Розмір відео: 1280 X 720853 X 480640 X 360
Показувати елементи керування програвачем
Автоматичне відтворення
Автоповтор
高校時代、sinやcosの加法定理はよく問題集でも見た記憶はあるけどtanのはあまり見ないのも要因の一つかもしれない。
とはいえtanの加法定理を覚えていなくても、sin,cosの加法定理、tan=sin/cosさえ覚えていればtanの加法定理はすぐに出せるあと京大に受験する人の殆どは覚えていそう
「か。」と問うてるだけだから証明なしで「いいえ。」とだけ答えても良いはずっていう主張をどこかで見て笑った
20点の問題だとして、1～2点の部分点は「いいえ」だけでもらえそう
@@shinsukekishimoto8877京大は点くれないよ
社会出てから学ぶのは質問には端的に答えろ。イエスノークエスチョンにはイエスノー以外答えんな！なんだけどね
正誤の前に、答を出す（出せそうな)方法を思い付く時点で凄い。
数学で大事なのは答えや事実ではなく過程だから
昔の京大数学は難しくかつ名作が多かった。作問担当教官が北大に移転して、それで北大数学が一気に難化した…といううわさがあるが本当か有識者コメントプリーズ
この手の問題で背理法を使うのは定石なので、むしろそこから加法定理を使って既知の値との矛盾を示す方向にもっていく発想に至る方が難しいだいたいは一般化して考えたくなるから
加法定理の本質は角度を自由自在に足したり引いたりできるって点で、これはチャートとかでsin75°=？みたいな公式丸暗記の問題を解くだけでは身につかない高校生の時この問題に感動したのを覚えてるわ
京都大学らしいですよね。 無理数なのはほぼ間違いない、有理数と仮定して矛盾が起きるので背理法で「無理数」だと証明するというというのは試験会場とかでなければ直ぐに思いつくだろう。tan1°を有理数と仮定すると、倍角公式でtan32°とtan2°が有理数、加法定理でtan (32°-2°)も有理数になる。しかし有理数= tan (32°-2°)=tan 30°=1/√3。√3は無理数なので矛盾、というあたりが一般的と思われ、難易度もそう高くは無い。 試験会場でこんなのをポンと出された時に「あなたはそういう冷静な思考ができるかどうか」という受験者を試す要素、そしてシンプルゆえに「記載された答案」の背理法のロジックが「採点者を納得させられるか？」、あとは「常識」が働いているか、というところがこの問題の要点になる。
冷静な判断が出来る人は得点できるというあの場でそうなれるのは只ものじゃない
倍角公式よりも、数学的帰納法でtan n゜(n∈N)が全部有理数になる事を示した方が楽じゃね？
@@あいうえおかきくけこ-u5p 既知の無理数になるtan 30°とかtan60°まで分かれば証明の材料としては充分だが、数学的帰納法をつかうと原理的にはtan90°と無限大になる部分に引っ掛かってしまう。こういう状況で帰納法を使っていいのかどうか私には自信がもてない（当然試験会場だとなおさら自信が持てない）ので、1→2→4→8→16→32と5回使用で必要なところ（30°超え）まで到達できる倍角公式での対応がよいのではと考えた次第。ご指摘の如く、手間が掛かりそうなのは間違いないです。
帰納法とか使ってもいいけど「tanθが有理数→tan2θ, tan3θ, tan5θは有理数」だけ示せばtan1が有理数を仮定→tan2°は有理数→tan6°は有理数→tan30°は有理数で矛盾導けるよね32°-2°とかはコメント見るまで全く思いつかなかったけどこの方法(もしくは帰納法)は自然に出てくると思う
32°-2°のほうが解答欄が綺麗にはなるから公式の解答例とかはそっちになるんだろうけど、実際に初見で解く時には綺麗に解く必要ないしtan30°に必要なの片っ端から書いてく方法で解いた人の方が早いし多いと思う
緊張maxの状況でこんな問題解くなんて無理数
京大の数学の問題と言えば、質・量ともに受験生を圧倒するほどの難問ばかりで、何か少しでも正解していたら点数を貰えるのだと、予備校の先生から聞いた事があります。元号が昭和の頃は、問題用紙の余白に何かしら式を書いて、それを受験生が消しゴムで消したとしても、採点する側は透かし読みしてくれて部分点を与えてくれてたんだとか❗
東大の「円周率が3.05よりも大きいことを証明せよ」の3年後か。シンプルさで対抗したのかも正答率が低かったとは、出題者はがっかりしたことでしょう…しかし「誰も解けなかった」は言い過ぎ
円周率は3.14…なので3.05より大きい Q.E.D.
