Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решать
Вставка
- Опубліковано 23 лип 2020
- На простом примере показано, как изучение конкретного физического явления приводит к построению и решению дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
Определение дифференциала смотрите здесь: • Дифференциал и произво...
Спасибо большое за разобранный физический пример! Такого не делают в большинстве универов и потому у нас остается много белых пятен в знаниях. Ваш пример очень полезен для понимания теории и откуда вообще появляется необходимость в диф. уравнениях.
Потому что система преподавания в ссср и рашке - дебильна.
Где то я видел популярный ролик, обьясняющий физическую суть интеграла.
Матешу надо все через реальные примеры из природы пояснять - физика биология экономика а не сырые формулы
Ну, если такой элеметарщины в университетах не дают, то чему тогда вообще там учат.
@@iwaniwanow6152 учат, как бабки зарабатывать на лохах. 90% населения имеет вышку, но не умеют грамотно свои мысли донести. У меня знакомый сантехник какахи выковыривает, но зато у него высшее образование.
@@iwaniwanow6152университеты разные бывают.Диплом можно и на рынке купить.
какой здоровский канал в рекомендациях прилетел :) закончил мехмат почти 15 лет назад, уже и забыл как любил на матане и функане туда-сюда жонглировать интегралами. Особенно в те моменты, когда ошибёшься в самом начале, а потом примерно на втором исписанном листе понимаешь, что чего-то какая-то ерунда выходит.. в те годы здорово не хватало, конечно, вот таких наглядных разборов, сейчас посмотрел и захотелось достать демидовича, попробовать вспомнить что-нибудь
Отличное объяснение! Спасибо большое за ваш труд!!!
Очень понравилось. В Вашем способе объяснения прекрасно всё - и сам подход от простой материальной физики, и размеренность повествования и особенно озвучка. Мне кажется, что этот мульт можно пересматривать даже просто с психотерапевтической целью, для успокоения нервов. Если даже умом и не получится всё понять, то душа всё равно почувствует эту "высшую гармонию". Спасибо!
Как же прекрасно ваше изложение. Ни одного лишнего слова и все слова достаточны для понимания. Спасибо
Хорошее объяснение дифференциала. Спасибо. Любой процесс протекает во времени. И такой процесс описывается диф уравнением.
Ши-кар-дос! А музычка была неожиданной прелестью!
Математика это ключ к пониманию мира. Жаль что у меня логическое мышление не самое сильное. А все равно хочется понимать. Решил просто зайти и попытаться понять что и как. И ваше видео прекрасно мне подошло. Благодарен вам. Особенно понравилась музыкальная пауза :)
Прорешал вместе с видео. Сильная вещь, дифференциальные уравнения. Составить ещё пол беды, надо ещё при решении придумать, как разделить переменные, вспомнить логарифмирование, потенцирование, придумать, что надо заменить разность констант на логарифм третьей константы, иначе ничего не получится. Потом ещё нигде не ошибиться в расчетах. Короче, гемор тот ещё. А вещь нужная, в технике без диффуров никуда. Никак не могу найти какой-то более общий подход. Каждый раз как заново.
Алгоритм составления и решения, что ли, нужен какой-то
Была у меня книга - Высшая математика для начинающих. Ещё и советую.
Потрясающе!!!
Спасибо за Ваш труд!
Очень важная задача. Я теперь знаю как её решать! Блесну при возможности.
Огромное спасибо!
Спасибо за видео!!!
Огромное спасибо😊
Шикарно!!!
хочется много таких видео, прикладные задачи решать в школе не научился а у вас предельно понятно , под видео записываю решение в блокнот.
Очень понятно, спасибо! Просто понимание требует набора знаний и интервале и дифференциале и нескольких прочих понятиях, но эти знания не трудно восполнить!
Вауу)) побольше бы такого
Браво!
Во тётка даёт. Молодец.
Спасибо.
Здорово! Хорошо бы еще, чтобы температуру обозначали символом T
То что надо в 3 часа ночи! Спасибо
Очень хорошая анимация получилась)
Я тоже делал такие анимации в Мэпле) Вольфрам и Математика это мощнейшие инструменты создания графики по математическим уравнениям. Они делают чудеса!)
Еще Geogebra дает очень хорошую визуализацию математических функций и и уравнений в 3Д и даже Гугл научился визуализировать графики в 3Д
а-а-а-а!!!! Зачем я 3 года учился на факультете радиотехники, электроники и физики, и так и не смог понять дифуры, и видя все эти формулы всегда впадал в ступор??
