Область допустимих значень для рівняння не (-inf, -sqrt(5)] v [sqrt(5), inf) а [-5, -sqrt(5)] v [sqrt(5), inf) через те що в початковому рівнянні sqrt(x+5) але це не впливає на знайдені корені. P.S. Дуже крутий фокус з t = 5. Звичайно це "пощастило" що t1, t2 вийшли поліномами другого ступеня. Але розуміти що так можно робити не лише з основною змінною - треба. Імхо кращий урок.
Дякую за коментар 🙂. Завжди з цікавістю читаю ваші думки. Я при розв'язуванні цього рівняння скористалася теоремою. Рівняння sqrt(g(x))= f(x) рівносильне системі: f(x))≥0 і g(x) = f(x)^2.
@@HalynaKarpyshyn Так от на цю тему і зауваження. Рівняння НЕ є рівносильним системі рівнянь 0:50. Тобто корені однакові а от ОДЗ ні. В рівнянні x = -7 не входить в ОДЗ а в системі рівнянь входить. Я вже 1000 років назад забув що є теоремами а що просто очевидно.. Але ця теорема точно про те що корені співпадають, а не математичну еквівалентність. P.S. вчив математику іншою мовую, не впевнений що рівносильність і еквівалентність - еквівалентні терміни :| Іншими словами, вирішувати так точно правильно, а от казати що ОДЗ (-inf, -sqrt(5)] v [sqrt(5), inf) - частково корректно. Тобто якщо ми вже забули про початкове рівняння то норм, а якщо ні - то ні.
Оскільки у лівій та правій частині заданого рівняння знаходяться взаємно обернені функції, то коренями отриманого Вами рівняння четвертого степеня будуть, зокрема, й корені рівняння x^2-5=x. Звідси зразу отримуємо один з множників розкладу його лівої частини на множники: x^2--х-5. Другий множник можна знайти, наприклад, діленням такого многочлена на перший множник у стовпчик. Або ж методом невизначених коефіцієнтів, шукаючи його у вигляді x^2+ax-4. (-4, бо (-4)*(-5)=20=5^2-5 як це було у тексті). При цьому для знаходження а достатньо буде лише прирівняти коефіцієнти при x^3. Крім того, позначивши праву частину рівняння через у, можна отримати таку систему рівнянь: x^2-5=y, x+5=y^2. Додавши ці рівняння, перенесемо всі доданки вліво і одержимо рівняння (x-y)(x+y+1)=0. Прирівнюючи множники до нуля, виражаємо з кожного множника у через х і підставляємо у перше рівняння системи. Маємо ті ж два квадратні рівняння, які отримали Ви. До речі, у=х дає нам те рівняння, про яке я писав вище, а з у=-х-1 отримаємо інше з Ваших квадратних рівнянь. І дещо відносно "пощастило" для для TVHorse. У рівняннях такого роду завжди так щаститиме.
Дуже цікаво! Ваша ідея чудова! Я й не помітила, що тут ліва і права частини рівняння взаємно обернені функції. І можна розв'язати рівняння четвертого степеня, розклавши його на множники 👍. Ну тут, правда, треба уміти ділити многочлен на многочлен, або знати метод невизначених коефіцієнтів 😎
Щаститиме на уроках і олімпіадах? Мені щастить не завжди :(. Перший варінт дуже крутий. Не відразу зрозумів щому це x^2-5=x, але про симметрію відносно y=x таки згадав. Знімаю шляпу.
@@HalynaKarpyshyn Запропонований Вами метод також гарний, і не всі його знають. До речі, вперше задача, в якій можна було його застосувати, зустрілася мені у 8 класі, коли я ще не знав цього способу. Але тоді мені вдалося викрутитися, подавши ліву частину рівняння, як різницю квадратів. Якщо проходить Ваш спосіб, то це вдасться зробити також. Зокрема, у поданому прикладі отримуємо (x^2-9/2)^2 - (x+1/2)^2=0. То ж маємо вже 4 способи розв'язування Вашої задачі..
Мушу звернути вашу увагу, що ідея дуже гарна і сам спосіб з оборотними функціями мені дуже сподобався. Але колеги, математики з Фейсбуку, зауважили, що на зазначеній ОДЗ дані функції не є оборотними. Проаналізувавши рівняння, я помітила, що це справді так.
ідея дійсно красива. переходимо від задачі з розв'язання рівняння відносно змінної х до задачі про знаходження значень параметра х, при яких коренями квадратного рівняння відносно змінної t є число 5. відбувається переосмислення багатьох об'єктів. зокрема, змінної х
...ой...області визначення нема - вказана лише частина області можливих розв'язків (пропоную ввести у шкільну математику такий новий при родний корисний термін !)... ідея спопсобу так і не сформульована укмовою та інше... сасибі, вибачте..
Є така теорема, що при розв'язуванні рівняння √g(x) = f(x) перевіряється лише умова f(x)≥0 і підноситься до квадрату ліва і права частина. Там усе добре. Почитайте підручники.
Дуже гарний спосіб розв'язання такого рівняння четвертого степеня. Мені сподобалося відео
Так, цей спосіб незвичайний)
дякую за відео. Хоча мені вже майже 34 роки, але чомусь цікаво було згадати як колись давно в школі це розв'язував. Багато чого вже позабував. Шкода.
👍💙💛 Мені приємно читати такі коментарі. Нагадуйте математику. Це корисно 😎
Область допустимих значень для рівняння
не (-inf, -sqrt(5)] v [sqrt(5), inf)
а [-5, -sqrt(5)] v [sqrt(5), inf)
через те що в початковому рівнянні sqrt(x+5)
але це не впливає на знайдені корені.
