【視聴者リクエスト】ヤバイ解法です…
Вставка
- Опубліковано 21 жов 2024
- 視聴者さんからトンデモな解法を用いる問題いただきました。
一見、因数定理で終わりそうですよね？
しかし！？気になる方は動画を見てください！
整数問題の全パターン解説はこちら
• 【整数問題】入試頻出解法を”４時間で”全パタ...
PASSLABOの数学特化チャンネル開講です！！
MathLABO〜東大発！「みんなで作る」数学ベスト良問集
ということで、TwitterやLINE、UA-camのコメントなどで
現在進行形で視聴者さんから頂いた良問やリクエストを中心に解説していきます。
数学関連のLIVEやPASSLABOではできないようなことも、リクエストも見ながらどんどん実験していきますので、ぜひみんなで一緒に楽しみましょう！
~~~~~~~~
■MathLABO〜東大発！「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜
チャンネル登録はこちらから
→ / @mathlabo
■解説して欲しい良問を見つけた方はこちらまで
→ lin.ee/v9sRM5r
（勉強法や質問相談はLINE LIVEにて配信予定!!）
■解答解説のノート画像は公式Twitterから
→ / todai_igakubu
リクエストや企画はこちらから募集してます！
forms.gle/hYKG...
======
【君のコメントが、動画に反映されるかも！】
問題の解説希望やリクエストあれば、好きなだけ載せてください。
１つ１つチェックして、役立つものは動画にしていきますね^ ^
===========
■PASSLABOメンバー情報
「１」宇佐見すばる
→ / todai_igakubu
→ note.mu/pfsbr1...
「２」くまたん
東大文一１点落ち？/PASSLABO癒しキャラ
→ / passlabo3
→ note.mu/pfsbr1...
===========
#MathLABO（マスラボ）
#みんなでつくる数学良問集
#リクエストは概要欄から
朝６時に毎日投稿！
一緒に動画で朝活しよう
解放のストックに一個追加すると、良さそう。
3次の係数が4で『嫌だな』と思い、 2x=t と置いたら、
t^3-3t^2+3t-6=0 となったので、あっさり
(t-1)^3-5=0 を導けました。
微分をするというのはあまり解法テクニックとは関係ないように思える。
今回の答えが三乗形の形だったということで、例えば2を掛けてもOK
8x³-12x²+6x-6=(2x)³-3(2x)²+3(2x)-1-5=(2x-1)³-5=0 以下同様
自分も同じ方法で解いた。
x³が４で惜しいから、両辺2倍すると3乗の因数分解が見えた！
同感です。その解法の方が本質をいってる気がします。
@@naonao.1932 三次方程式だから三乗根が出るのはむしろ普通なのに、なんでみんな因数定理を使おうとするのか...😅
@@study_math 大学受験だったら99.9%は因数定理でできるようになってるからだろ
@@否定ペンギン-n9d ちと表現も悪かったかな...
