🧠🧠🧠
Hola Mike! Dentro de tu solución te tomas varios teoremas y variables que el problema no te pide. Entiendo que quieras usar lo de (a+b)/2 >= sqrt(ab) pero te estás tomando muchas libertades al usar este teorema. ¿Lo podrías explicar mejor? Gracias y saludos desde Valencia.
Tiene una demostración en este canal
Y que importa el problema no te lo pida? Lo importante es que es cierto
tal vez hubiera sido más fácil notar que:
cos(x)^2 = sin(x)^2 => cos(x)^2 - sin(x)^2=0 => cos(2x)= 0 => 2x= (2n+1)*pi/2 => x= (2n+1) pi/4 .
Buen video mike, pero cometiste un error, el intervalo superior es abierto, puesto que no hay ningun caso donde sin^2(x) y cos^2(x) sean 1 a la vez. El intervalo se puede reducir aun mas y el limete superior no es 4, de hecho se puede demostrar que es 3, y se da para casos kpi/2, el intervalo correcto sería [2sqrt2;3]
Sí sí, está en el comemtarip fijado
@@MatesMikeExtra vale, buen video igualmente
Yo vi a simple vista que sen²x y cos²x tenían que ser iguales y ambos tenían que ser igual a 1/2 para que al sacar factor común 2½(1+1)= 2√2 :v
Se qué esta mal hacerlo sin el procedimiento pero este estaba fácil xd
cuando iba en secundaria /media. Usaba este metodo. Pero me preguntaba como se llegaria a esto?, para demostrarlo. No es mal metodo, ya que te ayuda a recuperar información sin desgastar la memoria, a veces la uso en la universidad para evitar estudiar tanto
La desigualdad aritmética-geométrica me caía mal, ahora me cae bien 👍
Las ecuaciones trigonométricas son muy divertidas de resolver. =)
bonito problema, bonita solución
Más videos Porfa
Tengo una duda, no se si el peocedimiento está bien, a la ecuación del inicio le aplico a todos los terminos log, después bajas todos los exponentes, o sea, el cosx, sinx y el 3/2, después dividis ambos ladas de la ecuación por log(2), (basicamente te queda 1), y la ecuación sería: cosx + senx = 3/2, siento que me dio algo diferente que a mike, pero no me doy cuenta que, o si en realidad esta bien, gracias!!
log(a+b)≠log a + log b
Cuando vi ese problema simplemente me puse a probar valores de x con los ángulos notables
Tomando u = sen² x, y = 2^u se convierte en: y + 2/y = 2√ 2 (sin utilizar ningún teorema)
Es más, "a" debe ser menor que 4, ya que sen²x y cos²x no pueden valer simultáneamente 1. De hecho el único valor posible para "a" es 2raiz(2)
Nop, no es el único posible, te lo dice la propia desigualdad aritmético-geométrica, la igualdad se cumple si y solo si son iguales, si son distintos (que es en la mayoría de números) te da mayor que 2raiz(2). El verdadero cote es [2raiz(2);3], en ese rango vive a
@@titomus si, es verdad, hasta 3 es posible. La primer parte de mi comentario estaba bien, la segunda me equivoqué
El sen y el coseno tienen extensiones en los complejos, así que si funciona
Puede que yo esté equivocado en algo, pero creo tener un contraejemplo que demuestra que la ultima desigualdad no es cierta (corregidme si me equivoco): supongo n=3, a1=100,a2=0,1 y a3=0,1 (a3*a2*a1=1).Calculemos: (1+0,1)^2 +(1+0,1)^3=(1,1)^5=1,61051 , que es menor (no mayor, como indicas) que 3^3=27. ¿Dónde está el error?
Es error mí, el producto debería empezar en a_2, lo siento
@@MatesMikeExtra Entonces como debería quedar
Me da que la cota superior final es muy poco estricta… voy a ver si la saco exactamente 😅
Ya lo calculé, 3. Y encima estaba puesto más arriba 😂😂
Mike, está mal la demostración de la cota superior, osea, sí, es correcto qye a tiene que ser menor o igual que 4, pero no todo a menor o igual que 4 y mayor o igual que 2raiz(2) nos da solución, si hacés la cuadrática llegás que en realidad el tope de máximo es con a=3, osea que todos los a que nos dan solución viven en el intervalo [2raiz(2);3]
Sí sí está en el comentario fijado
@@MatesMikeExtraah no lo vi jajaja perdón perdón
X = pi/4
Pensé que era un sub canal, pero solo veo q cambio el nombre.
intérvalo
Hola, Mike al Cubo (ay, no me acostumbro al nuevo nombre 😅), felicidades por el vídeo; propongo otra solución aún más rápida.