Посмотрел 9 минут ролик, и практически понял всё то, чего не понимал на протяжении всех этих лет, и из-за чего в конце концов перевёлся на другой факультет :))))
Спасибо
Чистая абстракция хорошо, но большинству нужно её прочувствовать на примерах. Такие ролики очень стимулируют к изучению и пониманию. Очень большое спасибо.
где вы были раньше!
Это ж я теперь могу посчитать когда супчик остынет в тарелке! Шутка) Спасибо большое за толковое и понятное объяснение! Математика сама по себе прекрасна, а в паре с физикой это целая вселенная!
Здравствуйте, уважаемый Автор! Большое спасибо за кропотливую, нужную и умную работу. В ролике о применении матричной алгебры для расчёта электрических схем, Вы упомянули программу Мат Кад. Прошу Вас, если это не будет затруднительно, дать рекомендацию по имеющейся литературе для изучения и применению этой программы. Желательно с разбором конкретных примеров расчёта. Как эту программу можно приобрести и установить на личный компьютер. С уважением, Сергей.
Здравствуйте, Сергей. Благодарю Вас за высокую оценку моей работы.
Для начинающих работать в Маткад советую изучить научно-популярное издание «Компьютерные вычисления в средах Excel и Mathcad» (автор В.И. Каганов). А вот для установки программы на компьютер лучше обратиться к программистам или к системным администраторам (что я и сделала в свое время).
Объяснить на пальцах не получилось. Все скатилось к непонятным формулам. Что такое dU/dt в итоге? t - время, dt - тоже время, если и то и другое время, зачем добавлять d?
Возможно, на канале есть ролике, объясняющие ваши вопросы. Я, кстати, тоже уткнулся в них при просмотре.
5:45-6:45
Как удалось нарисовать графики не вычислив ещё k? Чему равно k для изображённых кривых? Почему функция U(t,C), изображённая на графике, зависит от t и от C, но не указано что она зависит, как это следует из формулы 5:45, и от k?
k=0,05 ln(0,5). Вы правы, нужно было сказать, что иллюстрация дана для конкретного значения константы k.
И на старуху бывает проруха
Спасибо! Классно. Физик бы написал, что производная отрицательна сразу. Раз тело остывает. Тогда и решение с убывающей экспонентой понятно и естественно: коэффициент теплоотдачи положительный, но в экспоненте минус. И мне бы в голову не пришло обозначить температуру U. Но математики могут все. Думаю, кому‐то ролик будет полезен. Анимация прикольная.
Вроде и понимаю производные, и интегралы, и пределы, но это магия какая-то без репетитора.
Добрый день, а разве остывание тела на зависит от его массы, почему в условие задачи не заданна масса? Ведь она очень сильно повлияет на результат.
Масса учитывается в величине коэффициента k.
Если бы так преподавали в универах!
Конечно монтаж, вставка музыки, картинок - полный кринж, но все равно это не отвлекает, по теме все понятно)
😅
То то я не мого понять, отчего детей так тошнит от школы... тот случай, когда читают по бумажке и сами ничего не понимают, в этот момент.
Спасибо Вам большое, за то что помогли мне освоить тему, которую я давно мечтал освоить)Все объяснено наглядно) Но у меня возник небольшой вопрос:Если условие задачи-охлаждение, и на графике общих решений показаны убывающие экспонециальные функции, то k должно быть отрицательным, тем более, что в конечном законе e равно дроби, а натуральный логарифм дроби всегда отрицательный, и если я прав, то почему нет минуса?
Вы правы, коэффициент k на самом деле отрицательный. Просто мы его не выразили явно, чтобы не делать лишних вычислений. А вот если решить второе уравнение системы относительно k, то получим k = (1/20) ln (0,5) = -0,03. С другой стороны, в приведенном решении ½ = 2^(-1) .
Как всё просто, нужно только знать всё остальное.
Хорошо было бы еще в условии отметить, что скорость охлаждения тела имеет ЛИНЕЙНУЮ пропорциональность....... Судя из дальнейшей логики размышлений. А в целом очень познавательно и наглядно.
В том то и дело, что зависимость не линейная. При линейной зависимости дифуры не нужны😅
@@user-mx6mo5id9x Кто Вам такое сказал, что здесь нелинейная пропорциальнальность? Искомая функция здесь не присутствует в во второй степении и более. Коэффициент k может спокойно также зависить от U, что делает уравнение снова нелинейным.