別コメもしてるが、気になったのは三次方程式に因数定理を使用しようとする操作が何を意味するのか分かってるのかな？ということ。
求めたの実数解だけで、それを1の3乗根倍したものも解になるのを忘れてる。
よくよく考えたら、微分と積分は対の関係でしたわ。
式の展開と因数分解の関係を発展させた方法は流石です。
パッとみてアイゼンシュタイの定理で整数で因数分解できひんから、因数定理の代入は整数やらんくてよさそう
万能な解き方
f(1)=-2
f(2)=11なので1と2の間に解がある
因数定理より有理数解を持つならf(3/2)しかないので
f(3/2)=3/2 ということは有理数解を持たない
相反方程式でも無い限り有理数解が無いならば僕たちにはカルダノの方法(3次方程式の解の公式)しか無い
ということで、4で割って立方完成すると
(x-1/2)³-5/8=0
マジでカルダノだった！？
微分、積分、いい気分
ヤバ。この解法感動した。見た目はただの基本的な三次方程式の問題かと思いきや・・
これ、入試問題で出たら東大生でも中々解けないんじゃない？
微分しようとは思いつかないけど
結局立法完成してるわけで
そう考えると出来そう
立方完成
僕も微分は考えましたけど、まさか積分まで使うとは思いませんでした…この問題、mathlaboで1番難しい問題の1つかもしれませんね…
積分まだ分からなかったから途中から分からなくなった😭
方程式を解く問題じゃないけど、鈴木貫太郎先生のところで最近 平方完成ならぬ立方完成させる問題があったので、式変形しているうちに気がつきました。
微分の形からy=f(x)はy=4x^3を原点から(1/2,f(1/2))だけずらしたグラフになるので
f(x)=4(x-1/2)^3-5/2
と変形して解きました。
微分したら割と簡単な式の累乗(かけるスカラー倍)になるときに出来る方法ならば、そういう式の法則を見出してそうなるように置換するみたいなのがテクニックとして成立する・・・？
高校生だった頃に東工大行った友人に解説されたのを思い出す
あの頃は数学出来なくて泣いてた
なんで積分した時に係数に2分の1がつくのですか？
このやり方色んなことに使えそうやな
7:00
自信満々で答え１個だけ書いてるんで、軽くでいいから三重根であることを示さないと。
ほら、早く。
結局，立法完成したらきれいになるてだけやし，
虚数解は？（全部しっかり見てないから途中で触れられてたらすみません）
この辺りになるともう、変曲点を0まで並行移動(本動画と同値)するか、三角関数の3倍角の公式の形になってないかくらいしか手がないですね
不定積分はおすすめしません。俗に言う積分定数とは特定の f の値です。
積分区間を 0 からスタートすれば f( 0 ) だし、1 からスタートすれば f( 1 ) になる、それだけです。
f( x ) - f( 0 ) = ∫_{ 0 }^{ x } f'( t )dt
積分区間の下端は何でもいいのですが計算が簡単になるものを選びましょう。
つまり立方完成ってこと？
動画中の解説にもあったように、３次方程式の解法の定石は、因数定理利用による因数分解ですね。
微分・積分をこのように使用する解法は、参考書にもあまり紹介されていないでしょうね。
まさに目から鱗の解法ですね。
微分して積分したのは立方完成を目的とした感じかな、
実数の範囲って書いてないので許数回も求めてください。
2次方程式の解の公式を導出するために平方完成するけど、3次方程式（今回のような1次導関数が平方完成されているもの）は動画の手続きのようにすれば立方完成できて実数解が求められるのですね。
微分した段階で綺麗な形にならない場合どのように考えますか？
全然解けなくて、初めてこの解法を知りました。おもしろいですね！
細かいですが、実数解１つだけでいいんですかね？
複素数解もあと２つありますよね？
(2x-1)³=5 なので、
ω を1の三乗根として表すと、
2x-1=5^(1/3), ω*5^(1/3), ω²*5^(1/3)
これを、xについて解けば終わりですね。
すげぇ...。思い付かなかった
