What Does the Sum of the Reciprocals of Square Numbers Converge to? [English Subtitles]

[@斎藤英敏-d4n]

1:08
各点収束先の関数f(x,y)が[0,1]^2上でf(x,y)=(1 if (x,y)=(1,1) else 0) であり連続でないので一様収束はしてないです
結論自体は単調収束定理やルベーグ収束定理などで言えます

[@evimalab]

ご指摘ありがとうございます。ピンさせていただきます。
参考にした本で断りなく変形が行われていたこともあって油断していました。
重い教訓になりました。

[@dgvdkj]

@@evimalab素人質問で恐縮ですが動画作り直して上げ直すとかしないんですか？

[@evimalab]

​@dgvdkj ブログならそうしていましたが、UA-cam では基本的には一度公開した動画は削除するものではありません。（削除するべきなのは法的な問題が発覚したケースなどに限られると思います。）

[@zouo-from-Taikonotatsujin]

普通にコメント消えちゃうし収益化するための条件から遠ざかっちゃうし蓄積した数字を捨てるのはあかん

[@ああ-f3y1o]

@@evimalab
削除までする必要はないかと思われます。
誤りを訂正した動画のタイトルに【修正版】とか適当なものをつけて上げなおして、修正前の動画の概要欄とかℹ︎マークとかから飛ばしてやればいいんでないでしょうか。

[@tx6126]

「なんでここで円周率が出てくるの？」
「神様にでも聞け」
ここすき

[@いーぐる-j5c]

ナーマギリ女神に教えてもらうか！()

[@名字名前-s8t]

日本語UA-camの私が見てきた数学系チャンネルの中で圧倒的に一番理論が丁寧…感動しました
「積の積分を積分の積に変換するやつの逆」すごくしっくりくる言い方

[@素敵-r4g]

ネットこれを知ったときは驚いて何度も証明見直したわ。考えた人は異次元

[@関雅明-w2i]

オイラー?

[@freaxo_sou]

おいらです。どうも

[@鮒茸]

チルノが普通に自分より頭良いのなんか腹立つ

[@thirty-six-percent]

いつからチルノがバカだと錯覚していた？貴様の頭が悪しなのかもね。

[@ςεγρεγατηονηςτ]

w

[@hujokolp]

⑨

[@Ba0da0dha]

???「バーカバーカ」

[@ςεγρεγατηονηςτ]

@@Ba0da0dha 草

[@Anime_zukidayo]

0:56 積の積分を積分の積に
ここ気持ち良すぎるw

[@ike3563]

大学卒業後ワイ「とりあえずExcelで数値計算や。欲しい精度は3桁やから、n=100ぐらいまでやればええやろ」

[@ペロブスカイト-x7r]

ソルバー便利すぎ

[@tot5719]

我々のことラマヌジャンか何かだと思ってない？

[@大喜-n6y]

某鳥で草
といえどもマジでなにを言ってるのか終始わからん

[@しらたき-k9b]

この動画を再び見たときに面白いと思えるよう、数学を学ぶ事を決意した

[@Sabakanmelm]

45°回転、ABC351-Eの嫌な思い出が蘇った

[@ばいちゃん-k5r]

フーリエ級数展開から求めていたけど、こういうのもあるんだな。

[@alpha_archive_]

チルノ「あたいを突っ込むよ！」
魔理ちゃん「どうなった？」
チルノ「さいきょーね！(`･ω･´)」

[@JD-is8yg]

二乗の逆数集めたや〜つ〜
定数時間かな〜　それって定数時間だね〜　O(1)大好き〜
でおなじみのやつですね

[@chabai]

中二の私がみるものではありませんでした

[@kotatsu2424]

これ去年の東工大の院試に出ててた
過去問解いててなんやこれって思ってたけどこういう背景があるんやな

[@qqum8051]

チルノがだんだんアヘ顔になるテンプレ好き

[@aiueokakikukeko211]

分かる

[@mwk_channel]

もしかして：ラマヌジャン

[@evimalab]

この証明を最初に誰が思いついたかは不明のようです。以下、参考資料（Proofs from THE BOOK）から引用します。
The first proof appears as an exercise in William J. LeVeque’s number theory textbook from 1956. But he says: “I haven’t the slightest idea where that problem came from, but I’m pretty certain that it wasn’t original with me.
（触れられている本はこれのようです。www.amazon.com/Topics-Number-Theory-Volumes-Mathematics/dp/0486425398 ）

[@A57278]

How do you learn mathematics? What resources do you use?

[@sammurphy8089]

only pornhub

[@evimalab]

I haven't seriously learned math (undergraduate math students know more than me), but I have some experience in competitive programming, which is somewhat similar to math.
I mainly use books such as "Proofs from THE BOOK."