@@user-mx6mo5id9x Товарищ @user-qe8wj3qi3l прав. По условию зависимость между скоростью охлаждения (v) и разностью температур (U - 20) именно прямопропорциональная, поэтому и в основу решения задачи было положено линейное уравнение: v = k(U - 20). А зависимость между температурой тела U и временем охлаждения t получилась уже нелинейной - экспоненциальной
Ну хоть понятно стало, что такое дифф уравнение
Круто вообще!
Ни хрена не понял. Но посмотрел. Интегралы, производные и соответственно дифференциальные уравнения я так и не смог освоить, когда учился. Сейчас мне уже за 40, но интерес не потерял. Так, просматриваю ролики на данную тему. Я очень люблю физику, а там очень часто нужно знать вышку, так как многие физические задачи требуют этого.
Все таки диф.исчисление сначала проявилось в артилерии! При его применении Австровенгрия победила турок в 13м веке ! Ну и число пи! Было бы интересно наглядное доказательство!
одновременное использование 20 градусов и 20 минут не способствует пониманию задачи. Да и не понятно откуда взялось само условие - пропорционально разности температур. Из пальца высосано?
Всё, конечно, хорошо, но эта музыка капец))
Спасибо для 40 летних инженеров самое то😂😂😂
В теории, вода никогда не сможет остыть до комнатной температуры, ну если смотреть на функцию. А так всё правильно.
не очень понятно но спасибо
Вот от такого объяснения в школе я и потерял нить с матешей.
Не понимаю, почему "согласно условию задачи: v=k(U-20)" ? Ведь ясно сказано: "Известно, что в течение 20 минут тело охлаждается со 100 до 60 градусов". Если это "Известно", тогда закон изменения температуры тела со временем будет такой: 2 градуса в минуту. При чем здесь дифференцирование и это v=k(U-20)? Одно из другого не следует. Если следует, то условие задачи сформулировано неправильно
Дело в том, что охлаждение происходит не линейно. Скорость остывания зависит от разности температур тела и охлаждающей среды. Вначале разность больше и тело остывает быстрее. По мере остывания разность температур уменьшается и скорость остывания замедляется.
Я это понимаю. Но из всего этого не следует вот это: "согласно условию задачи: v=k(U-20)" . Ну почему? U - температура тела, 20 градусов - это что, температура воздуха? Почему из температуры тела нужно отнимать температуру воздуха? Это же нужно как-то объяснить
@@dmitrykiselev7204 темп-ра тела не может упасть ниже темп-ры воздуха. По условию задачи темп-ра воздуха 20°. Следовательно, с первоначальной темп-ры тела в 100° до темп-ры воздуха в 20° она упадёт на U-20°=100°-20°=80°, на 80°. Далее, по условию задачи со 100° до 60° темп-ра тела упала за 20 минут, но это не значит, что на оставшиеся с 60° до 20° (темп-ры воздуха) 40° тело остынет также за 20 минут. Нет, на вторые 40° тело будет остывать заметно дольше. Т.е. линейной зависимости нет. Для этого и нужно дифференциальное уравнение (difference - разница). Зависимость времени остывания от разницы между текущей темп-рой и темп-рой воздуха.
1:18 Не описать, а задать. ДУ задаёт. А описывает - функция решения ДУ.
6:05 - не ожидал)
Почему C2 - C1 = logeC?
Просто переименовали две константы на одну константу
На 4:00 по какой переменной мы интегрируем? Похоже, слева интеграл по U, а справа по t, как же их можно приравнять?
Этот трюк удаётся только за счёт того, что U линейно зависимо от t, чего нам, собственно, никто не обещал. А если бы U была функцией двух независимых переменных???
Здесь интегралы вычисляются по каждой переменной в отдельности, для этого переменные и были разведены по разные стороны равенства. Если бы функция зависела от двух переменных, то мы бы выписали дифференциальное уравнение в частных производных и решали бы его совсем по-другому.
@@MathAnimation так какое право у нас здесь приравнивать интегралы по разным переменным, переходя от равенства подынтегральных выражений к равенству интегралов? Это просто недопустимый переход, случайно совпавший с верным результатом. Или это подразумевается двойной интеграл, который потом сокращается слева по t, а справа по U? Но почему сокращается? Вопросов больше, чем ответов.