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por raiz de 2, simplificando queda
2^(sin^2 x + 1/2) + 2^(cos^2 x + 1/2) = 2 + 2
Ya se “ve” rápidamente que la igualdad se cumple para todo sin^2 x=1/2 y cos^2 x=1/2
Lo que sucede en todos los ángulos en que los “catetos” son iguales entre sí, 45, 135, 225 y 315 grados.
Me habría ganado medio puntillo en el examen? Estoy medio dormido todavía y tal vez le falte alguna formalidad 🥱🥱
Ah sí, he supuesto que la ecuación 2^x + 2^y = 2+2 solo se cumple para x=1 y y=1 pero me voy otra vez a la cama porque hoy tengo día libre y en Galicia hay lluvia al Cubo, 🌧️^3
Por qué no puede ser a =2raiz(2) ? No lo entiendo.
Y yo que cuando dijiste que "sen²x=cos²x" pensé "oh, entonces ambos son ½" pq 2^½+2½=2(2½) 😅
Pero hay que demostrarlo!
No entendí porque se les suma 90º a cada una de las soluciones, ¿alguien me ayuda?
Lo hice por método cuadrático y me salió x = 45º + 90º k; k perteneciendo a Z
Ojo
lo hize antes de ver el video y solaamente llego a que x= 45° aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
Mmm..., no falta el termino a_1? para demostrar que es cierta esa desigualdad, o sea en vez de (1+a_2)^2*...*(1+a_n)^n > n^n deberia ser (1+a_1)*(1+a_2)^2*...*(1+a_n)^n > n^n?
Porq aqui tengo un contraejemplo a la desigualdad que se deberia demostrar:
Si:
a_1*a_2*a_3 = 1
Siendo a_1, a_2, a_3 > 0
a_1 = 1000
a_2 = sqrt(1/1000)
a_3 = sqrt(1/1000)
Entonces:
(1+sqrt(1/1000))^2*(1+sqrt(1/1000))^3 > 3^3?
1.168 no es mayor a 27
En efecto, falta añadir el término primero o una condición que no excluya al máximo de los factores en el producto
El a_1 no debería aparecer en el producto, efectivamente
@@MatesMikeExtra
Aqui tengo una posible solución:
Empezamos por el enunciado que dice lo siguiente:
a_i > 0 para todo i perteneciente a los números naturales, n>=2
a_1*a_2*...*a_n = 1
Demostrar que:
(1+a_1)*(1+a_2)^2*...*(1+a_n)^n >= n^n
Considera la siguiente serie de desigualdades:
(1 + a_1) > 1^1*a_1
(1 + a_2)^2*1^1 >= 2^2*a_2
(1 + a_3)^3*2^2 >= 3^3*a_3
...
(1 + a_n)^n*(n-1)^(n-1) >= n^n*a_n
Si todas las desigualdades son ciertas, el producto de todas las operaciones del lado izquierdo del >= deben seguir siendo >= a todas las operaciones del lado derecho del >=, quedando el siguiente resultado:
Recordemos que (1+a_1) es mayor estricto para todo a_1>0 -> (1+a_1) > a_1, esto implica que la siguiente desigualdad sea mayor estricto.
(1 + a_1) * (1 + a_2)^2*1^1 * (1 + a_3)^3*2^2 * ... * (1 + a_n)^n*(n-1)^(n-1) > 1^1*a_1 * 2^2*a_2 * 3^3*a_3 * ... * n^n*a_n
Al ser todo un producto podemos dividir ambos lados por todos los exponentes del estilo i^i de la siguiente forma:
(1 + a_1) * (1 + a_2)^2 * (1 + a_3)^3 * ... * (1 + a_n)^n > 1^1*a_1 * 2^2*a_2 * 3^3*a_3 * ... * n^n*a_n / (1^1*2^2 * ... *(n-1)^(n-1))
Reordenando los terminos de i^i*a_i de la siguiente forma vemos que se pueden cancelar los i^i entre los otros i^i:
(1 + a_1) * (1 + a_2)^2 * (1 + a_3)^3 * ... * (1 + a_n)^n > (a_1*a_2 * a_3 * ... *a_n) * (1^1*2^2*3^3*...*n^n) / (1^1*2^2 * ... *(n-1)^(n-1))
De forma que podemos cancelar cada termino con su respectivo quedando el siguiente resultado:
(1 + a_1) * (1 + a_2)^2 * (1 + a_3)^3 * ... * (1 + a_n)^n > (a_1 * a_2 * a_3 * ... * a_n)*n^n
Como podemos notar, el producto de (a_1*a_2*....*a_n) = 1 por la definición del enunciado:
(1 + a_1) * (1 + a_2)^2 * (1 + a_3)^3 * ... * (1 + a_n)^n > (1)*n^n
Llegando a la conclusión que la desigualdad que se nos plantea es cierta.