[@Avuvos]

Brilliant
In my whole math/cs degree I have seen many proofs of this sum, but this one is the nicest and most simple :)

[@f46649]

理解するので精一杯

[@柏村達哉]

三角関数が登場した時点で円周率の登場の予感がする。

[@ie5523]

この問題幾何的な解き方のほうが有名だけど、積分オンリーで解けたんだ、知らなかった

[@swisse213]

That's why the density of Squarefree Number (positive integer with no square divisor except 1) approaches ~0.608.

[@nokemoyajuu]

すごい！確かに平方数の逆数の和だから関係ありそうなのはわかるけど、数学の綺麗さを感じる。

[@プッち]

1:03
フビニの定理をどのように用いているか分からないです…

[@妖刀]

ほら, 二乗って三角関数と仲良くて
三角関数も円周率とは親友でしょ
だから, きっと友達の友達みたいな感覚だよ(?)

[@sanagi-sn]

2:13 何故下二行の等号が成り立つのですか？計算しようとしてもどうすればいいかわかりません

[@evimalab]

積分区間（正方形）を1/4にカットして得られる左上の三角形が一行目、右上の三角形が二行目です。
インテグラルの中身は前の式のインテグラルの中身に x=u-v, y=u+v を代入したものです。
「4」については動画の説明の通り（dxdy = 2dudv、下半分の三角形を無視したためさらに2倍）です。

[@sanagi-sn]

@evimalab すいません、具体的に式で書いてもらってもいいでしょうか？

[@evimalab]

式は動画中にけっこう書いたと思います。
とりあえず、 www.amazon.co.jp/Proofs-BOOK-Martin-Aigner/dp/3662442043 の56ページから引用します。
===引用===
The second way to evaluate I [※1/(1-xy)の二重積分] comes from a change of coordinates: in the new coordinates given by u := (y+x)/2 and v := (y-x)/2 the domain of integration is a square of side length (1/2)√2, which we get from the old domain by first rotating it by 45° and then shrinking it by a factor of √2. Substitution of x = u-v and y = u+v yields 1/(1-xy) = 1/(1-u^2+v^2).
To transform the integral, we have to replace dxdy by 2dudv, to compensate for the fact that our coordinate transformation reduces areas by a constant factor of 2 (which is the Jacobi determinant of the transformation; see the box on the next page [※二重積分の変数置換の説明]). The new domain of integration, and the function to be integrated, are symmetric with respect to the u-axis, so we just need to compute two times (another factor of 2 arises here!) the integral over the upper half domain, which we split into two parts in the most natural way: I = [※ここに 2:13 の下の式が入る].
===引用終わり===

[@m6969_]

誰が思いつくねん

[@henyatu]

何してるかは分かるがなんでこんなん思いつけるかは分からん

[@Gajum4ru]

3blue1brownで見た解法がpi感あるかなという感じです

[@evimalab]

情報ありがとうございます。見てみます。

[@1000-dai]

0:57 積の積分を積分の積w

[@shiru_a]

日本女子大、慶医、東海医なんかで誘導付けて高校数学で解かされてますね
類題だと1990年東工大の後期でも

[@全動画にコメントするch]

こう言う動画は必要だ

[@推測占い師あすちゃんの日記]

レベルが高すぎて全然ついていけなかった。

[@isho_chan]

sinx＝x-1/3！x³＋･･･(taylor展開)
sinx＝x(1-x/π)(1＋x/π)･･･＝x(1-x²/π²)･･･(因数定理)
x³の係数を比較すると結論が得られる

[@shiso_roe]

高3だけどarctanが出てきた瞬間わかんなくなった

[@user-cccucumber]

むしろよくそこまで持ったな

[@貴方はいつもそうだ]

誰が発見した証明でしょうか？

[@matashinkyarakayo]

平方数の逆数和、fourier級数使うやつしか知らなかったからありがたい

[@I_love_胡桃]

この動画が伸びてるの嬉しい

[@user-hydvjiiybb]

チルノのパーフェクトだいがくすうがく教室

[@timpokomon_center_chief_crew]

パイパン魔理沙が⑨すぎて草が生えますねえ

[@butter_pp]

すごいな。なんも分からん

[@蒟蒻馬場ファーム]

コメント欄の治安良くて良き

[@shin3837]

テクニカルだな

[@末永-r8o]

3 blue 1 brown

[@pps2.0]

文系ワイ、何がなんだかわからない
高校3年頑張って文転しなかったらできたんやろか…悲しいなぁ

[@セントラルビーチ-w5l]

文系ワイ、開始1分以降何を言っているのかさっぱり

[@kino785]

大学1年レベルの数学知識がある前提の解説なんで文系の人がわからないのは普通

[@相馬恵-o6v]

あ、頭が、、

[@numberbasher269]

ASK GOOOOOOD