Я утверждаю, что нижняя строка на 4:00 не следует из предыдущей.
@@vadimrumyantsev8498 На том же основании, что и при дифференцировании обеих частей равенства у = х^3 или ln y = х^3.
@@MathAnimation так дифференцируем мы тоже по какой-то частной производной. Например, по x. А полный дифференциал будет равен сумме частных. Вылезут всякие dxy и dyx.
Мы же, напомню, обсуждаем реальный физический эксперимент с охлаждающимся телом. Мы не можем быть уверены в характере зависимости величин справа и слева при обработке результатов эксперимента, это подмена реальности моделью.
До сих пор не решен вопрос о пре😢дельном делении свойства пополам. Бесконеяно малые это профанация. Этот вопрос не будет решен пока есть относительность микро и мега миров. Малая для атома и галактики не может быть одинаковой.
бесконечно малая сама по себе зависит от рассматриваемой задачи, и такое свойство присваивается обьектам (телам, числам, расстояниям и т.д.) которые относительно этой задачи не вносят большого вклада в решение, и учитывать их - !бессмысленно!, и без учета этих б.м. теории хорошо предсказывают поведение реальных объектов, а решения сходятся с экспериментальными данными.
если в этом была бы какая-то проблема, которую нужно решать, то мы бы застряли в веке так 17-ом =)
Очень важное наблюдение. Вот что мне на это отвечает Bing: "Идея предела была важной частью математического анализа, который развивался Ньютоном и Лейбницем в XVII веке. Они использовали пределы для определения производных и интегралов, которые лежат в основе дифференциального и интегрального исчисления. Однако, их понятие предела было неформальным и интуитивным, и не учитывало возможных противоречий и парадоксов, связанных с бесконечно малыми и бесконечно большими величинами. Например, Ньютон считал, что время состоит из бесконечно малых моментов, которые можно складывать и вычитать, как обычные числа. Он также полагал, что пространство состоит из бесконечно малых точек, которые можно измерять и сравнивать.
Вейерштрасс в XIX веке пересмотрел понятие предела, введя строгое определение, основанное на понятии эпсилон-дельта. Он показал, что предел функции или последовательности не зависит от того, как они определены в конкретной точке, а только от того, как они ведут себя в окрестности этой точки. Это определение не требует использования бесконечно малых величин, а только конечных чисел, которые можно сделать сколь угодно малыми. Он также показал, что это определение эквивалентно определению Ньютона-Лейбница, но более строгое и общее.
Таких объяснялщиков близко нельзя нельзя подпускать к ученикам. Они не учат, а просто тарахтят.
Осталось только понять откуда взялась е в решении системы уравнений
Когда брали интеграл dU/U, его табличное значение = lnU. lnU - зто натуральный логарифм U по основанию е. Отсюда е.
Всё же просто е это 2.71 натуральный логарифм. Однако когда начинают оперировать буквами то это поистине рептилоидные заговоры😂
Вообще ничего не понтяно. Откуда взялось к ? Зачем нам делить и умножать, если t и так по разные стороны ?
Как раз t и нужно перенести в одну сторону, а не оставлять по разные стороны равенства. k - коэффициент пропорциональности.
@@MathAnimation отлично пояснили - все понятно. Или нет.
Лучше изучать стрелковое оружие и приёмы самообороны, чем биномы. Когда живёшь в стране, где жизнь другого это пшик, то лучше гору мышц иметь, чем знанья интегралов.
А в другой стране будут изучать интегралы или скорее платить людям которые это умеют, читай переманивать умы, и будут строить дроны и много чего ещё, и тогда твоя гора мышц окажется бесполезна, будешь сидеть в окопе с дубиной матеря че я матеш и физику не учил, а враг в белой рубашке в офисе сидеть и джойстиком летать над тобой лазером наводя потому что он знает интеграл ну или кто то рядом знает
Оце я розумію докладно пояснили!
Ничего не понимаю, зачем такие сложности .За 20мин тело остыло на 40 ° т.есть 2° в минуту.Зачем усложнять.
Вы заметили,что график не отрезок прямой?
@@---658одно лишь то,что кто то мне показал на графике кривую ,не означает ,что так оно и есть на самом деле.Всякая теория проаеряется практикой и на деле надо внести кучу поправочных величин ,например плотность тела ,химический состав ,физические свойства ну и т. д. А вот эта математика никак неприменима в реальных условиях ,ну разве ,что в целях развития мышления в области составления уравнений. Конечно если принять во внимание ,что математика условно точная и логичная наука ......