Pero para ello, tendremos que demostrar que las siguientes desigualdades sean correctas para todo n:
(1 + a_1) >= 1^1*a_1 (para el primer ejemplo es trivial) es cierto para a_1 > 0
(1 + a_2)^2*1^1 >= 2^2*a_2 (para el segundo ejemplo nos quedaría algo así (1-a_2)^2 >= 0 también es cierto para todo a_2 > 0 siendo igual en a_2=1
(1 + a_3)^3*2^2 >= 3^3*a_3 (para el tercer caso nos quedaría algo así (1-2a_3)^2*(a_3+4) >= 0 también es cierto para a_3 > 0 siendo igual en a_3=1/2 porque a_3 se nos impone que debe ser > 0
...
(1 + a_n)^n*(n-1)^(n-1) >= n^n*a_n (para el caso n necesitaremos plantearlo de otra manera)
Sean las funciones:
f(x) = (n-1)^(n-1)*(1+x)^n
g(x) = x*n^n
h(x) = ((n-1)ln(n-1) + n*ln(1+x))
i(x) = (n*ln(n)+ln(x))
Podemos justificar que:
h(x)>=i(x) f(x)>=g(x)
Esto es cierto, porque ln(x) i e^x son funciones monótonas crecientes. Esto nos ayudará a resolver las inecuaciones con sus derivadas.
Queremos demostrar que h(x) >= i(x) para x>0
Miremos que vale para un x arbitrariamente pequeño positivo.
lim x->0+ h(x) ==> ((n-1)ln(n-1) + n*ln(1+0)) = (n-1)ln(n-1)
lim x->0+ i(x) ==> (n*ln(n)+ln(0)) = -inf
Con lo cuál, h(0+) >= i(0+).
Si en algun punto, esta desigualdad deja de ser cierta,
significa que primero se deberán cruzar (seràn iguales en ese punto) y a partir de ese punto i(x) crecerá más rápido que h(x).
Busquemos en sus derivadas los puntos de corte,
esto nos revelará que en algunos puntos las funciones crecen unas más rápidas que la otras,
buscar los intervalos (0,x_0), (x_0,x_1), ... (x_(i-1),x_i),(x_i,+inf) donde x_i es el punto de corte i,
y comprobar para dichos intervalos que la desigualdad h(x)>=i(x) sigue cumpliéndose.
Derivemos las funciones h(x) y i(x):
h'(x) = n/(1+x)
i'(x) = 1/x
Busquemos todos los puntos de corte:
n/(1+x) = 1/x
xn/(1+x) = 1
xn = 1+x
x(n-1) = 1
x = 1/(n-1)
Únicamente aparece un punto de corte, dándonos los siguientes intervalos:
(0,1/(n-1)) y (1/(n-1),+inf)
Sustituyamos en h(x) y i(x) el valor x = 1/(n-1) y comprobemos que la inecuación sigue siendo cierta:
h(1/(n-1)) >= i(1/(n-1))
(n-1)ln(n-1) + n*ln(1+1/(n-1)) >= n*ln(n)+ln(1/(n-1))
(n-1)ln(n-1) + n*ln(n)-n*ln(n-1) >= n*ln(n)-ln(n-1)
(n-1)ln(n-1) + -n*ln(n-1) >= -ln(n-1)
(n-1)ln(n-1) + (1-n)ln(n-1) >= 0
(n-1 + 1-n)ln(n-1) >= 0
0 >= 0 cierto, esto significa q son tangentes en ese punto h(x) con i(x)
Si esto es cierto, entonces en el intervalo [1/(n-1),+inf)
si el pendiente de h(x) a.k.a. h'(x) >= el pendiente de i(x) a.k.a. i'(x)
entonces demostraremos para el caso n, las inecuaciones son correctas.
h'(x) >= i'(x)
n/(1+x) >= 1/x
xn/(1+x) >= 1
xn >= 1+x
x(n-1) >= 1
x >= 1/(n-1)
Efectivamente es cierto a partir de ese punto (1/(n-1)) en adelante.
¿En España escribís "seno" como "sen"???? El símbolo internacional es "sin"!! Pq escrivís "sen"?
Porque estoy hablando en castellano
Porque viene de abreviar seno, en Latinoamérica es lo mismo o por lo menos es así en mi país
Lo resolví en 30 segundos, me dio pi/4. Pero lo hice más rápido, dije a= seno^2, después b=2^a, resolví la cuadrática en b, me quedó b=raíz de dos, eso implica a=1/2, entonces x=asín(1/√2)=π/4