P.S. Дуже крутий фокус з t = 5. Звичайно це "пощастило" що t1, t2 вийшли поліномами другого ступеня. Але розуміти що так можно робити не лише з основною змінною - треба. Імхо кращий урок.
Дякую за коментар 🙂. Завжди з цікавістю читаю ваші думки. Я при розв'язуванні цього рівняння скористалася теоремою. Рівняння sqrt(g(x))= f(x) рівносильне системі: f(x))≥0 і g(x) = f(x)^2.
@@HalynaKarpyshyn
Так от на цю тему і зауваження. Рівняння НЕ є рівносильним системі рівнянь 0:50.
Тобто корені однакові а от ОДЗ ні. В рівнянні x = -7 не входить в ОДЗ а в системі рівнянь входить.
Я вже 1000 років назад забув що є теоремами а що просто очевидно.. Але ця теорема точно про те що корені співпадають, а не математичну еквівалентність. P.S. вчив математику іншою мовую, не впевнений що рівносильність і еквівалентність - еквівалентні терміни :|
Іншими словами, вирішувати так точно правильно, а от казати що ОДЗ (-inf, -sqrt(5)] v [sqrt(5), inf) - частково корректно. Тобто якщо ми вже забули про початкове рівняння то норм, а якщо ні - то ні.
Я, іноді, думаю про цю теорему та її використання на практиці. І все ж раджу учням перевіряти корені ірраціональних рівнянь
Її
у даному розв'язку не знаходиться ОДЗ. завдяки вигляду самого рівняння, воно розглядається на множині, "вужчій" за ОДЗ
Оскільки у лівій та правій частині заданого рівняння знаходяться взаємно обернені функції, то коренями отриманого Вами рівняння четвертого степеня будуть, зокрема, й корені рівняння x^2-5=x. Звідси зразу отримуємо один з множників розкладу його лівої частини на множники: x^2--х-5. Другий множник можна знайти, наприклад, діленням такого многочлена на перший множник у стовпчик. Або ж методом невизначених коефіцієнтів, шукаючи його у вигляді x^2+ax-4. (-4, бо (-4)*(-5)=20=5^2-5 як це було у тексті). При цьому для знаходження а достатньо буде лише прирівняти коефіцієнти при x^3.
Крім того, позначивши праву частину рівняння через у, можна отримати таку систему рівнянь: x^2-5=y, x+5=y^2. Додавши ці рівняння, перенесемо всі доданки вліво і одержимо рівняння (x-y)(x+y+1)=0. Прирівнюючи множники до нуля, виражаємо з кожного множника у через х і підставляємо у перше рівняння системи. Маємо ті ж два квадратні рівняння, які отримали Ви. До речі, у=х дає нам те рівняння, про яке я писав вище, а з у=-х-1 отримаємо інше з Ваших квадратних рівнянь.
І дещо відносно "пощастило" для для TVHorse. У рівняннях такого роду завжди так щаститиме.
Дуже цікаво! Ваша ідея чудова! Я й не помітила, що тут ліва і права частини рівняння взаємно обернені функції. І можна розв'язати рівняння четвертого степеня, розклавши його на множники 👍. Ну тут, правда, треба уміти ділити многочлен на многочлен, або знати метод невизначених коефіцієнтів 😎
Щаститиме на уроках і олімпіадах? Мені щастить не завжди :(.
Перший варінт дуже крутий. Не відразу зрозумів щому це x^2-5=x, але про симметрію відносно y=x таки згадав. Знімаю шляпу.
Ну так. Тут симетрія відносно прямої y = x.
@@HalynaKarpyshyn Запропонований Вами метод також гарний, і не всі його знають. До речі, вперше задача, в якій можна було його застосувати, зустрілася мені у 8 класі, коли я ще не знав цього способу. Але тоді мені вдалося викрутитися, подавши ліву частину рівняння, як різницю квадратів. Якщо проходить Ваш спосіб, то це вдасться зробити також. Зокрема, у поданому прикладі отримуємо
(x^2-9/2)^2 - (x+1/2)^2=0.
То ж маємо вже 4 способи розв'язування Вашої задачі..
Мушу звернути вашу увагу, що ідея дуже гарна і сам спосіб з оборотними функціями мені дуже сподобався. Але колеги, математики з Фейсбуку, зауважили, що на зазначеній ОДЗ дані функції не є оборотними. Проаналізувавши рівняння, я помітила, що це справді так.
Доброго ранку. Подивіться особисте повідомлення щодо цього прикладу
Дякую, подивилася 👍
Ваш метод точний ,але дуже працевмісткий. Я поміркую над простішим алгоритмом.
Добре 👍. Цікаво і мені буде.
А як з'явилось 16t?
Я не зрозуміла що ви маєте на увазі?
ідея дійсно красива. переходимо від задачі з розв'язання рівняння відносно змінної х до задачі про знаходження значень параметра х, при яких коренями квадратного рівняння відносно змінної t є число 5.
відбувається переосмислення багатьох об'єктів. зокрема, змінної х
Ось такий спосіб можна використати для розв'язування рівнянь
...ой...області визначення нема - вказана лише частина області можливих розв'язків (пропоную ввести у шкільну математику такий новий при
родний корисний термін !)... ідея спопсобу так і не сформульована укмовою та інше... сасибі, вибачте..
Є така теорема, що при розв'язуванні рівняння √g(x) = f(x) перевіряється лише умова f(x)≥0 і підноситься до квадрату ліва і права частина. Там усе добре. Почитайте підручники.