3より大きいなら超絶簡単なんだけだな
大数評価ならたしかBだったはず…ただ正答率は確かに低い
@@大野日左香 一番初歩的なギャグ回答ね、
@@maamaa2858正六角形出せばいいだけですもんね
難しそうでも基礎的な知識で解けるというのは面白かったです。動画をありがとうございました。😇
正確に言うと、背理法に加えて、数学的帰納法も使う必要があります。解答欄のスペースが限られているはずなので、必ず数学的帰納法も必要ではないかな？
その場合、「tan n° が全ての自然数nに対して有理数であること」・・・①を証明するときに使うということですか？[1]n=1のとき [2]n=kのときtan n°が有理数であると仮定した上で、n=k+1のとき[1]、[2]において①が成り立つことを証明できればよい[1]は動画から自明だと思うんですが、[2]の式中のtan (k+1)°が有理数であることはどうやって示せば良いのでしょうか。
不必要だと思う。背理法は全てのn°で無理数…みたいなモノを証明する時に使う手法だけど、この問題の場合はtan30°とか、tan60°が無理数だとわかっているので、最初にtan1°が有理数であることを仮定して、そこまで加法定理で辿れれば良いから不要かと。
@@みき-z1lそこはお前加法定理よ
@@TIshida360 必要だよ。使わないなら1の場合、2の場合、と延々30になるまで書かなければ減点対象。
@@みき-z1l (tank°+tan1°)/(1-tan k°tan1°)=(s/r +q/p)/(1-sq/rp)(ここでp、q、r、sは整数)=(sp+rq)/(rp-sq)sp +rqは整数かつrp-sqも整数だから有理数
理由その４他の問題を解くために飛ばしたら時間内に手を付け損なった
映像の説明通りtanN°のNを増やしていって60°までやると、tan60°=tan(59°+1°)=(tan59°+tan1°)/(1-tan59°*tan1°)でtan1°とtan59°も有理数でこの四則演算も有理数となってしまう。しかし実際はtan60°=√3でこれは無理数。そもそもtan1°を有理数仮定していたのがおかしかったということか。…ということでつじつまが合わないから、tan1°は無理数だってことでいいんでしょうか。こんな理解であってますか？数学できる方教えてください。
合ってますよ！
@@zplutoindesigner さんありがとう
数学の話をずっとしてきた中で加法から火砲に発想を飛ばした霊夢ちゃんはやはり数学的なセンスがあるのかもしれない
度数法のtan1°じゃなくてラジアン角のtan1と勘違いした受験生が多かったのかも。ラジアンになると加法定理を使っても著名な角度にしにくいので難問になります。
加法定理に加え、倍角公式も使ってtan 30°乃至tan 60°迄持って来て矛盾導くのも有り。
12:40 「おそらく教科書に載っているはずだ」の意味が分からなかった。
「tan1°を有理数と仮定する」と書くだけで部分点がもらえるこの1行だけ書いてその後他の問題を解くのがベスト
部分点をもらった奴が今でもtan1°を有理数と仮定したまま人生を過ごしているのだと思うと涙が出ます
@@sakakkiedx5052真顔で打ってると思うけど
30°では前提条件が否定されるが、45°では肯定される。この矛盾はどうなるのですか？
たぶん満点取るのは難しい証明な気がしますね
リンデマンの定理「どしたん話聞こか?」
√3が無理数である証明がめんどくさかったので、tan90°が未定義なことを使って背理法で証明したら皆に怒られた記憶が・・・
点数付けるのも大変そう。
京大受ける人にとってはサービス問題やろと思ってたけど、正答率低かったんやね…
tan30°までやれば1/√3になるので、そこで計算を終えるのはダメですか？ 2^5=32なので2倍角の公式を５回使ってtan32°を考え、tan(32°-２°)=1/√3（無理数）になるから背理法で矛盾を証明するとか。
この問題を始めて見た時は無理数の証明なんて大体背理法だって習ってたんで、対して難しく感じなかったんだけど当時はこの手の証明問題の出題頻度低かったりしたんだろうか？
ショート動画の問題もかなりシンプルだったけど、正答率はどれくらいだったのだろう。
友人に出されたけど頭の中だけで解けちゃったので代わりに 「tan n°が有理数になる有理数nをすべて求めろ」 という問題を出し返して一緒に解いた思い出