@@user-wo3uy7le2w В условии задачи указано, что скорость изменения температуры зависит от разности температур тела и воздуха. Разность, по мере остывания, меняется, значит меняется и скорость изменения. Это подтверждается практикой. Можете провести эксперимент, с помощью чайника, термометра, часов и ручки с листком бумаги...
@@ESmolyak прямой график ,не кривая ua-cam.com/video/Dfz2Jt4RU-o/v-deo.htmlsi=h3lN0i1b_IWWdseC
@@user-wo3uy7le2w В том ролике показан совершенно другой физический процесс и его график. Вы думаете, что процесс кристаллизации переохлажденной воды и процесс остывания горячей воды это одно и то же? Теплое и мягкое сравнивать не следует.
...
А что такое ФУНКЦИЯ?
Прежде чем жонглировать словами, не мешало бы определить их смысл.
В математике нельзя ничего "подразумевать"!
Что такое СКОРОСТЬ?
Действительно "МУЛЬТ", который напоминает анекдот про то, как физик и математик варят картошку.
Решай со мной (1+1/x)^x =3 Чему равен Х
не интересно... сухо и не жизненно. Что-либо конкретное надо...
Всё равно нНичего не понял ,но очень интересно. Уж, простите, бог математического ума не дал. Хотя по ВУЗ-овскому терверу и линалу с аналгео заслуженные 4 и 5 с 4 в зачётке. А вот матан - вот это выше моего понимания. И этот бубнёж препода с каждой новой строки: "Функцияэфотикснаотрезкеабэ" - вгонял меня в кошмарную панику и заставлял думать: кто здесь сошёл с ума, я или этот мир?
Теперь понятно почему ракеты и самолёты падают. Пси катое не учёл и кранты...
Некоторые люди, едят грибы....
Тъпотии
Не понятно, понятно тем кто имеет понятие
С одной стороны, красивый пример, как математика может обслуживать физику. С другой стороны, теряется физический смысл в ходе математических преобразований при решении задачи. И потому происходящее кажется шаманством. Поэтому только гении могут удерживать в голове физический смысл, производя математические преобразования при создании физической модели явления.
После такого обьяснения желание заниматься математикой пропадет со стопроцентной вероятностью навсегда.
Не говори чепухи.
Это как раз, один из интересных подходов к обьяснению.
Лучше вывести дифференциальное уравнение из закона сохранения энергии. А не приравнять просто скорости
Начни программировать. Например попробуй помоделировать какие-то физические процессы. Или напиши физический движок. Тогда сразу интерес появится и к физике, и к математики. А вот эта писанина на доске вдохновление почти ни у кого не вызывает.
@@nick8765, начни русский язык изучать
@@nick8765отличный совет
Айкидо, бокс, и боевое самбо важнее всех наук бумажных.
Ах как. Лучше бы люди этим интересовались, а не «исламом» и «православием».
Капец, слушать невозможно! Столько воды, что почти 10-минутный ролик за пару минут можно подать. Дизлайк однозначно!
А почему разность постоянных под логарифм подвели?
Чтобы в дальнейшем упростить выражение и выписать общее решение в стандартном виде.
@@MathAnimation тоже не понял этот момент - взяли и две константы почему-то именно в логарифм завернули. Почему так вообще можно делать, и что значит эта операция?
И сразу за этим - "для начала потенцируем обе части равенства" - и бабах, обе части стали степенями над е. Почему именно над е, и в чем смысл этой операции, "потенцирование"? Понятно что технически можно обе части в степень возвести, а что это значит физически? Почему именно е в степень а не пи в степень, или не 42 в степень?
При преобразовании выражений константы можно упрощать. Например, если х+36+64=2х, то можно записать х+100=2х, или х+10^2=(1+1)х, или х+10^2= lg(100) х. Здесь 36+64=10^2, 1+1= lg(100)
Если x+5=C1+C2, то можно записать x+5=ln(C). Здесь C1+C2= ln(C).
Потенцирование - действие обратное логарифмированию, применяется для избавления от логарифмов. Т.к. натуральный логарифм ln(x) берется по основанию числа е, то и возводят обе части равенства в степень числа е, чтобы применить основное логарифмическое тождество e^ ln(x)=x
навалила базы