L'arche optimale
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- Опубліковано 5 лют 2025
- Quelle est la forme qui maximise la stabilité d'une arche ? J'explique la solution donnée par Robert Hooke en 1671 : il s'agit d'un cosinus hyperbolique, et plus précisément d'une chainette inversée !
ERRATUM : Il y a une erreur dans une solution d'anagramme que je donne. J'ai vu cette solution à plusieurs reprises, étrangement, mais elle se réfère peut-être à une autre version du livre.
Sources :
"An Introduction to the History of Structural Mechanics" Chapitre 10
www.google.fr/...
"Descriptions of Helioscopes" de Robert Hooke, où il donne ses découvertes sous forme d'anagrammes (page 173).
archive.org/de...
00:30 la solution de Robert Hooke
04:57 les anagrammes de Hooke
06:07 démontrer la chainette
11:23 le point de vue variationnel
Encore une super vidéo !
Des sujets originaux et très bien expliqués
Merci pour cette super vidéo !
Super vidéo !! Tu penses que ça pourrait se faire un sujet de Grand Oral au bac maths/physique ?
Ça pourrait faire un sujet sympa oui, mais demande à tes profs surtout ;)
Okk merci ! Mais comme c'est 10 min le GO, quelles parties sont moins intéressantes/importantes que je pourrais enlever ou juste évoquer ? :)
@@Jaunedoeuff ça c’est à toi de voir 😉 mais je ciblerais surtout l’explication qualitative (la première partie)
@@quackademie okk ça marche merci. Et l'idée est super intéressante, merci encore :)
Merci ! Fais moi savoir si tu choisis ça comme sujet :)
Salut, les explications sur la fin avec les chaînettes tout ça, c'est quel niveau d'étude à peu près tu pense qu'on parle de cas similaires ?
La démonstration de la chaînette c’est niveau L3 je dirais, compréhensible à partir de L2. La version variationnelle que j’évoque à la fin c’est plutôt L3/master.
bonjour j'ai choisi ca aussi comme sujet pour mon grand oral en maths et jai voulu faire une partie demonstration de l equation en partant de l equa diff du second ordre sauf que le programme terminale s arrete a des cas tres simples de resolution et la fonction sinh-1 n est pas vu non plus. est ce que se serait possible de simplifier en utilisant la forme exponetielle de sinh et cosh vu que cest une fonction qu on connait deja et de continuer avec les calculs d integration. mais sinon la video est vraiment geniale
Super ! Malheureusement ce n’est pas possible de faire le calcul uniquement en terms d’exponentielles, a cause de l’étape où il faut prendre la fonction inverse. Tu ne peux pas du tout introduire de fonction nouvelle ?
Je ne crois pas que ça soit un gros problème, j'ai plutôt peur que les juristes en profitent pour rebondire dessus dans la partie des questions en me demandant d exploiter la fonction sachant que je ne l'ai jamais vu auparavant, donc je vais essayé au mieux de me préparer pour savoir bien la manipuler
Bonjour Quackadémie, élève de terminal, comme beaucoup dans les commentaires j'ai choisi un sujet de grand oral en lien avec la chainette : Comment Gaudi reprend avec ingéniosité le système de la chainette inversée ?
Si cela ne vous pose pas problème j'aurai aimé que vous m'aidiez sur un point. Dans une voûte les pierres ont la forme de trapèze. Lorsque je fais le bilan des forces j'ai : le poids P, la force exercée par la pierre au dessus C et celle en dessous R (Devrais-je prendre en compte la force de poussé des pierres latérales ?).
Dans un trapèze 2 des 4 faces ne sont pas parallèles, alors le vecteur R est un vecteur normal à la droite formée par la face du bas et le vecteur C est normal à la face supérieur (le tout dans un plan incliné). Les vecteurs R et C ne sont pas colinéaires. Le polygone de la somme des forces donne un triangle donc le système est à l'équilibre. Cependant je ne sais pas comment calculer les normes des vecteurs C et R. Sauriez vous comment faire ? (Aucun de mes professeurs n'ont su m'aider)
Merci d'avoir pris le temps de lire, je comprendrais si vous êtes trop occupé pour répondre.
Je vous souhaite une merveilleuse journée
Salut ! Je pense qu'il n'y a pas de manière directe de determiner la norme de R et C, ce n'est pas aussi simple que dire que R a pour norme le poids de toutes les pierres au dessus par exemple. Ce n'est que dans une description continue du problème que tu peux donner une expression simple.
@@quackademie Merci beaucoup de m'avoir répondu si vite. Et merci de m'avoir prévenu que les normes étaient indéterminables, j'aurais bien cherché jusqu'au jour de mon oral en vain 😅
D'ailleurs merci pour cette vidéo, elle m'a vraiment aider à comprendre le fonctionnement de la chainette. Très bonne vulgarisation
@@THE_Potatoqueen Pas de problème et merci beaucoup !
Bonjour Quackadémie,
Je voulais savoir un truc par rapport a son équation cartésienne car sur internet, on a y(x)=a*cosh(x/a) alors que tu nous donnes y(x)=1/a*cosh(ax). Je ne pense pas que ton explication soit fausse car on obtient le même résultat sur le tout à part dans l'équation dif ay"=√1+y'**2 et dans le sinh qui est y'=sinh**-1(x/a). Est ce que tu pourrais m'éclairer s'il te plait pour que je comprenne mieux pourquoi tu as un calcul différent que sur internet.