アンサイクロペディアに乗っていた問題だ。最初嘘だと思っていた
tanのフォントが不適切で15秒で見る気なくした
「nを自然数とする。tan n°が無理数になるのはｎがいくつの時か？」という問題ならどうでしょう？
いいえ、無理数である。その理由を背理法で証明する。tan1°を有理数と仮定すると、tan2°も有理数である。tan30° = tan((2^5)°-2°) = ... = ｛tan2° と有理数の四則演算のみで示される式｝ となり、tan30°も有理数となる。ところが tan30° = √3/3 で無理数であり、矛盾が生じるため、tan1°が有理数ではなく、無理数である。（証明終：いや途中ちゃんとやれ）
tan1°=cos1°/sin1°tan(π/180)=(cosπ/180)/(sinπ/180)まで考えて、その先に行けなかった。(´･ω･｀)
中2ですが完答出来ました。難しかったです…
すごーい
完答ってなると証明の順序とかも全部合ってるってことになるぞやるやん
@@ガンジス川-f1yうれしい誤算です
@@uguisu-1209 何やねん誤算て
まさか解けるとはおもっていなかったので…
誰も解けなかったというのは大げさかと。おれでさえ、数年前に寝る前にちょっと紙に書いて解けたような。
わかったような気がするけど、では何故tan45°は有理数になるのでしょうか。無理数の加減乗除すると有理数になるという矛盾が発生するのではないか？
√2+(-√2)や(2*√2)/√2のように、無理数どうしの演算で有理数になることもあります。
泥臭くやろうとすると、① 2倍角の公式と3倍角の公式に加法定理を使って5倍角の公式を作り、さらに3倍角を2回適用することで45倍角の公式を作る② ①の逆関数を考えて1/45角の公式を作る③ ②に対してtanθ=1とした時、有理数かどうかを確かめるとかですかね……まあこの解法を思いついた時点で挫折しなければ、①の途中で「tanθが有理数ならtan nθも有理数」と気付くので何とかなるはず（普通はその時点で②が無理であることを察して方向性を変える）
違います。tan30°=1/√3が無理数なので矛盾するので無理数です。
@@荒巻-b8m それのこと言ってるんですが……（対偶を取って）
ではtan45度を同じ様に証明したら無理数になる?有理数の1ですが
東大の円周率のやつを思い出した。
うーん。tanの加法定理が分かっていれば秒殺だと思うんだが。正答率５％ってのは正直信じられん。
上記の感想は動画のタイトルだけみたときに思わず書いてしまったものでした。みおあわっての感想ですが、やっぱり５％という正答率はかなり不可解です。出題者の意図としては2割3割くらいは正解できるくらいのちょうどよい難易度と期待して出したとおもうのですが、いったい受験生に何があったんだろう。
tanの加法定理が分からなかったんじゃなくて、入試本番にこの問題を見た時に何をすればいいのかが分からなかった人が多かったから、正答率が低くなったんだと思う。回答を見たあとならこんなの簡単だと思うけど、初見でこの問題を見た時に解けるかどうかは怪しいよねって話
@@がんぎまり-o6h 様、これを見て「何をすればいいのかわからなかった」のだとしたら、むしろ心配なのは受験生の国語力ではないでしょうか。これをみて「有理数だとしたら求めるのはしんどそうだし、多分有理数ではなさそう。ならば背理法だ」とおもいつくのは例え試験場であっても普通であってほしいというのは、はるか昔に受験を済ませた一介の数学ファンの傲慢なのだろうか。
tan45°は有理数なんですよ。背理法使うときに、例外が出ると証明出来なくなるのです。なので、tan1から2→4→8→16→32→64と加法定理を使います。そこから64-4=60の加法定理で証明するのです。tan60°は無理数というのは此処で使います。順次加えていくと、tan45°で崩壊してしまいます。
今回の証明は「tan1°が有理数なら全てのtan自然数°は『全て』有理数になるはず」という仮定の矛盾を見つける問題だから、たとえ有理数になる角度がどれだけあろうがひとつでも無理数になる角度があれば矛盾になるから問題ないのでは？
この背理法の理屈で言うと、そのtan45が有理数になるのは無理数同士の計算で結果的に有理数になるパターンで公式からtan1が有理数なら全て有理数、で合ってるかと自然数の倍数は自然数である。 みたいな話なので・・・