微分する事自体が重要なんじゃない。とりあえず微分するかって思って出てきた式からどれだけの情報を見抜けるかって事が重要。
すごすぎる！
複素数解にはωとω^2を忘れずに！
やばいですね、この解法・・・
数学は得意のつもりで、色々な解法も見てきましたが、
このタイプは完全に所見です。
思いついた人、恐るべし
本日も時間潰しすぎ問題をいただき、有難うございます。
作図して考える発想は東の方の大学対策しかしてなかったら思いつかないかもしれないですね。
三次方程式を微分してから積分する・・・。この動画に出会わなければ、一生解けないです。
おもしろいです
自然な考え方として、微分した結果からx＾3を動かした形だと理解でき、（x-p)^3+qのように持っていこうと思える。
微分して3次関数のグラフ書いてx軸との交点の座標求めるっていうのはどうですか
平方完成ならぬ立方完成ですな…
微分は驚きです。
私は次のように解きました。
与式より、
x³-(3/2)x²+(3/4)x-(3/4)=0
立体完成するために、y=x-(1/2) とおくと、
y³=x³-(3/2)x²+(3/4)x-(1/8)
すなわち、
y³-(5/8)=x³-(3/2)x²+(3/4)x-(3/4)
y³-(5/8)=0
y³=5/8
y=(1/2)*5^(1/3), (ω/2)*5^(1/3), (ω²/2)*5^(1/3)
x=y+(1/2) から x もわかる。
x³の係数を1にしようとして両辺を4で割ったら、
左辺=x³-3/2x²+3/4x-3/4で
(x-1/2)³+定数
の形になることが偶然分かりました。
微分は思いつかなかった…。
微分は新しい？発想で面白いですね。はやいし。
両辺2倍して 2x=t とおくと、(t-1)^3-定数=0 でも解けますね。
カルダノは公式の暗記というよりは、それを背景にした問題が偶に出るから
立方完成とx=a+bを代入するのは覚えておいて損はない
そもそも微分積分習ってないのでできなかったw
すみません、f‘(x)を不定積分する段階で、なぜ1/2が前についているのでしょうか...？
{(2x-1)³}’=3(2x-1)²(2x-1)’=3･2･(2x-1)²=6(2x-1)²
の逆をやってるからです
微分するときに(2x-1)’=2を掛け算しなくてはいけないので1/2をかけることで相殺できます
微分したら元の関数に勝手につけるだけで、他に意味はないですよー（数 III範囲です）
おれもわからんわ
@@佐藤くん-i3u 合成微分の逆で、なか微分してかけたものを割るんですよ
@@privateaccount1838 つまり、これは不定積分ではないってこと？る
解を見つけるために微分はおかしくね？と思ったら、立方完成したときに1次の項がないことを示唆するためか。
でも方程式を解けっていう問題で微分を考えるの抵抗あるなー笑
平方完成ならぬ立方完成ですね
これは凄スンギww
う～ん、コメント欄試験勉強に感化されていないかな...😅
まぁそれはそれでいいんだけど、二次方程式の解に二乗根、三次方程式の解に三乗根、四次方程式の解に四乗根...が出るのはむしろ当たり前の話。
三次方程式に因数定理を使用しようとする操作が何を意味するのかを一度考えてみては？🤔
三次方程式の解法演習しようとしたら立方完成で終わりました☺
積分してあの式になる理由がわからないです
数Ⅲの範囲です
なるほど。ありがとうございます
@@加藤海斗-v1o いや、数Ⅱ青チャートに乗ってますよ。確かに数Ⅲっちゃ数Ⅲですが
@@ufor_jp 数研出版の数学IIの教科書にも載ってますよ！！
数Ⅱで合成関数の積分やりましたっけ💦
ずいぶん昔なので忘れてました💦
誤情報すみません🙇♂️
自分もすばるさんに見ていただきたい作問があるのですがLINEでそのまま送る形で大丈夫ですか。？🙇♂️
目から鱗👀🐟
頭いいね！
これはヤバい！！！
ガチで美しすぎる！
