Спасибо, как всегда все четенько! Но если можно ссылаться на ролики автора, то решение состоит из двух шагов (без тригонометрии и окружностей): Шаг первый (как у автора): АВ = АМ (т.к. ВН - биссектриса и высота) Шаг второй (по Казакову): в прямоугольном тр-ке биссектриса угла, отсеченного от прямого высотой, отсекает на гипотенузе отрезок, равный противолежащему катету. Т.е. если имеем, что ВМ - биссектриса угла НВС и при этом АВ = АМ и, то угол АВС - прямой.
Так и без тригонометрии можно. Катет ВН в два раза меньше гипотинузы. Это Катет напротив угла в 30гр. Угол НВС 60 соответственно. Дальше 60 делится пополам биссектрисой - 30гр. А таких угла 3. Ответ 90
Так и 1-ый способ без тригонометрии. Синус 30 градусов равен 1/2 - это ещё не тригонометрия, и легко доказывается геометрически. Кстати, это идея 2-го способа. Из т. С проведём прямую под углом 30 градусов симметрично СВ относительно СН до пересечения с продолжением высоты ВН в т.Д. В р/б треуг ДВС (СВ = СД) СН является высотой и биссектрисой, а значит и медианой, которая делится в т.М в соотношении 2 : 1 (из рассм. р/б треуг АВМ). Продолжим ВМ до пересечения с СД в т.Е. ВЕ также явл. медианой, т.к. проходит через т. пересечения медиан, но ВЕ и биссектриса (зелёные углы равны), треуг. ДВС р/б уже с другой т. зр. ДВ = СВ ( по постр. СВ = СД), т.е. треуг. ДВС - равносторонний. Угол ДВС (НВС) равен 60 град., и угол АВС равен 90 град.
1) ВН - высота и биссектриса, значит треугольник равнобедренный, а ВН еще и медиана. 2) Проведем высоту треугольника ВСМ из точки М. Получившийся треугольник ВMN равен треугольнику ВМН. 3) Площади треугольников АВМ и ВСМ равны (ВМ - медиана), а значит и площади треугольников МNС и АВН равны (и также равны площади ВМN). Отсюда следует что высота MN делит треугольник на два равновеликих и является еще и медианой. Значит ВСМ равнобедренный, ВМ=МС=AM. 4) В треугольнике ВНМ катет НМ равен половине гипотенузы ВМ, значит он лежит против угла в 30 градусов. А весь угол АВС = 90 градусов.
провести высоту из точки М на сторону ВС. Обозначим точку пересечения высоты с ВС точкой К. Получим треугольник ВМК, равный треугольнику ВНМ (сторона и два прилежащих к ней угла). Тогда сторона НМ будет равна стороне МК, т.е. в соответствии с обозначениями на рисунке МК будет равна Х. Но в прямоугольном треугольнике МКС МК - катет, у которого гипотенуза равна 2Х ( в соответствии с принятыми обозначениями). Тогда угол С равен 30 градусов. В прямоугольном треугольнике ВНС угол С дополняет угол НВС до 90 градусов. Следовательно угол НВС равен 60 градусов. Но он состоит из двух равных углов, тогда каждый из них равен 30 градусов. Прибавляем к ним и третий равный угол. В сумме все три и дадут 90 градусов...
О, опять, биссектриса!! Я только что её применял в другоц задаче)) как там, она отсекает пропорциональные отрезки своим проекциям. А поскольку ВМ медиана, а АН = НМ, то МС в два раза больше НМ, соответственно ВС в два раза больше ВН. Ну вроде всё: катед в два раза меньше гиппотенузы значит угол С 30° Тогда 2 альфа 60, тогда альфа 30 тогда искомый угол 90, а ВМС ещё и равнобедренный.
Здравствуйте, Валерий, не знаю специально ли вы сделали такую задачу, но для прямого угла достаточно равенства углов ABH и MBC. Так как если углы равны, то BH и BM являются изогоналами, а в любом треугольнике высота проведенная к стороне и радиус описанной окружности, который выходит из той же вершины , что и высота, являются изогоналами. Значит радиус описанной окружности и медиана совпадают, то есть треугольник прямоугольный.
А будет доказательством следующее рассуждение? Зеленый угол обозначим Х (не знаю как здесь нарисовать альфу и бетту). Тогда углы ВАН и ВМН будут равны и обозначены как Y. Причем Х+Y=90. Угол ВМС=2*Х+Y. На угол ВСМ в треугольнике ВСМ останется Х. Таким образом ВМ=МС и, по условию, равно АМ. Медиана равна половине стороне - условный признак прямоугольного треугольника, но для надежности, можно описанную окружность нарисовать. Или продолжить рассуждать через углы: НВС=2*Х, ВСН=Х, а ВНС=90. Х=30, т.е. АВС=90.
Какие девятые, какие звездочки? 1. из равенства тр-ков АВН и МВН АН=МН -- по одной дольке, а СМ -- две дольке, т к. ВМ -- медиана АВС. 2. По св-ву биссектрисы ВМ тр-ка ВСН ВС=2*ВН, а угол ВНС -- прямой. Сл угол ВСН=30° , СВН=60, а оба маленьких по 30 Ответ 90°
Спасибо, как всегда все четенько!