無理数÷無理数で有理数がそれだけという証明も必要になるでしょ。それよりは倍々にしていく方が、途中での破綻のリスクが無い。
＞無理数÷無理数で有理数がそれだけという証明も必要になるでしょ。NO 不要 以上
俺の例で言うと 自然数 ÷ 自然数が無理数(分数で表現不可能)になったらおかしいよね？そのおかしいのが何パターンあるのかって検証する必要なくないです？つまり1パターン発生した時点でそれ自然数じゃなくね？って結論になる分かりやすいように自然数って言ったけど有理数もくっそ面倒な通分とか考えなければ有理数無理数の世界では大して変わらんからね
tan1°＝r∈Qと仮定cos1°＋isin1°＝cos1°＋ircos1°＝cos1°(1＋ri)よって，cos30°＋isin30°＝cos³⁰1°(1＋ri)³⁰となり，cos30°/cos³⁰1°，sin30°/cos³⁰1°は共に正の有理数となる従って，cos³⁰1°は正の有理数かつ，√3×正の有理数と表されることになって矛盾はどうですか？
大体同じようなもんですかね((
tan2025^2025°は有理数か？
有理数になりそう（2025^2025が45の倍数で奇数だし）
@@shinsukekishimoto8877 💯
tan1°=0.017455064928無理数ぽいが電卓なんで所詮概数。tan45°=1 二等辺三角形は45°二つと90°で納得。
こういうのって「√3が無理数であること」も別途証明を書かないとダメなのだろうか？それとも「√3は無理数だから…」と当然のこととして良いのだろうか？（昔数学を捨てたのは、どこまでを証明して、何を前提事実として良いのかを論理的に区別できなかったからだった）
みんながルート3が無理数前提で進めてた中にその証明がある回答があったらそれが相対的に評価が高くなるってことよ周り次第
全部きちんと書かないとダメだとすると「1+1=2、2+1=3…という自然数の公理系を前提にすることをペアノの公理から条件付ける」必要があることになるし、既知の定理や事実は利用して良いとなると例えば「円周率が3.05より大きいこと」の証明など「π=3.1415…だから」で終わってしまう。結局、数学の問題なのに証明すべき対象が厳密に示されず「常識で考えろ」と言われているようで、苦痛でしかなかった。
出題者が何を聞きたいかが入試では大事なので、問題次第。今回の場合は、√3が無理数であることまでは求めてなさそう。
@@tot5719 まさにこれなんですよね。数学の証明問題の裏に「問題制作者がどこまで書いてほしいかを読み解け」と国語の現代文みたいな問題が隠されている。しかも国語と違って誰もその答えも解説も示してくれず、そのくせ「数学は文系科目と違って厳密だ」などと宣う。私も数学自体は好きだし、実際の研究での数学的証明では「人類が分かっていない部分を論じれば良い」と思っているが、受験数学の証明問題だけは今でも理解できない。
ちなみにこの辺りの数学の証明問題への疑問について、大人になってから読んだ「数学でつまずくのはなぜか」（小島寛之、講談社現代新書）でも論じられていたので、私と同じド文系の方にもお勧めです。
誰も解けなかったは言い過ぎ
中2ですが完投出来ませんでした難しかったです
普通に考えて中学校レベルを超えてるよｗそもそも中学校で三角関数なんてでないもん
言わせてくれはいりはいりふれ背理法
sin1°/cos1°で表せるから有理数ですね！！
いやいや、それは単に分数の形にしてるだけじゃないか？√3 = √6 / √2 で表して分数だから有理数と言っているようなもの。
sin1°とcos1°が有理数であることの証明がいるよ。
sin1°とcos1°が有理数という証明できたなら有理数の四則演算も有理数だからこれが有理数と言えるんじゃないかね。そもそも分数の形になれば有理数っていう話ではないね。q/pで表せるもので、q,ｐは整数（p≠0）例えば、sin1°/cos1°が有理数ですって言う人は、√2/2が有理数だといってるのと同じじゃないかな。有理数の定義の確認したほうがいいかもしれませんね。
円周率も円周/直径だから有理数
ネタやろなにみんなマジレスしてんねん
完投は不可能〜♪でも解法に感動♪背理法と三平方〜定理を使おう♪
tan45°こめ
座布団一枚！
片桐はいり👩🏻⚕️ほー