おそらく、あなたが美しいと感じていることは、作用、逆作用に近いものを続けると、だいたいは元に戻る訳ですが、その作用を微分に選ぶことにより、2つを続けた結果が、見やすい形になることでしょう。そこには、合成関数の微分が効いていて、微分という作用が武器となったということでしょう。だから、おそらくは、あなたは、作用、逆作用に近いもので、形式的に、或いは実質的に意味のあるものが他にあるのではないだろうか？と疑問に思っているということでしょう。微分という作用が実質的なすばらしい意味(接線の傾き)を持っている以上、合成関数の定理など、作用にともなう美しい形式的な定理は見つけにくいと思いますが、いい課題だと思います。
5:19 なんで1/2をつけるんですか？まだ積分詳しくなくて誰か教えてください
積分して得られた関数を合成函数の微分(g(2x)の形になっている)に注意して、もう一回微分し直してみてください
2が出てくるので係数合わせが必要と解ります
いろんな考え方があって面白いですね
積分も立方完成も何を糸口にして
どう発展させるかが大事なんですね
チョコっとした私の別解です
微分するとこまでは同じ
3(2x-1)^2になったところで
これってy=x^3を拡大縮小移動したものと考えて
2x-1=X と置いてXについて整理すると
X^3=5
あとはxに戻すだけ
二次と三次の項の絶対値の比が－２：１だから（2x-1)の立法完成までは気がつきましたが、f’(x)とf(x)を使うのは思いつきませんでした。
探った結果撃沈しました😅
Wikipedianiに関連項目があります（「三次方程式」）
3次方程式の判別式もある
カルダノの公式を利用する時，x³+px+q=0に変形するが，その時の変数変換を利用すれば，この問題の方程式は解けてしまう（p=0となる）．あの複雑な公式は不要
なのでカルダノの公式は覚えなくても良いが，変数変換だけは覚えておこう
チルンハールス展開ですね！
今日の問題も面白かったです。ここで提出すべきかわからないのですがもし良ければ
動画向け問題
x y zを整数とする
(x^3+y^3+z^3)^3-(x^3+y^3+z^3)は6の倍数であることを示せ。
動画向けじゃない別解
x^3+y^3+z^3-(x+y+z)は連続三整数の積より6の倍数である➀
(x+y+z)^3-(x+y+z)はカッコ内は高々整数よりコレも連続三整数の積より6の倍数②
②-①より示された
発展的な話題 nを自然数とする。
補題 x^(2n-1)≡x(mod 6)
x≡-1,0,1成立
x≡2 2^(n-1)-1 2^(n-1) 2^(n-1) +1 のいづれかは3の倍数より、2^(n-1)は明らかに3の倍数でないので2^(n-1)-1又は2^(n-1) +1 は3の倍数よって
2(2^(n-1)+1) (2^(n-1)-1)≡0(mod 6)
x≡-2の時も同様
x≡3
3^(2n-1)-3は3の倍数であり奇数の差から偶数より6の倍数
以上から示された
追記 x≡2について
n=1の時 2≡2となり成立
命題 (Σ x(k))^(2n-1)≡(Σx(k)^(2n-1))≡Σx(k)(mod 6) ここでΣはk=1からmで x(1)からx(m)まで整数 mは自然数
証明
補題よりΣx(k)は高々整数より
(Σx(k))^(2n-1)≡(Σx(k))(mod 6)❶
Σx(k)^(2n-1)≡Σx(k)(mod 6)についてもΣから書き下して補題を適用すれば示せる。②
①②より示された
ここまで見て下さった方訂正など有ればどうぞコメントして下さい。
4行目の問題
x^3+y^3+z^3=t とおくと
与式=t^3-t=t(t-1)(t+1) となる。以下略。
補題 補題は x^(2n-1)-x ≡0(mod 6) と同値
x^(n-2)･(x^(2n-1)-x)=p(p+1)(p-1) について考える。ただし、p=x^(n-1)
この式で、右辺≡0(mod 6) は明らか。
よって、左辺は、x^(n-2)≡0(mod 6) または、x^(2n-1)-x≡0(mod 6)
x^(n-2)≡0(mod 6)の場合は、x≡0(mod 6)となり、x^(2n-1)-x≡0-0≡0 で補題が成り立つ。
x^(2n-1)-x≡0(mod 6)は、補題そのものなので、補題が成立する。
命題 式の意味が不明です。Σx(k)←？？？
@@ch.5714