Bonne journée à toi
Salut, les deux formulations sont équivalentes elles utilisent simplement un paramètre différent. Mon paramètre « a » n’est pas le même que dans ton équation, ils sont inverse l’un de l’autre.
D'accord, merci pour ton explication. D'ailleurs ta vidéo m'a pas mal aider pour ma 2eme parti de mon grand oral où je parle de la formule mathématique de la chaînette et chaînette inversé ainsi que pourquoi c'est l'arche optimal, donc merci👌
Mais ma problèmatique est sur toute la chainette, en quoi c'est une avance majeure dans l'architecture.
@@JeremGaming340 Super, content que ça t’ait aidé !
Erratum : Ce n'est pas «Ut pondus sic tensio» mais «Ut tensio sic uis» (telle extension telle force) cf Wikipedia ce qui a plus de sens déjà et en plus est cohérent avec l'anagramme que tu affiches où il n'y a pas de p.
Sinon super vidéo même si je connaissais la solution de la chaînette dans le bon sens disons ;)
Tu as raison, du coup faut que j’investigue sur d’où vient celui que j’ai donné xD il y a peut être plusieurs éditions ?
Et merci !
Salut, j'aimerai faire mon grand oral de terminale justement sur l'utilisation de la chaînette en architecture pour montrer que c'est une forme optimale, après pas mal de temps de recherche, j'ai trouvé que ta video tombait a merveille car elle resumait tres bien tout ce qu'il y avait a dire. Je comprend très bien la première partie de la vidéo ainsi que le début de la démonstration, cependant elle est encore trop chargée pour moi et je serai incapable de la reexpliquer (de toute facon ce n'est pas le but du grand oral). Avec une problématique comme "pourquoi la "chaînette" est la forme optimale d'une arche ?" ou "quelle est la forme optimal d'une arche" puis montrer que c'est celle d'une chaînette, il faudrait que j'arrive a expliquer en quoi elle est optimale par rapport a ce que tu disais dans la fin de la vidéo mais j'ai donc beaucoup de mal à ça. Si jamais tu as des pistes qui sont susceptibles de m'intéresser pour vulgariser ou ramener a des notions plus simples de terminales, cela m'aiderait beaucoup. Je te remercie d'avance pour la lecture de ce commentaire ainsi que l'aide precieuse que m'offre le travail que tu as fourni sur cette vidéo 🙏
Merci ! Content de savoir que tu l'aies trouvée utile. Pour justifier pourquoi la forme de l'arche optimale doit être celle d'une chaine inversée, tu peux utiliser les arguments qualitatifs que je décris dans la première partie. Par contre, pour justifier que cette forme est décrite par un cos hyperbolique, je crois pas qu'une démonstration plus élémentaire soit possible (en tout cas je n'en connait pas), mais tu peux toujours donner la formule à titre d'illustration. Dans tous les cas, je pense que la démonstration qualitative est plus interessante, et il y a assez à dire. En donnant la formule, tu peux juste indiquer que (pour une longueur de chaine donnée) c'est la forme qui minimise l'énergie potentielle, ou (de manière équivalente) qui donne le centre de gravité le plus bas. Bonne chance ;) Par curiosité, comment as-tu entendu parlé de ce problème avant de voir la vidéo ?
@@quackademieje ne pourrai pas dire où est ce que j'en ai entendu parlé la première fois, j'avais du voir une première courte vidéo, et quand j'ai réfléchis au grand oral et que je voulais faire un lien avec l'architecture, le sujet m'est apparu instinctivement. J'ai fait des recherches et je suis tombé sur cette vidéo. Le problème que j'ai peur de rencontrer c'est que si je ne fais pas la démonstration ne serait ce qu'en la survolant, je me retrouve sans avoir assez d'éléments purement mathématiques alors que ça doit être un sujet maths et physique. Comme j'ai vu les différents notions abordées, c'est à dire dérivées, primitives, équations différentielles etc... je pense me résoudre à reprendre de façon encore plus synthétique la démonstration pour pas que ce soit ennuyant. Sinon ce que je pensais était donc de montrer mathématiquement qu'elle minimise l'énergie potentielle ou qui donne le centre de gravité le plus bas mais la dessus je trouve pas du tout. Si je trouve de quoi relier au programme mathématique de terminale je pense faire ça en deuxième partie sinon je resterai sur la démonstration. (L'épreuve dure 10 min avec introduction et conclusion, en divisant le sujet en 2 parties ça fera 3-4 min par partie). Merci beaucoup pour ta réponse en tout cas !
@@thibaudseminel351 La démonstration à partir du principe variationel (c’est à dire l’approche où tu cherches la forme qui minimise l’énergie potentielle) est beaucoup plus compliquée donc ne cherche pas de ce côté là xD 10 minutes c’est très court dans tous les cas, mais si il faut absolument faire un peu de démonstration, une solution serait de partir de l’équation différentielle (tu dis juste qu’on obtient cette équa diff en faisant un bilan des forces) et tu montres la démo à partir de là (cette partie est plus proche du niveau lycée et assez courte).
Donc je parle de la partie de la démo qui commence à 10:10 exactement.
Le mot « équilibre instable » est une abomination, mais excellente vidéo !
Pourquoi ?