高校時代、sinやcosの加法定理はよく問題集でも見た記憶はあるけどtanのはあまり見ないのも要因の一つかもしれない。
とはいえtanの加法定理を覚えていなくても、sin,cosの加法定理、tan=sin/cosさえ覚えていればtanの加法定理はすぐに出せる
あと京大に受験する人の殆どは覚えていそう
「か。」と問うてるだけだから証明なしで「いいえ。」とだけ答えても良いはずっていう主張をどこかで見て笑った
20点の問題だとして、1～2点の部分点は「いいえ」だけでもらえそう
@@shinsukekishimoto8877京大は点くれないよ
社会出てから学ぶのは質問には端的に答えろ。イエスノークエスチョンにはイエスノー以外答えんな！
なんだけどね
正誤の前に、答を出す（出せそうな)方法を思い付く時点で凄い。
数学で大事なのは答えや事実ではなく過程だから
昔の京大数学は難しくかつ名作が多かった。作問担当教官が北大に移転して、それで北大数学が一気に難化した…といううわさがあるが本当か有識者コメントプリーズ
この手の問題で背理法を使うのは定石なので、むしろそこから加法定理を使って既知の値との矛盾を示す方向にもっていく発想に至る方が難しい
だいたいは一般化して考えたくなるから
加法定理の本質は角度を自由自在に足したり引いたりできるって点で、これはチャートとかでsin75°=？みたいな公式丸暗記の問題を解くだけでは身につかない
高校生の時この問題に感動したのを覚えてるわ
京都大学らしいですよね。
無理数なのはほぼ間違いない、有理数と仮定して矛盾が起きるので背理法で「無理数」だと証明するというというのは試験会場とかでなければ直ぐに思いつくだろう。tan1°を有理数と仮定すると、倍角公式でtan32°とtan2°が有理数、加法定理でtan (32°-2°)も有理数になる。しかし有理数= tan (32°-2°)=tan 30°=1/√3。√3は無理数なので矛盾、というあたりが一般的と思われ、難易度もそう高くは無い。
試験会場でこんなのをポンと出された時に「あなたはそういう冷静な思考ができるかどうか」という受験者を試す要素、そしてシンプルゆえに「記載された答案」の背理法のロジックが「採点者を納得させられるか？」、あとは「常識」が働いているか、というところがこの問題の要点になる。
冷静な判断が出来る人は得点できるという
あの場でそうなれるのは只ものじゃない
倍角公式よりも、数学的帰納法でtan n゜(n∈N)が全部有理数になる事を示した方が楽じゃね？
@@あいうえおかきくけこ-u5p
既知の無理数になるtan 30°とかtan60°まで分かれば証明の材料としては充分だが、数学的帰納法をつかうと原理的にはtan90°と無限大になる部分に引っ掛かってしまう。こういう状況で帰納法を使っていいのかどうか私には自信がもてない（当然試験会場だとなおさら自信が持てない）ので、1→2→4→8→16→32と5回使用で必要なところ（30°超え）まで到達できる倍角公式での対応がよいのではと考えた次第。
ご指摘の如く、手間が掛かりそうなのは間違いないです。
帰納法とか使ってもいいけど「tanθが有理数→tan2θ, tan3θ, tan5θは有理数」だけ示せばtan1が有理数を仮定→tan2°は有理数→tan6°は有理数→tan30°は有理数で矛盾導けるよね
32°-2°とかはコメント見るまで全く思いつかなかったけどこの方法(もしくは帰納法)は自然に出てくると思う
32°-2°のほうが解答欄が綺麗にはなるから公式の解答例とかはそっちになるんだろうけど、実際に初見で解く時には綺麗に解く必要ないしtan30°に必要なの片っ端から書いてく方法で解いた人の方が早いし多いと思う
緊張maxの状況でこんな問題解くなんて無理数
京大の数学の問題と言えば、質・量ともに受験生を圧倒するほどの難問ばかりで、何か少しでも正解していたら点数を貰えるのだと、予備校の先生から聞いた事があります。
元号が昭和の頃は、問題用紙の余白に何かしら式を書いて、それを受験生が消しゴムで消したとしても、採点する側は透かし読みしてくれて部分点を与えてくれてたんだとか❗
東大の「円周率が3.05よりも大きいことを証明せよ」の3年後か。シンプルさで対抗したのかも
正答率が低かったとは、出題者はがっかりしたことでしょう…
しかし「誰も解けなかった」は言い過ぎ
円周率は3.14…なので3.05より大きい Q.E.D.