すみませんわかりやすく描き直します。
主張する命題は以下と同値です。
a b c d…を整数とする。Nを自然数とする。(a+b+c…),(a+b+c…)^(2N-1),
a^(2N-1)+b^(2N-1)+c^(2N-1)…,をそれぞれ6で割った余りが等しい
x(k)のkは、下付き文字の意味だったんですね。
テキストだけで数式を書き表すのは難しいです。
mod 6 でx^3 ≡ x は、覚えておくと使えますね。
電験2種でよく出ますよ。
微分したら割と簡単な式の累乗(かけるスカラー倍)になるときに出来る方法、というわけですね。左辺のグラフ描いてあたりを付けるために微分するとかは確かによくあり得る話なので、面白いように思います。
最後を直せば複素数解で残り2つも出せると。
数弱の質問です。もしこの問題が出題されて、動画の解だけを書いてたら満点なんですか？
誰か教えてください🙇♂️
@紙牌 ありがとうございます(^o^)
立方完成と同じ！
微分したものを再び積分するという発想は、俺には出ないなぁ。
自分は、微分でx＝1/2の時に微分係数が0になる増加関数であることを確認した後、その時の座標（1/2、ー5/2）を出し、
グラフがx軸と交わるにはあと5/2増えればよいが、本問のxの3乗の係数が4だから、yの増加量はxの増加量の3乗×4に比例する。そこで、xがa増加するとおくと、yの増加量は4a^3。その増加量が5/2になる時…
という、一切スマートさの無い方法で答えを出してみたけど、それが正解と一致したので、それはそれでなかなか嬉しかったｗ
因数定理とかではないなら微分と積分の関係かなと思ったら見事正解でした。
自分で問題作ったりしてた時に考えたことあったので役に立ちました。
出てくる数字で視聴者の高校が分かる…w
立法完成の凄く特殊な場合ですね。
導関数が綺麗な平方完成になっているので、
極大値、極小値を持たず、y=〇〇に接して、
さらに二次導関数=0にするxの値が
変曲点を与えたり、三次関数の特性も学べる良き問題でありますね。しかも、この問題、複素数の範囲までといったら、残り二つの解もωを使って容易に表す事が出来ますね。
容易周到？用意周到？ナイスシュート⚽️。
対称性をシンプルな幾何的にみるだけでなく、
基礎解析の立ち位置で切り替えてみたり、
数学って楽しいものだと、改めて感じました。
線対称、点対称、数学は引き出しで大勝です。
手を動かさない代償もデカそうでありますね。
実質立法完成
微分したものが2乗の形で表せるならもとの関数は3乗+定数で表せるってことですね。言われてみればそうだけど方程式に応用するのはすごい発想だなと思いました。
答えから逆算すると、平方完成ならぬ、”立方完成する”解法なんですね。両辺に2をかけると、少しだけ形が見えてきます。
4と-3だしねぇ…難い〜
強引に解きました。
ちょうど昨日、三次方程式の一般解を復習したところだったのでタイムリーでした。立方完成したら、スッキリした形になったので、後はω、ω^2を忘れないように解きました。
もっとスマートな解法があると言うことなのでしょうね。動画で勉強します。
追記
微積を使って立方完成するのは面白い使い方ですね！勉強になりました。
しかし、x^3=αの解が実数解ひとつα^(1/3)と、二つの虚数解になるということを忘れちゃいけませんね！
！
ヤバい解法、っつーから、😮
何だろうと考えるに当然 微分は考えたが、問題は寧ろその後だな。
積分してその上で Cを出す。
(其処まで)到達出来るかな? 緊張の試験中に(自問)
'解の３乗根'という自体で 発想から消えてた!、っつー自己内発見をさせて貰えた!
なんかの有理数は有るだろう、という自己内固定観念、打破!
微分するという発想はなかったなぁ。でも、4で割って、立方完成したら出た。まぁ、他の人も書いてるように、完全にカルダノ態勢に入ってたからそうしたワケだが（笑）。
問題は、その求めた実数解に原始立方根を掛けたものと、その実数解を使って組立除法で出した二次方程式の解とがずいぶん形が違う事。変形すれば同じ形になるんだろうか？変形がめんどくさくってさぁ。
計算間違えてたわ。合ってる、合ってる。