Но если можно ссылаться на ролики автора, то решение состоит из двух шагов (без тригонометрии и окружностей):
Шаг первый (как у автора): АВ = АМ (т.к. ВН - биссектриса и высота)
Шаг второй (по Казакову): в прямоугольном тр-ке биссектриса угла, отсеченного от прямого высотой, отсекает на гипотенузе отрезок, равный противолежащему катету. Т.е. если имеем, что ВМ - биссектриса угла НВС и при этом АВ = АМ и, то угол АВС - прямой.
Так и без тригонометрии можно. Катет ВН в два раза меньше гипотинузы. Это Катет напротив угла в 30гр. Угол НВС 60 соответственно. Дальше 60 делится пополам биссектрисой - 30гр. А таких угла 3. Ответ 90
Так и 1-ый способ без тригонометрии. Синус 30 градусов равен 1/2 - это ещё не тригонометрия, и легко доказывается геометрически. Кстати, это идея 2-го способа. Из т. С проведём прямую под углом 30 градусов симметрично СВ относительно СН до пересечения с продолжением высоты ВН в т.Д. В р/б треуг ДВС (СВ = СД) СН является высотой и биссектрисой, а значит и медианой, которая делится в т.М в соотношении 2 : 1 (из рассм. р/б треуг АВМ). Продолжим ВМ до пересечения с СД в т.Е. ВЕ также явл. медианой, т.к. проходит через т. пересечения медиан, но ВЕ и биссектриса (зелёные углы равны), треуг. ДВС р/б уже с другой т. зр. ДВ = СВ ( по постр. СВ = СД), т.е. треуг. ДВС - равносторонний. Угол ДВС (НВС) равен 60 град., и угол АВС равен 90 град.
1) ВН - высота и биссектриса, значит треугольник равнобедренный, а ВН еще и медиана.
2) Проведем высоту треугольника ВСМ из точки М. Получившийся треугольник ВMN равен треугольнику ВМН.
3) Площади треугольников АВМ и ВСМ равны (ВМ - медиана), а значит и площади треугольников МNС и АВН равны (и также равны площади ВМN). Отсюда следует что высота MN делит треугольник на два равновеликих и является еще и медианой. Значит ВСМ равнобедренный, ВМ=МС=AM.
4) В треугольнике ВНМ катет НМ равен половине гипотенузы ВМ, значит он лежит против угла в 30 градусов. А весь угол АВС = 90 градусов.
провести высоту из точки М на сторону ВС. Обозначим точку пересечения высоты с ВС точкой К. Получим треугольник ВМК, равный треугольнику ВНМ (сторона и два прилежащих к ней угла). Тогда сторона НМ будет равна стороне МК, т.е. в соответствии с обозначениями на рисунке МК будет равна Х. Но в прямоугольном треугольнике МКС МК - катет, у которого гипотенуза равна 2Х ( в соответствии с принятыми обозначениями). Тогда угол С равен 30 градусов. В прямоугольном треугольнике ВНС угол С дополняет угол НВС до 90 градусов. Следовательно угол НВС равен 60 градусов. Но он состоит из двух равных углов, тогда каждый из них равен 30 градусов. Прибавляем к ним и третий равный угол. В сумме все три и дадут 90 градусов...
О, опять, биссектриса!! Я только что её применял в другоц задаче)) как там, она отсекает пропорциональные отрезки своим проекциям.
А поскольку ВМ медиана, а АН = НМ, то МС в два раза больше НМ, соответственно ВС в два раза больше ВН.
Ну вроде всё: катед в два раза меньше гиппотенузы значит угол С 30°
Тогда 2 альфа 60, тогда альфа 30 тогда искомый угол 90, а ВМС ещё и равнобедренный.
Когда много равных углов - тригонометрия в помощь!
Пусть
Здравствуйте, Валерий, не знаю специально ли вы сделали такую задачу, но для прямого угла достаточно равенства углов ABH и MBC. Так как если углы равны, то BH и BM являются изогоналами, а в любом треугольнике высота проведенная к стороне и радиус описанной окружности, который выходит из той же вершины , что и высота, являются изогоналами. Значит радиус описанной окружности и медиана совпадают, то есть треугольник прямоугольный.
А будет доказательством следующее рассуждение? Зеленый угол обозначим Х (не знаю как здесь нарисовать альфу и бетту). Тогда углы ВАН и ВМН будут равны и обозначены как Y. Причем Х+Y=90. Угол ВМС=2*Х+Y. На угол ВСМ в треугольнике ВСМ останется Х. Таким образом ВМ=МС и, по условию, равно АМ. Медиана равна половине стороне - условный признак прямоугольного треугольника, но для надежности, можно описанную окружность нарисовать. Или продолжить рассуждать через углы: НВС=2*Х, ВСН=Х, а ВНС=90. Х=30, т.е. АВС=90.
Какие девятые, какие звездочки?
1. из равенства тр-ков АВН и МВН АН=МН -- по одной дольке, а СМ -- две дольке, т к. ВМ -- медиана АВС.
2. По св-ву биссектрисы ВМ тр-ка ВСН ВС=2*ВН, а угол ВНС -- прямой. Сл угол ВСН=30° , СВН=60, а оба маленьких по 30
Ответ 90°
Именн о 9-й и именно звездочка. Вы не в курсе и в СССР была звездочка. Это ж нне олимпиада. Не путайте.
Сложив по красной обнаружим что ВСА=30, два зелёных 60, три - 90
Продлить BM на длину медианы (MD), получить треугольник ACD. Диагонали AC и BD равны. Т.к. ABCD прямоугольник, то угол ABC прямой.