3より大きいなら超絶簡単なんだけだな
大数評価ならたしかBだったはず…ただ正答率は確かに低い
@@大野日左香 一番初歩的なギャグ回答ね、
@@maamaa2858正六角形出せばいいだけですもんね
難しそうでも基礎的な知識で解けるというのは面白かったです。動画をありがとうございました。
😇
正確に言うと、背理法に加えて、数学的帰納法も使う必要があります。
解答欄のスペースが限られているはずなので、必ず数学的帰納法も必要ではないかな？
その場合、「tan n° が全ての自然数nに対して有理数であること」・・・①を証明するときに使うということですか？
[1]n=1のとき [2]n=kのときtan n°が有理数であると仮定した上で、n=k+1のとき
[1]、[2]において①が成り立つことを証明できればよい
[1]は動画から自明だと思うんですが、[2]の式中のtan (k+1)°が有理数であることはどうやって示せば良いのでしょうか。
不必要だと思う。背理法は全てのn°で無理数…みたいなモノを証明する時に使う手法だけど、この問題の場合はtan30°とか、tan60°が無理数だとわかっているので、最初にtan1°が有理数であることを仮定して、そこまで加法定理で辿れれば良いから不要かと。
@@みき-z1lそこはお前加法定理よ
@@TIshida360 必要だよ。使わないなら1の場合、2の場合、と延々30になるまで書かなければ減点対象。
@@みき-z1l (tank°+tan1°)/(1-tan k°tan1°)=(s/r +q/p)/(1-sq/rp)(ここでp、q、r、sは整数)
=(sp+rq)/(rp-sq)
sp +rqは整数かつrp-sqも整数だから有理数
理由その４
他の問題を解くために飛ばしたら時間内に手を付け損なった
映像の説明通りtanN°のNを増やしていって60°までやると、
tan60°=tan(59°+1°)=(tan59°+tan1°)/(1-tan59°*tan1°)
でtan1°とtan59°も有理数でこの四則演算も有理数となってしまう。
しかし実際はtan60°=√3でこれは無理数。
そもそもtan1°を有理数仮定していたのがおかしかったということか。
…ということでつじつまが合わないから、
tan1°は無理数だってことでいいんでしょうか。
こんな理解であってますか？
数学できる方教えてください。
合ってますよ！
@@zplutoindesigner さん
ありがとう
数学の話をずっとしてきた中で加法から火砲に発想を飛ばした霊夢ちゃんはやはり数学的なセンスがあるのかもしれない
度数法のtan1°じゃなくてラジアン角のtan1と勘違いした受験生が多かったのかも。ラジアンになると加法定理を使っても著名な角度にしにくいので難問になります。
加法定理に加え、倍角公式も使ってtan 30°乃至tan 60°迄持って来て矛盾導くのも有り。
12:40 「おそらく教科書に載っているはずだ」の意味が分からなかった。
「tan1°を有理数と仮定する」と書くだけで部分点がもらえる
この1行だけ書いてその後他の問題を解くのがベスト
部分点をもらった奴が今でもtan1°を有理数と仮定したまま人生を過ごしているのだと思うと涙が出ます
@@sakakkiedx5052真顔で打ってると思うけど
30°では前提条件が否定されるが、45°では肯定される。この矛盾はどうなるのですか？
たぶん満点取るのは難しい証明な気がしますね
リンデマンの定理「どしたん話聞こか?」
√3が無理数である証明がめんどくさかったので、tan90°が未定義なことを使って背理法で証明したら皆に怒られた記憶が・・・
点数付けるのも大変そう。
京大受ける人にとってはサービス問題やろと思ってたけど、正答率低かったんやね…
tan30°までやれば1/√3になるので、そこで計算を終えるのはダメですか？ 2^5=32なので2倍角の公式を
５回使ってtan32°を考え、tan(32°-２°)=1/√3（無理数）になるから背理法で矛盾を証明するとか。
この問題を始めて見た時は無理数の証明なんて大体背理法だって習ってたんで、対して難しく感じなかったんだけど当時はこの手の証明問題の出題頻度低かったりしたんだろうか？
ショート動画の問題もかなりシンプルだったけど、正答率はどれくらいだったのだろう。
友人に出されたけど頭の中だけで解けちゃったので
代わりに 「tan n°が有理数になる有理数nをすべて求めろ」 という問題を出し返して一緒に解いた思い出
アンサイクロペディアに乗っていた問題だ。最初嘘だと思っていた
tanのフォントが不適切で15秒で見る気なくした
「nを自然数とする。tan n°が無理数になるのはｎがいくつの時か？」という問題ならどうでしょう？
いいえ、無理数である。その理由を背理法で証明する。tan1°を有理数と仮定すると、tan2°も有理数である。
tan30° = tan((2^5)°-2°) = ... = ｛tan2° と有理数の四則演算のみで示される式｝ となり、tan30°も有理数となる。
ところが tan30° = √3/3 で無理数であり、矛盾が生じるため、tan1°が有理数ではなく、無理数である。（証明終：いや途中ちゃんとやれ）
tan1°=cos1°/sin1°
tan(π/180)=(cosπ/180)/(sinπ/180)
まで考えて、その先に行けなかった。(´･ω･｀)
中2ですが完答出来ました。難しかったです…
すごーい
完答ってなると証明の順序とかも全部合ってるってことになるぞやるやん
@@ガンジス川-f1yうれしい誤算です
@@uguisu-1209 何やねん誤算て
まさか解けるとはおもっていなかったので…
誰も解けなかったというのは大げさかと。おれでさえ、数年前に寝る前にちょっと紙に書いて解けたような。
わかったような気がするけど、では何故tan45°は有理数になるのでしょうか。
無理数の加減乗除すると有理数になるという矛盾が発生するのではないか？
√2+(-√2)や(2*√2)/√2のように、無理数どうしの演算で有理数になることもあります。
泥臭くやろうとすると、
① 2倍角の公式と3倍角の公式に加法定理を使って5倍角の公式を作り、さらに3倍角を2回適用することで45倍角の公式を作る
② ①の逆関数を考えて1/45角の公式を作る
③ ②に対してtanθ=1とした時、有理数かどうかを確かめる
とかですかね……まあこの解法を思いついた時点で挫折しなければ、①の途中で「tanθが有理数ならtan nθも有理数」と気付くので何とかなるはず（普通はその時点で②が無理であることを察して方向性を変える）
違います。tan30°=1/√3が無理数なので矛盾するので無理数です。
@@荒巻-b8m それのこと言ってるんですが……（対偶を取って）
ではtan45度を同じ様に証明したら無理数になる?
有理数の1ですが
東大の円周率のやつを思い出した。
うーん。tanの加法定理が分かっていれば秒殺だと思うんだが。正答率５％ってのは正直信じられん。
上記の感想は動画のタイトルだけみたときに思わず書いてしまったものでした。みおあわっての感想ですが、やっぱり５％という正答率はかなり不可解です。出題者の意図としては2割3割くらいは正解できるくらいのちょうどよい難易度と期待して出したとおもうのですが、いったい受験生に何があったんだろう。
tanの加法定理が分からなかったんじゃなくて、入試本番にこの問題を見た時に何をすればいいのかが分からなかった人が多かったから、正答率が低くなったんだと思う。回答を見たあとならこんなの簡単だと思うけど、初見でこの問題を見た時に解けるかどうかは怪しいよねって話
@@がんぎまり-o6h 様、これを見て「何をすればいいのかわからなかった」のだとしたら、むしろ心配なのは受験生の国語力ではないでしょうか。これをみて「有理数だとしたら求めるのはしんどそうだし、多分有理数ではなさそう。ならば背理法だ」とおもいつくのは例え試験場であっても普通であってほしいというのは、はるか昔に受験を済ませた一介の数学ファンの傲慢なのだろうか。
tan45°は有理数なんですよ。
背理法使うときに、例外が出ると証明出来なくなるのです。
なので、tan1から2→4→8→16→32→64と加法定理を使います。
そこから64-4=60の加法定理で証明するのです。
tan60°は無理数というのは此処で使います。
順次加えていくと、tan45°で崩壊してしまいます。
今回の証明は「tan1°が有理数なら全てのtan自然数°は『全て』有理数になるはず」という仮定の矛盾を見つける問題だから、たとえ有理数になる角度がどれだけあろうがひとつでも無理数になる角度があれば矛盾になるから問題ないのでは？
この背理法の理屈で言うと、そのtan45が有理数になるのは無理数同士の計算で結果的に有理数になるパターンで
公式からtan1が有理数なら全て有理数、で合ってるかと
自然数の倍数は自然数である。 みたいな話なので・・・
無理数÷無理数で有理数がそれだけという証明も必要になるでしょ。
それよりは倍々にしていく方が、途中での破綻のリスクが無い。
＞無理数÷無理数で有理数がそれだけという証明も必要になるでしょ。
NO 不要 以上
俺の例で言うと 自然数 ÷ 自然数
が無理数(分数で表現不可能)になったらおかしいよね？
そのおかしいのが何パターンあるのかって
検証する必要なくないです？
つまり1パターン発生した時点で
それ自然数じゃなくね？って結論になる
分かりやすいように自然数って言ったけど
有理数もくっそ面倒な通分とか考えなければ
有理数無理数の世界では大して変わらんからね
tan1°＝r∈Qと仮定
cos1°＋isin1°＝cos1°＋ircos1°＝cos1°(1＋ri)
よって，cos30°＋isin30°＝cos³⁰1°(1＋ri)³⁰となり，
cos30°/cos³⁰1°，sin30°/cos³⁰1°は共に正の有理数となる
従って，cos³⁰1°は正の有理数かつ，√3×正の有理数と表されることになって矛盾
はどうですか？
大体同じようなもんですかね((
tan2025^2025°は有理数か？
有理数になりそう（2025^2025が45の倍数で奇数だし）
@@shinsukekishimoto8877 💯
tan1°=0.017455064928
無理数ぽいが電卓なんで所詮概数。
tan45°=1 二等辺三角形は45°二つと90°で納得。
こういうのって「√3が無理数であること」も別途証明を書かないとダメなのだろうか？それとも「√3は無理数だから…」と当然のこととして良いのだろうか？（昔数学を捨てたのは、どこまでを証明して、何を前提事実として良いのかを論理的に区別できなかったからだった）
みんながルート3が無理数前提で進めてた中にその証明がある回答があったらそれが相対的に評価が高くなるってことよ周り次第
全部きちんと書かないとダメだとすると「1+1=2、2+1=3…という自然数の公理系を前提にすることをペアノの公理から条件付ける」必要があることになるし、既知の定理や事実は利用して良いとなると例えば「円周率が3.05より大きいこと」の証明など「π=3.1415…だから」で終わってしまう。結局、数学の問題なのに証明すべき対象が厳密に示されず「常識で考えろ」と言われているようで、苦痛でしかなかった。
出題者が何を聞きたいかが入試では大事なので、問題次第。今回の場合は、√3が無理数であることまでは求めてなさそう。
@@tot5719 まさにこれなんですよね。数学の証明問題の裏に「問題制作者がどこまで書いてほしいかを読み解け」と国語の現代文みたいな問題が隠されている。しかも国語と違って誰もその答えも解説も示してくれず、そのくせ「数学は文系科目と違って厳密だ」などと宣う。私も数学自体は好きだし、実際の研究での数学的証明では「人類が分かっていない部分を論じれば良い」と思っているが、受験数学の証明問題だけは今でも理解できない。
ちなみにこの辺りの数学の証明問題への疑問について、大人になってから読んだ「数学でつまずくのはなぜか」（小島寛之、講談社現代新書）でも論じられていたので、私と同じド文系の方にもお勧めです。
誰も解けなかったは言い過ぎ
中2ですが完投出来ませんでした
難しかったです
普通に考えて中学校レベルを超えてるよｗ
そもそも中学校で三角関数なんてでないもん
言わせてくれ
はいりはいりふれ背理法
sin1°/cos1°で表せるから有理数ですね！！
いやいや、それは単に分数の形にしてるだけじゃないか？
√3 = √6 / √2 で表して分数だから有理数と言っているようなもの。
sin1°とcos1°が有理数であることの証明がいるよ。
sin1°とcos1°が有理数という証明できたなら
有理数の四則演算も有理数だからこれが有理数と言えるんじゃないかね。
そもそも分数の形になれば有理数っていう話ではないね。
q/pで表せるもので、q,ｐは整数（p≠0）
例えば、sin1°/cos1°が有理数ですって言う人は、√2/2が有理数だといってるのと同じじゃないかな。
有理数の定義の確認したほうがいいかもしれませんね。
円周率も円周/直径だから有理数
ネタやろ
なにみんなマジレスしてんねん
完投は不可能〜♪
でも解法に感動♪
背理法と三平方〜
定理を使おう♪
tan45°こめ
座布団一枚！
片桐はいり👩🏻⚕️ほー